[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op maandag 6 september 2010 19:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb het idee dat je nog nooit iets aan differentiëren hebt gedaan. Hoe kan het dan dat je deze opgaven hebt gekregen?

Overigens zou ik voor die eerste functie in t helemaal niet de quotiëntregel gebruiken, maar de breuken herschrijven als machten met negatieve exponenten. Als je dit allemaal niets zegt, denk ik niet dat je veel opschiet met een gedetailleerde uitleg.

dat idee heb ik ook ja...

Die eerste functie kan op beide manieren, ligt eraan wat je makkelijker vindt natuurlijk

quote:

Op maandag 6 september 2010 19:30 schreef jbjb het volgende:
Bedankt voor je reactie!

1: vermenigvuldigd ziet het er dan dus zo uit:
[ afbeelding ]

Quotientregel probeer ik te begrijpen, maar ik kan geen goed begrijpelijk voorbeeld vinden (voor mij dan). Moet ik deze som nu eerst differentieren?

Bij de voorbeelden die ik heb, zie ik alleen een dubbele functie er in zitten. Bijvoorbeeld:
q(x) = f(x) / g(x)

Een getal is in feite gewoon een constante functie, dus je kan de quotiëntregel gebruiken. Maar ik moet toegeven dat dat hier een beetje omslachtig is.

Het is makkelijker om negatieve exponenten te gebruiken. Dus bijvoorbeeld 200/x wordt 200 x^-1. Dit kan je dan makkelijk differentiëren met de algemene regel: d/dx xⁿ = n x^n-1

Eens proberen. (Ik kan fouten hebben gemaakt)

Je hebt
d/dx 200 * (1 - 10 / (t + 10) + 100 / (t + 10) ^ 2)

Als ik dat recht toe recht aan differentieer, krijg ik:
= 200 * (-10 * -(t + 10) ^ (-2) + 100 * -2(t + 10) ^ (-3))

en dat kun je vereenvoudigen tot:
= 2000 / (t + 10) ^ 2 - 40000 / (t + 10) ^ 3)

Om het laagste punt te berekenen, zal t of heel groot of heel klein moeten worden.
Het probleem is dat de parameter niet in de teller maar in de noemer voorkomt.

quote:

Op maandag 6 september 2010 20:06 schreef Hondenbrokken het volgende:
Eens proberen. (Ik kan fouten hebben gemaakt)

Je hebt
d/dx 200 * (1 - 10 / (t + 10) + 100 / (t + 10) ^ 2)

Als ik dat recht toe recht aan differentieer, krijg ik:
= 200 * (-10 * -(t + 10) ^ (-2) + 100 * -2(t + 10) ^ (-3))

en dat kun je vereenvoudigen tot:
= 2000 / (t + 10) ^ 2 - 40000 / (t + 10) ^ 3)

Om het laagste punt te berekenen, zal t of heel groot of heel klein moeten worden.
Het probleem is dat de parameter niet in de teller maar in de noemer voorkomt.

volgens mij heb je idnerdaad een paar fouten gemaakt, want bij mij komt in het tweede deel zowel in de teller als in de noemer 't'. Maar laten we het jbjb eerst even zelf proberen

quote:

Op maandag 6 september 2010 20:20 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

correct
[..]


dat zie ik niet, waarom is de afgeleide dan 0?

Dat zijn de limieten voor t = oneindig of t = -oneindig. Ik zie trouwens nu dat de vergelijking ook een normaal nulpunt heeft, dat best wel makkelijk te vinden is.

Klopt het dan dus dat:

Je differentiert tot:
2000/(t+10)^2-40000/(t+10)^3

Vervoglens kan je dat verwerken tot:
(2000*(t-10))/(t+10)^3

Die je gelijksteld tot 0
t = 10

Goedenavond nog!

Ben eerste jaars Econometrics, en ons eerste college Mathematics ging voor een deel over Mathematical Induction en voor morgen ochtend had ik graag nog wel een beetje meer willen weten over dit.

Proof: 1³+2³+...n³=¼n⁴+½n³+¼n²

Ik doe dan:

1. Bewijs eerst n=1
2. Neem aan n=k

En dan?

Iets met n+1 substitueren, maar dan staat er aan de rechterkant toch een n^4 ?

quote:

Op dinsdag 7 september 2010 22:52 schreef Alxander het volgende:
Goedenavond nog!

Ben eerste jaars Econometrics, en ons eerste college Mathematics ging voor een deel over Mathematical Induction en voor morgen ochtend had ik graag nog wel een beetje meer willen weten over dit.

