[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Hahah klopt, ik vind 'm lelijk. Bedoel je Hessiaan of Jacobiaan?

Is er een manier om intuïtief in te kunnen zien dat iets uniform convergeert of niet? Ik weet het pas als ik het bewezen heb, anders heb ik geen flauw idee... dus heb er totaal geen intuïtie voor.

quote:

Op zaterdag 8 januari 2011 17:57 schreef BasementDweller het volgende:
Is er een manier om intuïtief in te kunnen zien dat iets uniform convergeert of niet? Ik weet het pas als ik het bewezen heb, anders heb ik geen flauw idee... dus heb er totaal geen intuïtie voor.

Tja, misschien vooral ervaring, maar vaak zie je wel snel of ergens een uniforme schattng op past of niet, ook door te kijken naar de punten waar het evt. mis zou kunnen gaan.

quote:

Op zaterdag 8 januari 2011 18:00 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Tja, misschien vooral ervaring, maar vaak zie je wel snel of ergens een uniforme schattng op past of niet, ook door te kijken naar de punten waar het evt. mis zou kunnen gaan.

Hmm oke . Kan je voor mij checken of het volgende klopt? Ik moest voor f en g nagaan of ze uniform convergent waren op [-1,1], , , en heel |R.

f en g zijn van |R naar |R, gedefinieerd door en .

Ik denk: f is alleen uniform op [-1,1], g alleen op en [-1,1].

quote:

Op zaterdag 8 januari 2011 23:19 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Hmm oke . Kan je voor mij checken of het volgende klopt? Ik moest voor f en g nagaan of ze uniform convergent waren op [-1,1], [ afbeelding ], [ afbeelding ], en heel |R.

f en g zijn van |R naar |R, gedefinieerd door [ afbeelding ] en [ afbeelding ].

Ik denk: f is alleen uniform op [-1,1], g alleen op [ afbeelding ] en [-1,1].

Edit: voor f_n, zie Thabit's post hieronder. Verder convergeert alleen uniform op van onder begrensde verzamelingen (zoals jij inderdaad al zei), het 'probleempunt' is nu en die loopt weg uit elke van onder begrensde verzameling als .

[ Bericht 15% gewijzigd door keesjeislief op 09-01-2011 10:29:31 ]

f_n convergeert op geen enkel onbegrensd interval uniform. De puntsgewijze limiet is immers overal 1, maar er zijn op onbegrensde intervallen altijd waarden willekeurig dichtbij 0 of oneindig.

quote:

Op zondag 9 januari 2011 09:54 schreef thabit het volgende:
f_n convergeert op geen enkel onbegrensd interval uniform. De puntsgewijze limiet is immers overal 1, maar er zijn op onbegrensde intervallen altijd waarden willekeurig dichtbij 0 of oneindig.

Bedankt voor de correctie . Op de een of andere manier had ik f_n(x) = e^(-nx) gelezen.

_{God, ik maak wel een hoop idiote fouten in dit topic, hierboven al ergens verkeerd gedifferentieerd. . Excusez moi iedereen!}

Trouwens Thabit, wat vind je hiervan: [Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic ?

Bedankt allebei.
Jullie zeggen dat f_n niet uniform convergeert op onbegrensde intervallen en dat dacht ik ook, maar klopt het ook dat f_n wel uniform convergeert op [-1,1]?

Het probleempunt bij g_n is inderdaad x=-n, dus als je op de verzameling van positieve reële getallen zit heb je die -x niet. Dus hij is wel uniform convergent daarop, toch?

Volgens mij begin ik het een beetje te snappen

quote:

Op zondag 9 januari 2011 12:40 schreef BasementDweller het volgende:
Bedankt allebei.
Jullie zeggen dat f_n niet uniform convergeert op onbegrensde intervallen en dat dacht ik ook, maar klopt het ook dat f_n wel uniform convergeert op [-1,1]?

Ja, op elk begrensd interval, want als .

quote:

Het probleempunt bij g_n is inderdaad x=-n, dus als je op de verzameling van positieve reële getallen zit heb je die -x niet. Dus hij is wel uniform convergent daarop, toch?

Klopt, want g_n neemt z'n maximum op aan in en dat maximum verdwijnt als .

Oke top . Nu een nieuwe opgave, ik probeerde het te bewijzen maar kwam niet verder dan dit:

quote:

Op zondag 9 januari 2011 13:34 schreef BasementDweller het volgende:
Oke top . Nu een nieuwe opgave, ik probeerde het te bewijzen maar kwam niet verder dan dit:

[ afbeelding ]

Het antwoord op je vraag in de opgave, "geldt dit ook voor oneindige sommen?", is nee. Een oneindige som is een limiet, dus je kijkt in feite naar een limiet van functies. Daar geldt dus ook voor dat je moet laten zien dat ze uniform convergeren voordat je continuiteit van de limiet kunt concluderen. (*). Ik denk zo op het eerste gezicht dat je op deze manier niet continuiteit op heel R kunt bewijzen, die e-macht gaat altijd naar doen voor grote x. Anderzijds is continuiteit een lokale eigenschap: f is continu op R desda als voor elke x in R geldt dat f continu is in x. Dus het is bijv. voldoende om een willekeurige a vast te nemen en continuiteit op het interval [-a,a] te bewijzen. Dit kan wel met jouw schatting, omdat nu die e^x begrensd blijft op het interval dat je bekijkt.

