Vraag over logaritmen

Wat jij doet op je rekenmachine is eigenlijk 5*(10log(3))

Je moet op je rekenmachine log(3)/log(5) gebruiken om de ⁵log(3) te berekenen. Die is 0.682606194 en 5^0.682606194 = 3.

Rekenmachines werken alleen maar met ¹⁰log en ^elog = ln

5*log(3) = log(3^5)
Verder kan je inderdaad de logaritme met een ander grondtal berekenen met het truucje wat de mol gebruikt maar het is belangrijker dat je begrijpt waarom dat dit truucje werkt dan dat je het kan uitrekenen.
Doe jezelf een plezier en oefen zoveel mogelijk zonder rekenmachientje, dat is nu even meer werk maar straks gaat het gemakkelijker zijn.

Op basis van het onderstaande citaat vermoed ik dat jij nog niet goed begrijpt wat een logarithme is, kijk nog eens goed naar die definities.

quote:

5log(3)=2,386...
terwijl 5^2,386 niet gelijk is aan 5

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:24 schreef Bram_van_Loon het volgende:

Op basis van het onderstaande citaat vermoed ik dat jij nog niet goed begrijpt wat een logarithme is, kijk nog eens goed naar die definities.

[..]

Hier leg je precies de vinger op de zere plek. En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:47 schreef ulq het volgende:

[..]

nee ik snap het wel, alleen die rekenregels had ik niet doorgekeken. dat citaat was dus om te laten zien dat het niet klopte

Niet overtuigend. Het probleem is en blijft dat je niet het verschil zag tussen ⁵log 3 en 5∙log 3.

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier leg je precies de vinger op de zere plek. En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

deze discussie is al lang gaande, maar ik blijf vinden dat het gebruik van een rekenmachine niet slecht is voor de ontwikkeling van iemand. het probleem ligt in het feit dat jochies op de middelbare meteen een dikke TI-84 plus krijgen voor de abc formule, want andere dingen, behalve het gewone, doe je daar niet mee. dat is inderdaad slecht. maar geef ze op de middelbare niks anders dan een normale rekenmachine (scientific) en het probleem is opgelost. ik gebruik nu de TI-84 plus op het HBO, technische opleiding en ook daarvoor is het eigenlijk overkill, laat maar staan havo/vwo.

dus het probleem is niet dat je een rekenmachine gebruikt, het probleem is dat je een rekenmachine gebruikt dat dingen voor je doet zonder dat je in de gaten hebt wat je doet.

quote:

En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

Inderdaad. Als je op wat knopjes duwt dan krijg je het juiste antwoord (daarom niet altijd het antwoord wat je wil hebben), waarom zou je dan zelf gaan nadenken?
Beter eerst maar eens zonder rekenmachientje alle bewerkingen automatiseren.


http://americanhistory.si(...)hist/sj1.html#import
Hier een interview met Steve Jobs, dit interview werd afgenomen, vlak voordat Toy Story in de bioscoop kwam (tweede helft jaren 90?).
Wat hij hieronder zegt is een waarheid als een koe, het geeft te denken wanneer uitgerekend zo'n man benadrukt dat het de mensen zijn die het moeten doen en dat geen bestaande technologie de rol van de mens kan vervangen.
Hij heeft nog meer interessants over het onderwijs te zeggen.

The Role of Computers in Education

DM: Some people say that this new technology maybe a way to bypass that. Are you optimistic about that?

SJ: I absolutely don't believe that. As you've pointed out I've helped with more computers in more schools than anybody else in the world and I absolutely convinced that is by no means the most important thing. The most important thing is a person. A person who incites your curiosity and feeds your curiosity; and machines cannot do that in the same way that people can. The elements of discovery are all around you. You don't need a computer. Here - why does that fall? You know why? Nobody in the entire world knows why that falls. We can describe it pretty accurately but no one knows why. I don't need a computer to get a kid interested in that, to spend a week playing with gravity and trying to understand that and come up with reasons why.

DM: But you do need a person.

SJ: You need a person. Especially with computers the way they are now. Computers are very reactive but they're not proactive; they are not agents, if you will. They are very reactive. What children need is something more proactive. They need a guide. They don't need an assistant. I think we have all the material in the world to solve this problem; it's just being deployed in other places. I've been a very strong believer in that what we need to do in education is to go to the full voucher system. I know this isn't what the interview was supposed to be about but it is what I care about a great deal.

DM: This question was meant to be at the end and we're just getting to it now.

SJ: One of the things I feel is that, right now, if you ask who are the customers of education, the customers of education are the society at large, the employers who hire people, things like that. But ultimately I think the customers are the parents. Not even the students but the parents. The problem that we have in this country is that the customers went away. The customers stopped paying attention to their schools, for the most part. What happened was that mothers started working and they didn't have time to spend at PTA meetings and watching their kids' school. Schools became much more institutionalized and parents spent less and less and less time involved in their kids' education. What happens when a customer goes away and a monopoly gets control, which is what happened in our country, is that the service level almost always goes down. I remember seeing a bumper sticker when the telephone company was all one. I remember seeing a bumper sticker with the Bell Logo on it and it said "We don't care. We don't have to." And that's what a monopoly is. That's what IBM was in their day. And that's certainly what the public school system is. They don't have to care.

Let's go through some economics. The most expensive thing people buy in their lives is a house. The second most expensive thing is a car, usually, and an average car costs approximately twenty thousand dollars. And an average car lasts about eight years. Then you buy another one. Approximately two thousand dollars a year over an eight year period. Well, your child goes to school approximately eight years in K through 8. What does the State of California spent per pupil per year in a public school? About forty-four hundred dollars. Over twice as much as a car. It turns out that when you go to buy a car you have a lot of information available to you to make a choice and you have a lot of choices. General Motors, Ford, Chrysler, Toyota and Nissan. They are advertising to you like crazy. I can't get through a day without seeing five car ads. And they seem to be able to make these cars efficiently enough that they can afford to take some of my money and advertise to other people. So that everybody knows about all these cars and they keep getting better and better because there's a lot of competition.

DM: There's a warranty.


@Chris
Eigenlijk zouden ze de leerlingen die wortelformule (de eigenlijk naam) moeten laten afleiden. Niet elke keer opnieuw maar toch in ieder geval tijdens 1 toets. Zo moeilijk is het niet en je ziet dat het niet een of andere magische formule is maar dat je met een paar simpele algebraīsche bewerkingen zelf die formule kan reproduceren. Terwijl de leerlingen dit doen ontstaat hopelijk wat inzicht en ze leren tegelijkertijd kwadraatsplitsen wat met calculus voor een enkele toepassing weer gemakkelijk is.

[ Bericht 2% gewijzigd door Bram_van_Loon op 25-03-2012 19:16:16 ]

De nieuwe versie van de TI-84 heeft een LOGbase functie in het math menu. Daar kun je wel alle logfuncties letterlijk overnemen.

quote:

nee ik snap het wel, alleen die rekenregels had ik niet doorgekeken. dat citaat was dus om te laten zien dat het niet klopte

Vat het niet verkeerd op maar wat dacht je er van om eerst die regels goed te bestuderen en pas dan het rekenmachientje te pakken? Die sommetjes die je krijgt kan je perfect zonder rekenmachientje oplossen en het is volgens mij zelfs de bedoeling dat je het zonder rekenmachientje doet aangezien ze de sommen dusdanig opstellen dat het kan.

quote:

De nieuwe versie van de TI-84 heeft een LOGbase functie in het match menu. Daar kun je wel alle logfuncties letterlijk overnemen.

Wat heb je er aan? Je kan beter de regeltjes kennen en begrijpen, als hij ooit een bčtaopleiding gaat doen dan is de kans groot dat hij dat nog nodig gaat hebben. Je kan niet altijd alles blijven opzoeken, soms moet je gewoon kennis paraat hebben als je het jezelf niet onnodig moeilijk willen maken.

[ Bericht 12% gewijzigd door Bram_van_Loon op 25-03-2012 19:17:48 ]

quote:

Op zondag 25 maart 2012 19:04 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

http://americanhistory.si(...)hist/sj1.html#import
Hier een interview met Steve Jobs, dit interview werd afgenomen, vlak voordat Toy Story in de bioscoop kwam (tweede helft jaren 90?).
Wat hij hieronder zegt is een waarheid als een koe, het geeft te denken wanneer uitgerekend zo'n man benadrukt dat het de mensen zijn die het moeten doen en dat geen bestaande technologie de rol van de mens kan vervangen.
Hij heeft nog meer interessants over het onderwijs te zeggen.

Bram, ik zie niet zo goed hoe dit interview hier relevant is. SJ pleit hier vooral voor particulier initiatief in het onderwijs en tegen door de overheid georganiseerd en gereguleerd onderwijs, en ik denk nu juist dat we die kant niet op moeten, al was het maar omdat goed onderwijs dan helemaal onbereikbaar c.q. onbetaalbaar wordt voor grote groepen van de bevolking. Onderwijs zou juist gratis moeten zijn.

quote:

@Chris
Eigenlijk zouden ze de leerlingen die wortelformule (de eigenlijk naam) moeten laten afleiden. Niet elke keer opnieuw maar toch in ieder geval tijdens 1 toets. Zo moeilijk is het niet en je ziet dat het niet een of andere magische formule is maar dat je met een paar simpele algebraīsche bewerkingen zelf die formule kan reproduceren. Terwijl de leerlingen dit doen ontstaat hopelijk wat inzicht en ze leren tegelijkertijd kwadraatsplitsen wat met calculus voor een enkele toepassing weer gemakkelijk is.

Ik denk dat je juist moet beginnen met het aanleren van de techniek van het kwadraatafsplitsen bij de behandeling van vierkantsvergelijkingen. Vroeger gebeurde dat ook, en in een aantal landen nog steeds. Dat is ook mooi meetkundig te visualiseren (vergelijk de meetkundige oplossing van vierkantsvergelijkingen bij de oude Grieken) en geeft leerlingen inzichten die bij de huidige praktijk in het Nederlandse onderwijs ontbreken.

quote:

Bram, ik zie niet zo goed hoe dit interview hier relevant is. SJ pleit hier vooral voor particulier initiatief in het onderwijs en tegen door de overheid georganiseerd en gereguleerd onderwijs, en ik denk nu juist dat we die kant niet op moeten, al was het maar omdat goed onderwijs dan helemaal onbereikbaar c.q. onbetaalbaar wordt voor grote groepen van de bevolking. Onderwijs zou juist gratis moeten zijn.

Het gaat om het eerste deel van dat stukje tekst:
"DM: Some people say that this new technology maybe a way to bypass that. Are you optimistic about that?

SJ: I absolutely don't believe that. As you've pointed out I've helped with more computers in more schools than anybody else in the world and I absolutely convinced that is by no means the most important thing. The most important thing is a person. A person who incites your curiosity and feeds your curiosity; and machines cannot do that in the same way that people can. The elements of discovery are all around you. You don't need a computer. Here - why does that fall? You know why? Nobody in the entire world knows why that falls. We can describe it pretty accurately but no one knows why. I don't need a computer to get a kid interested in that, to spend a week playing with gravity and trying to understand that and come up with reasons why.

DM: But you do need a person.

SJ: You need a person. Especially with computers the way they are now. Computers are very reactive but they're not proactive; they are not agents, if you will. They are very reactive. What children need is something more proactive. They need a guide. They don't need an assistant."

Het lijkt niet zo bijzonder maar wat hij hier zegt is enorm belangrijk. Hij legt uit waarom je software slechts voor een zeer beperkt aantal toepassingen in het onderwijs kan gebruiken, waarom het onwenselijk is om kinderen heel de dag achter de computer te zetten in plaats van een leraar de stof te laten uitleggen en te laten toetsen ofdat de leerling het begrepen heeft. Hij legt tevens uit waarom een grafisch rekenmachientje leerlingen eerder 'dommer' dan 'slimmer' maakt. Computers kunnen alleen maar routines volgen die van a tot z van te voren zijn bedacht, ze kunnen niet reageren op een mens. Het grafisch rekenmachientje werkt alles keurig voor je uit maar het grafisch rekenmachientje kan niet nagaan ofdat je wel iets begrijpt van wat je invoert, van wat wordt uitgewerkt en van de uitkomst. Als je daarentegen niet zo'n computertje gebruikt dan wordt je gedwongen om zelf na te denken en je fouten te corrigeren.

Dat vouchersysteem is op zich geen slecht idee maar ik zal niet stellen dat we dat hier moeten invoeren (ik zal ook niet stellen dat we dat niet moeten doen). Het is in ieder geval duidelijk, lijkt mij, dat er behoefte is aan een bepaald type school en onderwijs wat nu nauwelijks bestaat in Nederland. Hoe dat te implementeren weet ik niet, daar moeten we het in deze discussie maar niet over hebben.
Ik wil wel even opmerken dat een vouchersysteem wellicht te combineren is met een financieel laagdrempelig onderwijsstelsel maar het opent inderdaad ook de deur voor een groei in aantal van private scholen. Dat hoeft niet noodzakelijk een probleem te zijn, er zijn uitstekende private scholen die iedere geschikte leerling aannemen, de rijkere ouders betalen in feite (een groot deel van) de onderwijskosten van de armere ouders. Ik denk dat er betere oplossingen zijn voor ons onderwijsstelsel. Het onderwijs moet finaniceel gezien laagdrempelig zijn en qua inhoud sterk differentiëren.

fuck de log
gebruik de ln

de log invoeren in het middelbare onderwijs is echt een blunder geweest, ze hadden het bij de ln moeten laten

[ Bericht 29% gewijzigd door Setting_Sun op 26-03-2012 02:13:42 ]

quote:

Op maandag 26 maart 2012 01:47 schreef Setting_Sun het volgende:
fuck de log
gebruik de ln

De log invoeren in het middelbaar onderwijs is echt een blunder geweest, ze hadden het bij de ln moeten laten

Nee, dit is laaiende onzin. Logaritmen zijn in het elementaire onderwijs ingevoerd ergens aan het begin van de 19e eeuw, toen er van rekenmachines nog geen sprake was. En om praktische redenen, namelijk vanwege ons tientallige talstelsel, werden berekeningen toen voornamelijk uitgevoerd met de zogeheten Briggse logaritmen met grondtal 10. De notatie log is trouwens veel ouder dan de notatie ln, die pas in 1893 werd geīntroduceerd door de wiskundige Irving Stringham (1847-1909). Uiteraard waren natuurlijke logaritmen ook van oudsher bekend en in gebruik, maar deze speelden vooral een rol in de zuivere wiskunde, en minder bij praktische berekeningen. Bij toepassingen buiten de zuivere wiskunde spelen logaritmen met grondtal 10 nog altijd een belangrijke rol, denk alleen maar aan de geluidssterkte in dB, de zuurgraad in pH, de schaal van Richter voor aardbevingen, of de helderheid (magnitude) van sterren in de astronomie.

Er bestaat geen eenduidige notatie voor logaritmen en hun grondtal, deze verschilt per land en taalgebied en per discipline. In Nederland werd altijd de notatie ^glog x gebezigd voor de logaritme van x met grondtal g, maar onder angelsaksische invloed vindt men tegenwoordig ook vaak log_gx. Deze laatste notatie kan vooral in handschrift gauw aanleiding geven tot verwarringen en is daarom af te raden.

De notatie log zonder aanduiding van het grondtal is ambigu. In veel toepassingsgerichte disciplines duidt log de logaritme met grondtal 10 aan, terwijl er in de zuivere wiskunde doorgaans de natuurlijke logaritme mee wordt bedoeld. Maar op zogeheten 'wetenschappelijke' rekenmachines wordt met LOG juist de logaritme met grondtal 10 bedoeld, en worden natuurlijke logaritmen aangeduid met LN.

Veel 'zuivere' wiskundigen hebben iets tegen het gebruik van de aanduiding ln voor natuurlijke logaritmen, waardoor de ambiguīteit van het symbool log in stand wordt gehouden. De aanduiding ln is echter een officiële ISO aanduiding voor natuurlijke logaritmen, evenals lg (niet log) volgens ISO de correcte aanduiding is voor logaritmen met grondtal 10. En dan is er ook nog de ISO aanduiding lb voor binaire logaritmen, i.e. logaritmen met grondtal 2. De aanduiding log wordt in de ISO standaard gereserveerd voor logaritmen waarvan het grondtal niet nader is gespecificeerd, of - met aanduiding van het grondtal - voor logaritmen met een grondtal anders dan 2, e of 10.

WolframAlpha maakt er een potje van doordat lg weliswaar wordt gerespecteerd als aanduiding voor logaritmen met grondtal 10, maar lb niet wordt herkend als aanduiding van binaire logaritmen: de aanduiding lb wordt naar angelsaksisch gebruik opgevat als eenheid van massa (avoirdupois pound). Anderzijds worden log en ln weer niet onderscheiden maar zonder specificatie van het grondtal beide opgevat als aanduiding van natuurlijke logaritmen. Bij WolframAlpha is het mogelijk een grondtal te specificeren door log(g,x) in te voeren voor ^glog x, maar het negeren van het onderscheid tussen log en ln heeft de idiote consequentie dat ln(g,x) ook wordt opgevat als ^glog x. Daarentegen werkt lg(g,x) niet maar wordt hierbij ook geen foutmelding gegenereerd. Tja ...

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 27-03-2012 17:00:57 ]

prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln x^a = a ln x

Hier is op de middelbare school minimale aandacht voor terwijl het het leven zoveel makkelijker maakt.
'Ingewikkelde' berekeningen met andere grondtallen, daar vullen ze echter de boeken mee sukkels

quote:

Op zondag 25 maart 2012 17:54 schreef ulq het volgende:
Even een vraagje over logaritmen.