En daar kom je dan de avond tevoren tegen elven mee aanzetten?

quote:

Prove: 1³+2³+...n³=¼n⁴+½n³+¼n²

De herleiding wordt wat eenvoudiger als je ziet dat deze stelling equivalent is met de stelling dat de som van de derde machten van de eerste n natuurlijke getallen gelijk is aan het kwadraat van de som van die getallen, dus:

1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... +n)²

En aangezien de som van de eerste n natuurlijke getallen (een rekenkundige rij) gelijk is aan ½∙n∙(n+1) krijgen we dan:

1³ + 2³ + ... + n³ = (½∙n∙(n+1))²

quote:

Ik doe dan:

1. Bewijs eerst dat de stelling juist is voor n = 1
2. Neem aan dat de stelling juist is voor n = k

En dan?

Voor een bewijs met volledige inductie toon je eerst aan dat de stelling juist is voor n = 1 (dat is triviaal), en vervolgens bewijs je dat de stelling juist is voor n = k + 1 als de stelling juist is voor n = k, waaruit dan de juistheid van de stelling volgt voor elke n ∈ ℕ.

Laten we de som van de derde machten van de eerste n natuurlijke getallen aanduiden met S(n), dan is dus te bewijzen dat voor elke n ∈ ℕ geldt:

(1) S(n) = ¼∙n²∙(n + 1)²

Substitutie van n = 1 levert S(1) = ¼∙1∙4 = 1, en dat is juist, zodat (1) geldt voor n = 1. Laten we vervolgens aannemen dat (1) juist is voor een zekere n = k, dan is dus:

(2) S(k) = ¼∙k²∙(k + 1)²

Nu is per definitie:

(3) S(k + 1) = S(k) + (k + 1)³

En dus geldt onder aanname van (2) ook:

(4) S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + (k + 1)³

Nu is (k + 1)³ = (k + 1)²∙(k + 1), zodat we voor (4) kunnen schrijven:

(5) S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + (k + 1)²∙(k + 1)

Nu kunnen we in (5) ¼∙(k + 1)² buiten haakjes halen en krijgen we:

(6) S(k + 1) = ¼∙(k + 1)²∙(k² + 4∙(k + 1))

En aangezien k² + 4∙(k + 1) = k² + 4k + 4 = (k + 2)² kunnen we voor (6) weer schrijven:

(7) S(k + 1) = ¼∙(k + 1)²∙(k + 2)²

Dit laatste betekent echter niets anders dan dat (1) geldt voor n = k + 1. Uit de aanname (2) dat (1) juist is voor een willekeurige n = k volgt dus (7) en daarmee de juistheid van (1) voor n = k + 1. Samen met de juistheid van (1) voor n = 1 impliceert dit dat (1) juist is voor elke n ∈ ℕ,

QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-09-2010 19:46:31 ]

Ik heb een vraag over equivalence relations. Met een equivalence relation partitioneer je een verzameling. Je 'hakt' een verzameling in stukjes die equivalence classes heten. Nou vraag ik me af of arithmetic met die equivalence classes well defined is voor alle equivalence relations. In mijn tekstboek wordt het voorbeeld van modular arithmetic gebruikt. Daar wordt bewezen dat optellen en vermenigvuldigen well defined is voor de equivalence relation modular arithmetic. If [x]=[u] and [y]=[v], then [u]*[v]=[x]*[y]. Geldt deze stelling voor alle equivalence relations of moet je dat voor iedere equivalence relation apart nagaan? En zo ja waarom?

quote:

Op woensdag 8 september 2010 12:23 schreef GlowMouse het volgende:
Denk dat je dat moet nagaan. Pak bijvoorbeeld de equivalence relatie met priem versus niet-priem. Dan zijn 2, 3, 7 en 11 allemaal priemgetallen, maar 2+3 zit in een andere klasse dan 7+11.

Voldoet deze relatie wel aan alle voorwaarden die verbonden zijn met equivalentie? Alle equivalence relaties die ik heb geprobeerd doen vermoeden dat arithmetic, optellen en vermenigvuldigen well defined zijn. Misschien dat iemand anders een andere counterexample heeft? Wellicht dat Riparius en of Thabit uitsluitsel kunnen geven?

quote:

Op woensdag 8 september 2010 03:49 schreef Riparius het volgende:
\

(5) S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + (k + 1)²∙(k + 1)

Nu kunnen we in (5) ¼∙(k + 1)² buiten haakjes halen en krijgen we:

(6) S(k + 1) = ¼∙(k + 1)²∙(k² + 4∙(k + 1))

En aangezien k² + 4∙(k + 1) = k² + 4k + 4 = (k + 2)² kunnen we voor (6) weer schrijven:

Thanks voor de moeite!

Nog één vraagje, hoe bedoel je? ¼∙(k + 1)² buiten de haakjes halen?

Waar tover je die (k²+4(k+1)) vandaan, en hoe komt het dat het dan ineens factoren zijn? Als ik de termen ¼k² en k+1 samenneem dan krijg ik iets heel anders

quote:

Op dinsdag 7 september 2010 22:52 schreef Alxander het volgende:
Goedenavond nog!

