[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op maandag 9 augustus 2010 21:58 schreef jbjb het volgende:
Kan iemand mij een opstapje geven hoe ik deze vraag kan oplossen?
Ik weet niet eens hoe ik moet beginnen

[ afbeelding ]

Het plaatje mag wel wat kleiner hoor .

Maar goed, first things first: Dit is een optimaliseringsvraagstuk en dan kom je algauw bij differentiëren uit. Je wilt dus berekenen bij welke b en h het weerstandsmoment W het hoogste is. Dat moet al een belletje doen rinkelen: je moet dus gaan berekenen voor welke b en h de afgeleide van de formule voor het weerstandsmoment nul is. Nou zal je denken: "Ai, ik zie daar 2 variabelen staan en differentiëren kan ik voorlopig alleen maar als er 1 variabele staat". Komt dat heel mooi uit dat je nog een formule hebt die een verband legt ts b en h, namelijk h² + b² = 50². Dat kan je heel mooi omschrijven naar h² = 50² - b² . En die laatste vorm kan je direct inpluggen in W = 0,5 * b * h² . Daarmee heb je een uitdrukking voor W in termen van alleen b als variabele verkregen, en die kan je wel een eenvoudig differentiëren naar b, de afgeleide daarvan naar b op nul stellen, en vervolgens de b die daar uit rolt in h² = 50² - b² pluggen om h te berekenen. Presto!!

@glowmouse: Al verbeterd. Thnx for spotting the typo. En dit is uiteraard puur mathematisch bekeken.

[ Bericht 1% gewijzigd door ErictheSwift op 09-08-2010 22:21:02 ]

Heel erg bedankt voor jullie reacties! hier schiet ik een hoop mee op

Stel, je hebt een vereenvoudigde breuk ^a/_b. Als de ontbinding in priemfactoren andere priemfactoren dan die van "de basis"(ik bedoel de 10 in het decimale stelsel, 2x5 is de ontbinding in priemfactoren), is de breuk repeterend. Je kan de periode zoeken door naar dat getal c te zoeken waarvoor geldt dat (10^c-1) deelbaar is door b (maar de priemfactoren die ook in de basis voorkomen, 2 en 5, moet je er geloof ik uithalen).
Is er ook een manier om te weten wanneer (op welke decimale plek) de breuk start met repeteren? Bijvoorbeeld ¹/₁₅ heeft nog een 0 na de komma voordat de 6 start met repeteren.

Ik weet niet of dit verhaal begrijpelijk is en of het klopt, dit is gebaseerd op wat snelle research laat in de avond . Hopelijk weet iemand er wat meer van...

[ Bericht 36% gewijzigd door minibeer op 10-08-2010 02:18:44 ]

quote:

Op maandag 9 augustus 2010 23:40 schreef minibeer het volgende:
Stel, je hebt een vereenvoudigde breuk ^a/_b. Als de ontbinding in priemfactoren andere priemfactoren dan die van "de basis"(ik bedoel de 10 in het decimale stelsel, 2x5 is de ontbinding in priemfactoren), is de breuk repeterend. Je kan de periode zoeken door naar dat getal c te zoeken waarvoor geldt dat (10^c-1) deelbaar is door b (maar de priemfactoren die ook in de basis voorkomen, 2 en 5, moet je er geloof ik uithalen).
Is er ook een manier om te weten wanneer (op welke decimale plek) de breuk start met repeteren? Bijvoorbeeld ¹/₁₅ heeft nog een 0 na de komma voordat de 6 start met repeteren.

Ik weet niet of dit verhaal begrijpelijk is en of het klopt, dit is gebaseerd op wat snelle research laat in de avond . Hopelijk weet iemand er wat meer van...

Het aantal cijfers na het decimale scheidingsteken dat vooraf gaat aan het repeterende deel hangt af van het aantal factoren 2 en 5 in de priemfactorontbinding van de noemer in de vereenvoudigde breuk. Zijn er a factoren 2 en b factoren 5 in de priemfactorontbinding, dan bestaat het niet-repeterende deel na het decimale scheidingsteken uit max(a,b) cijfers. Kijk even hier.

quote:

Op dinsdag 10 augustus 2010 19:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het aantal cijfers na het decimale scheidingsteken dat vooraf gaat aan het repeterende deel hangt af van het aantal factoren 2 en 5 in de priemfactorontbinding van de noemer in de vereenvoudigde breuk. Zijn er a factoren 2 en b factoren 5 in de priemfactorontbinding, dan bestaat het niet-repeterende deel na het decimale scheidingsteken uit max(a,b) cijfers. Kijk even hier.

Dankje Ik vind het best leuke stof

Ik heb 2 vragen.

Omdat dit voor het eerst is dat ik met goniometrie aan de slag ben is het nog allemaal wat onduidelijk voor mij.
1) Voor welke waarden van a heeft de vergelijking 2sin²(x) + cos²(x) =a een oplossing?
Ik weet dat sin²(x) + cos²(x) = 1. Omdat er nu staat 2sin(x), betekent dit dat dat sin(x) nu niet van y= -1 tot y=1 maar van y= -2 tot y=2 gaat? En vervolgens wordt 2sin(x) ook nog gekwadrateerd...