(*): in het algemeen gebruik je uniformiteit om de volgorde van twee limieten om te draaien. Die binnenste limiet kan van alles zijn, het kan continuiteit uitdrukken (\lim_{x \to a} f(x) bijv.), maar ook een oneindige som (limiet van een reeks eindige sommen) zodat je de limiet binnen de oneindige som haalt, of bijv. een limiet van Riemannsommen zodat je de limiet binnen de integraal kunt halen.

[ Bericht 12% gewijzigd door keesjeislief op 09-01-2011 15:17:37 ]

quote:

Op zondag 9 januari 2011 13:34 schreef BasementDweller het volgende:
Oke top . Nu een nieuwe opgave, ik probeerde het te bewijzen maar kwam niet verder dan dit:

[ afbeelding ]

heb je het uberhaupt al zelf geprobeerd?

quote:

Op zondag 9 januari 2011 15:04 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Het antwoord op je vraag in de opgave, "geldt dit ook voor oneindige sommen?", is nee. Een oneindige som is een limiet, dus je kijkt in feite naar een limiet van functies. Daar geldt dus ook voor dat je moet laten zien dat ze uniform convergeren voordat je continuiteit van de limiet kunt concluderen. (*). Ik denk zo op het eerste gezicht dat je op deze manier niet continuiteit op heel R kunt bewijzen, die e-macht gaat altijd naar doen voor grote x. Anderzijds is continuiteit een lokale eigenschap: f is continu op R desda als voor elke x in R geldt dat f continu is in x. Dus het is bijv. voldoende om een willekeurige a vast te nemen en continuiteit op het interval [-a,a] te bewijzen. Dit kan wel met jouw schatting, omdat nu die e^x begrensd blijft op het interval dat je bekijkt.

(*): in het algemeen gebruik je uniformiteit om de volgorde van twee limieten om te draaien. Die binnenste limiet kan van alles zijn, het kan continuiteit uitdrukken (\lim_{x \to a} f(x) bijv.), maar ook een oneindige som (limiet van een reeks eindige sommen) zodat je de limiet binnen de oneindige som haalt, of bijv. een limiet van Riemannsommen zodat je de limiet binnen de integraal kunt halen.

Oh ik zie dat mijn plaatje niet klopt. Ik had eerst f_k verkeerd gedefinieerd waardoor het een oneindige som was, en vandaar die extra zin om te beredeneren dat die f_k dan continu zou zijn (wat inderdaad dus onjuist is, ik snap het ), maar toen ik dat verbeterd had ben ik dus vergeten de rest ook aan te passen.

Wat je verder zegt lijkt me wel handig, om die x vast te kiezen. Alleen lukt het me niet om een verband tussen K en epsilon kan vinden zodat de ongelijkheid geldt... Dat die K niet mag afhangen van x bemoeilijkt het ook.

Nu klopt het plaatje wel als het goed is:

quote:

Op zondag 9 januari 2011 15:10 schreef Holy_Goat het volgende:

[..]

heb je het uberhaupt al zelf geprobeerd?

Heb je überhaupt mijn post wel gelezen?

quote:

Op zondag 9 januari 2011 15:54 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Oh ik zie dat mijn plaatje niet klopt. Ik had eerst f_k verkeerd gedefinieerd waardoor het een oneindige som was, en vandaar die extra zin om te beredeneren dat die f_k dan continu zou zijn (wat inderdaad dus onjuist is, ik snap het ), maar toen ik dat verbeterd had ben ik dus vergeten de rest ook aan te passen.

Wat je verder zegt lijkt me wel handig, om die x vast te kiezen. Alleen lukt het me niet om een verband tussen K en epsilon kan vinden zodat de ongelijkheid geldt... Dat die K niet mag afhangen van x bemoeilijkt het ook.

Nu klopt het plaatje wel als het goed is:
[ afbeelding ]



[..]

Heb je überhaupt mijn post wel gelezen?

Ik begrijp niet helemaal waarom je nu x=a neemt? Je zou het als volgt kunnen doen. Neem a>0 willekeurig, we gaan bewijzen dat uniform naar convergeert op . Gegeven een willekeurige , kies groot genoeg zodat



Dan geldt voor elke

Ah, zo. Je bedoelt waarschijnlijk bij die eerste som wel dat e^a binnen de som moet staan, want dat is wat je uiteindelijk gebruikt en anders klopt het ook niet.

