SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Oke weer wat lineaire algebra:
Vlak V door de oorsprong met normaalvector n=[2,-1,-1] en de vector u=[1,1,0].
vraag: Wat is de matrix die hoort bij de projectie op het vlak V. ?
nu weet ik hoe je de projectie vind, de projectie van u op het vlak V is namelijk [0, -1/2, -1/2] maar hoe maak ik hier een matrix van?
Vlak V door de oorsprong met normaalvector n=[2,-1,-1] en de vector u=[1,1,0].
vraag: Wat is de matrix die hoort bij de projectie op het vlak V. ?
nu weet ik hoe je de projectie vind, de projectie van u op het vlak V is namelijk [0, -1/2, -1/2] maar hoe maak ik hier een matrix van?
Kun je de drie eenheidsvectoren projecteren?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hoe kan je bewijzen dat C\{0} isomorf is met R>0 x C. Waarbij C de complexe getallen zijn en ik neem aan dat met C bedoeld wordt {complexe getallen z : |z|=1}.
(a, b) -> ab is een isomorfisme van R>0 x C naar C\{0}.quote:Op vrijdag 5 november 2010 23:16 schreef BasementDweller het volgende:
Hoe kan je bewijzen dat C\{0} isomorf is met R>0 x C. Waarbij C de complexe getallen zijn en ik neem aan dat met C bedoeld wordt {complexe getallen z : |z|=1}.
Let G be the group whose elements are infinite sequences (a1, a2, ...) of integers which combine termwise via (a1,a2,...)(b1,b2,...) = (a1 + b1, a2 + b2, ...). Prove that G x Z and G x G are both isomorphic to G.
Het is duidelijk dat G x G isomorf is aan G met de bijectie g -> (g,g). Ik hoef dus alleen te laten zien dat G x Z isomorf is met G x G. Klopt het dat je hiervoor alleen hoeft te laten zien dat G isomorf is met Z?
[ Bericht 61% gewijzigd door BasementDweller op 06-11-2010 13:47:15 ]
Het is duidelijk dat G x G isomorf is aan G met de bijectie g -> (g,g). Ik hoef dus alleen te laten zien dat G x Z isomorf is met G x G. Klopt het dat je hiervoor alleen hoeft te laten zien dat G isomorf is met Z?
[ Bericht 61% gewijzigd door BasementDweller op 06-11-2010 13:47:15 ]
Oh, dat leek me wel logisch dat ze isomofr zouden zijn want Z is in feite ook een infite sequence of integers.
Ik dacht dat a0 -> 0, a1->1 a2->-1, a3 -> 2, a4 -> -2, ... etc, wel een isomorfisme van G naar Z zou definiëren.
Ik dacht dat a0 -> 0, a1->1 a2->-1, a3 -> 2, a4 -> -2, ... etc, wel een isomorfisme van G naar Z zou definiëren.
ai is geen element van G. Elementen van G zijn rijtjes van zulke dingen. Dus je moet (a1, a2, ...) ergens heen sturen.
f: G -> G x G, (g1,g2,g3,...) -> [(g1,g3,g5,..), (g2,g4,g6,...)] is bijectief.
f(gh) = f( (g1,g2,...)(h1,h2,...) ) = f( (g1+h1,g2+h2,...) ) = [ (g1+h1, g3+h3, ...), (g2+h2, g4+h2, ... ) ]
f(g)f(h) = f(g1,g2,...) f(h1,h2,...) = [(g1,g3,g5,..), (g2,g4,g6,...)] [(h1,h3,h5,..), (h2,h4,h6,...)] = [ (g1+h1, g3+h3, ...), (g2+h2, g4+h2, ... ) ]
Dus f(gh)=f(g)f(h).
f(gh) = f( (g1,g2,...)(h1,h2,...) ) = f( (g1+h1,g2+h2,...) ) = [ (g1+h1, g3+h3, ...), (g2+h2, g4+h2, ... ) ]
f(g)f(h) = f(g1,g2,...) f(h1,h2,...) = [(g1,g3,g5,..), (g2,g4,g6,...)] [(h1,h3,h5,..), (h2,h4,h6,...)] = [ (g1+h1, g3+h3, ...), (g2+h2, g4+h2, ... ) ]
Dus f(gh)=f(g)f(h).
