[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

"Een isometrie van R² is een afbeelding f: R² -> R² met de eigenschap dat d(x,y) = d(f(x), f(y)) voor alle x,y in R². Zo een isometrie is een bijectie."

Waarom is dit een bijectie? Er kunnen toch twee x'en zijn zodat d(x₁, y) = d(x₂, y). Dan kan f(x₁)=f(x₂) zonder dat x₁=x₂ en is 'ie dus niet injectief, toch?

Find the general equation and a vector equation of the plane that passes through the points:
P(1,2,4), Q(1,-1,6) and R(1,4,8)

Ik dacht dus:
Vector equation van de vorm: (x,y,z) = Xo + t1(x,y,z) + t2(x,y,z)
Dus :
P=Xo
Q-P = (0,-3,2)
R-P = (0,2,4)
Dus: (x,y,z) = (1,2,4) + t1(0,-3,2) + t2(0,2,4)
Maar hier klopt het dus al niet. Wat doe ik fout ?

Met die formule (wortelbla ;x) kom ik er niet uit, maar volgens mij kan dat alles tussen 0 en 2d(x,y) zijn, toch? Als je y als middelpunt neemt en dan een cirkel eromheen?

Ah, ja, tuurlijk. Merci bien!

quote:

Op dinsdag 18 mei 2010 15:22 schreef Siddartha het volgende:
Find the general equation and a vector equation of the plane that passes through the points:
P(1,2,4), Q(1,-1,6) and R(1,4,8)

Ik dacht dus:
Vector equation van de vorm: (x,y,z) = Xo + t1(x,y,z) + t2(x,y,z)
Dus :
P=Xo
Q-P = (0,-3,2)
R-P = (0,2,4)
Dus: (x,y,z) = (1,2,4) + t1(0,-3,2) + t2(0,2,4)
Maar hier klopt het dus al niet. Wat doe ik fout ?

Die klopt wel, er zijn veel manieren om een vlak te beschrijven.

quote:

Op dinsdag 18 mei 2010 15:33 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Die klopt wel, er zijn veel manieren om een vlak te beschrijven.

Bedankt!

Volgens de antwoorden moet het dit zijn:
General: x= 1
Vector : (x,y,z) = (1,0,0) + t1(0,1,0) + t2(0,0,1)

Hoe kan ik controlleren of ik dan een van de goede oplossingen heb?

(1,0,0) moet in jouw vlak zitten, en het vlak opgespannen door (0,1,0) en (0,0,1) moet hetzelfde zijn als het vlak opgespannen door (0,-3,2) en (0,2,4). Beide kun je aantonen met weinig denkwerk gevolgd door eventueel vegen.

[img][/img]


Moet de grootte van die hoeken weten, maar kan er even niet bij na twee weken vakantie, wie kan mij helpen? Zijn nu met cosinus tan en sinus bezig, verhoudingen, rule of sine (weet niet wat dat in het nl is) en height times base rule (zal ook wel een speciale naam hebben in het nl) hoe moet dit?

De lengte van de zijdes van de rechthoek waar dat kruis instaat zijn 5 en sqrt(6²+8²)=10. Als je die rechthoek in twee gelijke delen deelt, door een lijn parallel aan de zijde met lengte 5 te trekken, zie je dat de tangens van de helft van die hoek o gelijk is aan 5/2.5.

Ho, kun je dat ook in lekentaal uitleggen svp?

Teken die rechthoek in het groot, en volg de stapjes die ik zet, en roep maar waar het fout gaat.

Welke is 'die'?

quote:

Op dinsdag 18 mei 2010 21:18 schreef GlowMouse het volgende:
De lengte van de zijdes van de rechthoek waar dat kruis in staat

Begrijpen wij elkaar wel goed? Die tekentjes zijn alleen maar om aan te geven dat die hoeken hetzelfde zijn, ik moet dus twee antwoorden hebben, jij hebt het dus over die driehoek van 10 bij 5 te delen, hoe wil je dat doen? (je hebt hier met een derdejaars te maken he )

quote:

Op dinsdag 18 mei 2010 21:30 schreef Lespaulspelert het volgende:
Begrijpen wij elkaar wel goed? Die tekentjes zijn alleen maar om aan te geven dat die hoeken hetzelfde zijn, ik moet dus twee antwoorden hebben, jij hebt het dus over die driehoek van 10 bij 5 te delen, hoe wil je dat doen? (je hebt hier met een derdejaars te maken he )

Lijkt me toch vrij duidelijk wat GlowMouse bedoelt. Je trekt een lijn door het snijpunt van de diagonalen evenwijdig aan de korte zijden van je rechthoek van 10 bij 5. Laten we de hoeken die je met een rondje hebt aangegeven α noemen, dan geldt dus:

tan ½α = 5/2,5 = 2,

en dus:

α = 2∙arctan 2

De andere hoeken die je met het kruisje hebt aangeduid zijn supplementair met α en dus gelijk aan het verschil van 180 graden en hoek α.

[kansruimtes]
Hoe ziet er nou precies uit als een interval is?

En "Zij een kansruimte en laat . Geldt ?"
Als je als = [0, 1) en A = 0,5 dan P(A) = 0 (als je kijkt naar bijvoorbeeld een schijf waar een wijzer op ronddraait oid). Maar ik weet niet zeker of

-

[ Bericht 100% gewijzigd door YoshiBignose op 20-05-2010 20:09:40 ]

[projectieve meetkunde] Ik snap echt heel weinig van de duale ruimte.
Een ruimte met lineaire functies, oké, kan. Maar dan krijg je de bases, en raak ik al in de war,
(http://i165.photobucket.com/albums/u55/Hanneke12345/Untitled-5.png?t=1274382824)
Hoe ziet dit er nou uit dan? Stel je hebt het gewoon over de R³ oid. Dan heb je een punt (x₀ : x₁ : x₂). Maar hoe dan verder?

Het aardige en tegelijkertijd verraderlijke aan R^3 is dat je in Cartesische coordinaten qua componenten geen onderscheid hebt tussen vectoren en duale vectoren. Da's ook de reden waarom je bij een vak vectoranalyse vaak dit concept eerst niet krijgt. De reden is dat de metriek in dit specifieke geval gelijk is aan de Kronecker delta.

Qua visualizatie heb je misschien wat aan deze PDF. Een boek wat ook nogal uitgebreid op dit soort zaken ingaat is "Gravitation" van Misner,Thorne en Wheeler. Een boek over algemene relativiteit, maar met een hele intuïtieve aanpak van de wiskunde erachter; dit komt ergens in de eerste hoofdstukken aan bod.

Persoonlijk ben ik niet zo van de visualizatie van dit soort zaken; ik gebruik alleen de definitie met betrekking tot de bases die ook in jouw PNGtje staan

In wat voor vectorruimtes werkt het dan wel?

En ik weet nog toen die definitie van annihilator op het bord gezet werd dat heel veel mensen het opeens heel duidelijk werd waarom die dimensie veranderde, maar ik zie niet hoe dit komt. ;x

Vectoren leven formeel gezien in de raakruimte van een variëteit, dus formeel gezien zijn de vectorruimtes de raakruimte en de duale raakruimte. Voor vlakke variëteiten zoals R^3 heb je dit niet, aangezien je deze variëiteit kunt identificeren met de gehele raakruimte. Dus laten we voor het gemak even aannemen dat jouw vectoren gewoon in R^3 leven.

Je kent waarschijnlijk het inproduct op R3 wel. Je kunt dit op twee manieren bekijken: een product tussen twee vectoren via een metriek, of een duale vector die op een vector inwerkt (of andersom). Jij bent geïnteresseerd in de tweede opvatting.

Voor twee vector x en y heb je voor het inproduct waarschijnlijk geleerd dat, in componenten,

x*y = x¹y¹+x²y²+x³y³

In jouw geval beschouw je de ene (bijvoorbeeld x) als de duale vector die inwerkt op de vector y:

x(y) = x¹y₁+x²y₂+x³y₃

De boven- en benedenindices geven aan dat het verschillende objecten zijn. De duale ruimte wordt dan opgespannen door 3 vectoren x^{i} met i=1,2,3. Waarbij {i} aangeeft dat het geen componenten zijn maar vectoren, maar hele vectoren an sich! Formeel zijn dit functionalen van R3 naar R.

Dan kun je bekijken of er duale vectoren x zijn zodanig dat x(y)=0. De ruimte die deze vectoren opspannen is de annihilatorruimte. In R3 in cartesische coordinaten geeft dit de notie van "loodrecht"; Als ik een twee dimensionale deelruimte M heb van R3, dan zullen alle vectoren loodrecht op deze M 0 geven als ik het inproduct neem met vectoren die in M liggen.

Nogmaals, dit is een visualizatie. Want nogmaals: vectoren en duale vectoren leven in verschillende ruimtes! Echter, voor R3 in Cartesische coordinaten valt het onderscheid tussen vectoren en duale vectoren weg omdat de componenten exact gelijk aan elkaar zijn. Fysici zijn dan ook geneigd om deze objecten "als hetzelfde" te beschouwen omdat ze vaak met componenten werken, maar wiskundig is dit natuurlijk onjuist.

Misschien ken je de gradient van een functie. Bij een vak vectoranalyse leer je vaak dat de gradient van een functie een vector oplevert. Strikt genomen is dit verkeerd; het is een duale vector, wat je zelf kunt checken door een coordinatentransformatie uit te voeren. Echter, in R3 in Cartesische coordinaten "zie" je dit niet. Maar als je overgaat op bijvoorbeeld bolcoordinaten zal dit verschil er zeker zijn, en ook in gekromde ruimtes!

Nu wordt al opgemerkt in je tekst dat zo'n ruimte en zijn duale ruimte isomorf zijn. Het isomorfisme is precies die metriek die ik eerder noemde; componenten van een vector kun je afbeelden op componenten van een een duale vector via de metriek.

Hoop dat je hier wat aan hebt. Ik heb een tijdje geleden over dit soort zaken een setje lecturenotes geschreven waar dit ook wordt behandeld, dus mocht je interesse hebben dan PM je je e-mail adres maar

Over die basis waar je van in de war raakte:

Stel, ik heb een vectorruimte V met basis e_{i} en de duale vectorruimte V^* opgespannen door de basis e^{i}. Ik schrijf met beneden- en bovenindices om aan te geven dat het echt twee verschillende objecten zijn, maar dit is natuurlijk volledig willekeurig en slechts notatie.

Dat de twee ruimtes duaal zijn betekent per definitie:

e^{i}(e_{k}) = e_{i}(e^{k}) = dⁱ_k

waarbij d de Kronecker delta is.

Als ik nu een vector x in V heb, en een vector y in V^*, dan kan ik deze ontbinden in deze bases als volgt:

x = xⁱ e_{i}

y = y_k e^{k}

waarbij je over twee dezelfde indices hoog en laag sommeert. Nu bedenk je dat x en y lineaire objecten zijn. Als ik met x op y inwerk krijg ik dus

x(y) = x = xⁱ e_{i} ( y_k e^{k})
= xⁱ y_j e_{k}(e^{k}) = xⁱ y_i,

gesommeerd over i.

Had het beter in LaTeX kunnen doen, hoop dat het enigszins duidelijk is zo

[ Bericht 2% gewijzigd door Haushofer op 21-05-2010 10:28:48 ]

Haushofer je haalt er allemaal structuren bij die niet nodig zijn. Een willekeurige vectorruimte is niet de raakruimte van een varieteit, en de duale kun ja altijd definieeren als alle lineaire functies over de vectorruimte.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 19:13 schreef ijsklont het volgende:
Haushofer je haalt er allemaal structuren bij die niet nodig zijn. Een willekeurige vectorruimte is niet de raakruimte van een varieteit, en de duale kun ja altijd definieeren als alle lineaire functies over de vectorruimte.

Waar beweer ik anders dan?

Als je het begin van m'n post weghaalt, dan valt het toch wel mee met die extra structuren? Ik vind zelf een klein beetje referentie altijd wel fijn, maar misschien dat andere mensen dat als teveel uitwijding opvatten

[ Bericht 24% gewijzigd door Haushofer op 21-05-2010 21:10:39 ]

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 21:03 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Waar beweer ik anders dan?

Als je het begin van m'n post weghaalt, dan valt het toch wel mee met die extra structuren? Ik vind zelf een klein beetje referentie altijd wel fijn, maar misschien dat andere mensen dat als teveel uitwijding opvatten

Ik vatte je eerste paragraaf in ieder geval zo op. Persoonlijk vind ik het prettiger om zo min mogelijk axioma's te gebruiken. Het eerste stuk maakt het alleen maar duidelijker als je wat ervaring hebt met differentiaalmeetkunde. Maar goed, het is natuurlijk ook een kwestie van smaak.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 21:24 schreef ijsklont het volgende:

[..]

Ik vatte je eerste paragraaf in ieder geval zo op. Persoonlijk vind ik het prettiger om zo min mogelijk axioma's te gebruiken. Het eerste stuk maakt het alleen maar duidelijker als je wat ervaring hebt met differentiaalmeetkunde. Maar goed, het is natuurlijk ook een kwestie van smaak.

Ja, ik vind het zelf een prachtig onderwerp, dus misschien ben ik wat te uitgeweid Maar ik vatte de vraag op alsof ze benieuwd was naar het grotere plaatje; in de link die ze aangaf stond de definitie omtrent dualiteit al.

Differentiaalmeetkunde is best tof.

quote:

Op vrijdag 21 mei 2010 09:53 schreef Haushofer het volgende:
<knip>

Het tentamen is inmiddels al geweest, dus de urgentie om dit te snappen is iets minder, maar ik ga (na het laatste tentamen) dit nog wel even lezen en m'n best doen om 't te begrijpen. Bedankt voor de moeite alvast


Over analyse:
Stelling: als f is gedefinieerd op een open interval die x₀ bevat n f bereikt z'n maximum (of minimum) op x₀ en f is differentieerbaar op x₀, dan geldt f'(x₀)=0.
"Assume first that f'(x₀)>0, since there exists delta > 0 such that en
"

Ik snap niet zo goed hoe ze hierbij komen. En wat ze doen met die a en b (dat die bewering waar is, is neem ik aan gewoon omdat de afgeleide groter is dan 0, en de functie dus stijgend is? Hoewel dat als delta gro(o)t(er) is dus niet meer waar is dan...)

[ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 23-05-2010 14:41:36 (Typfouten, ik kan niet typen op een laptop ) ]

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:16 schreef Hanneke12345 het volgende:

[..]

Het tentamen is inmiddels al geweest, dus de urgentie om dit te snappen is iets minder, maar ik ga (na het laatste tentamen) dit nog wel even lezen en m'n best doen om 't te begrijpen. Bedankt voor de moeite alvast


Over analyse:
Stelling: als f is gedefinieerd op een open interval die x₀ bevat n f bereikt z'n maximum (of minimum) op x₀ en f is op x₀differentieerbaar, dan geldt f'(x₀0.
"Assume first that f'(x₀)>0, since [ afbeelding ] there exists delta > 0 such that [ afbeelding ] en
[ afbeelding ]"

Ik snap niet zo goed hoe ze hierbij komen. En wat ze doen met die a en b (dat die bewering waar is, is neem ik aan gewoon omdat de afgeleide groter is dan 0, en de functie dus stijgend is? Hoewel dat als delta gro(o)t(er) is dus niet meer waar is dan...)

Je post is wat verwarrend (en LaTex is niet altijd een pré) maar wat ze bedoelen te zeggen is dat je aan de hand van de definitie van de afgeleide (en de ε,δ definitie van een limiet) kunt aantonen dat als een functie f differentieerbaar is op een open interval (a,b) en een maximum of minimum bereikt voor een waarde x₀ op dat interval, dat dan geldt f'(x₀) = 0. Dit is eenvoudig aan te tonen door te laten zien dat de aannames f'(x₀) > 0 en f'(x₀) < 0 beide tot een tegenstrijdigheid voeren, zodat alleen f'(x₀) = 0 overblijft.

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je post is wat verwarrend (en LaTex is niet altijd een pré) maar wat ze bedoelen te zeggen is dat je aan de hand van de definitie van de afgeleide (en de ε,δ definitie van een limiet) kunt aantonen dat als een functie f differentieerbaar is op een open interval (a,b) en een maximum of minimum bereikt voor een waarde x₀ op dat interval, dat dan geldt f'(x₀) = 0. Dit is eenvoudig aan te tonen door te laten zien dat de aannames f'(x₀) > 0 en f'(x₀) < 0 beide tot een tegenstrijdigheid voeren, zodat alleen f'(x₀) = 0 overblijft.

Met breuken en griekse letters ben ik al snel geneigd latex te gebruiken.

Dat ze die stelling proberen te bewijzen met tegenspraken was me duidelijk. vooral om de implicatie
En ik vraag me af wat ze met het feit doen dat a < x₀-d < x₀+d < b.

quote:

Op zondag 23 mei 2010 14:40 schreef Hanneke12345 het volgende:

[..]

Met breuken en griekse letters ben ik al snel geneigd latex te gebruiken.

Dat ze die stelling proberen te bewijzen met tegenspraken was me duidelijk. vooral om de implicatie [ afbeelding ]
En ik vraag me af wat ze met het feit doen dat a < x₀-d < x₀+d < b.

Als je aanneemt dat f'(x₀) > 0 dan kun je een omgeving van x₀ (minus x₀ zelf) kiezen waarin het differentiequotiënt (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) positief is, en dat is strijdig met de aanname dat f bij x₀ een maximum of minimum heeft. Maar deze omgeving (x₀-δ, x₀+δ) van x₀ moet wel binnen het gegeven interval (a,b) liggen, dus

a < x₀ - δ < x₀ + δ < b