[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Loop weer ergens tegen aan:
Ontbind in factoren:
(15a^5 - 8b^4)(15a^5 + 8b^4)
= 15a(15a^5 + 8b^4) -8b^4(15a^5 + 8b^4)
= 225a^10 + ? - ? - 64b^8

Welke regels hanteer ik bij 15a * 8b^4, en -8b^4 * 15a^5?

Ik snap je vraag niet echt. Maar als je die haakjes wil uitwerken kan je opmerken dat je met een merkwaardig product te maken hebt: (x+y)(x-y) = x² - xy + xy - y² = x² - y² .

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 15:19 schreef DeGemaskerdeMuchacho het volgende:
Loop weer ergens tegen aan:
Ontbind in factoren:
(15a^5 - 8b^4)(15a^5 + 8b^4)
= 15a(15a^5 + 8b^4) -8b^4(15a^5 + 8b^4)
= 225a^10-64b^8

Welke regels hanteer ik bij 15a * 8b^4, en -8b^4 * 15a^5?

Kwestie (a+b)(a-b)=a^2-b^2
Dus (15a^5)^2-(8b^4)^2 = 225a^10-64b^8

[ Bericht 0% gewijzigd door Fsmxi op 22-09-2012 17:07:10 ]

aaah mijn dank is groot

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 14:19 schreef eMazing het volgende:

[..]

Wat moet ik met t₁ doen?

Dit is de eerste term. En aangezien je termen van de gedaante 1,04^k zijn met k = 0..27 heb je dus t₁ = 1,04⁰ = 1.

quote:

En is het niet (1 - 1.04²⁸ - 1)/(1 - 1.04)?

Nee, want hier pruts je er een extra term -1 bij die hier niet hoort. Je kunt de uitdrukking voor de som van de termen uiteraard wel opschrijven als

(1 - 1,04²⁸)/(1 - 1,04)

quote:

Dus de 1 en de r omgedraaid? Zo staat de formule namelijk in mijn boek.

Je moet je niet zo vastbijten in formules, en vooral niet in formules die je (nog) niet begrijpt. Gebruik nu maar mijn formulering in woorden om een meetkundige reeks te sommeren, dan is de kans op vergissingen een stuk kleiner.

Nog beter is het als je ook echt begrijpt waarom de somformule voor een meetkundige reeks is zoals die is. Laten we zeggen dat we een meetkundige reeks hebben met n termen genaamd t₁ t/m t_n. De som is dan:

(1) S = t₁ + t₂ + ... + t_n-1 + t_n

Vermenigvuldig je nu beide leden van (1) met de reden r van deze meetkundige reeks, dan schuiven alle termen een plaatsje op, want r is immers het vaste getal waarmee je een term moet vermenigvuldigen om de volgende term te verkrijgen. Dus hebben we:

(2) r∙S = t₂ + t₃ + ... + t_n + t_n+1

Trekken we nu de leden van (1) af van de leden van (2), dan vallen in het rechterlid bijna alle termen tegen elkaar weg, behalve t_n+1, want die zit niet in (1), en t₁, want die zit niet in(2). Dus krijgen we:

(3) r∙S - S = t_n+1 - t₁

Nu kun je in het linkerlid van (3) S buiten haakjes halen en hebben we:

(4) (r - 1)∙S = t_n+1 - t₁

En beide leden delen door r - 1 (mits r ongelijk is aan 1) geeft dan:

(5) S = (t_n+1 - t₁)/(r - 1)

En je ziet, dit is precies wat ik hierboven in woorden heb weergegeven: de som van een (eindige) meetkundige reeks is gelijk aan het verschil van de 'eerstvolgende' term en de eerste term, gedeeld door het verschil van de reden en één.

Omdat elke volgende term wordt verkregen door de voorafgaande term met de reden r te vermenigvuldigen, geldt in het algemeen:

(6) t_n = t₁∙r^n-1

En dus ook (vervang n door n+1):

(7) t_n+1 = t₁∙rⁿ

Substitueren we nu (7) in onze somformule (5), dan krijgen we dus:

(8) S = (t₁∙rⁿ - t₁)/(r - 1)

En t₁ buiten haakjes halen in (8) geeft dan:

(9) S = t₁∙(rⁿ - 1)/(r - 1)

Uiteraard kunnen we teller en noemer van de breuk in (9) met -1 vermenigvuldigen, zodat we krijgen:

(10) S = t₁∙(1 - rⁿ)/(1 - r)

En zie daar, we hebben de 'klassieke' vorm van de somformule zoals die waarschijnlijk ook in je boek staat. Vaak wordt overigens ook de letter a gebruikt voor de eerste term t₁. Maar, zoals gezegd, je moet niet proberen dit soort formules uit het hoofd te leren en dan 'blind' met het verstand op nul maar wat in gaan zitten vullen, want daar leer je niets van en dan gaat het meestal ook nog fout. Mijn ervaring is dat je, zoals gezegd, het beste de somformule in woorden kunt onthouden.