Mooi 
. Binnenkort tentamen dus ik ga dit topic even kapen met groepentheorie vragen 
.
Let G be a finite abelian group and let m be the least common multiple of the order of its elements. Prove that G contains an element of order m.
Laat m de lcm zijn van de ordes van de elementen van G. Stel dat de orde van g1 gelijk is aan n. Dan geldt m=kn voor een zeker geheel getal k. Dus g1m= g1kn= (g1n)k = ek =e.
Verder weet ik dat de orde van ieder element g een deler is van de orde van G. Dus laat |G|=n, dan geldt l *orde(g)= n voor een zekere l. Nu moet ik nog aantonen dat er een g in G bestaat waarvoor m het kleinste getal is waarvoor gm=e.
. Binnenkort tentamen dus ik ga dit topic even kapen met groepentheorie vragen .Let G be a finite abelian group and let m be the least common multiple of the order of its elements. Prove that G contains an element of order m.
Laat m de lcm zijn van de ordes van de elementen van G. Stel dat de orde van g1 gelijk is aan n. Dan geldt m=kn voor een zeker geheel getal k. Dus g1m= g1kn= (g1n)k = ek =e.
Verder weet ik dat de orde van ieder element g een deler is van de orde van G. Dus laat |G|=n, dan geldt l *orde(g)= n voor een zekere l. Nu moet ik nog aantonen dat er een g in G bestaat waarvoor m het kleinste getal is waarvoor gm=e.
Okee, dan gaan we die niet gebruiken. Laat g een element van maximale orde zijn, en neem aan dat die orde niet gelijk is aan m. Construeer dan een element met een grotere orde.
Als je een element g van orde kleiner dan m hebt, kun je altijd een element h met ord(h) > ord(g) maken. Probeer dat maar eens.
Ah, zo 
.
Volgens mij is het gewoon zo dat ord(g1g2g3 ....) = m.
Want (g1g2g3 ....)m = g1m g2m g3m ... = e (omdat ie abels is). Bovendien is er geen m die kleiner is en daaraan voldoet omdat m de lcm van de ordes van g1,g2,... is.
Dus er is een element met orde m.
.Volgens mij is het gewoon zo dat ord(g1g2g3 ....) = m.
Want (g1g2g3 ....)m = g1m g2m g3m ... = e (omdat ie abels is). Bovendien is er geen m die kleiner is en daaraan voldoet omdat m de lcm van de ordes van g1,g2,... is.
Dus er is een element met orde m.
Nu nog een paar opgaves over conjugatie en permutaties.. hier heb ik het meeste moeite mee.
Prove that the 3-cycles in A5 form a single conjugacy class.
Hoe pak ik dit aan?
Ik weet dat de 3-cylces A5 genereren.
[ Bericht 12% gewijzigd door BasementDweller op 06-11-2010 21:15:17 ]
Prove that the 3-cycles in A5 form a single conjugacy class.
Hoe pak ik dit aan?
Ik weet dat de 3-cylces A5 genereren.
[ Bericht 12% gewijzigd door BasementDweller op 06-11-2010 21:15:17 ]
Dat lijkt me niet. De orde van het product van twee elementen kan best kleiner zijn dan de orde van elk van beide: neem bijvoorbeeld g1 = g en g2 = g-1. In het algemeen kun je echter wel een ondergrens voor de orde van het product geven in termen van de orde van beide elementen. Probeer dat maar eens.quote:Op zaterdag 6 november 2010 16:32 schreef BasementDweller het volgende:
Ah, zo
Volgens mij is het gewoon zo dat ord(g1g2g3 ....) = m.