2) Bepaal het domein en los op wortel(x-1) = x-7
Zelf had ik dit gedaan:
D = x-1 > 0, x gelijk of groter dan 1
wortel(x-1) = x-7
(x-1)^(1/2) = x-7
x-1 = (x-7)²
x-1 = x² - 14x + 49
Als ik vervolgens de ABC formule toepas komt er een antwoord uit dat niet klopt (x=7). Ik weet dat het goede antwoord x=10 moet zijn omdat ik dat al meteen zag, maar ik wil graag weten hoe je daar komt.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:14 schreef pieter_R het volgende:
Ik heb 2 vragen.

Omdat dit voor het eerst is dat ik met goniometrie aan de slag ben is het nog allemaal wat onduidelijk voor mij.
1) Voor welke waarden van a heeft de vergelijking 2sin²(x) + cos²(x) =a een oplossing?
Ik weet dat sin²(x) + cos²(x) = 1. Omdat er nu staat 2sin(x), betekent dit dat dat sin(x) nu niet van y= -1 tot y=1 maar van y= -2 tot y=2 gaat? En vervolgens wordt 2sin(x) ook nog gekwadrateerd...

2) Bepaal het domein en los op wortel(x-1) = x-7
Zelf had ik dit gedaan:
D = x-1 > 0, x gelijk of groter dan 1
wortel(x-1) = x-7
(x-1)^(1/2) = x-7
x-1 = (x-7)²
x-1 = x² - 14x + 49
Als ik vervolgens de ABC formule toepas komt er een antwoord uit dat niet klopt (x=7). Ik weet dat het goede antwoord x=10 moet zijn omdat ik dat al meteen zag, maar ik wil graag weten hoe je daar komt.

Je eerste vraag heb ik zo snel geen antwoord op (even geen tijd voor), op je tweede vraag wel:
Je moet namelijk eerst de linkerkant van het =-teken nog naar 0 brengen voordat je de ABC-formule toepast.

Je krijgt dan: x² - 15x + 50 = 0
Dan komt er wel 10 uit als ik me niet vergis!

Er komt ook een tweede oplossing uit die vervalt. Deze is ontstaan door het kwadrateren.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:28 schreef FedExpress het volgende:

[..]

Je eerste vraag heb ik zo snel geen antwoord op (even geen tijd voor), op je tweede vraag wel:
Je moet namelijk eerst de linkerkant van het =-teken nog naar 0 brengen voordat je de ABC-formule toepast.

Je krijgt dan: x² - 15x + 50 = 0
Dan komt er wel 10 uit als ik me niet vergis!

Er komt ook een tweede oplossing uit die vervalt. Deze is ontstaan door het kwadrateren.

Ah natuurlijk moest ik de andere kant naar 0 brengen. Bedankt voor je hulp!

[ Bericht 9% gewijzigd door pieter_R op 11-08-2010 17:22:46 ]

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:34 schreef pieter_R het volgende:

[..]

Ah natuurlijk moest ik de andere kant naar 0 brengen. Naast x=5 is x=10 ook een antwoord
x² - 15x + 50 = (x-5)(x-10), dus x = 5 of x=10. Bedankt voor je hulp!

x = 5 is hier geen correct antwoord in ieder geval he wortel(5-1) = 2, terwijl 5-7 = -2

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:37 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Nee, er staat 2sin²(x).
[..]

Nee, sin(x) gaat altijd van y=-1 tot y=1.
[..]


Nee, dan zou je 4sin²(x) krijgen.

Schrijf 2sin²(x) als sin²(x) + sin²(x).

Dan snap ik het nog steeds in

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:43 schreef FedExpress het volgende:

[..]

x = 5 is hier geen correct antwoord in ieder geval he wortel(5-1) = 2, terwijl 5-7 = -2

Oja :p Ben zoveel stof aan het doorspitten dat m'n zorgvuldigheid soms nogal wat te wensen overlaat..

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 12:31 schreef pieter_R het volgende:

[..]

Dan snap ik het nog steeds in

nu krijg je sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) = a
Je zei zelf al: sin²(x) + cos²(x) = 1, dus nu heb je nog 1 + sin²(x) =a

Nu jij

[ Bericht 51% gewijzigd door pieter_R op 11-08-2010 17:23:41 ]

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 12:47 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


1<1?

Ik bedoelde 1 + een waarde tussen de 0 en 1.

quote:

En is het niet gewoon een strikvraag ivm periodiciteit?

Geen idee? Dit zijn oefenopgaven die ik maak omdat ik een toelatingstoets voor Econometrie moet doen (wiskunde B eis).

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 13:09 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Ga niet zelf notatie bedenken.
sin²(x) + 1 = a.
sin²(x) = a-1
Nu weet je dat de linkerkant tussen 0 en 1 ligt. Maar leg eens uit waarom er bij bijvoorbeeld a=1,5 precies één oplossing is.
[..]


