SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Maar als we gebruiken dat.quote:
y = ln(3000) + ln(1.05)x
y = ln(3000) + ln(1.05x)
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
met a = 3000
b = 1.05x
Zou je in feite kunnen zeggen dat de uitkomst ook gelijk mag zijn aan (andere situatie...)
y = eln(3000*1.05^x)
Toch?
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 02-10-2012 19:55:59 ]
Ja, dat kan, maar dan moet je twee machten berekenen in plaats van één en heeft het gebruik van logaritmen en de omzetting naar een e-macht dus praktisch gesproken geen zin.quote:Op dinsdag 2 oktober 2012 19:55 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar als we gebruiken dat.
y = ln(3000) + ln(1.05)x
y = ln(3000) + ln(1.05x)
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
met a = 3000
b = 1.05x
Zou je in feite kunnen zeggen dat de uitkomst ook gelijk mag zijn aan (andere situatie...)
y = eln(3000*1.05^x)
Toch?
Tevreden trouwens over mijn PDF met jouw plaatje erin?
In een stuk code van Google kwam ik dit tegen:
Voegt dit nog iets toe, vergeleken met
Ik zie het namelijk niet.
| 1 | rotation = (rotation % 360 + 360) % 360; |
| 1 | rotation = rotation % 360; |
Ik zie het namelijk niet.
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
Ik ken % niet precies, maar wellicht is er een verschil als rotation < 0.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
% is de modulus, dus het restgetal. 359 % 361 = 359; 361 % 360 = 1.quote:
Ik ken % niet precies, maar wellicht is er een verschil als rotation < 0.
Kan zelf geen getallen vinden waarbij het resulteert verschilt, ook niet onder de nul.
[ Bericht 3% gewijzigd door MichielPH op 05-10-2012 13:35:37 ]
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
| 1 2 3 | var rotation = -10; alert(rotation % 360); alert((rotation % 360 + 360) % 360); |
Dit geeft bij mij -10 en 350, grappenmaker.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
In sommige programmeertalen heeft de rest x%y bij deling hetzelfde teken als x (in andere programmeertalen heeft het hetzelfde teken als y). Dat stuk code zorgt ervoor dat er altijd een getal in {0, ..., 359} uitkomt.quote:
In een stuk code van Google kwam ik dit tegen:
[ code verwijderd ]
Voegt dit nog iets toe, vergeleken met
[ code verwijderd ]
Ik zie het namelijk niet.
Exact! Ik had het geprobeerd in Excel, en daar waren de beide formules gelijk. In Eclipse' debugger kreeg je inderdaad nog negatieve getallen. Dank!quote:
[..]
In sommige programmeertalen heeft de rest x%y bij deling hetzelfde teken als x (in andere programmeertalen heeft het hetzelfde teken als y). Dat stuk code zorgt ervoor dat er altijd een getal in {0, ..., 359} uitkomt.
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
Hallo fokkers,
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Ik weet dat ik allereerst de 1e afgeleide moet bepalen, dit is h(x)` = 4 + -1x^-2 . (1/x is gelijk aan 1 tot de macht -1x)
Ook weet ik dat nu de punten moet zoeken waarbij de formule 0 wordt.
Dit snap ik echter niet. Hoe bepaal ik op basis van deze afgeleide de stationaire punten?
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Ik weet dat ik allereerst de 1e afgeleide moet bepalen, dit is h(x)` = 4 + -1x^-2 . (1/x is gelijk aan 1 tot de macht -1x)
Ook weet ik dat nu de punten moet zoeken waarbij de formule 0 wordt.
Dit snap ik echter niet. Hoe bepaal ik op basis van deze afgeleide de stationaire punten?
Wiskunde is niet mijn sterkste vak.
Als ik deze formule oplos kom ik uit op X = 0,5.
Is nu de conclusie dat X = 0,5 en X = -0,5 de stationaire punten zijn van deze functie?
Als ik deze formule oplos kom ik uit op X = 0,5.
Is nu de conclusie dat X = 0,5 en X = -0,5 de stationaire punten zijn van deze functie?
Je moet het begrijpen. Door de x-coordinaat van de functie in te vullen in je afgeleide bepaal je de helling van de functie op dat punt. Stationair betekent horizontaal, dus is dy/dx 0. Daarom moet je dus oplossen waar de afgeleide functie de x-as snijdt.
We missen een berekening?
Oh, ik zie het al. Edit de volgende keer je post.
[ Bericht 54% gewijzigd door #ANONIEM op 06-10-2012 15:36:01 ]
Oh, ik zie het al. Edit de volgende keer je post.
[ Bericht 54% gewijzigd door #ANONIEM op 06-10-2012 15:36:01 ]
Maak even een grafiek van je functie (klik) dan zie je beter wat de bedoeling is. En je moet natuurlijk wel per stationair punt afzonderlijk aangeven of het een (locaal) minimum of een (locaal) maximum betreft, dat heb je zo te zien nog niet gedaan. Daarvoor kun je een tekenschema maken van de eerste afgeleide, of gebruik maken van de tweede afgeleide zoals hier wordt gevraagd.quote:
Hallo fokkers,
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Enkele opgaven verder loop ik nog tegen een andere kleine vraag aan mbt partiële afgeleiden.
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Doe eens wat aan je notatie en gebruik superscript voor exponenten. Je hebt:quote:
Enkele opgaven verder loop ik nog tegen een andere kleine vraag aan mbt partiële afgeleiden.
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Y = 100∙C0,5∙M0,5
Nu moet je inderdaad doen of M resp. C constanten zijn om ∂Y/∂C en ∂Y/∂M te bepalen.
Oke, als ik op de link klik wordt het locale minimum en het lokale maximum gegeven. Ik snap echter niet hoe dit berekend wordt.quote:
[..]
Maak even een grafiek van je functie (klik) dan zie je beter wat de bedoeling is. En je moet natuurlijk wel per stationair punt afzonderlijk aangeven of het een (locaal) minimum of een (locaal) maximum betreft, dat heb je zo te zien nog niet gedaan. Daarvoor kun je een tekenschema maken van de eerste afgeleide, of gebruik maken van de tweede afgeleide zoals hier wordt gevraagd.
Die indruk had ik al. Weet je wat het maken van een tekenschema voor de eerste afgeleide inhoudt?quote:
[..]
Oke, als ik op de link klik wordt het locale minimum en het lokale maximum gegeven. Ik snap echter niet hoe dit berekend wordt.
