SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Zonder absolute waarde is het: [1,-1,1,-1...], de limiet bestaat niet. Als je de absolute waarde neemt convergeert hij gewoon naar 1.
"Reality is an illusion created by a lack of alcohol."
je hebt gelijk inderdaad, ik dacht dat die rij echt naar 1 punt moest divergeren, maar er staat als voorwaarde dat als de limiet niet bestaat, dan divergeert de rij...quote:Op maandag 19 oktober 2009 13:06 schreef Dzy het volgende:
Zonder absolute waarde is het: [1,-1,1,-1...], de limiet bestaat niet. Als je de absolute waarde neemt convergeert hij gewoon naar 1.
Wel een beetje flauwe oplossing maar ik zit een beetje na te denken maar ik kan zo niet echt iets bedenken waarbij het anders kan.
"Reality is an illusion created by a lack of alcohol."
Omgekeerd is wel er een ‘mooier’ voorbeeld, de alternerende Harmonische reeks convergeert:
Terwijl de gewone Harmonische reeks
divergeert.
Terwijl de gewone Harmonische reeks
divergeert.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
dat kan nietquote:Op maandag 19 oktober 2009 13:34 schreef Dzy het volgende:
Wel een beetje flauwe oplossing maar ik zit een beetje na te denken maar ik kan zo niet echt iets bedenken waarbij het anders kan.
een rij die divergeert naar +oneindig of -oneindig zal nooit convergeren in absolute waarde, dat is eenvoudig te bewijzen
Ik heb de volgende vraag:
Bepaal P4 (x), het vierde orde Taylor-polynoom, van f (x) = x² e^x−sin(x²) , rond x = 0.
Nu verwacht ik dat de oplossing onuitgewerkt als volgt te schrijven is:
f (x) = x²(1 + x +(x²/2) +(x³/6)) − ((x² ) + (x⁴/4!))
Nu klopt dit niet, want i.p.v. (x³/6) wordt geschreven als O(x³) en (x⁴/4!) wordt geschreven als O(x⁶).
(O= Grote O)..
Wie kan mij hier verder meehelpen ?
Bepaal P4 (x), het vierde orde Taylor-polynoom, van f (x) = x² e^x−sin(x²) , rond x = 0.
Nu verwacht ik dat de oplossing onuitgewerkt als volgt te schrijven is:
f (x) = x²(1 + x +(x²/2) +(x³/6)) − ((x² ) + (x⁴/4!))
Nu klopt dit niet, want i.p.v. (x³/6) wordt geschreven als O(x³) en (x⁴/4!) wordt geschreven als O(x⁶).
(O= Grote O)..
Wie kan mij hier verder meehelpen ?
Edit, oh, hij is wel correct, maar je bent haakjes vergeten x2(ex + sin(x2)). Het is dan verder een notatie kwestie, staat er niet bij hoeveel termen je moet?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Tuurlijk,quote:Op maandag 19 oktober 2009 14:36 schreef Iblis het volgende:
Kun je iets uitgebreider zijn waar je de termen vandaan haalt? Dan kan ik misschien specifiek zeggen waar je de fout in gaat.
Ik gebruik de standaard taylorpolynomen van e^x en sin (x) rond x=0
Voor e^x is dit: 1+x+(x²/2)....
Voor sin(x) is dit: x-(x³/6)+(x⁵/5!)....
Nu zie ik wel in mijn boek staan dat e^x= 1+x+(x²/2)+O(x³), maar dit snap ik al niet helemaal denk ik :
Het probleem is dus met name de betekenis van O(xn)?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Nee staat er niet bij, maar bij het uitwerken hiervan wordt het nog vager voor mij,quote:Op maandag 19 oktober 2009 14:36 schreef Iblis het volgende:
Edit, oh, hij is wel correct, maar je bent haakjes vergeten x2(ex + sin(x2)). Het is dan verder een notatie kwestie, staat er niet bij hoeveel termen je moet?
x³ + 1/2(x⁴) + O(x⁵ ). Hoe komen ze dan aan de grote O(x⁵)?
Ja, denk dat daar de crux zit.quote:Op maandag 19 oktober 2009 14:42 schreef Iblis het volgende:
Het probleem is dus met name de betekenis van O(xn)?
De boel wordt al met x2 vermenigvuldigt, dan heb je in die andere factor minder termen nodig. O ja, en je vult de Taylorreeks van de sinus fout in.
Als je die Taylor-polynomen uitschrijft, dan moet je op een gegeven moment stoppen, immers je kunt wel blijven schrijfen. Om nu toch wat te zeggen over de termen die je weglaat gebruik je de Grote-O-notatie. Praktisch gezien komt die erop neer dat deze de vorm O(xn) heeft waarbij O(xn) de x-macht is in de eerste term die je weglaat. Zou je b.v. ex verder expanderen, dan krijg je als volgende term x3/6. In die grote-O-notatie laat je de constanten echter weg.
M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xn is, dan krijg je + O(xn). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.
Die is als volgt, als men zegt:
dan zegt men dat voor voldoende kleine waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:
Het is voor voldoende kleine x, omdat het ‘verder weg’ niet hoeft te gelden, een functie kan best richting oneindig b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting 0 dit gedrag maar klopt.
Laten we nu nog eens naar de machtreeks van ex rond 0 kijken:
Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:
Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting 0 kleiner of gelijk is dan c·x4 voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = 1/24, of gewoon c=1 (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is, dat hoeft ook niet).
Een andere interpretatie is dat |ex - (1 + x + (x2)/2 + (x3)/6)| richting 0 kleiner is dan c·x4 voor een zekere c.
Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x2)? Want tussen 0 en 1 is x2 altijd groter dan x4.
En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x4.
Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x4) + O(x6), je de grotere weg moet halen. Immers, die x4 term geeft rond 0 de grootste fout.
Als laatste kan x ook naar b.v. ∞ gaan, dan wordt de notatie ook wel gebruikt. Of, bij een ontwikkeling rond een bepaald punt a, is de interpretatie dat x → a.
[ Bericht 10% gewijzigd door Iblis op 19-10-2009 15:31:36 ]
M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xn is, dan krijg je + O(xn). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.
Die is als volgt, als men zegt:
dan zegt men dat voor voldoende kleine waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:
Het is voor voldoende kleine x, omdat het ‘verder weg’ niet hoeft te gelden, een functie kan best richting oneindig b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting 0 dit gedrag maar klopt.
Laten we nu nog eens naar de machtreeks van ex rond 0 kijken:
Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:
Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting 0 kleiner of gelijk is dan c·x4 voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = 1/24, of gewoon c=1 (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is, dat hoeft ook niet).
Een andere interpretatie is dat |ex - (1 + x + (x2)/2 + (x3)/6)| richting 0 kleiner is dan c·x4 voor een zekere c.
Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x2)? Want tussen 0 en 1 is x2 altijd groter dan x4.
En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x4.
Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x4) + O(x6), je de grotere weg moet halen. Immers, die x4 term geeft rond 0 de grootste fout.
Als laatste kan x ook naar b.v. ∞ gaan, dan wordt de notatie ook wel gebruikt. Of, bij een ontwikkeling rond een bepaald punt a, is de interpretatie dat x → a.
[ Bericht 10% gewijzigd door Iblis op 19-10-2009 15:31:36 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Wat is een ''cyclisch getal''. Ik heb de betekenis geprobeerd te vinden in m'n wiskundeboek, m'n woordenboek en zelfs met Google, maar nergens kon ik wat vinden.
In dit geval gaat het niet om limieten met x naar oneindig, maar x naar 0.quote:Op maandag 19 oktober 2009 15:03 schreef Iblis het volgende:
Als je die Taylor-polynomen uitschrijft, dan moet je op een gegeven moment stoppen, immers je kunt wel blijven schrijfen. Om nu toch wat te zeggen over de termen die je weglaat gebruik je de Grote-O-notatie. Praktisch gezien komt die erop neer dat deze de vorm O(xn) heeft waarbij O(xn) de x-macht is in de eerste term die je weglaat. Zou je b.v. ex verder expanderen, dan krijg je als volgende term x3/6. In die grote-O-notatie laat je de constanten echter weg.
M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xn is, dan krijg je + O(xn). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.
Die is als volgt, als men zegt:
[ afbeelding ]
dan zegt men dat voor voldoende grote waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:
[ afbeelding ]
Het is voor voldoende grote x, omdat het ‘in het begin’ niet hoeft te gelden, een functie kan best rond 0 b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting oneindig dit gedrag maar klopt.
Laten we nu nog eens naar de machtreeks van ex rond 0 kijken:
[ afbeelding ]
Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:
[ afbeelding ]
Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting oneindig kleiner of gelijk is dan c·x4 voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = \frac{1}{24} (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is). Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x10)? Want voor c = 1/10! klopt dat ook zeker weten.
En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x4.
Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x4) + O(x6), je de grotere weg kunt halen – immers, als O(x4) geldt dan zeker ook O(x6).
Ik met m’n informatica-mindset soms.quote:Op maandag 19 oktober 2009 15:08 schreef thabit het volgende:
[..]
In dit geval gaat het niet om limieten met x naar oneindig, maar x naar 0.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
bedankt!quote:Op maandag 19 oktober 2009 13:52 schreef Iblis het volgende:
Omgekeerd is wel er een ‘mooier’ voorbeeld, de alternerende Harmonische reeks convergeert:
[ afbeelding ]
Terwijl de gewone Harmonische reeks
[ afbeelding ]
divergeert.
Ik heb er uiteindelijk dit van gemaakt, het bewijs is niet helemaal netjes, maar heb geen zin om er langer aan te zitten:
quote:Op maandag 19 oktober 2009 16:51 schreef thabit het volgende:
Alleen het gedeelte dat in dit topic is voorgekauwd is correct.
commentaar is wel welkom hoor! misschien heb ik de definitie van een deelrij niet goed begrepen?
het bewijs is een beetje krom, dat weet ik, maar bij die andere vragen zie ik niet zo goed wat ik fout heb gedaan?
Ik kreeg de volgende vraag tijdens mijn tentamen, maar het lukte mij niet om deze op te lossen, maar ben toch wel benieuwd naar hoe die moet;
Los op: xk = -xk-1 + 4 (k >= 1), x0 = 7.
Los op: xk = -xk-1 + 4 (k >= 1), x0 = 7.
Schrijf 3 termen uit, dan zie je het vanzelf.quote:Op maandag 19 oktober 2009 17:37 schreef Diabox het volgende:
Ik kreeg de volgende vraag tijdens mijn tentamen, maar het lukte mij niet om deze op te lossen, maar ben toch wel benieuwd naar hoe die moet;
Los op: xk = -xk-1 + 4 (k >= 1), x0 = 7.