Dan mag je wel wat meer stapjes zelf zetten en zuiverder redeneren, want anders kom je er niet.

Ik heb drie jaar geen wiskunde meer gehad, logisch dat het allemaal weer wennen is natuurlijk.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 13:09 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Ga niet zelf notatie bedenken.
sin²(x) + 1 = a.
sin²(x) = a-1
Nu weet je dat de linkerkant tussen 0 en 1 ligt. Maar leg eens uit waarom er bij bijvoorbeeld a=1,5 precies één oplossing is.
[..]

Je kunt niet zeggen dat er precies één oplossing is als je niet weet aan welke voorwaarden x eventueel moet voldoen.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 11:14 schreef pieter_R het volgende:

Omdat dit voor het eerst is dat ik met goniometrie aan de slag ben is het nog allemaal wat onduidelijk voor mij.
1) Voor welke waarden van a heeft de vergelijking 2sin²(x) + cos²(x) =a een oplossing?
Ik weet dat sin²(x) + cos²(x) = 1. Omdat er nu staat 2sin(x), betekent dit dat dat sin(x) nu niet van y= -1 tot y=1 maar van y= -2 tot y=2 gaat? En vervolgens wordt 2sin(x) ook nog gekwadrateerd...

1.) Schrijf eerst cosx in termen van sinx mbv de identiteit sin²x + cos²x = 1.
cos²x = 1 - sin²x .

2.) plug 1 - sin²x in voor de cos²(x) term in de oorspronkelijke opgave.
2sin²(x) + cos²(x) = a
2sin²(x) + 1 - sin²x = a
sin²(x) + 1 = a

3.) differentieer sin²(x) + 1 naar x
f(x) = sin²(x) + 1
f'(x) 2sin(x)cos(x) = sin(2x) (ken uw goniometrische betrekkingen )

4.) stel sin(2x) = 0
oplossingen zijn: 0 + 0.5*k*pi (k is integerwaarde)

5.) check de oplossingen; gelukkig heb je er maar twee nodig. 0 en 0,5*pi
sin²(0) + 1 = 1
sin²(0.5*pi) + 1 = 2

Hieruit volgen twee oplossingen voor a, nl. a=1 ^ a=2 .

Eric, ik volg je niet. Het antwoord op de opgave zoals die door pieter_R is gepost is 1 ≤ a ≤ 2 als er althans geen aanvullende voorwaarden worden gesteld aan x, uitgezonderd dat dit een reëel getal moet zijn.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 18:12 schreef Riparius het volgende:
Eric, ik volg je niet. Het antwoord op de opgave zoals die door pieter_R is gepost is 1 ≤ a ≤ 2 als er althans geen aanvullende voorwaarden worden gesteld aan x, uitgezonderd dat dit een reëel getal moet zijn.

Oh, ik las de opgave als "voor welke waarden van a heeft de vgl. 1/één oplossing". Beter zou zijn geweest als ze de vraag als "voor welke waarden van a bestaan er oplossingen voor de vgl" geformuleerd hadden. Neemt niet weg dat de oplossingsstrategie dezelfde blijft.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 18:17 schreef ErictheSwift het volgende:

[..]

Oh, ik las de opgave als "voor welke waarden van a heeft de vgl. 1/één oplossing". Beter zou zijn geweest als ze de vraag als "voor welke waarden van a bestaan er oplossingen voor de vgl" geformuleerd hadden. Neemt niet weg dat de oplossingsstrategie dezelfde blijft.

Tja, er is in het Nederlands verschil tussen een en één in lopende tekst. Maar dan nog zie ik niet waarom jouw strategie juist zou zijn, dat is ie niet. Aangezien sin²(x) alleen waarden op het interval [0, 1] aan kan nemen (voor reële waarden van x) hebben we 0 ≤ a - 1 ≤ 1 en dus 1 ≤ a ≤ 2. Dat is echt alles.

quote:

Op woensdag 11 augustus 2010 18:35 schreef Riparius het volgende:
Tja, er is in het Nederlands verschil tussen een en één in lopende tekst. Maar dan nog zie ik niet waarom jouw strategie juist zou zijn, dat is ie niet.

Dat ist-ie toch echt wel. Hooguit kan je zeggen dat je de stappen van het differentiëren, afgeleide nul stellen, oplossen voor x, en de gevonden x'en inpluggen in de oorspronkelijke vgl kunt overslaan...

quote:

Aangezien sin²(x) alleen waarden op het interval [0, 1] aan kan nemen (voor reële waarden van x) hebben we 0 ≤ a - 1 ≤ 1 en dus 1 ≤ a ≤ 2. Dat is echt alles.

.... en op basis van periodiciteit en het bekende bereik van sinx en cosx plus standaard grafiekmanipulatie kunt stellen dat de oplossing "a ligt in het interval [1,2]" is. Maar dat is lang niet altijd evident. Neem bijv sinx + cosx = a.

[ Bericht 1% gewijzigd door ErictheSwift op 11-08-2010 19:03:44 ]