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 16:44 schreef eMazing het volgende:

[..]

Bedankt.

Klopt het trouwens als ik zeg dat een afgeleide altijd in een haakjesformule moet worden geschreven x^y(x^y + x^y + x^y), tenzij dit niet kan?

Ik begrijp je vraag niet. Ben je nu bezig met differentiaalrekening of bedoel je hier iets anders met afgeleide? Indien iets anders, wat dan precies? De uitdrukking die je geeft is te vereenvoudigen tot:

3∙x^2y

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 16:12 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Van je laatste regel klopt dus geen fuck vriend.

Jawel hoor, gewoon wat a'tjes voor de ^ plaatsen

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 16:12 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Van je laatste regel klopt dus geen fuck vriend.

substitutie a=15a^5 en b= 8b^4
a^2 wordt dus (15a^5)^2, dus 15^2*(a^5)^2-(8)^2*(b^4)^2=225a^10-64b^8

O wacht, zie inderdaad dat ik a's en b's vergen ben, faal aan mijn kant

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 17:12 schreef eMazing het volgende:

[..]

Die vraag was een beetje vaag, maar ik denk dat ik het antwoord al weet.

Ik zou nog een vraag willen stellen over die som formule van de image: http://i.imgur.com/GdxNw.jpg

Bij vraag 6 doe ik:

( 1-1.02^(30) ) / (1-1.02)

ANS x 500

Hier komt dan 20284.04 uit, terwijl het antwoord in de buurt ligt: 20689.72. Ik weet zeker dat ik geen invoerfout heb gemaakt, dus wat heb ik verkeerd gedaan? Omdat k=1 mag n gewoon 30 zijn toch? (ipv n+1 = 31) Wat doe ik fout?

Er zijn 30 termen want k = 1..30. Maar de eerste term is hier 1,02¹ = 1,02 en niet 1. De som van de reeks bedraagt dus

(1,02³¹ - 1,02)/(1,02 - 1) = (1,02³¹ - 1,02)/0,02.

Dit moet je uiteraard nog met de factor 500 vermenigvuldigen die voor het somteken staat.

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 19:51 schreef eMazing het volgende:

[..]

Haha oke, ja het antwoordenprogramma rekent nu alleen het antwoord met haakjes goed, dus ik dacht dat daar misschien een wiskundige prioriteitsregel voor was.

Ik heb nog één vraag voordat ik stop met jullie lastigvallen: http://i.imgur.com/pYP8A.jpg

Hoe pak ik dit aan? -7x / x², daarvan weet ik niet wat daar uitkomt?

Is dit tegenwoordig universitaire stof?

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 19:59 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je gebruikt hierbij de quotiëntregel. Onthoud dit met de regel:

1. nat - tan

Ofwel:
noemer * afgeleide teller - teller * afgeleide noemer

Dit verschil deel je door:
noemer²

Ik ga even het antwoord in een spoiler editten.






De laatste regel niet helemaal 'gecontroleerd', maar ik ben er wel van overtuigd dat het goed is.

En , en daarvan bepaal je op de normale wijze de afgeleide. Ofwel 7x^-2

En mocht je geïnteresseerd zijn in het bewijs van de quotiëntregel:
http://www.wisfaq.nl/pagina.asp?nummer=1531

veelste veel werk . Gewoon elke term apart uitdelen en met de machtsregel differentiëren

quote:

Op zaterdag 22 september 2012 19:51 schreef eMazing het volgende:

[..]

Haha oke, ja het antwoordenprogramma rekent nu alleen het antwoord met haakjes goed, dus ik dacht dat daar misschien een wiskundige prioriteitsregel voor was.

Dat is het grote nadeel van dergelijke geautomatiseerde toetsen. Er gaat niets boven een echte docent die ook echt les geeft en zelf de gemaakte opgaven nakijkt en weer bespreekt. De makers hebben waarschijnlijk niet eens de moeite genomen een beetje intelligente parser te schrijven zodat alle correcte antwoorden ook inderdaad goed worden gerekend. En nee, als je bij dit soort opgaven haakjes weg kunt werken, dan moet je dat ook doen, tenzij de opgave iets anders vraagt of tenzij het laten staan van de haakjes een vervolgopgave juist eenvoudiger maakt.

quote:

Ik heb nog één vraag voordat ik stop met jullie lastigvallen: http://i.imgur.com/pYP8A.jpg

Hoe pak ik dit aan? -7x / x², daarvan weet ik niet wat daar uitkomt?

Deze zou je uit het blote hoofd op moeten kunnen schrijven, want je ziet natuurlijk direct dat dit gelijk is aan 8x⁴ + 8x² - 7x^-1 zodat de afgeleide dus wordt 32x³ + 16x + 7x^-2. Maar wat zegt het programma als je dit antwoord precies zo invoert?