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Wel, je had al gevonden dat h'(x) = 0 voor x = -1/2 of voor x = -1/2. Teken nu een horizontale getallenlijn en geef daarop de punten x = -1/2 en x = 1/2 aan. Zet daar nullen boven en zet + en - tekens boven de lijn daar waar de eerste afgeleide positief resp. negatief is, en een asterisk bij x = 0 waar de afgeleide niet gedefinieerd is. Dan krijg je dus zoiets:quote:
| 1 2 3 | ++++++++++++++++++++0------------*------------0++++++++++++++++++++ ____________________|____________|____________|____________________ -1/2 0 1/2 |
Nu zie je dat de eerste afgeleide h'(x) wisselt van positief naar negatief als we (komende van links) de waarde x = -1/2 passeren. Dat betekent dat de curve, dus de grafiek van h(x) zelf, stijgt (positieve afgeleide) totdat we bij x = -1/2 zitten en dat de curve daarna weer daalt, omdat de afgeleide voorbij x = -1/2 negatief is. Zo kun je zien dat de curve kennelijk een locaal hoogste punt bereikt voor x = -1/2. De waarde van dit locale maximum is h(-1/2) = -4. Op dezelfde manier kun je uit het tekenschema aflezen dat de functie bij x = 1/2 juist een locaal minimum bereikt, want net links van x = 1/2 is de afgeleide nog negatief, dus daalt de curve van h(x), maar net voorbij x = 1/2 is de afgeleide weer positief, dus stijgt de curve van h(x) daar weer. Ergo: we hebben een locaal minimum voor x = 1/2 en de waarde daarvan is h(1/2) = 4.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:02:07 ]
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?quote:
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.quote:
[..]
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?
Als F` = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.quote:
[..]
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.quote:Als F' = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Klopt!quote:
Op Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?quote:
[..]
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.
[..]
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Als je hebt gevonden voor welke waarde(n) van x je functie h(x) een minimum of een maximum bereikt, dan kun je de waarde van dat minimum resp. maximum toch gewoon berekenen door de gevonden waarde(n) van x in te vullen in het functievoorschrift van je functie h(x) ? Wat begrijp je hier niet aan? De verticale positie van een punt op de grafiek voor elke x = x0 is immers de functiewaarde h(x0).quote:
[..]
Klopt!
Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-10-2012 01:54:24 ]
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?quote:
[..]
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Ja.quote:
[..]
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?
De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
Dat klopt nog, maar preciezer is het om te spreken van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt van de grafiek van de functie.quote:
[..]
Ja.
De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
Dat is op zijn minst erg onduidelijk uitgedrukt, en ik zou een dergelijk antwoord bij een examen niet goed rekenen.quote:De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Maar inderdaad geeft de afgeleide van de afgeleide in een punt x = x0 aan of de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek daalt of stijgt in de omgeving van dat punt x = x0. Kijk nog eens naar het tekenschema van de afgeleide h'(x) van je functie h(x) = 4x + 1/x hierboven. De afgeleide h'(x) gaat van positief naar negatief bij x = -1/2 en daalt dus in de omgeving van x = -1/2, en dat impliceert dat h''(-1/2) < 0. Omgekeerd gaat de afgeleide h'(x) van negatief naar positief bij x = 1/2. De afgeleide h'(x) stijgt dus in de omgeving van x = 1/2 en dat impliceert dat h''(1/2) > 0.
Deze redenering rammelt. Als je eerst de waarden van x hebt bepaald waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul, dan is het een dooddoener om te zeggen dat de eerste afgeleide voor die waarden van x niet negatief kan zijn. En je bewering de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen is onjuist. Tenslotte moet je niet zeggen dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in het punt x = 0 als de afgeleide (ergens) nul is want dat hoeft helemaal niet zo te zijn. Je bedoelt hier kennelijk dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in een punt x = x0 als de eerste afgeleide van die functie nul is voor x = x0.quote:Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 06-10-2012 22:26:36 ]
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Je weet toch wat de x-coördinaat van het stationaire punt (x=x0) is?quote:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
De oplossing van je functie voor een bepaalde waarde van x zal je dus een y-coördinaat opleveren. Dus moet je x0 in je originele functie invullen. Dit levert dan je gewilde coördinaat op.
Je hebt gevonden dat h''(x) = 2x-3 en kennelijk bereken je dan vervolgens h''(-1/2) = -16 en h''(1/2) = 16. Maar dat wordt niet gevraagd. Aangezien h'(-1/2) = h'(1/2) = 0 heb je voldoende aan de vaststellingen dat h''(-1/2) < 0 en h''(1/2) > 0 om te concluderen dat h(x) voor x = -1/2 een locaal maximum bereikt en voor x = 1/2 een locaal minimum. Maar om de waarde van dat locale maximum bij x = -1/2 resp. de waarde van dat locale minimum bij x = 1/2 te berekenen moet je dan uiteraard x = -1/2 resp. x = 1/2 substitueren in je functievoorschrift h(x) = 4x + 1/x. Dan vind je h(-1/2) = -4 en h(1/2) = 4.quote:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
Ik denk dat je derde argument juist je hoofdargument is.quote:
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 07-10-2012 14:17:53 ]
Ik wil graag het volgende differentieren :
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
Wel, de kettingregel in de notatie van Leibniz zegt:quote:
Ik wil graag het volgende differentieren [ afbeelding ]:
[ afbeelding ]
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
[ afbeelding ]
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
df/dt = df/du ∙ du/dt
Je hebt df/du al bepaald en je hebt u = -r(T-t), dus nu is het niet moeilijk om ook du/dt te bepalen. Uiteraard vervang je daarna in de uitdrukking voor df/dt je u weer door -r(T-t). Ik denk dat je probleem vooral ontstaat doordat je de notaties f' en u' van Lagrange voor je afgeleiden gebruikt zonder daarbij aan te geven wat je onafhankelijke variabele is bij elk van deze afgeleiden.