Want (g1g2g3 ....)m = g1m g2m g3m ... = e (omdat ie abels is). Bovendien is er geen m die kleiner is en daaraan voldoet omdat m de lcm van de ordes van g1,g2,... is.
Dus er is een element met orde m.
Ik zou zeggen: schrijf eens uit wat een conjugatie met een cykel doet. Dus je hebt een permutatie sigma, en een cykel (abc) wat is dan sigma * (abc) * sigma-1? Kan natuurlijk in willekeurige permutatiegroepen met cykels van willekeurige lengte.quote:Op zaterdag 6 november 2010 19:56 schreef BasementDweller het volgende:
Nu nog een paar opgaves over conjugatie en permutaties.. hier heb ik het meeste moeite mee.
Prove that the 3-cycles in A5 form a single conjugacy class.
Hoe pak ik dit aan?
Ik weet dat de 3-cylces A5 genereren.
Dat hangt af van abc en van sigma... ik weet niet hoe ik dat algemeen zou kunnen opschrijven?quote:Op zondag 7 november 2010 11:21 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik zou zeggen: schrijf eens uit wat een conjugatie met een cykel doet. Dus je hebt een permutatie sigma, en een cykel (abc) wat is dan sigma * (abc) * sigma-1? Kan natuurlijk in willekeurige permutatiegroepen met cykels van willekeurige lengte.
Maar volgens mij houdt een conjugatie de cykelstructuur intact.
De orde van het product is minstens even groot als het verschil van de ordes?quote:Op zondag 7 november 2010 11:17 schreef thabit het volgende:
[..]
Dat lijkt me niet. De orde van het product van twee elementen kan best kleiner zijn dan de orde van elk van beide: neem bijvoorbeeld g1 = g en g2 = g-1. In het algemeen kun je echter wel een ondergrens voor de orde van het product geven in termen van de orde van beide elementen. Probeer dat maar eens.
Werk maar eens wat voorbeelden uit, misschien krijg je dan een idee.quote:Op zondag 7 november 2010 12:07 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
Dat hangt af van abc en van sigma... ik weet niet hoe ik dat algemeen zou kunnen opschrijven?
Maar volgens mij houdt een conjugatie de cykelstructuur intact.
Nee, dat hoeft niet. Probeer het volgende maar eens aan te tonen: als ord(g) en ord(h) onderling ondeelbaar zijn, dan geldt org(gh) = ord(g)ord(h).quote:Op zondag 7 november 2010 12:07 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
De orde van het product is minstens even groot als het verschil van de ordes?
g(abc)g-1 = (g(a) g(b) g(c))quote:Op zondag 7 november 2010 12:16 schreef thabit het volgende:
[..]
Werk maar eens wat voorbeelden uit, misschien krijg je dan een idee.
Juist.quote:Op zondag 7 november 2010 12:31 schreef BasementDweller het volgende:
[..]
g(abc)g-1 = (g(a) g(b) g(c))
Maar dan snap ik nog niet waarom 3-cycles in A5 een enkele conjugatieklasse vormen. In het boek zie ik ook staan dat de 3-cycles in A4 2 conjugatieklassen vormen..
Wel, als (abc) een 3-cykel is, dan kies je een g in A5 met g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c en is g(123)g-1 gelijk aan (abc). Alle 3-cykels zijn dus geconjugeerd aan (123) en derhalve aan elkaar. In A4 heb je het probleem dat er voor elke (abc) een g bestaat met g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c.
Ah, dat eerste snap ikquote:
Wel, als (abc) een 3-cykel is, dan kies je een g in A5 met g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c en is g(123)g-1 gelijk aan (abc). Alle 3-cykels zijn dus geconjugeerd aan (123) en derhalve aan elkaar. In A4 heb je het probleem dat er voor elke (abc) een g bestaat met g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c.
. Maar waarom is dat laatste een probleem?
