SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
ben ik weer. Klein dingetje uit de theorie, bij het bewijs van algoritme van euclides.
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
kloep kloep
ggd(a,b) deelt b dus het deelt ook (-c) * bquote:Op donderdag 17 september 2009 20:45 schreef Borizzz het volgende:
ben ik weer. Klein dingetje uit de theorie, bij het bewijs van algoritme van euclides.
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
ggd(a,d) deelt a en (-c)*b dus deelt het ook de som van beiden, wat dus r is
goh, getaltheorie, lang geleden, was wel een van de leukste vakken.
De conclusie ggd(a,b)|r. Of dit volgt uit het feit dat r lin. combinatie van a en b is.quote:
kloep kloep
Ja, dat volgt daaruit.quote:Op donderdag 17 september 2009 21:24 schreef Borizzz het volgende:
[..]
De conclusie ggd(a,b)|r. Of dit volgt uit het feit dat r lin. combinatie van a en b is.
Ik snap nog altijd niet goed wat een parametervoorstelling nou is.
[vraag] Het standaarinproduct tussen twee vectoren x, y uit R^n is gedefinieerd als <x,y>=x1y1+x2y2+....+xnyn. We zeggen dat x en y oodrecht op elkaar staan als <x,y>=0
Schrijf V voor het valk door de oorsprong van R^3 dat loodrecht staat op z uit R^3, waarbij
Met andere woorden V bestaat uit alle vectoren in R^3 die loodrecht op z staan.
a) geef een vergelijking voor V.
Volgens mij gewoon v1+v2+v3=0, toch?
b) leid ook een parametervoorstelling af voor V.
Deze weet ik dus niet hoe dat moet. Als ik alleen v1+v2=0 ofzo zou ehbben zou ik dan geloof ik kunnen zeggen stel v2=n dan v1=-n?
[vraag] Het standaarinproduct tussen twee vectoren x, y uit R^n is gedefinieerd als <x,y>=x1y1+x2y2+....+xnyn. We zeggen dat x en y oodrecht op elkaar staan als <x,y>=0
Schrijf V voor het valk door de oorsprong van R^3 dat loodrecht staat op z uit R^3, waarbij
Met andere woorden V bestaat uit alle vectoren in R^3 die loodrecht op z staan.
a) geef een vergelijking voor V.
Volgens mij gewoon v1+v2+v3=0, toch?
b) leid ook een parametervoorstelling af voor V.
Deze weet ik dus niet hoe dat moet. Als ik alleen v1+v2=0 ofzo zou ehbben zou ik dan geloof ik kunnen zeggen stel v2=n dan v1=-n?
als ggd(a,b)=1 en ggd(a,c)=1 dan te bew is ggd(a,bc=1).
Dit moet dan vlg mij ook kunnen met lineaire combinaties:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
ggd(a,c)=1 dus 1=ka+lc.
Dus nu moet ik dit zien om te werken naar iets van de vorm: 1=(x)a+(y)bc.
Maar ik zie nog niet goed hoe:
ik maakte ma+nb=ka+lc
ma-ka+nb-lc=0
maar dit voelt al niet zo lekker...
Dit moet dan vlg mij ook kunnen met lineaire combinaties:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
ggd(a,c)=1 dus 1=ka+lc.
Dus nu moet ik dit zien om te werken naar iets van de vorm: 1=(x)a+(y)bc.
Maar ik zie nog niet goed hoe:
ik maakte ma+nb=ka+lc
ma-ka+nb-lc=0
maar dit voelt al niet zo lekker...
kloep kloep
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
n=1 en a=-1.quote:Op zaterdag 19 september 2009 17:57 schreef GlowMouse het volgende:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
kloep kloep
Hmm ok, daar ben ik het wel mee eens dat je het zo kunt bewijzen. Ik had dat nog niet eerder gezien.
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(kma-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
[ Bericht 9% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 18:56:13 ]
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(kma-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
[ Bericht 9% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 18:56:13 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
kun je dit even in wat meer stapjes opschrijven? Dit gaat me te snel, en ik zie hier ook nog geen bewijs in.quote:Op zaterdag 19 september 2009 18:05 schreef GlowMouse het volgende:
Hmm ok, daar ben ik het wel mee eens dat je het zo kunt bewijzen. Ik had dat nog niet eerder gezien.
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(a-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
ik had tot nu toe 1=ma+nb en 1=ka+lb. Dit volgt uit het gegeven.