Maar nu heb je bewezen dat f continu is op (-inf, a] voor willekeurige a, maar dat is wat anders dan f is continu op (-inf,inf). Een x=n gooit dan roet in het eten... . Dus ik betwijfel of je op deze manier wel continuïteit op (-inf,inf) kan bewijzen...

Of kan je iets zeggen als (-inf,inf) = vereniging over alle a in R van (-inf,a], en als f continu is op intervallen (-inf,a] dan is hij dat ook op de vereniging? Dat zou ik dan nog wel moeten nagaan of dat klopt..

quote:

Op zondag 9 januari 2011 16:36 schreef BasementDweller het volgende:
Ah, zo. Je bedoelt waarschijnlijk bij die eerste som wel dat e^a binnen de som moet staan, want dat is wat je uiteindelijk gebruikt en anders klopt het ook niet.

Het maakt geen verschil of je e^a binnen of buiten de som schrijft toch?

quote:

Maar nu heb je bewezen dat f continu is op (-inf, a] voor willekeurige a, maar dat is wat anders dan f is continu op (-inf,inf). Een x=n gooit dan roet in het eten... . Dus ik betwijfel of je op deze manier wel continuïteit op (-inf,inf) kan bewijzen...

Of kan je iets zeggen als (-inf,inf) = vereniging over alle a in R van (-inf,a], en als f continu is op intervallen (-inf,a] dan is hij dat ook op de vereniging? Dat zou ik dan nog wel moeten nagaan of dat klopt..

Het is simpeler: continuiteit is een lokale eigenschap. Continuiteit op R betekent niets anders dan dat de functie continu is in elk punt x \in R. Dat volgt nu meteen, neem nl. een willekeurige x \in R. Kies een a>x. We hebben bewezen dat f_k uniform naar f op (-\infty,a], dus is f continu op (-\infty,a), en in het bijzonder ook in x. Einde bewijs. Of niet?

quote:

Op zondag 9 januari 2011 16:45 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Het maakt geen verschil of je e^a binnen of buiten de som schrijft toch?

Je hebt gelijk.

quote:

[..]

Het is simpeler: continuiteit is een lokale eigenschap. Continuiteit op R betekent niets anders dan dat de functie continu is in elk punt x \in R. Dat volgt nu meteen, neem nl. een willekeurige x \in R. Kies een a>x. We hebben bewezen dat f_k uniform naar f op (-\infty,a], dus is f continu op (-\infty,a), en in het bijzonder ook in x. Einde bewijs. Of niet?

Klinkt opzich wel logisch, maar ik heb op college ook wel eens een reeks gezien die uniform convergent was op [epsilon,2] voor iedere epsilon>0 maar niet op (0,2). Ik heb dat nooit helemaal gesnapt, maar dat lijkt me ongeveer hetzelfde als hier.

quote:

Op zondag 9 januari 2011 16:56 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Klinkt opzich wel logisch, maar ik heb op college ook wel eens een reeks gezien die uniform convergent was op [epsilon,2] voor iedere epsilon>0 maar niet op (0,2). Ik heb dat nooit helemaal gesnapt, maar dat lijkt me ongeveer hetzelfde als hier.

Hier is een voorbeeld (dit is zelfs de functie waar ik mee in de war was bij je eerste vraag), neem f_k(x) = e^(-kx). Deze heeft als puntsgewijze limiet als k \to \infty de functie f met f(0)=1 en f(x)=0 als x>0 (discontinu in x=0 dus). Er geldt nu dat f_k \to f uniform op [a,\infty) voor elke a>0, maar niet voor a=0 (ook niet op (0,\infty)). Kun je zien waarom? Inderdaad, consistent hiermee: de limietfunctie f is continu op (0,\infty), maar niet op [0,\infty).

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

[ Bericht 11% gewijzigd door keesjeislief op 09-01-2011 17:21:19 ]

Volgens mij convergeert deze f_k niet uniform naar 1 op (0,inf). Kies epsilon=1/(2e), zij N een willekeurig natuurlijk getal en kies n=N. Kies x=1/n. Dan geldt:
|f_n(x) - 0| = |f_N(1/N)| = e^(-1) > epsilon

"naar f" ipv "naar 1"? Maar je hebt gelijk, geen uniforme convergentie op (0,\infty), dus zeker niet op [0,\infty), en het blijkt dat de limietfunctie inderdaad discontinu is in x=0. Neemt dit nu je twijfel over antwoord op je vorige vraag weg?

Naar f of naar 0 (oeps, niet 1) op (0,inf) maakt niet uit, want f(x)=0 voor alle x in (0,inf).

Het voorbeeld dat ik gaf was wel weer net wat anders, maar toch helpt het. Onee, ik zie nu pas dat het hetzelfde is ! Alles begint langzaam tot me door te dringen... ik ga er nog even rustig naar kijken en als ik iets toch niet snap dan laat ik het wel even weten.

Hartelijk bedankt voor je hulp in ieder geval