Ik zit er de hele tijd naar te kijken maar zie het echt niet. Waarom bestaat zo'n g wel in A5 maar niet in A4?
g bestaat altijd in Sn want je stuurt 1 naar a, 2 naar b en 3 naar c. Maar het punt is nu dat g in An moet zitten, dwz een even permutatie moet zijn. Zie je waarom dat in A5 wel lukt maar niet in A4?
Ik zie dat het in A4 niet lukt om (123) zodanig te conjugeren dat er (132) uitkomt bijvoorbeeld, omdat je dan een 2-cykel nodig hebt zoals (23). Maar in A5 kan je wel conjugeren met (23)(45) zie ik nu, omdat die (45)(54) toch niks doet.
Maar als je dus wil bewijzen dat je de 3-cykels in A5 een enkele conjugatieklasse vormen, moet je ook bewijzen dat je een element uit A5 kan kiezen waarvoor g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c. Nog best lastig om dat algemeen op te schrijven....
edit: of als je weet dat je iedere 3-cykel kan maken door (123) te conjugeren met een transpositie of een 3-cykel dan ben je ook klaar. Want als je conjugeren met een transpositie voeg je gewoon (45) toe.
[ Bericht 17% gewijzigd door BasementDweller op 07-11-2010 15:34:31 ]
Maar als je dus wil bewijzen dat je de 3-cykels in A5 een enkele conjugatieklasse vormen, moet je ook bewijzen dat je een element uit A5 kan kiezen waarvoor g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c. Nog best lastig om dat algemeen op te schrijven....
edit: of als je weet dat je iedere 3-cykel kan maken door (123) te conjugeren met een transpositie of een 3-cykel dan ben je ook klaar. Want als je conjugeren met een transpositie voeg je gewoon (45) toe.
[ Bericht 17% gewijzigd door BasementDweller op 07-11-2010 15:34:31 ]
Vraag
Antwoordquote:Voor f(x) geldt f(1) = 0 en f(2) = 1. Verder geldt voor alle x > 2 dat
f(x) = x - f(x - 1) - f(x - 2)
Bereken f(1990).
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Ik vroeg me af hoe iemand die echt goed was in dit soort dingen dit op zou lossen? Ik heb maar lopen klooien
Come on, who can, who can, can hear the bass drum.
We switchen even naar matrixnotatie:
Noteer de state als x_t met x_1 = [0; 1]
Er geldt x_{t+1} = A x_t + [0; t] met A de casorati-matrix; A = [0 1; -1 -1].
Bekijk eerst het homogene systeem x_{t+1} = A x_t
A heeft eigenwaarden r(cos(phi) + i sin(phi)) en r(cos(phi) - i sin(phi)) met r=1 en phi=4/3 * pi. De oplossing van het homogene stelsel wordt daarom gegeven door x_t = b1 cos(4/3 * pi * t) + b2 sin(4/3 * pi * t).
Het particuliere deel is van de vorm x_t = a+bt, dus we proberen x_t = c1 + c2 t in te vullen:
c1 + c2 t = t - c1 - c2 (t-1) - c1 - c2 (t-2)
omschrijven:
(3 c2 - 1) t + 3 (c1 - c2) = 0.
Alleen waar voor elke t als c2 = 1/3 en c1 = 1/3.
We hebben dus x_t = b1 cos(4/3 * pi * t) + b2 sin(4/3 * pi * t) + 1/3 + 1/3 t.
b1 en b2 kun je vinden met x_1 = 0 en x_2 = 1.
0 = b1 cos(4/3 * pi * 1) + b2 sin(4/3 * pi * 1) + 1/3 + 1/3
2 = b1 cos(4/3 * pi * 2) + b2 sin(4/3 * pi * 2) + 1/3 + 2/3
0 = -0.5 b1 + b2 sin(4/3 * pi) + 2/3
1 = -0.5 b1 + b2 sin(8/3 * pi) + 1
Bij elkaar optellen levert 1 = -b1 + 5/3, zodat b1 = 2/3 en b2 = 1/(3sin(pi/3))
x_t = 2/3 cos(4/3 * pi * t) + 1/(3sin(pi/3)) sin(4/3 * pi * t) + 1/3 + 1/3 t.
x_1990 = 663
Noteer de state als x_t met x_1 = [0; 1]
Er geldt x_{t+1} = A x_t + [0; t] met A de casorati-matrix; A = [0 1; -1 -1].