Ik had dus het idee dat een logaritme van getal X met grondtal Y eigenlijk gewoon het getal is waarmee je Y moet verheffen om X te krijgen. Oftewel Ylog(X)=Y^Ylog(X)

log(3)=0,477...
en 10^0,477

Dit klopt vooralsnog dus. Maar als ik een ander grondtal als 10 of e wil invoeren klopt het niet meer. Hier bijvoorbeeld:

5log(3)=2,386...
terwijl 5^2,386 niet gelijk is aan 5

Dus mijn vraag is: wat klopt er niet of wat doe ik fout?

Bij voorbaat dank!

Probeer het eens met log(3)/log(5) en doe dan 5^uitkomst? 5log(3) is vermoedelijk 5*¹⁰log3?

quote:

prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln xa = a ln x

Gebruik 10 als grondtal en hetzelfde regeltje geldt. Dat regeltje wordt wel degelijk goed uitgelegd op het VWO. Het is eigenlijk al van de zotten dat zoveel stof zoveel wordt herhaald, 1 of 2 herhalingen zou moeten volstaan.
Ingewikkelde berekeningen ben ik niet tegengekomen (Getal en Ruimte), wel moet je voor sommige sommetjes de regeltjes (die overigens allemaal door de leerling zelf af te leiden zijn) goed kennen maar de regeltjes dril je vanzelf doordat per oefening 1 regeltje wordt geīntroduceerd. Als je die 'opbouw'oefeningen overslaat dan maak je het jezelf onnodig moeilijk.

quote:

Op maandag 26 maart 2012 12:57 schreef Setting_Sun het volgende:
prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln x^a = a ln x

Hier is op de middelbare school minimale aandacht voor terwijl het het leven zoveel makkelijker maakt.

Je bent zelf een exponent (pun intended) van slecht onderwijs, want hiermee geef je er blijk van dat je het toch niet hebt begrepen. De regel die je geeft geldt onafhankelijk van het grondtal. Logaritmen zetten vermenigvuldigingen om in optellingen (die eenvoudiger zijn uit te voeren met pen en papier), terwijl machtsverheffingen worden omgezet in vermenigvuldigingen (die eveneens eenvoudiger met de hand zijn uit te voeren). Dit is precies de reden waarom logaritmen vroeger toen er nog geen elektronische hulpmiddelen voorhanden waren zo'n belangrijke rol speelden, en dan juist vooral de logaritmen met grondtal 10.

quote:

'Ingewikkelde' berekeningen met andere grondtallen, daar vullen ze echter de boeken mee sukkels

Wie is hier nu de sukkel? Om bijvoorbeeld te begrijpen wat een decibel is, of een pH waarde, zul je toch echt enig benul moeten hebben van logaritmen met grondtal 10.

quote:

Op maandag 26 maart 2012 15:40 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Gebruik 10 als grondtal en hetzelfde regeltje geldt. Dat regeltje wordt wel degelijk goed uitgelegd op het VWO. Het is eigenlijk al van de zotten dat zoveel stof zoveel wordt herhaald, 1 of 2 herhalingen zou moeten volstaan.
Ingewikkelde berekeningen ben ik niet tegengekomen (Getal en Ruimte), wel moet je voor sommige sommetjes de regeltjes (die overigens allemaal door de leerling zelf af te leiden zijn) goed kennen maar de regeltjes dril je vanzelf doordat per oefening 1 regeltje wordt geīntroduceerd. Als je die 'opbouw'oefeningen overslaat dan maak je het jezelf onnodig moeilijk.

goh warempel, nou ja, ik heb mijn hele leven lang alles met de ln (grondtal e) kunnen doen. Wel zo handig als je ook iets concreet moet uitrekenen. Maakt werken met afgeleiden ook het makkelijkst

quote:

Op dinsdag 27 maart 2012 20:43 schreef Setting_Sun het volgende:

[..]

goh warempel, nou ja, ik heb mijn hele leven lang alles met de ln (grondtal e) kunnen doen. Wel zo handig als je ook iets concreet moet uitrekenen. Maakt werken met afgeleiden ook het makkelijkst

Nee, als je rekent aan grootheden die gerelateerd zijn aan decadische logaritmen is het gebruik van natuurlijke logaritmen juist niet handig. Waarschijnlijk heb je nog nooit echt berekeningen uitgevoerd met logaritmen(tafels) anders zou je het nut van decadische logaritmen begrijpen. Tegenwoordig is het uitvoeren van berekeningen met behulp van logaritmentafels evenwel niet meer relevant door de beschikbaarheid van elektronische rekenhulpmiddelen. In de analyse is de natuurlijke logaritme uiteraard wel fundamenteel.