[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op maandag 19 oktober 2009 15:03 schreef Iblis het volgende:
Als je die Taylor-polynomen uitschrijft, dan moet je op een gegeven moment stoppen, immers je kunt wel blijven schrijfen. Om nu toch wat te zeggen over de termen die je weglaat gebruik je de Grote-O-notatie. Praktisch gezien komt die erop neer dat deze de vorm O(xⁿ) heeft waarbij O(xⁿ) de x-macht is in de eerste term die je weglaat. Zou je b.v. e^x verder expanderen, dan krijg je als volgende term x³/6. In die grote-O-notatie laat je de constanten echter weg.

M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xⁿ is, dan krijg je + O(xⁿ). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.

Die is als volgt, als men zegt:

[ afbeelding ]

dan zegt men dat voor voldoende grote waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:

[ afbeelding ]

Het is voor voldoende grote x, omdat het ‘in het begin’ niet hoeft te gelden, een functie kan best rond 0 b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting oneindig dit gedrag maar klopt.

Laten we nu nog eens naar de machtreeks van e^x rond 0 kijken:

[ afbeelding ]

Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:

[ afbeelding ]

Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting oneindig kleiner of gelijk is dan c·x⁴ voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = \frac{1}{24} (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is). Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x¹⁰)? Want voor c = 1/10! klopt dat ook zeker weten.

En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x⁴.

Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x⁴) + O(x⁶), je de grotere weg kunt halen – immers, als O(x⁴) geldt dan zeker ook O(x⁶).

quote:

Op maandag 19 oktober 2009 13:52 schreef Iblis het volgende:
Omgekeerd is wel er een ‘mooier’ voorbeeld, de alternerende Harmonische reeks convergeert:

[ afbeelding ]

Terwijl de gewone Harmonische reeks

[ afbeelding ]

divergeert.

quote:

Op maandag 19 oktober 2009 16:51 schreef thabit het volgende:
Alleen het gedeelte dat in dit topic is voorgekauwd is correct.

quote:

Op maandag 19 oktober 2009 17:37 schreef Diabox het volgende:
Ik kreeg de volgende vraag tijdens mijn tentamen, maar het lukte mij niet om deze op te lossen, maar ben toch wel benieuwd naar hoe die moet;

Los op: x_k = -x_k-1 + 4 (k >= 1), x₀ = 7.

quote:

Op maandag 19 oktober 2009 17:41 schreef thabit het volgende:

[..]

Schrijf 3 termen uit, dan zie je het vanzelf.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.