abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_117662892
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 16:40 schreef RealMadrid10 het volgende:
Nee sorry, nooit gehad.
Wel, je had al gevonden dat h'(x) = 0 voor x = -1/2 of voor x = -1/2. Teken nu een horizontale getallenlijn en geef daarop de punten x = -1/2 en x = 1/2 aan. Zet daar nullen boven en zet + en - tekens boven de lijn daar waar de eerste afgeleide positief resp. negatief is, en een asterisk bij x = 0 waar de afgeleide niet gedefinieerd is. Dan krijg je dus zoiets:

1
2
3
++++++++++++++++++++0------------*------------0++++++++++++++++++++
____________________|____________|____________|____________________
                  -1/2           0           1/2

Nu zie je dat de eerste afgeleide h'(x) wisselt van positief naar negatief als we (komende van links) de waarde x = -1/2 passeren. Dat betekent dat de curve, dus de grafiek van h(x) zelf, stijgt (positieve afgeleide) totdat we bij x = -1/2 zitten en dat de curve daarna weer daalt, omdat de afgeleide voorbij x = -1/2 negatief is. Zo kun je zien dat de curve kennelijk een locaal hoogste punt bereikt voor x = -1/2. De waarde van dit locale maximum is h(-1/2) = -4. Op dezelfde manier kun je uit het tekenschema aflezen dat de functie bij x = 1/2 juist een locaal minimum bereikt, want net links van x = 1/2 is de afgeleide nog negatief, dus daalt de curve van h(x), maar net voorbij x = 1/2 is de afgeleide weer positief, dus stijgt de curve van h(x) daar weer. Ergo: we hebben een locaal minimum voor x = 1/2 en de waarde daarvan is h(1/2) = 4.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:02:07 ]
pi_117662984
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 16:52 schreef RealMadrid10 het volgende:
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?
pi_117663210
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 16:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.
Als F` = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
  zaterdag 6 oktober 2012 @ 17:05:56 #229
75592 GlowMouse
l'état, c'est moi
pi_117663221
convexe
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
pi_117663295
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:05 schreef RealMadrid10 het volgende:

[..]

Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.
quote:
Als F' = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.
pi_117663310
quote:
14s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:05 schreef GlowMouse het volgende:
convexe
Klopt!

Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
pi_117663343
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.

[..]

Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
pi_117663613
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:09 schreef RealMadrid10 het volgende:

[..]

Klopt!

Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
Als je hebt gevonden voor welke waarde(n) van x je functie h(x) een minimum of een maximum bereikt, dan kun je de waarde van dat minimum resp. maximum toch gewoon berekenen door de gevonden waarde(n) van x in te vullen in het functievoorschrift van je functie h(x) ? Wat begrijp je hier niet aan? De verticale positie van een punt op de grafiek voor elke x = x0 is immers de functiewaarde h(x0).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-10-2012 01:54:24 ]
pi_117663665
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:11 schreef RealMadrid10 het volgende:

[..]

Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?
pi_117664001
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?
Ja.

De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
pi_117664579
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 17:34 schreef RealMadrid10 het volgende:

[..]

Ja.

De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
Dat klopt nog, maar preciezer is het om te spreken van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt van de grafiek van de functie.
quote:
De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Dat is op zijn minst erg onduidelijk uitgedrukt, en ik zou een dergelijk antwoord bij een examen niet goed rekenen.

Maar inderdaad geeft de afgeleide van de afgeleide in een punt x = x0 aan of de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek daalt of stijgt in de omgeving van dat punt x = x0. Kijk nog eens naar het tekenschema van de afgeleide h'(x) van je functie h(x) = 4x + 1/x hierboven. De afgeleide h'(x) gaat van positief naar negatief bij x = -1/2 en daalt dus in de omgeving van x = -1/2, en dat impliceert dat h''(-1/2) < 0. Omgekeerd gaat de afgeleide h'(x) van negatief naar positief bij x = 1/2. De afgeleide h'(x) stijgt dus in de omgeving van x = 1/2 en dat impliceert dat h''(1/2) > 0.
quote:
Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
Deze redenering rammelt. Als je eerst de waarden van x hebt bepaald waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul, dan is het een dooddoener om te zeggen dat de eerste afgeleide voor die waarden van x niet negatief kan zijn. En je bewering de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen is onjuist. Tenslotte moet je niet zeggen dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in het punt x = 0 als de afgeleide (ergens) nul is want dat hoeft helemaal niet zo te zijn. Je bedoelt hier kennelijk dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in een punt x = x0 als de eerste afgeleide van die functie nul is voor x = x0.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 06-10-2012 22:26:36 ]
pi_117669732
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
  zaterdag 6 oktober 2012 @ 20:52:23 #238
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_117669983
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 20:47 schreef RealMadrid10 het volgende:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Je weet toch wat de x-coördinaat van het stationaire punt (x=x0) is?

De oplossing van je functie voor een bepaalde waarde van x zal je dus een y-coördinaat opleveren. Dus moet je x0 in je originele functie invullen. Dit levert dan je gewilde coördinaat op.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_117673175
quote:
0s.gif Op zaterdag 6 oktober 2012 20:47 schreef RealMadrid10 het volgende:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Je hebt gevonden dat h''(x) = 2x-3 en kennelijk bereken je dan vervolgens h''(-1/2) = -16 en h''(1/2) = 16. Maar dat wordt niet gevraagd. Aangezien h'(-1/2) = h'(1/2) = 0 heb je voldoende aan de vaststellingen dat h''(-1/2) < 0 en h''(1/2) > 0 om te concluderen dat h(x) voor x = -1/2 een locaal maximum bereikt en voor x = 1/2 een locaal minimum. Maar om de waarde van dat locale maximum bij x = -1/2 resp. de waarde van dat locale minimum bij x = 1/2 te berekenen moet je dan uiteraard x = -1/2 resp. x = 1/2 substitueren in je functievoorschrift h(x) = 4x + 1/x. Dan vind je h(-1/2) = -4 en h(1/2) = 4.
pi_117689224
Helder(e) en duidelijk(e) antwoord(en) Bedankt!
pi_117689492
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.

Vandaar de soms domme vragen.
  zondag 7 oktober 2012 @ 14:16:04 #242
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_117690530
quote:
0s.gif Op zondag 7 oktober 2012 13:49 schreef RealMadrid10 het volgende:
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.

Vandaar de soms domme vragen.
Ik denk dat je derde argument juist je hoofdargument is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_117693842
Ik wil graag het volgende differentieren :


S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:


Maar hoe ga ik nu verder met u?

thanks
pi_117695543
quote:
0s.gif Op zondag 7 oktober 2012 15:33 schreef Maryn. het volgende:
Ik wil graag het volgende differentieren [ afbeelding ]:
[ afbeelding ]

S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
[ afbeelding ]

Maar hoe ga ik nu verder met u?

thanks
Wel, de kettingregel in de notatie van Leibniz zegt:

df/dt = df/du ∙ du/dt

Je hebt df/du al bepaald en je hebt u = -r(T-t), dus nu is het niet moeilijk om ook du/dt te bepalen. Uiteraard vervang je daarna in de uitdrukking voor df/dt je u weer door -r(T-t). Ik denk dat je probleem vooral ontstaat doordat je de notaties f' en u' van Lagrange voor je afgeleiden gebruikt zonder daarbij aan te geven wat je onafhankelijke variabele is bij elk van deze afgeleiden.
pi_117698863
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?

Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r

dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}

Zijn mijn stappen zo goed?

Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
pi_117701484
quote:
0s.gif Op zondag 7 oktober 2012 17:48 schreef Maryn. het volgende:
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Ik bedoel hiermee dat je bijvoorbeeld u'(t) schrijft in plaats van u'. Zo zie je dat u (en dus ook de afgeleide als deze geen constante is) afhangt van de (onafhankelijke) variabele t.

quote:
Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
Nee, dit is niet goed, je hebt du/dt = r.
quote:
dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}

Zijn mijn stappen zo goed?
Dit linkje werkt niet in FOK. Ik zal het even voordoen, maar dan wat uitgebreider dan je het gewoonlijk op zou schrijven. Zo uitgebreid hoef je het niet op te schrijven, maar het is goed om eens een keer te zien hoe het nu precies in elkaar zit. We hebben:

(1) f = S - k∙e-r(T-t)

Nu zien we dat het handig is om de exponent van deze e-macht als een eenheid te beschouwen, dus komen we op de volgende substitutie:

(2) u = -r(T-t)

Invullen van (2) in (1) geeft dan:

(3) f = S - k∙eu

Nu vertelt de kettingregel in de notatie van Leibniz ons dat we hebben:

(4) df/dt = df/du ∙ du/dt

We zijn geïnteresseerd in het bepalen van df/dt, en (4) geeft aan dat we df/dt kunnen vinden door eerst df/du en du/dt te bepalen en deze met elkaar te vermenigvuldigen. Welnu, uit (3) volgt dat:

(5) df/du = -k∙eu

En uit (2) volgt:

(6) du/dt = r

En dus vinden we met behulp van (4) dat:

(7) df/dt = -k∙eu∙r = -k∙r∙eu

Maar ja, nu zit die u nog in onze uitdrukking voor df/dt. We weten echter dat volgens (2) u = -r(T-t), dus kunnen we u in (7) weer vervangen door -r(T-t) en krijgen we:

(8) df/dt = -k∙r∙e-r(T-t)

Dit is wat omslachtig, maar nu zie je hopelijk hoe het precies werkt. Het is de bedoeling dat je zo bedreven wordt in het hanteren van de kettingregel bij het differentiëren, dat je de substitutie niet meer uit hoeft te voeren, maar dat je als het ware in je hoofd een 'mentale' substitutie uitvoert. Ook dit kunnen we symbolisch mooi weergeven in de notatie van Leibniz. Voor deze opgave heb je dan:

(9) df/dt = df/d(-r(T-t)) ∙ d(-r(T-t))/dt

En dus kun je direct opschrijven:

(10) df/dt = -k∙e-r(T-t)∙r

quote:
Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Lagrange (1736-1813) was een Frans wiskundige die de bekende notatie met primes voor de afgeleiden heeft ingevoerd, dus f'(x) voor de eerste afgeleide functie van f(x) naar x, f''(x) voor de tweede afgeleide functie van f(x) naar x en zo voort. Dit wordt natuurlijk gauw onoverzichtelijk en daarom schrijft men meestal f(n)(x) voor de n-de afgeleide functie van f(x) naar x indien n > 3. De onafhankelijke variabele (hier x) wordt ook wel weggelaten en dan schrijf je dus f' en f'' voor resp. de eerste en de tweede afgeleide functie van een functie f. Maar dan kun je niet meer zien naar welke variabele er is gedifferentieerd. De notatie van Leibniz heeft dat bezwaar niet: aan dy/dx kun je meteen zien dat het gaat om de afgeleide naar x van een (afhankelijke) variabele y die afhangt van een (onafhankelijke) variabele x.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:15:27 ]
  maandag 8 oktober 2012 @ 12:36:19 #247
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_117727649
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_117746136
quote:
1s.gif Op maandag 8 oktober 2012 12:36 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Die opgaven waren uit oude (school)boeken, dus dat is dan de eerste plaats waar je zou kunnen kijken. Ik heb pas ontdekt dat de UvA een deel van de collectie van het Nederlands Schoolmuseum online heeft gezet. Het gaat daarbij om een kleine 5000 titels uit voornamelijk de latere 19e eeuw. Er zitten uiteraard ook veel wiskunde titels bij, vooral (veel) vlakke meetkunde en algebra, maar ook goniometrie en analytische meetkunde en wat stereometrie (dat waren toen aparte schoolvakken). En voor de lagere school had je natuurlijk rekenkunde, veel rekenkunde (kom daar nu eens om). Differentiaal- en integraalrekening stond toen niet op het programma, dat kwam pas veel later (in de jaren '50 van de 20e eeuw).

Het is heel interessant om te zien wat er toen allemaal wel en niet op het programma stond, want dat levert soms inzichten op die niet stroken met de communis opinio op dit gebied. Zo kwam ik bij de algebra inderdaad de wederkerige vergelijkingen tegen, terwijl nogal eens wordt beweerd dat die in Nederland nooit op het programma van de middelbare scholen hebben gestaan. En in een boekje van Molenbroek over goniometrie komen we zowaar De Moivre tegen. Ook in de 19e eeuw stonden complexe getallen dus al op het schoolprogramma, iets wat nu al lang is vergeten.

Achter in veel van die boekjes vind je 'gemengde vraagstukken', bedoeld als herhaling van de stof, maar daar zitten ook vaak oude examenopgaven bij. Direct linken naar een pagina werkt niet, maar kijk bijvoorbeeld eens achterin dit boekje voor wat vraagstukken. Zo maar een greep:

In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingeschreven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).

Het is de bedoeling dat je dit exact oplost en de juistheid van je antwoord aantoont zonder gebruik van elektronische hulpmiddelen, want die had niemand in 1879.

Als je wat uitdagingen van recenter datum zoekt, dan moet misschien eens kijken naar de Pythagoras Olympiade. De actuele opgaven (sluitingsdatum 31 oktober 2012) staan hier.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 02:21:33 ]
pi_117747370
quote:
0s.gif Op maandag 8 oktober 2012 20:09 schreef Riparius het volgende:

[..]
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingescheven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.
pi_117747490
quote:
0s.gif Op maandag 8 oktober 2012 20:29 schreef thenxero het volgende:

[..]

Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.
Je zit toch niet stiekem een calculator of zo te gebruiken?
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')