[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Bij differentieren van Log(2y) vergeet je de kettingregel.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 17:15 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Maal C, niet +C toch?

Ja

In a class on probability, a statistics professor flips two balanced coins. Both fall to the floor and roll under his desk. A student in the first row informs the professor that he can see both coins. He reports that at least one of them shows tails. What is the probability that the other coin is also tails?

Dus... leek mij gewoon 0.50, omdat het gooien van twee munten onafhankelijk van elkaar is.
Staat er in de uitwerkingen het volgende:

Let H denote heads and T tails. Probabilities of possible outcomes are:
P(HH) = .25, P(HT) = .25, P(TH) = .25, P(TT) = .25

Vervolgens komen ze met .25/(.25+.25+.25) = .333
Aangezien 1 van de 2 munten 'tails' aangeeft, zijn er volgens de uitwerkingen nog maar 3 in plaats van 4 mogelijkheden (HH vervalt) en is 1 van die mogelijkheden TT, dus zou het antwoord 1/3 zijn.

Mijn vraag: Waarom is het antwoord 0.5 hier fout? Of is deze vraag gewoon op twee verschillende manieren te beantwoorden?

Het antwoord 0.5 is fout omdat 1/3 goed is en 0.5 niet 1/3 is. Waarom 1/3 goed is, geef je zelf al aan.

Ik wil 0.5 wel verdedigen. De student maakt immers de keuze om te zeggen dat "at least one of them shows tails". Bij 1x heads en 1x tails is de kans kleiner dat hij dat zegt dan bij 2x tails.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:36 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Wat flauw

Niet echt, dit is een wezenlijk onderdeel van het kansexperiment.

Let H denote heads and T tails. Probabilities of possible outcomes are:
P(HH) = .25, P(HT) = .25, P(TH) = .25, P(TT) = .25

Vervolgens komen ze met .25/(.25+.25+.25) = .333

Is dit niet gewoon de kans van 2 willekeurige munten ? als we uitgaan van 1 munt omdat de leerling aangeeft dat de andere munt is (At least one of them is tails) is de kans dat de enige andere munt ook munt is gewoon 50 % oftewel .5 immers zijn er maar 2 kansen of je gooit kop of je gooit munt, dus een kans van 1 uit 2.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:38 schreef Mind_State het volgende:
Let H denote heads and T tails. Probabilities of possible outcomes are:
P(HH) = .25, P(HT) = .25, P(TH) = .25, P(TT) = .25

Vervolgens komen ze met .25/(.25+.25+.25) = .333

Is dit niet gewoon de kans van 2 willekeurige munten ? als we uitgaan van 1 munt omdat de leerling aangeeft dat de andere munt is (At least one of them is tails) is de kans dat de enige andere munt ook munt is gewoon 50 % oftewel .5 immers zijn er maar 2 kansen of je gooit kop of je gooit munt, dus een kans van 1 uit 2.

Je kunt hier als leek beter geen uitspraak over doen.

Wiskunde is een raar iets.. maar oke.. zou je dan kunnen uitleggen hoe je op een kans van 1/3 komt als er maar uitkomsten mogelijk zijn ?

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:41 schreef Mind_State het volgende:
Wiskunde is een raar iets.. maar oke.. zou je dan kunnen uitleggen hoe je op een kans van 1/3 komt als er maar twee uitkomsten mogelijk zijn ?

Het aantal uitkomsten zegt niets over de kans, een kans is een maat van vertrouwen dat een bepaalde uitkomst zich voordoet.

Kansberekening is echt een van de onderdelen van wiskunde waar ik de logica gewoon niet in kan vinden, op de middelbare school niet, en nu nog steeds niet.

Oke dat maakt het inderdaad een stuk duidelijker. Maar dan zegt het aantal uitkomsten dus toch wel wat over de kans, ik zat al te filosoferen welke factoren er dan nog meer van invloed zouden kunnen zijn.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:53 schreef Mind_State het volgende:
Oke dat maakt het inderdaad een stuk duidelijker. Maar dan zegt het aantal uitkomsten dus toch wel wat over de kans, ik zat al te filosoferen welke factoren er dan nog meer van invloed zouden kunnen zijn.

Het feit dat alle uitkomsten evenveel kans hebben, dat is niet automatisch zo.

Ik snap gewoon niet waarom 1/2 fout kan zijn, aangezien het om nog maar 1 munt gaat, de andere is al bekend en kan dan toch eigenlijk gewoon buiten beschouwing gelaten worden?

Aan de andere kant snap ik de beredenering voor het antwoord 1/3 ook.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:45 schreef Mind_State het volgende:
Kansberekening is echt een van de onderdelen van wiskunde waar ik de logica gewoon niet in kan vinden, op de middelbare school niet, en nu nog steeds niet.

Die logica is er echt, alleen strookt het niet met jouw intuïtie, en dat is heel wat anders. Het probleem hier staat ook wel bekend als de Boy or Girl paradox. Dergelijke problemen staan erom bekend dat ze heel wat controverse genereren, vooral van leken. Een andere klassieker in dit genre is het Monty Hall probleem, in het Nederlands ook wel bekend als het Willem Ruis probleem.

Een van de grote problemen is de interpretatie van de vraag. Kansrekening gaat over kansruimten en kansruimten zijn bepaalde soorten verzamelingen en behoren zich dus aan de axioma's van de verzamelingenleer te houden. Uit deze axioma's is echter op geen enkele manier af te leiden dat munten elementen van een verzameling zouden zijn.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 23:05 schreef Krankjorum het volgende:
Ik snap gewoon niet waarom 1/2 fout kan zijn, aangezien het om nog maar 1 munt gaat, de andere is al bekend en kan dan toch eigenlijk gewoon buiten beschouwing gelaten worden?

Aan de andere kant snap ik de beredenering voor het antwoord 1/3 ook.

Er is alleen niet bekend welke munt bekend is.

Daar ben ik weer eens, ik heb issues met exponenten als noemer in een breuk. Ik moet laten zien dat bij de sigmoid function:
sigm(net) = (2/ (1+exp(-net/T)))-1 het volgende geldt:
-sigm(net) = sigm(-net).

Mijn issue is die exponent met -net/T. Als ik een bepaalde waarde voor net kies, laten we zeggen net = 0:
-sigm(0):
-((2/(1+exp(0)))-1) = (-2/(1+exp(0))) + 1
sigm(-0):
(2/(1+exp(0)))-1

Vervolgens had ik bij beide +1 opgeteld:
-sigm(0):
(-2/(1+exp(-0))) + 2
sigm(-1):
(2/(1+exp(0)))

exp omgeschreven:
-sigm(0):
(-2/(1+1)) + 2
sigm(-1):
(2/(1+1))
waarbij het eenvoudig te zien is dat 1=1.

Nou heb ik al berekend dat dit ook geldt voor andere waarden voor net, zoals 1 of -1. Maar ik heb geen flauw idee hoe ik dus zo'n afleiding doe met die exp(-net/T) er nog in.
Ik kan wel b.v. naar het volgende gaan:
2 = 2(1+exp(net/T)) + (-2/(1+exp(-net/T)))(1+exp(net/T))
=>
1 = (1+exp(net/T)) + (-1/(1+exp(-net/T)))(1+exp(net/T))
maar hoe doe ik nu dus (1+exp(-net/T)) * (1+exp(net/T)) ?
Ik snap dat exp(-net/T) * exp(net/T) -> exp(-net/T + net/T) = exp(0) hebt en dat exp(-net/T) hetzelfde is als 1/(exp(net/T)). Maar hoe dan met die 1+ nog in de noemer? Ik ben te onhandig met breuken dat ik niet zie hoe ik het verder moet doen.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 22:56 schreef BasementDweller het volgende:

[..]Waarom deze vraag intuïtief lastig is ligt denk ik aan het volgende: In het "dagelijkse leven" zou je geen onderscheid maken tussen HT en TH waardoor je deze twee als dezelfde event zou beschouwen. Dan zijn er nog maar twee mogelijkheden met even grote kans, "kop en munt" of "2 maal munt", beide met kans 1/2. En daar ga je dan de mist in

Ik snap het denk ik.

quote:

Op zondag 13 februari 2011 23:23 schreef koffiegast het volgende:
Daar ben ik weer eens, ik heb issues met exponenten als noemer in een breuk. Ik moet laten zien dat bij de sigmoid function:
sigm(net) = (2/ (1+exp(-net/T)))-1 het volgende geldt:
-sigm(net) = sigm(-net).

Ik heb geen flauw idee hoe ik dus zo'n afleiding doe met die exp(-net/T) er nog in.
Ik kan wel b.v. naar het volgende gaan:
2 = 2(1+exp(net/T)) + (-2/(1+exp(-net/T)))(1+exp(net/T))
=>
1 = (1+exp(net/T)) + (-1/(1+exp(-net/T)))(1+exp(net/T))
maar hoe doe ik nu dus (1+exp(-net/T)) * (1+exp(net/T)) ?
Ik snap dat exp(-net/T) * exp(net/T) -> exp(-net/T + net/T) = exp(0) hebt en dat exp(-net/T) hetzelfde is als 1/(exp(net/T)). Maar hoe dan met die 1+ nog in de noemer? Ik ben te onhandig met breuken dat ik niet zie hoe ik het verder moet doen.

Iemand ?
Het is echt enorm weggevallen bij me. Ik heb even dat duwtje in de goede richting nodig hoe ik die tellers met 1+exp(iets) weghaal of van elkaar afhaal.

Ik snap niet wat je doet, ik zou zo beginnen:

sigm(net) = 2/ (1+exp(-net/T)) - 1
dus sigm(-net) = 2/ (1+exp(net/T)) - 1
Je wilt sigm(-net) herschrijven tot 1 - 2/ (1+exp(-net/T)). Als je nu in de breuk van sigm(-net) teller en noemer met exp(-net/T) vermenigvuldigt, krijg je
2exp(-net/T) / (1+exp(-net/T)) - 1
= (2exp(-net/T) - 1 - exp(-net/T) ) / (1+exp(-net/T))

kom je zo verder?

[ Bericht 2% gewijzigd door GlowMouse op 14-02-2011 17:07:19 ]

Ik snap je stap van
sigm(-net) teller en noemer met exp(-net/T) vermenigvuldigen niet echt:
2exp(-net/T) / (1+exp(-net/T)) - 1
Hoe kun je nou precies enkel die 2 vermenigvuldigen met exp(-net/T)? Het lijkt mij dat je de hele boel keer exp(-net/T) moet doen, dus dat je dit krijgt:
1-2/(1+exp(-net/T)) -> exp(-net/T) - (2exp(-net/T))/(1+exp(-net/T)), maar dan blijf ik weer met die 1 in de noemer zitten. Of zit ik nu verkeerd?

Als je 1 + 2/3 hebt dan is dat 1 + 4/6 en niet 2 + 4/6.