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Ik bedoel hiermee dat je bijvoorbeeld u'(t) schrijft in plaats van u'. Zo zie je dat u (en dus ook de afgeleide als deze geen constante is) afhangt van de (onafhankelijke) variabele t.quote:
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Nee, dit is niet goed, je hebt du/dt = r.quote:Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
Dit linkje werkt niet in FOK. Ik zal het even voordoen, maar dan wat uitgebreider dan je het gewoonlijk op zou schrijven. Zo uitgebreid hoef je het niet op te schrijven, maar het is goed om eens een keer te zien hoe het nu precies in elkaar zit. We hebben:quote:dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
(1) f = S - k∙e-r(T-t)
Nu zien we dat het handig is om de exponent van deze e-macht als een eenheid te beschouwen, dus komen we op de volgende substitutie:
(2) u = -r(T-t)
Invullen van (2) in (1) geeft dan:
(3) f = S - k∙eu
Nu vertelt de kettingregel in de notatie van Leibniz ons dat we hebben:
(4) df/dt = df/du ∙ du/dt
We zijn geïnteresseerd in het bepalen van df/dt, en (4) geeft aan dat we df/dt kunnen vinden door eerst df/du en du/dt te bepalen en deze met elkaar te vermenigvuldigen. Welnu, uit (3) volgt dat:
(5) df/du = -k∙eu
En uit (2) volgt:
(6) du/dt = r
En dus vinden we met behulp van (4) dat:
(7) df/dt = -k∙eu∙r = -k∙r∙eu
Maar ja, nu zit die u nog in onze uitdrukking voor df/dt. We weten echter dat volgens (2) u = -r(T-t), dus kunnen we u in (7) weer vervangen door -r(T-t) en krijgen we:
(8) df/dt = -k∙r∙e-r(T-t)
Dit is wat omslachtig, maar nu zie je hopelijk hoe het precies werkt. Het is de bedoeling dat je zo bedreven wordt in het hanteren van de kettingregel bij het differentiëren, dat je de substitutie niet meer uit hoeft te voeren, maar dat je als het ware in je hoofd een 'mentale' substitutie uitvoert. Ook dit kunnen we symbolisch mooi weergeven in de notatie van Leibniz. Voor deze opgave heb je dan:
(9) df/dt = df/d(-r(T-t)) ∙ d(-r(T-t))/dt
En dus kun je direct opschrijven:
(10) df/dt = -k∙e-r(T-t)∙r
Lagrange (1736-1813) was een Frans wiskundige die de bekende notatie met primes voor de afgeleiden heeft ingevoerd, dus f'(x) voor de eerste afgeleide functie van f(x) naar x, f''(x) voor de tweede afgeleide functie van f(x) naar x en zo voort. Dit wordt natuurlijk gauw onoverzichtelijk en daarom schrijft men meestal f(n)(x) voor de n-de afgeleide functie van f(x) naar x indien n > 3. De onafhankelijke variabele (hier x) wordt ook wel weggelaten en dan schrijf je dus f' en f'' voor resp. de eerste en de tweede afgeleide functie van een functie f. Maar dan kun je niet meer zien naar welke variabele er is gedifferentieerd. De notatie van Leibniz heeft dat bezwaar niet: aan dy/dx kun je meteen zien dat het gaat om de afgeleide naar x van een (afhankelijke) variabele y die afhangt van een (onafhankelijke) variabele x.quote:Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:15:27 ]
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Die opgaven waren uit oude (school)boeken, dus dat is dan de eerste plaats waar je zou kunnen kijken. Ik heb pas ontdekt dat de UvA een deel van de collectie van het Nederlands Schoolmuseum online heeft gezet. Het gaat daarbij om een kleine 5000 titels uit voornamelijk de latere 19e eeuw. Er zitten uiteraard ook veel wiskunde titels bij, vooral (veel) vlakke meetkunde en algebra, maar ook goniometrie en analytische meetkunde en wat stereometrie (dat waren toen aparte schoolvakken). En voor de lagere school had je natuurlijk rekenkunde, veel rekenkunde (kom daar nu eens om). Differentiaal- en integraalrekening stond toen niet op het programma, dat kwam pas veel later (in de jaren '50 van de 20e eeuw).quote:Op maandag 8 oktober 2012 12:36 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Het is heel interessant om te zien wat er toen allemaal wel en niet op het programma stond, want dat levert soms inzichten op die niet stroken met de communis opinio op dit gebied. Zo kwam ik bij de algebra inderdaad de wederkerige vergelijkingen tegen, terwijl nogal eens wordt beweerd dat die in Nederland nooit op het programma van de middelbare scholen hebben gestaan. En in een boekje van Molenbroek over goniometrie komen we zowaar De Moivre tegen. Ook in de 19e eeuw stonden complexe getallen dus al op het schoolprogramma, iets wat nu al lang is vergeten.
Achter in veel van die boekjes vind je 'gemengde vraagstukken', bedoeld als herhaling van de stof, maar daar zitten ook vaak oude examenopgaven bij. Direct linken naar een pagina werkt niet, maar kijk bijvoorbeeld eens achterin dit boekje voor wat vraagstukken. Zo maar een greep:
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingeschreven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Het is de bedoeling dat je dit exact oplost en de juistheid van je antwoord aantoont zonder gebruik van elektronische hulpmiddelen, want die had niemand in 1879.
Als je wat uitdagingen van recenter datum zoekt, dan moet misschien eens kijken naar de Pythagoras Olympiade. De actuele opgaven (sluitingsdatum 31 oktober 2012) staan hier.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 02:21:33 ]
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.quote:
[..]
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingescheven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Je zit toch niet stiekem een calculator of zo te gebruiken?quote:
[..]
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.
Ja, om te checken of het aan mij lag of dat er echt geen exacte uitdrukking voor is. Ik kwam uit op tan x = 1/(3+sqrt(3)). Hadden ze daar vroeger niet één of andere rekenlat voor?quote:
[..]
Je zit toch niet stiekem een calculator of zo te gebruiken?
Achter in dat boekje staat toch hele tabel ofzo?quote:
[..]
Ja, om te checken of het aan mij lag of dat er echt geen exacte uitdrukking voor is. Ik kwam uit op tan x = 1/(3+sqrt(3)). Hadden ze daar vroeger niet één of andere rekenlat voor?
Inderdaad, er waren goniometrische tafels en ik neem aan dat die ook op het examen gebruikt mochten worden of erbij werden geleverd. Maar niettemin is er een exact antwoord mogelijk bij het vraagstuk.quote:
[..]
Achter in dat boekje staat toch hele tabel ofzo?
Deze vraag zou ook nu nog op het vwo gesteld kunnen worden, met een iets eenvoudigere goniometrische identiteit zoals eentje met 45 graden.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hieronder dan mijn uitwerking:
De driehoek is 2/3 keer zo groot als het vierkant met oppervlakte 1. Dat houdt in dat we een rechthoekige driehoek ABC hebben met een hypotenusa
Goed, nu hebben we:
a2 + b2 = 2/3
a + b = 1
dus a = 1-b
substitutie levert op:
(1-b)2 + b2 = 2/3
1 + b2 -2b + b2 = 2/3
6b2 -6b + 1 = 0
De ABC formule:
[D = b2 -4ac]
D = 36 - 24 = 12
dus b =
a =
b = 1/2 + 1/6√3
a = 1/2 - 1/6√3
Nu is dus onze hoek x dus gelijk aan:
tan x = b/a = 6b/6a
tan x = (3+√3)/(3-√3)
Vermenigvuldigen met 3+3√3:
(9+6√3 +3) / ( 9 - 3)
= (12+6√3 )/ 6
= 2+√3
Nu geldt dat:
tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan2(x))
tan(x) = 2+√3
Vul in:
Vermenigvuldigen met
Aangezien 0 < x < 90° en dus 0 < 2x < 180° is dan 2x = 150° en dus x = 75°.
Met dank aan Riparius voor het laatste stukje.
QuiteEasilyDone
[ Bericht 9% gewijzigd door #ANONIEM op 09-10-2012 16:00:11 ]
De driehoek is 2/3 keer zo groot als het vierkant met oppervlakte 1. Dat houdt in dat we een rechthoekige driehoek ABC hebben met een hypotenusa
Goed, nu hebben we:
a2 + b2 = 2/3
a + b = 1
dus a = 1-b
substitutie levert op:
(1-b)2 + b2 = 2/3
1 + b2 -2b + b2 = 2/3
6b2 -6b + 1 = 0
De ABC formule:
[D = b2 -4ac]
D = 36 - 24 = 12
dus b =
a =
b = 1/2 + 1/6√3
a = 1/2 - 1/6√3
Nu is dus onze hoek x dus gelijk aan:
tan x = b/a = 6b/6a
tan x = (3+√3)/(3-√3)
Vermenigvuldigen met 3+3√3:
(9+6√3 +3) / ( 9 - 3)
= (12+6√3 )/ 6
= 2+√3
Nu geldt dat:
tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan2(x))
tan(x) = 2+√3
Vul in:
Vermenigvuldigen met
Aangezien 0 < x < 90° en dus 0 < 2x < 180° is dan 2x = 150° en dus x = 75°.