Ben eerste jaars Econometrics, en ons eerste college Mathematics ging voor een deel over Mathematical Induction en voor morgen ochtend had ik graag nog wel een beetje meer willen weten over dit.

Proof: 1³+2³+...n³=¼n⁴+½n³+¼n²

Ik doe dan:

1. Bewijs eerst n=1
2. Neem aan n=k

En dan?

Iets met n+1 substitueren, maar dan staat er aan de rechterkant toch een n^4 ?

Bijna:
1. Toon aan dat het geld voor n = 1.
2. Toon aan dat als het voor n waar is (dit mag je dus gewoon aannemen), dat het dan ook voor n + 1 waar is.

quote:

Op woensdag 8 september 2010 16:57 schreef Alxander het volgende:

[..]

Thanks voor de moeite!

Nog één vraagje, hoe bedoel je? ¼∙(k + 1)² buiten de haakjes halen?

Waar tover je die (k²+4(k+1)) vandaan, en hoe komt het dat het dan ineens factoren zijn? Als ik de termen ¼k² en k+1 samenneem dan krijg ik iets heel anders

Ik was al bang dat je daarover zou struikelen, terwijl het toch echt elementaire algebra is. Ik heb:

(5) S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + (k + 1)²∙(k + 1)

Nu is 1 = ¼∙4, zodat ik hiervoor kan schrijven:

(5') S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + ¼∙(k + 1)²∙4∙(k + 1)

Nu zie je hopelijk dat er binnen de haakjes k² + 4∙(k + 1) overblijft als ik in (5') een factor ¼∙(k + 1)² buiten haakjes haal en dus (6) krijg.

quote:

Op woensdag 8 september 2010 18:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik was al bang dat je daarover zou struikelen, terwijl het toch echt elementaire algebra is. Ik heb:

(5) S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + (k + 1)²∙(k + 1)

Nu is 1 = ¼∙4, zodat ik hiervoor kan schrijven:

(5') S(k + 1) = ¼∙k²∙(k + 1)² + ¼∙(k + 1)²∙4∙(k + 1)

Nu zie je hopelijk dat er binnen de haakjes k² + 4∙(k + 1) overblijft als ik in (5') een factor ¼∙(k + 1)² buiten haakjes haal en dus (6) krijg.

! Heel erg bedankt!

Ik zal me voor morgen alvast even inlezen over Binomial Theorem voordat die vrouw weer begint te ratelen!

quote:

Op woensdag 8 september 2010 14:51 schreef gaussie het volgende:

[..]

Voldoet deze relatie wel aan alle voorwaarden die verbonden zijn met equivalentie? Alle equivalence relaties die ik heb geprobeerd doen vermoeden dat arithmetic, optellen en vermenigvuldigen well defined zijn. Misschien dat iemand anders een andere counterexample heeft? Wellicht dat Riparius en of Thabit uitsluitsel kunnen geven?

Het voorbeeld van Glowmouse is prima.

Hoihoi,

Weet iemand wat je hierbij moet doen?

lim (x^2+1)/(x^2-1)
x->1

Als je 1 invult krijg je overduidelijk delen door nul, maar ontbinden in factoren, teller en noemer vermenigvuldigen met noemer of teller en noemer door x^2 delen helpt allemaal niet! Betekent dit dat het limiet niet bestaat? En wanneer weet je zeker dat een limiet niet bestaat? Wat moet je doen als je bij noemer of teller of beide nul krijgt?

Ben je bekend met de regel van L'Hopital?

Stelling: Een ring R bevat maar één eenheidselement 1.
Bewijs: Stel er zijn twee eenheidselementen, namelijk 1 en 1'. Dan geldt:
x1 = x = x1'
x1-x1'=0
x(1-1')=0
x=/= 0, dus 1-1' = 0 en dus 1 = 1'.

Dit is logisch. Maar de vermenigvuldiging in een ring is niet noodzakelijk commutatief. Wat als x1 = x =/= 1x, is 1 dan geen eenheidselement, of is dit gewoon onmogelijk?

Dat is wel degelijk mogelijk en 1 is dan geen eenheidselement, als voorbeeld nemen we in de ring van 2-bij-2-matrices over Z:

quote:

Op donderdag 9 september 2010 12:01 schreef Hanazuki het volgende:
Betekent dit dat het limiet niet bestaat? En wanneer weet je zeker dat een limiet niet bestaat? Wat moet je doen als je bij noemer of teller of beide nul krijgt?

Ja, de limiet bestaat niet.
Je deelt namelijk een getal door 0 waarbij x /= 0.
Als je het de limiet een waarde moest geven, zou het in dit geval oneindig zijn.

Als je 0 door 0 zou delen, kan de limiet alsnog bestaan en moet je een wiskundige regel toepassen zoals de wet van l'hospital.