Vraag over logaritmen

quote:

Erg interessant en leerzaam allemaal.

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

[ Bericht 11% gewijzigd door Bram_van_Loon op 29-03-2012 14:34:52 ]

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 14:20 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

Bij calculus leer je de regeltjes, bij analyse leer je de bewijzen. Zoek eens een analysedictaat op als je het interessant vindt. Of zoek gewoon direct het bewijs van de fundamentele stelling van de calculus op.

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 23:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Riparius is een wiskundestudent

Ik dacht altijd dat Riparius geboren was toen het onderwijs nog goed was, zo rond 1960.

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 14:20 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

Het integraalteken ∫ is eigenlijk een langgerekte s voor summa, en bedoeld als tegenhanger (inverse operator) van het symbool d voor differentia. Beide symbolen zijn bedacht door Leibniz (1646-1716), en voor hem was het dan ook evident dat ∫ dy = y, immers, als je alle (oneindig klein gedachte) differenties (stapjes) dy van een ordinaat y bij elkaar optelde dan moest je weer uitkomen op de ordinaat y (waarbij we dan stilzwijgend veronderstellen dat we beginnen te rekenen vanaf nul). Leibniz sprak dan ook oorspronkelijk van calculus summatorius. Maar Johann Bernoulli (1667-1748) met wie Leibniz veel correspondeerde, hanteerde liever de door hemzelf bedachte term calculus integralis en gebruikte als symbool daarvoor de hoofdletter I. Uiteindelijk bereikten beide heren een compromis, waarbij werd besloten de naam calculus integralis van Bernoulli te gebruiken maar de notatie ∫ van Leibniz.

Om nu de 'oppervlakte onder de curve' van een functie y = f(x) over een interval [a,b] te bepalen (waarbij we f(x) ≥ 0 veronderstellen voor een positieve uitkomst) stelde Leibniz zich aanvankelijk voor dat je oppervlaktes van 'alle' (oneindig vele) verticale lijnstukken vanaf de horizontale as (abscissa) tot aan de curve bij elkaar op moest tellen, en noteerde hij dit in zijn privé aantekeningen als ∫y. Maar al heel gauw bedacht hij dat dit eigenlijk onzinnig was, omdat lijnstukken geen 'dikte' hebben, en dus ook geen oppervlakte. Wat je eigenlijk moest doen, zo redeneerde hij, is de oppervlakte onder de curve verdelen in 'oneindig dunne' verticale rechthoekjes met een breedte dx en een hoogte y. De oppervlakte van één zo'n 'infinitesimaal' rechthoekje is ydx, en omdat we ze allemaal bij elkaar op moeten tellen om de 'oppervlakte onder de curve' te verkrijgen noteerde hij dit als ∫ ydx, waarmee dus de notatie was ontstaan die we nog steeds gebruiken. Leibniz opereerde feitelijk avant la lettre met Riemannsommen (genoemd naar Bernhard Riemann, 1826-1866), maar kon dit niet preciseren omdat het limietbegrip nog niet was ontwikkeld (dat gebeurde pas in de 19e eeuw door Cauchy en Weierstraß). Vreemd genoeg heeft het ook nog tot in de 19de eeuw geduurd voordat men de grenzen van bepaalde integralen expliciet ging noteren. Vaak werd impliciet 0 aangenomen als ondergrens terwijl de bovengrens variabel werd genomen. Men noteerde dan bijvoorbeeld ∫ xdx = ½x² (dat is de oppervlakte van een driehoek met breedte x en hoogte x). Zo is onze gewoonte ontstaan om de primitieve(n) van f(x) te noteren als ∫ f(x)dx. In andere gevallen moest je als lezer maar uit de contekst opmaken wat nu precies de bedoeling was. Pas rond 1820 introduceert Fourier (1768-1830) de bekende notatie ∫_a^b f(x)dx voor de bepaalde integraal van een functie over een interval [a,b]. Dit was zo evident praktisch dat het direct algemeen ingang vond.

Om nu het verband tussen de bepaalde integraal ∫_a^b f(x)dx gedefinieerd als limiet van een Riemannsom en een functie F(x) zodanig dat F'(x) = f(x) beter te begrijpen helpt het om niet de 'oppervlakte onder de curve' (en dus de limiet van de Riemannsom) over het vaste interval [a,b] te beschouwen, maar de 'oppervlakte onder de curve' over een interval [a,x], waarbij we dus de ondergrens a vast houden maar de bovengrens x variabel nemen. Zo is de 'oppervlakte onder de curve' uiteraard afhankelijk van de keuze van x en daarmee een functie van x. We kunnen de oppervlakte onder de curve over het interval [a,x] nu noteren als A(x) (met de A van area). We kunnen dan bestuderen hoe A(x) afhangt van x, i.e. wat er met A gebeurt als we x variëren. Laten we x toenemen tot x + h, dan neemt de 'oppervlakte onder de curve' toe van A(x) tot A(x + h). Nu helpt het om dit te visualiseren:



De toename van de 'oppervlakte onder de curve' is het verschil A(x+h) - A(x), dit is het lichtgroen gekleurde vlakdeel onder de curve in de figuur. Het zal duidelijk zijn dat A(x) 'sneller' toeneemt naamate f(x) 'hoger' is, anders gezegd de 'snelheid' waarmee A(x) verandert is direct gerelateerd aan de functiewaarde f(x). We kunnen dit intuïtieve inzicht preciseren als we bedenken dat de toename A(x + h) - A(x) gelijk is aan de oppervlakte van een rechthoek waarvan de breedte h is, terwijl de hoogte ergens tussen de minimale waarde m en de maximale waarde M in ligt die f aanneemt op het interval [x, x+h]. Aangezien we f continu veronderstellen neemt f op het interval [x,x+h] ook alle tussenliggende waarden op het interval [m,M] aan en is er dus een waarde t* op [x,x+h] zodanig dat:

A(x+h) - A(x) = h∙f(t*)

We kunnen dit ook uitdrukken door t* = x + θ∙h te nemen met 0 ≤ θ ≤ 1 zodat we kunnen zeggen dat er een θ is op het interval [0,1] zodanig dat:

A(x+h) - A(x) = h∙f(x + θ∙h)

En dus hebben we ook:

(A(x+h) - A(x))/h = f(x + θ∙h)

En dus vinden we:

A'(x) = lim_h→0 (A(x+h) - A(x))/h = lim_h→0 f(x + θ∙h) = f(x)

Dit is precies wat we intuïtief ook uit de figuur kunnen begrijpen: de snelheid waarmee de oppervlakte A(x) onder de curve over het interval [a,x] verandert als we de bovengrens x verschuiven is gelijk aan de functiewaarde f(x) ter plaatse van die bovengrens.

Dit inzicht levert de sleutel om integralen te berekenen zonder daartoe rechtstreeks de limiet van een Riemannsom te hoeven bepalen. Alleen hebben we nu een ander probleem: we moeten nu een functie A(x) zien te bepalen zodanig dat A'(x) = f(x) en tevens A(a) = 0, omdat a de ondergrens is van het interval waarover we de oppervlakte onder de curve beschouwen. Dat betekent dat A(x) in ieder geval een primitieve moet zijn van f(x). Maar daarmee zijn we er nog niet, want als twee functies, in casu onze oppervlaktefunctie A(x) en een primitieve F(x), dezelfde afgeleide f(x) hebben, dan betekent dat nog helemaal niet dat A(x) en F(x) ook identiek zijn. Twee functies die dezelfde afgeleide hebben kunnen immers nog een constante van elkaar verschillen. Is nu F(x) een willekeurige primitieve van f(x), dan zal dus in het algemeen gelden A(x) - F(x) = C en dus:

A(x) = F(x) + C

Nu moeten we de waarde van C nog bepalen. Dat kunnen we doen omdat we weten dat voor onze oppervlaktefunctie A(x) geldt A(a) = 0. Substitutie van x = a geeft A(a) = F(a) + C en dus 0 = F(a) + C en dus C = -F(a). Dus hebben we:

A(x) = F(x) - F(a)

De waarde van de integraal van f(x) over het interval [a,b] is nu de oppervlakte A(x) onder de curve voor x = b, oftewel A(b) = F(b) - F(a), en dus geldt:

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Dit is de hoofdstelling van de integraalrekening. Merk nog op dat het voor de bepaling van de waarde van de integraal niets uitmaakt welke primitieve van f we nemen, aangezien een willekeurige aan F toegevoegde constante wegvalt bij de bepaling van het verschil van F(b) en F(a). Deze stelling geldt uiteraard ook als f(x) negatieve waarden aanneemt op het interval [a,b] en een meetkundige interpretatie blijft mogelijk, alleen worden oppervlakten van vlakdelen die zich 'onder' de x-as bevinden dan negatief gerekend.

Wil je een T-shirt met het Fundamental Theorem of Calculus, klik dan op het plaatje (maar als je op zoek bent naar een vriendin kun je misschien beter een ander T-shirt nemen ...).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 31-03-2012 01:03:17 ]

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 23:49 schreef thenxero het volgende:

[..]

Bij calculus leer je de regeltjes, bij analyse leer je de bewijzen. Zoek eens een analysedictaat op als je het interessant vindt. Of zoek gewoon direct het bewijs van de fundamentele stelling van de calculus op.

[..]

Ik dacht altijd dat Riparius geboren was toen het onderwijs nog goed was, zo rond 1960.

Bram doet inderdaad ongefundeerde aannames. Maar uit privacy-overwegingen wil ik daar verder niet op ingaan.

Ik meende mij dat te herinneren, ik zal waarschijnlijk foutief die conclusie hebben getrokken omdat ik constateerde dat jij ofwel wiskunde studeert ofwel een wiskundestudie had voltooid en omdat ik een jonger iemand verwachtte op dit forum. Bedankt voor je voortreffelijke uitleg Riparius.