Met dank aan Riparius voor het laatste stukje.
QuiteEasilyDone
[ Bericht 9% gewijzigd door #ANONIEM op 09-10-2012 16:00:11 ]
Hoi, vandaag voor het eerst les in afgeleide functies gehad en ik ben nu hiermee aan het oefenen. Ik zoek de afgeleide van:
R2S + T
Moet de S in deze formule als constante behandeld worden?
Ik zelf denk zelf van wel en dat het dus: 2R moet zijn.
Want in principe staat er R2 x S + T als ik het goed heb.
R2S + T
Moet de S in deze formule als constante behandeld worden?
Ik zelf denk zelf van wel en dat het dus: 2R moet zijn.
Want in principe staat er R2 x S + T als ik het goed heb.
Correct. Maar dan is het niet 2R, maar 2SR.quote:
Hoi, vandaag voor het eerst les in afgeleide functies gehad en ik ben nu hiermee aan het oefenen. Ik zoek de afgeleide van:
R2S + T
Moet de S in deze formule als constante behandeld worden?
Ik zelf denk zelf van wel en dat het dus: 2R moet zijn.
Want in principe staat er R2 x S + T als ik het goed heb.
Zonder verdere gegevens weet je niet of R,S, of T de variabele is (of dat er wellicht meerdere variabelen zijn). Als R de variabele is, dan is de afgeleide naar R gelijk aan 2RS. Als S de variabele is, dan R², en als T de variabele is dan is de afgeleide 1.quote:
Hoi, vandaag voor het eerst les in afgeleide functies gehad en ik ben nu hiermee aan het oefenen. Ik zoek de afgeleide van:
R2S + T
Moet de S in deze formule als constante behandeld worden?
Ik zelf denk zelf van wel en dat het dus: 2R moet zijn.
Want in principe staat er R2 x S + T als ik het goed heb.
Tja, dat is erg flauw (of misschien sarcastisch bedoeld als indicatie van het huidige niveau) want als de hoek van de zijde van het ingeschreven vierkant met het grote vierkant 45 graden bedraagt dan is de oppervlakte van het ingeschreven vierkant precies de helft van het grote vierkant en omgekeerd. En dat wist Plato ook al.quote:Op maandag 8 oktober 2012 22:17 schreef GlowMouse het volgende:
Deze vraag zou ook nu nog op het vwo gesteld kunnen worden, met een iets eenvoudigere goniometrische identiteit zoals eentje met 45 graden.
Meestal staat er iets in de trant van:quote:
Hoi, vandaag voor het eerst les in afgeleide functies gehad en ik ben nu hiermee aan het oefenen. Ik zoek de afgeleide van:
R2S + T
Moet de S in deze formule als constante behandeld worden?
Ik zelf denk zelf van wel en dat het dus: 2R moet zijn.
Want in principe staat er R2 x S + T als ik het goed heb.
Bereken de afgeleide van
Hier is expliciet vermeld dat f een functie van x is, dus is het gewoonlijk de bedoeling om naar x te differentiëren, dat wil zeggen: de andere variabelen als constant beschouwen. Soms gebruikt men ook wel de notatie:
Nou, wij hebben vandaag 3 methoden kort behandeld: Som, Quotiënt en product.
Y = (f)R = Pr2 + Qr / r2S + T
Hierbij is Quotiënt van toepassing.
Afgeleide 1e gedeelte = 2PR + Q
Afgeleide 2e gedeelte = 2R? of 2SR
Y = (f)R = Pr2 + Qr / r2S + T
Hierbij is Quotiënt van toepassing.
Afgeleide 1e gedeelte = 2PR + Q
Afgeleide 2e gedeelte = 2R? of 2SR
Heb je de reacties wel gelezen?quote:
Nou, wij hebben vandaag 3 methoden kort behandeld: Som, Quotiënt en product.
Y = (f)R = Pr2 + Qr / r2S + T
Hierbij is Quotiënt van toepassing.
Afgeleide 1e gedeelte = 2PR + Q
Afgeleide 2e gedeelte = 2R? of 2SR
Wel de haakjes correct gebruiken. Je bedoelt:quote:
Nou, wij hebben vandaag 3 methoden kort behandeld: Som, Quotiënt en product.
Y = (f)R = Pr2 + Qr / r2S + T
Hierbij is Quotiënt van toepassing.
Afgeleide 1e gedeelte = 2PR + Q
Afgeleide 2e gedeelte = 2R? of 2SR
Y = f(r) = Pr2 + Qr / r2S + T
Y is dus een functie van r en het is de bedoeling om de afgeleide van Y naar r te bepalen, dus dY/dr (notatie van Leibniz) oftewel f'(r) (notatie van Lagrange). Maar je moet hier beter niet met de quotiëntregel gaan werken. Gebruik de quotiëntregel alleen als het niet anders kan. En ja, het kán anders.
Oke, het is duidelijk.
De afgeleide van de noemer is 2RS.
Andere methoden als de quotiëntregel zullen we de volgende les wel krijgen dan.
De afgeleide van de noemer is 2RS.
Andere methoden als de quotiëntregel zullen we de volgende les wel krijgen dan.
Laat me je vertellen dat het niveau bedroevend is. Je denkt vast dat ik slechts een middelmatige leerling ben, maar van mijn school ben ik veruit de meest bedreven danwel gemotiveerde wiskundeleerling. Zelfs met een hoek van 45° zou 9/10 er nog niet uitkomen.quote:
[..]
Tja, dat is erg flauw (of misschien sarcastisch bedoeld als indicatie van het huidige niveau) want als de hoek van de zijde van het ingeschreven vierkant met het grote vierkant 45 graden bedraagt dan is de oppervlakte van het ingeschreven vierkant precies de helft van het grote vierkant en omgekeerd. En dat wist Plato ook al.
Goed, ik moet wel bekennen dat ik een van de weinige vwo'ers ben tussen de havisten. Desalniettemin blijft het niveau treurig.
En om nog even terug te komen op de lesstof: De Moivre en een inleiding tot complexe getallen wordt behandeld in wiskunde D, vwo. Optioneel dus.
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 09-10-2012 00:31:44 ]
Nou, ik betwijfel of je hetgeen je tot nu toe geleerd hebt dan wel begrepen hebt, of is het de bedoeling veel moeilijker te doen dan nodig?quote:
Oke, het is duidelijk.
De afgeleide van de noemer is 2RS.
Andere methoden als de quotiëntregel zullen we de volgende les wel krijgen dan.
Ik neem aan dat je toch wel weet dat als:
f(r) = rn
dat dan geldt:
f'(r) = n∙rn-1
En je kent neem ik aan ook bepaalde rekenregels voor het werken met machten, bijvoorbeeld:
rm/rn = rm-n
Zo zou je kunnen zien dat je hebt:
f(r) = P∙r2 + (Q/S)∙r-1 + T
Probeer nu nog eens f'(r) te bepalen.
Riparius, ik vrees dat zijn formule er zo uitziet:
Of heb ik dit mis?