Bekijk eerst het homogene systeem x_{t+1} = A x_t
A heeft eigenwaarden r(cos(phi) + i sin(phi)) en r(cos(phi) - i sin(phi)) met r=1 en phi=4/3 * pi. De oplossing van het homogene stelsel wordt daarom gegeven door x_t = b1 cos(4/3 * pi * t) + b2 sin(4/3 * pi * t).
Het particuliere deel is van de vorm x_t = a+bt, dus we proberen x_t = c1 + c2 t in te vullen:
c1 + c2 t = t - c1 - c2 (t-1) - c1 - c2 (t-2)
omschrijven:
(3 c2 - 1) t + 3 (c1 - c2) = 0.
Alleen waar voor elke t als c2 = 1/3 en c1 = 1/3.
We hebben dus x_t = b1 cos(4/3 * pi * t) + b2 sin(4/3 * pi * t) + 1/3 + 1/3 t.
b1 en b2 kun je vinden met x_1 = 0 en x_2 = 1.
0 = b1 cos(4/3 * pi * 1) + b2 sin(4/3 * pi * 1) + 1/3 + 1/3
2 = b1 cos(4/3 * pi * 2) + b2 sin(4/3 * pi * 2) + 1/3 + 2/3
0 = -0.5 b1 + b2 sin(4/3 * pi) + 2/3
1 = -0.5 b1 + b2 sin(8/3 * pi) + 1
Bij elkaar optellen levert 1 = -b1 + 5/3, zodat b1 = 2/3 en b2 = 1/(3sin(pi/3))
x_t = 2/3 cos(4/3 * pi * t) + 1/(3sin(pi/3)) sin(4/3 * pi * t) + 1/3 + 1/3 t.
x_1990 = 663
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
quote:
Vraag
[..]
AntwoordDit is een recurrente betrekking van graad 2, die kun je wel met standaardtechnieken oplossen.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Ik vroeg me af hoe iemand die echt goed was in dit soort dingen dit op zou lossen? Ik heb maar lopen klooien
Ik zoek een tegenvoorbeeld om de volgende bewering te staven:
Een compacte subset van een niet-hausdorffruimte hoeft niet per se gesloten te zijn.
Goed nu vond ik op planetmath het volgende voorbeeld:
Let X be an infinite set with the finite complement topology. Let S be a subset of X , and let U be an open cover of S . Let V be in U . Then X\V is finite (omdat V open is) . • Choosing a member of for each remaining element of S shows that has a finite subcover. Thus, every subset of X is compact. An infinite subset of X will then be compact, but not closed.
Ik heb een vraag betreffende het • gedeelte.
Hoe komt het dat S dan een eindige deeloverdekking heeft? S kan toch oneindig zijn en dan moet je oneindig veel 'members' kiezen, wat geen eindige deeloverdekking levert?
Een compacte subset van een niet-hausdorffruimte hoeft niet per se gesloten te zijn.
Goed nu vond ik op planetmath het volgende voorbeeld:
Let X be an infinite set with the finite complement topology. Let S be a subset of X , and let U be an open cover of S . Let V be in U . Then X\V is finite (omdat V open is) . • Choosing a member of for each remaining element of S shows that has a finite subcover. Thus, every subset of X is compact. An infinite subset of X will then be compact, but not closed.
Ik heb een vraag betreffende het • gedeelte.
Hoe komt het dat S dan een eindige deeloverdekking heeft? S kan toch oneindig zijn en dan moet je oneindig veel 'members' kiezen, wat geen eindige deeloverdekking levert?
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |