[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 20 juli 2012 20:05 schreef Unsub het volgende:

[..]

Jup, en we hebben ook nog eens Getal en Ruimte. Echter hebben we nooit het betreffende hoofdstuk (Ho. k) behandeld, en ik heb mijn boeken al weer ingeleverd..

Ik heb hier VWO B deel 3 nog liggen. Omgeving Eindhoven. Je mag het wel lenen?
Verder behandelt het de substitutiemethode, cyclometrische functies en breuksplitsen.

Maar Riparius heeft hier ook ergens een ellenlange post over staan.

Op zondag 24 juni 2012 19:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uiteraard sla ik de tussenstap gewoonlijk ook over, maar omdat Amoeba deze tussenstap toch maakte wilde ik even laten zien hoe je dat dan correct op kunt schrijven. Uitgaande van de regel

∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du

en

u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, du = cos(x)∙dx, v = -cos(x)

krijg je direct

∫ sin(x)∙sin(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙cos(x)∙dx

en dat is ook gebruikelijke manier van werken met de regel voor partieel integreren in deze vorm, zie bijvoorbeeld hier.

Werken met differentialen is niet hetzelfde als werken met infinitesimalen, dus hier is niets inexacts aan, vooropgesteld dat je een formele definitie kunt geven voor (betrekkingen tussen) differentialen die niet steunt op het intuïtieve begrip van 'oneindig kleine' grootheden. Vroeger was dat uiteraard anders, de gehele Leibniz notatie is gebaseerd op de idee van inifinitesimale grootheden.

Toch is de notatie van Leibniz niet stuk te krijgen en heeft deze alle paradigmawisselingen binnen de wiskunde overleefd, en daar zijn goede redenen voor. Deze notatie vereenvoudigt het werken met afgeleiden van samengestelde functies (kettingregel), het werken met de substitutieregel in de integraalrekening (en inderdaad, ook het werken met partieel integreren) en bijvoorbeeld ook het oplossen van bepaalde differentiaalvergelijkingen (scheiding van variabelen).

De substitutieregel (voor onbepaalde integralen) kunnen we weergeven als

∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙g'(t)∙dt

waarbij x = g(t) en dx = g'(t)∙dt zodat d(g(t)) = g'(t)∙dt en we de substitutieregel dus ook kunnen weergeven als

∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙d(g(t))

Als nu F een primitieve is van f dan is dus

∫ f(g(t))∙d(g(t)) = F(g(t)) + C

Hiervan maakte ik gebruik bij enkele herleidingen voor het primitiveren van de secans.

Hebben we f(x) = 1, zodat F(x) = x een primitieve is, dan reduceert dit tot:

∫ d(g(t)) = g(t) + C

zodat je, afgezien van de integratieconstante, kunt zeggen dat ∫ en d inverse operatoren zijn.

Als we hebben y = f(x) waarbij f een differentieerbare functie is van x, dan kunnen we zeggen dat dy/dx = f'(x), en als we het hierbij laten dan zijn dit gewoon twee verschillende notaties voor hetzelfde, namelijk de notatie van Leibniz en de notatie van Lagrange voor de (eerste) afgeleide van de gegeven functie. De uitdrukking dy/dx lijkt verdacht veel op een breuk en om de verwarring nog groter te maken heet dit ook nog een differentiaalquotiënt, terwijl het in de thans gebruikelijke opvatting geen quotiënt is maar een limiet van een differentiequotiënt ∆y/∆x = (f(x + ∆x) - f(x))/∆x voor ∆x → 0.

Maar zo hebben dy en dx afzonderlijk geen betekenis (meer), zodat je nog moet verantwoorden wat je dan precies verstaat onder dy = f'(x)∙dx en hoe dit equivalent is met dy/dx = f'(x) zonder daarbij terug te vallen op intuïtieve begrippen als 'oneindig kleine' grootheden. Er zijn verschillende manieren om het begrip differentiaal te formaliseren maar die zijn niet zo geschikt voor een elementaire behandeling. Je zou echter kunnen afspreken dat je met dy = f'(x)∙dx bedoelt dat de grootheid x (en daarmee ook y) afhangt van een andere variabele, zeg t, zodanig dat dy/dt = f'(x) ∙ dx/dt. Dan is dus y'(t) = f'(x)∙x'(t) oftewel y'(t) = f'(x(t))∙x'(t) en dat is niets anders dan de kettingregel voor y(t) = f(x(t)). Dit is altijd mogelijk, want we kunnen eenvoudig x(t) = t nemen. Betrekkingen tussen differentialen van grootheden kun je zo dus zien als betrekkingen tussen de afgeleiden van die grootheden waarbij de onafhankelijke variabele impliciet is.

We kunnen nu bijvoorbeeld schrijven d(u∙v) = du∙v + u∙dv waarbij u en v functies zijn van een impliciete variabele (i.e. als we deze impliciete variabele t noemen: d(u∙v)/dt = du/dt ∙ v + u ∙ dv/dt) en dit geeft dan ∫ d(u∙v) = ∫ du∙v + ∫ u∙dv en dus ∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du aangezien ∫ d(u∙v) = u∙v, waarbij we de integratieconstante achterwege laten omdat deze al in ∫ v∙du zit.

quote:

Op woensdag 25 juli 2012 16:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Begin even met hoofdstuk 13 en 14 van Strang's Calculus. Helaas een beetje beroerde scans (er zijn betere maar die moet je zelf even zoeken op de bekende plaatsen). Er zijn ook een study guide en een instructors manual voor dit boek.

Het zit je echt hoog he?