(Ondanks dat zijn haakjes anders impliceren, of beter gebrek aan)
[ Bericht 11% gewijzigd door #ANONIEM op 08-10-2012 23:48:07 ]
Of heb ik dit mis?
(Ondanks dat zijn haakjes anders impliceren, of beter gebrek aan)
[ Bericht 11% gewijzigd door #ANONIEM op 08-10-2012 23:48:07 ]
De uitwerking is correct, maar het is duidelijk dat een algebraïsche aanpak nogal wat rekenwerk oplevert.quote:Op maandag 8 oktober 2012 22:22 schreef Amoeba het volgende:
Hieronder dan mijn uitwerking:
[snip]
Met dank aan Riparius voor het laatste stukje.
De tangens 2 + √3 óf 2 - √3 van de gevraagde hoek is geen 'standaardwaarde', zodat de hoek moest worden opgezocht in een goniometrische tafel. Tegenwoordig gebruiken we daar uiteraard de arctan functie op de rekenmachine voor, en dan vinden we vlot dat arctan(2 + √3) = 75° resp. dat arctan(2 - √3) = 15°. De zijden van het grote vierkant worden door de hoekpunten van het ingeschreven vierkant elk in twee delen verdeeld, en de opgave heeft dan ook twee mogelijke uitkomsten, omdat niet geheel duidelijk is of de hoek van de zijde van het ingeschreven vierkant met het grootste of met het kleinste deel van de zijde van het grote vierkant wordt bedoeld. Maar deze hoeken zijn uiteraard complementair. Het bewijs dat de gevraagde hoek inderdaad exact 15° (= 45° - 30°) dan wel 75° (= 45° + 30°) bedraagt kan dan worden geleverd door aan de hand van de som of verschilformules voor de tangens en de 'standaardwaarden' tan 30° = (1/3)∙√3 en tan 45° = 1 te laten zien dat tan 15° = 2 - √3 resp. dat tan 75° = 2 + √3.
Eenvoudiger gaat het met een meetkundige beschouwing. De vier rechthoekige driehoeken die met het ingeschreven vierkant het grote vierkant vormen hebben samen een oppervlakte van 1/3 deel van het grote vierkant. Voegen we nu in de figuur nog vier hiermee congruente rechthoekige driehoeken toe zodanig dat de schuine zijden van de toegevoegde driehoeken elk tegen één van de schuine zijden van de reeds aanwezige rechthoekige driehoeken komen te liggen, dan beslaan de 8 rechthoekige driehoeken samen 2/3 deel van de oppervlakte van het grote vierkant en resteert in het centrum van het grote vierkant nog een klein vierkant waarvan de zijden evenwijdig zijn met die van het grote vierkant. De oppervlakte van dit kleine vierkant bedraagt dus 1/3 deel van die van het grote vierkant zodat de lengte van de zijde van dit kleine vierkant zich tot die van het grote vierkant verhoudt als √(1/3) : √1 = (1/3)∙√3 : 1.
Trekken we nu een diagonaal van het ingeschreven vierkant, dan hebben we in de figuur een rechthoekige driehoek waarvan deze diagonaal de hypotenusa vormt. De lengte van de diagonaal van het ingeschreven vierkant, en dus van de hypotenusa van deze rechthoekige driehoek, is (2/3)∙√3 maal de zijde van het grote vierkant, terwijl de rechthoekszijden van deze rechthoekige driehoek gelijk zijn aan de resp. de zijde van het grote vierkant en de zijde van het kleine centrale vierkant, oftewel 1 maal en (1/3)∙√3 maal de zijde van het grote vierkant. Deze rechthoekige driehoek vormt dus de helft van een gelijkzijdige driehoek, zodat de scherpe hoeken van deze rechthoekige driehoek 60° en 30° zijn. Maar dan volgt uit de figuur direct dat de zijde van het ingeschreven vierkant met het langste deel van de zijde van het grote vierkant een hoek vormt van 60° - 45° = 15° resp. dat de zijde van het ingeschreven vierkant met het kortste deel van de zijde van het grote vierkant een hoek vormt van 45° + 30° = 75°, QED.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 04:33:41 ]
Ah, op die manier. Maar goed, dan had hij inderdaad haakjes moeten gebruiken. En dan wordt het uiteraard wel een kwestie van de quotiëntregel gebruiken en krijgen we:quote:
Riparius, ik vrees dat zijn formule er zo uitziet:
Of heb ik dit mis?
(Ondanks dat zijn haakjes anders impliceren, of beter gebrek aan)
f'(r) = (-QSr2 + 2PTr + QT)/(Sr2 + T)2
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 01:45:06 ]
Nog even een aanvulling. Ik bedacht dat het nog korter kan als je gebruik maakt van Pythagoras:quote:
De diagonalen AC en BD van het ingeschreven vierkant ABCD met een oppervlakte van 2/3 deel van de oppervlakte van het grote vierkant hebben een lengte van √2∙√(2/3) = (2/3)∙√3 maal de lengte van de zijde van het grote vierkant. Laten we nu vanuit punt A een loodlijn neer op de tegenoverliggende zijde van het grote vierkant en is P het voetpunt van deze loodlijn, dan heeft lijnstuk PC volgens Pythagoras een lengte van (1/3)∙√3 maal de lengte van de zijde van het grote vierkant, zodat PC = ½∙AC. De rechthoekige driehoek ACP is dus de helft van een gelijkzijdige driehoek, zodat ∠ACP = 60°. Nu is ook ∠ACD = 45° en dus is ∠DCP = ∠ACP - ∠ACD = 60° - 45° = 15°, QED.
[ Bericht 10% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 21:50:27 ]
Ik heb een vraag over lineaire afhankelijkheid van vectoren ( lineaire algebra).
In mijn boek staat dat als je een matrix A en een vector x hebt en Ax=0, en je rij-reduceert deze matrix naar een matrix H zodat Hx=0, als de i'de kolom van H dan geen zogenaamde ''pivot'' heeft, dan is de i'de kolomvector van A lineair afhankelijk. Waarom is dit? Ik snap niet hoe je dat kunt zeggen over de kolomvectoren van A terwijl je kijkt naar H. Als je elementaire rij operaties uitvoert op A om H te krijgen, danverander je toch de kolomvectoren steeds?(bij elke rijoperatie verander je toch dezelfde component (bijvoorbeeld de x-component van alle vectoren) van alle kolomvectoren?)
danku
In mijn boek staat dat als je een matrix A en een vector x hebt en Ax=0, en je rij-reduceert deze matrix naar een matrix H zodat Hx=0, als de i'de kolom van H dan geen zogenaamde ''pivot'' heeft, dan is de i'de kolomvector van A lineair afhankelijk. Waarom is dit? Ik snap niet hoe je dat kunt zeggen over de kolomvectoren van A terwijl je kijkt naar H. Als je elementaire rij operaties uitvoert op A om H te krijgen, danverander je toch de kolomvectoren steeds?(bij elke rijoperatie verander je toch dezelfde component (bijvoorbeeld de x-component van alle vectoren) van alle kolomvectoren?)
danku
Je vergeet te noemen dat x geen 0 mag zijn en dat H in echelonvorm moet staan.quote:
Ik heb een vraag over lineaire afhankelijkheid van vectoren ( lineaire algebra).
In mijn boek staat dat als je een matrix A en een vector x hebt en Ax=0, en je rij-reduceert deze matrix naar een matrix H zodat Hx=0, als de i'de kolom van H dan geen zogenaamde ''pivot'' heeft, dan is de i'de kolomvector van A lineair afhankelijk. Waarom is dit? Ik snap niet hoe je dat kunt zeggen over de kolomvectoren van A terwijl je kijkt naar H. Als je elementaire rij operaties uitvoert op A om H te krijgen, danverander je toch de kolomvectoren steeds?(bij elke rijoperatie verander je toch dezelfde component (bijvoorbeeld de x-component van alle vectoren) van alle kolomvectoren?)
Door ero's veranderen de kolomvectoren inderdaad, maar lineaire afhankelijkheden tussen de kolommen veranderen niet. Dat zie je zelf ook al omdat je dezelfde x gebruikt.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Een vraag over getaltheorie. De opgave is: bereken de 70e decimaal van 1/141. Ik weet dat breuken een periodieke decimaalontwikkeling hebben, dus ik begon met het berekenen van de minimale periode (oftewel de orde van 10 modulo 141). Die moet een deler zijn van het aantal inverteerbare restklassen modulo 141, dus die heb ik berekend.
Dit is te berekenen met de Euler totiënt-functie, die multiplicatief is, dus ik heb gedaan: ϕ(141) = ϕ(3)ϕ(47). Dit zijn beide priemgetallen, en voor priemmachten geldt ϕ(pk) = pk - pk-1, dus ϕ(141) = 2 * 46 = 92. Dus ord141(100)|141.
Dus ik bereken achtereenvolgend: 102, 104, 1023, 1046, en jawel 1046 = 1 (mod 141). Dus de periode van 1/141 is 46.
Nou moet ik het 70e decimaal berekenen. Nu komt dat dus overeen met het 24e decimaal, maar dan moet ik alsnog 24 decimalen berekenen, ik weet niet of dat de bedoeling is. Weet iemand een betere manier? (Misschien ook in het voorgaande, dat was ook allemaal nog wat omslachtig en een beetje gevoelig voor rekenfouten)
Dit is te berekenen met de Euler totiënt-functie, die multiplicatief is, dus ik heb gedaan: ϕ(141) = ϕ(3)ϕ(47). Dit zijn beide priemgetallen, en voor priemmachten geldt ϕ(pk) = pk - pk-1, dus ϕ(141) = 2 * 46 = 92. Dus ord141(100)|141.
Dus ik bereken achtereenvolgend: 102, 104, 1023, 1046, en jawel 1046 = 1 (mod 141). Dus de periode van 1/141 is 46.
Nou moet ik het 70e decimaal berekenen. Nu komt dat dus overeen met het 24e decimaal, maar dan moet ik alsnog 24 decimalen berekenen, ik weet niet of dat de bedoeling is. Weet iemand een betere manier? (Misschien ook in het voorgaande, dat was ook allemaal nog wat omslachtig en een beetje gevoelig voor rekenfouten)
Sorry maar ik zie dit dus niet ( dat de lineaire afhankelijkheiden tussen de kolommen niet veranderen). Zou je dit uit kunnen leggen?quote:
[..]
Je vergeet te noemen dat x geen 0 mag zijn en dat H in echelonvorm moet staan.
Door ero's veranderen de kolomvectoren inderdaad, maar lineaire afhankelijkheden tussen de kolommen veranderen niet. Dat zie je zelf ook al omdat je dezelfde x gebruikt.
Ik betwijfel of er manieren zijn die heel veel beter zijn dan dit. Waar komt de opgave vandaan?quote:Op woensdag 10 oktober 2012 13:48 schreef kutkloon7 het volgende:
Een vraag over getaltheorie. De opgave is: bereken de 70e decimaal van 1/141. Ik weet dat breuken een periodieke decimaalontwikkeling hebben, dus ik begon met het berekenen van de minimale periode (oftewel de orde van 10 modulo 141). Die moet een deler zijn van het aantal inverteerbare restklassen modulo 141, dus die heb ik berekend.
Dit is te berekenen met de Euler totiënt-functie, die multiplicatief is, dus ik heb gedaan: ϕ(141) = ϕ(3)ϕ(47). Dit zijn beide priemgetallen, en voor priemmachten geldt ϕ(pk) = pk - pk-1, dus ϕ(141) = 2 * 46 = 92. Dus ord141(100)|141.
Dus ik bereken achtereenvolgend: 102, 104, 1023, 1046, en jawel 1046 = 1 (mod 141). Dus de periode van 1/141 is 46.
Nou moet ik het 70e decimaal berekenen. Nu komt dat dus overeen met het 24e decimaal, maar dan moet ik alsnog 24 decimalen berekenen, ik weet niet of dat de bedoeling is. Weet iemand een betere manier? (Misschien ook in het voorgaande, dat was ook allemaal nog wat omslachtig en een beetje gevoelig voor rekenfouten)
probeer het eens uit met een 2x2 matrix, en schrijf de tweede kolom als een constante maal de eerste kolom.quote:
[..]
Sorry maar ik zie dit dus niet ( dat de lineaire afhankelijkheiden tussen de kolommen niet veranderen). Zou je dit uit kunnen leggen?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Uit een oud tentamen getaltheorie, opgave 2d.quote:
[..]
Ik betwijfel of er manieren zijn die heel veel beter zijn dan dit. Waar komt de opgave vandaan?
En ik zie nu ook dat de vraag erboven is:
Nu wordt het opeens een stuk makkelijkerquote:Wat is het kleinste getal a zodat:
1070 = a (mod 141)
Ik had de vraag even los opgeschreven, daarom had ik b niet gezien...
Dus, nu heb je 1070 = 37 (mod 141). Maar we willen eigenlijk 1069 (mod 141) weten. 1069 = 46 (mod 141). Dus dan hebben we voor het 70e decimaal:
460/141 = 3 + rest
Dus, het 70e decimaal (of is het nou de decimaal?) is 3. Dat klopt met wat wolfram alpha zegt (al moet je daar om de 68e vragen omdat ie de eerste 2 nullen niet meetelt).
(Ik ga er bij deze uitleg vanuit dat de lezer weet hoe je een breuk in decimale vorm kan zetten)
[ Bericht 10% gewijzigd door kutkloon7 op 11-10-2012 00:10:55 ]
Volgende probleem:
"Let f be a function from A to B, let S be a subset of B, then
.
Prove the following: let G be a collection of subsets
of B, such that this collection is a sigma-algebra. Prove that the collection
of inverse images of elements of G is a sigma-algebra of subsets of A."
Ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken, iemand een tip hoe ik kan starten?
"Let f be a function from A to B, let S be a subset of B, then
Prove the following: let G be a collection of subsets
of B, such that this collection is a sigma-algebra. Prove that the collection
of inverse images of elements of G is a sigma-algebra of subsets of A."
Ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken, iemand een tip hoe ik kan starten?
- Wat is het inversebeeld van de lege verzameling?quote:
Volgende probleem:
"Let f be a function from A to B, let S be a subset of B, then
Prove the following: let G be a collection of subsets
of B, such that this collection is a sigma-algebra. Prove that the collection
of inverse images of elements of G is a sigma-algebra of subsets of A."
Ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken, iemand een tip hoe ik kan starten?
- Je moet checken (of weten) dat f-1 verenigingen en complementen "respecteert" (d.w.z. je mag ze omwisselen).
Ik loop vast bij de volgende vergelijking
(Dus Integraal(a,0) f(x) dx = f(a) )
Met tevens extra gegeven x=/=0
Hierbij moet a<0
Onbepaalde integraal van f(x) is -e1/x, dus levert dit up
-e1/0 - -e1/a = f(a)
Maar -e1/0 bestaat niet, of mag ik hier de (linker)limiet nemen (want je gaat vanuit a naar nul, dus vanuit links)
(Dus Integraal(a,0) f(x) dx = f(a) )
Met tevens extra gegeven x=/=0
Hierbij moet a<0
Onbepaalde integraal van f(x) is -e1/x, dus levert dit up
-e1/0 - -e1/a = f(a)
Maar -e1/0 bestaat niet, of mag ik hier de (linker)limiet nemen (want je gaat vanuit a naar nul, dus vanuit links)
Schrijf de integraal om naar een stieltjesintegraal met (1/x) als maat.
∫ e1/x/x2 =
∫ (e1/x) * 1/x2 =
∫e1/x d(-1/x) (want een primitieve van 1/x2 = -1/x)
= ∫ e-1/x d(1/x)
= F(x) = -e-1/x
Als x van boven nadert naar 0, dan nadert -1/x naar -∞, en nadert -e-1/x naar 0. Maar omdat 0 nu hier limsup is moet je ipv [F(x)]0a nu -[F(x)]a0 nemen, want dan kan je bovenstaande toepassen voor het evalueren van de limiet van x naar -∞ voor ex.
Dan blijft alleen limsup over om te evalueren en dat is een kwestie van botweg a invullen
[ Bericht 10% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 16:21:49 ]
∫ e1/x/x2 =
∫ (e1/x) * 1/x2 =
∫e1/x d(-1/x) (want een primitieve van 1/x2 = -1/x)
= ∫ e-1/x d(1/x)
= F(x) = -e-1/x
Als x van boven nadert naar 0, dan nadert -1/x naar -∞, en nadert -e-1/x naar 0. Maar omdat 0 nu hier limsup is moet je ipv [F(x)]0a nu -[F(x)]a0 nemen, want dan kan je bovenstaande toepassen voor het evalueren van de limiet van x naar -∞ voor ex.
Dan blijft alleen limsup over om te evalueren en dat is een kwestie van botweg a invullen
[ Bericht 10% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 16:21:49 ]
Die Stieltjes integraal is gewoon een fancy manier om de substitutie y=1/x te doen, toch? Ik zou niet veronderstellen dat de vraagsteller maattheorie gehad heeft.
Dat hoeft ook niet (direct) want je mag er wel vanuit gaan dat Fsmxi de substitutietechiniek in 1 of andere vorm gehad heeft als hij dit soort integralen voor zn kiezen krijgt. De Stieltjesnotatie gebruik ik vooral omdat deze meer overzicht geeft bij het uitwerken van integralen die directe substitutie en/of partiële integratie behoeven.
Ik wou hem er alleen op attenderen.quote:Op zondag 14 oktober 2012 19:26 schreef VanishedEntity het volgende:
Dat hoeft ook niet (direct) want je mag er wel vanuit gaan dat Fsmxi de substitutietechiniek in 1 of andere vorm gehad heeft als hij dit soort integralen voor zn kiezen krijgt. De Stieltjesnotatie gebruik ik vooral omdat deze meer overzicht geeft bij het uitwerken van integralen die directe substitutie en/of partiële integratie behoeven.
Hoi,
Ik zoek de partiële afgeleide van de volgende 2 functies waarbij A variabel is en B constant:
1
g(A,B) = (A-B)ea – b
Zelf denk ik dat het dit is:
(1-B) * ea – b + ea – b *-B * (A-B)
2
h(A,B) = ln(A+B) /(3A+3B)
Zelf denk ik dat het dit is:
1/A + B * (3A+3B) – 3 * ln(A+B) / (3A+3B)2
Zoals jullie vast wel zien maak ik gebruik van de product- en quotientregel!
Is dit juist?
Ik zoek de partiële afgeleide van de volgende 2 functies waarbij A variabel is en B constant:
1
g(A,B) = (A-B)ea – b
Zelf denk ik dat het dit is:
(1-B) * ea – b + ea – b *-B * (A-B)
2
h(A,B) = ln(A+B) /(3A+3B)
Zelf denk ik dat het dit is:
1/A + B * (3A+3B) – 3 * ln(A+B) / (3A+3B)2
Zoals jullie vast wel zien maak ik gebruik van de product- en quotientregel!
Is dit juist?
1.) G(a,b) = (a-b)*ea-b
δG/δa = ea-b + (a-b)*ea-b (de afgeleide van a naar a = 1)
vergelijk (x*ex)' = ex + x*ex = (1+x)*ex
2.) H(a,b) = ln(a+b)/(3a+3b) = ln(a+b)/3(a+b) = 1/3 * ln(a+b)/(a+b)
δH/δa = 1/3 * (1 - ln(a+b))/(a+b)2 = (1 - ln(a+b))/3(a+b)2 =
1 - ln(a+b)
-----------------------
3(a+b)2
vergelijk (x-1*lnx)' = (1-lnx)/x2
[ Bericht 4% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 21:38:25 ]
δG/δa = ea-b + (a-b)*ea-b (de afgeleide van a naar a = 1)
vergelijk (x*ex)' = ex + x*ex = (1+x)*ex
2.) H(a,b) = ln(a+b)/(3a+3b) = ln(a+b)/3(a+b) = 1/3 * ln(a+b)/(a+b)
δH/δa = 1/3 * (1 - ln(a+b))/(a+b)2 = (1 - ln(a+b))/3(a+b)2 =
1 - ln(a+b)
-----------------------
3(a+b)2
vergelijk (x-1*lnx)' = (1-lnx)/x2
[ Bericht 4% gewijzigd door VanishedEntity op 14-10-2012 21:38:25 ]
Dus als ik het goed begrijp:
1
De afgeleide van ea-b = ea-b
De afgeleide van (a-b) = 1 en hoeft dus niet genoteerd te worden
2
Met betrekking tot de 2e kan ik je niet volgen.
Zo denk ik:
F(A,B) = ln(A+B)
F(A,B)´ = 1/ (a+b)
G(A,B) = 3A+3B
G(A,B)´ = 3
1
De afgeleide van ea-b = ea-b
De afgeleide van (a-b) = 1 en hoeft dus niet genoteerd te worden
2
Met betrekking tot de 2e kan ik je niet volgen.
Zo denk ik:
F(A,B) = ln(A+B)
F(A,B)´ = 1/ (a+b)
G(A,B) = 3A+3B
G(A,B)´ = 3
Nee, goed kijken. Jij zoekt de partiële afgeleiden van de volgende 2 functies waarbij a variabel is en b constant. Anders gezegd; van de volgende 2 functies hoeft alleen de afgeleide naar a bepaald te worden. Vandaar dat ik niet de notatie dG(a)/da maar δG/δa gebruikt heb.
Als we dus de functie (a-b)*ea-b hebben en we moeten de afgeleide naar a bepalen, dan moeten we a als variabele beschouwen en b constant houden, oftewel alles waar een a in zit moet gedifferentieerd worden. Voor vraag 1 betekent dat zowel de productregel als de kettingregel gebruiken.
Dat houdt concreet in dat (a-b)*ea-b = (a-b)' *ea-b + (a-b)*(ea-b)' , en omdat de afgeleide van (a-b) naar a dus 1 is, reduceert dit tot ea-b + (a-b)*ea-b oftewel (1+a-b)*ea-b
Voor vraag 2 schijn je het stukje elementaire algebra dat ik op de noemer heb toegepast gemist te hebben.
Van ln(a+b)/(3a+3b) maak ik vervolgens ln(a+b)/(3(a+b)) om daarna op 1/3 * ln(a+b)/(a+b) uit te komen, zodat ik voor het differentieren naar a niet meer met die 3 hoef te rekenen. Die voeg ik dan later weer in de noemer zodra ik klaar ben met het toepassen van de quotiëntregel. Dit geeft:
(ln(a+b))' *(a+b) - (a+b)' *ln(a+b)
------------------------------------------------
3(a+b)(a+b)
=
(1/(a+b))*(a+b) - 1*ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)2
=
1 - ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)2
[ Bericht 1% gewijzigd door VanishedEntity op 15-10-2012 16:32:40 ]
Als we dus de functie (a-b)*ea-b hebben en we moeten de afgeleide naar a bepalen, dan moeten we a als variabele beschouwen en b constant houden, oftewel alles waar een a in zit moet gedifferentieerd worden. Voor vraag 1 betekent dat zowel de productregel als de kettingregel gebruiken.
Dat houdt concreet in dat (a-b)*ea-b = (a-b)' *ea-b + (a-b)*(ea-b)' , en omdat de afgeleide van (a-b) naar a dus 1 is, reduceert dit tot ea-b + (a-b)*ea-b oftewel (1+a-b)*ea-b
Voor vraag 2 schijn je het stukje elementaire algebra dat ik op de noemer heb toegepast gemist te hebben.
Van ln(a+b)/(3a+3b) maak ik vervolgens ln(a+b)/(3(a+b)) om daarna op 1/3 * ln(a+b)/(a+b) uit te komen, zodat ik voor het differentieren naar a niet meer met die 3 hoef te rekenen. Die voeg ik dan later weer in de noemer zodra ik klaar ben met het toepassen van de quotiëntregel. Dit geeft:
(ln(a+b))' *(a+b) - (a+b)' *ln(a+b)
------------------------------------------------
3(a+b)(a+b)
=
(1/(a+b))*(a+b) - 1*ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)2
=
1 - ln(a+b)
-----------------------------------------
3*(a+b)2
[ Bericht 1% gewijzigd door VanishedEntity op 15-10-2012 16:32:40 ]
Ja, toch wel, want je functie G(a,b) = (a-b)∙ea-b is niet symmetrisch in a en b zodat je ∂G/∂b niet kunt verkrijgen door a en b om te wisselen in de uitdrukking voor ∂G/∂a.quote:
En wanneer we de afgeleide naar b willen (wordt niet gevraagd) verandert er in principe niets?
Mwoah, zoveel verandert er ook weer niet hoor. Het enige waar je extra rekening mee moet houden is de extra factor -1 die voortvloeit uit d(-b)/db = -1*db/db= -1 waardoor de factor (1+a-b) in δG/δb in teken omklapt. Dat speelt bij δH/δb geen rol omdat daar zowel a als b positief zijn.
Kan iemand me helpen met een beetje notatie? Uit een opgave:
"...gebruik het isomorfisme tussen A5 en Isom+(D)..."
Wat houdt deze laatste groep in?
Er staat verder geen context bij. Ik dacht zelf aan de dihedrale groep, maar dan zou er eigenlijk een getal bij moeten staan om aan te geven welke dihedrale groep er bedoeld wordt, en volgens mij is geen dihedrale groep isomorf met A5 (waarmee overigens de alternerende groep bedoeld wordt, de symmetriegroep met alle even permutaties).
"...gebruik het isomorfisme tussen A5 en Isom+(D)..."
Wat houdt deze laatste groep in?
Er staat verder geen context bij. Ik dacht zelf aan de dihedrale groep, maar dan zou er eigenlijk een getal bij moeten staan om aan te geven welke dihedrale groep er bedoeld wordt, en volgens mij is geen dihedrale groep isomorf met A5 (waarmee overigens de alternerende groep bedoeld wordt, de symmetriegroep met alle even permutaties).
Ik moet x^2 + 3xy + y^2 = 5 impliciet gaan differentieren.
Ik twijfel echter tussen 2 antwoorden.
Namelijk: 2x +3 y + 3xy' + 2y' = 0
of 2x + 3y +3xy' + 2yy' =0
Ik twijfel echter tussen 2 antwoorden.
Namelijk: 2x +3 y + 3xy' + 2y' = 0
of 2x + 3y +3xy' + 2yy' =0
Dan moet je er wel bij vertellen welke variabele je als onafhankelijke variabele wil beschouwen.quote:
Ik moet x^2 + 3xy + y^2 = 5 impliciet gaan differentieren.
Je beschouwt kennelijk y als functie van x. Bij het bepalen van de afgeleide van 3xy = 3x∙y(x) naar x pas je (correct) de productregel toe. Maar dan moet je dat ook doen bij y2 = y(x)∙y(x). Wat krijg je dan?quote:Ik twijfel echter tussen 2 antwoorden.
Namelijk: 2x +3 y + 3xy' + 2y' = 0
of 2x + 3y +3xy' + 2yy' =0
In de opgave staat er : bepaal de eerste afgeleide van y (y') in het punt (1,1) door impliciet differetieren van x^2 + 3xy + y^2 = 5quote:
[..]
Dan moet je er wel bij vertellen welke variabele je als onafhankelijke variabele wil beschouwen.
[..]
Je beschouwt kennelijk y als functie van x. Bij het bepalen van de afgeleide van 3xy = 3x∙y(x) naar x pas je (correct) de productregel toe. Maar dan moet je dat ook doen bij y2 = y(x)∙y(x). Wat krijg je dan?
Dat is toch geen probleem? Impliciet differentiëren naar x geeft:quote:
[..]
In de opgave staat er : bepaal de eerste afgeleide van y (y') in het punt (1,1) door impliciet differentiëren van x2 + 3xy + y2 = 5
2x + 3y +3xy' + 2yy' = 0
Nu x = 1 en y = 1 substitueren en we krijgen:
2 + 3 + 3y' + 2y' = 0
Dus:
y' = -1
Nu kun je desgewenst ook gemakkelijk de vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt (1;1) opstellen.