En volgens mij moet het nu naar de vorm 1=(x)a+(y)bc, want dan mag je concluderen dat de ggd(a,bc) 1 is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 18:58:19 ]
kloep kloep
Ik heb tot nu toe dit:
(1) 1=ma+nb
(2) 1=ka+lc
c=cma+nbc volgt uit (1)
lc=1-ka (volgt uit (2)
c=(1-ka)/l
(1-ka)/l=cma+nbc
1=cmal +ka +nbcl
1=(cma)a + (nl)bc
en dan ben je op zich klaar
maar wat ik "zwak" vindt is het delen in deze uitwerking. Je gaat uit van gehele getallen, en door te delen (en de verz. gehele getallen is niet gesloten mbt delen) ben je vlg mij niet zeker dan
cma en nl gehele getallen zijn.
(1) 1=ma+nb
(2) 1=ka+lc
c=cma+nbc volgt uit (1)
lc=1-ka (volgt uit (2)
c=(1-ka)/l
(1-ka)/l=cma+nbc
1=cmal +ka +nbcl
1=(cma)a + (nl)bc
en dan ben je op zich klaar
maar wat ik "zwak" vindt is het delen in deze uitwerking. Je gaat uit van gehele getallen, en door te delen (en de verz. gehele getallen is niet gesloten mbt delen) ben je vlg mij niet zeker dan
cma en nl gehele getallen zijn.
kloep kloep
Afgezien van nb vervangen door 1-ma en lc door 1-ka doe ik niet zo gek veel.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik zie nog steeds niet wat je doetquote:Op zaterdag 19 september 2009 18:52 schreef GlowMouse het volgende:
Afgezien van nb vervangen door 1-ma en lc door 1-ka doe ik niet zo gek veel.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
1=ma+nb en 1=ka+lc.
en dan?
kloep kloep
edit: ga maar een uurtje puzzelen, hier moet je uit kunnen komen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ok, ik heb m al Glowmouse. Achteraf gezien wel logisch omdat je een uitdrukking wil hebben waar de factor bc in zit, dat zou de hint op moeten leveren dat je nb*lc moet gaan doen.
Ik heb nog 2 opdrachten waar ik mee bezig ben, maar de oplossing nog niet helemaal gevonden heb,
Bv deze:
ax2+bx+c=0, met a,b,c geheel en oneven. Bew. dat er dan geen oplossing is.
Ik neem dan a=2k+1, b=2m+1 en c=2l+1, met k,m,l geheel.
Zo ben ik zeker dat de coefficienten a,b,c inderdaad altijd oneven zijn.
Omdat er geen oplossingen mogen zijn moet gelden: discriminant <0.
dus
(2m+1)2-4(2k+1)(2l+1) = discr.
4m2+4m+1-8kl-8l-8k-4
4m2+4m -8kl -8l -8k -3
4(m2+m -2kl -2l -2k) -3
discriminant is een viervoud -3,
en ik had hier gehoopt hier een uitdrukking te vinden waarbij je kon concluderen dat het negatief was.
.. waar zit de (denk)fout?
Ik heb nog 2 opdrachten waar ik mee bezig ben, maar de oplossing nog niet helemaal gevonden heb,
Bv deze:
ax2+bx+c=0, met a,b,c geheel en oneven. Bew. dat er dan geen oplossing is.
Ik neem dan a=2k+1, b=2m+1 en c=2l+1, met k,m,l geheel.
Zo ben ik zeker dat de coefficienten a,b,c inderdaad altijd oneven zijn.
Omdat er geen oplossingen mogen zijn moet gelden: discriminant <0.
dus
(2m+1)2-4(2k+1)(2l+1) = discr.
4m2+4m+1-8kl-8l-8k-4
4m2+4m -8kl -8l -8k -3
4(m2+m -2kl -2l -2k) -3
discriminant is een viervoud -3,
en ik had hier gehoopt hier een uitdrukking te vinden waarbij je kon concluderen dat het negatief was.
.. waar zit de (denk)fout?
kloep kloep
hoe zit het met bijvoorbeeld x˛ + x - 1 = 0?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ja dan is de discriminant 5. Tegenvoorbeeld?quote:Op zaterdag 19 september 2009 19:21 schreef GlowMouse het volgende:
hoe zit het met bijvoorbeeld x˛ + x - 1 = 0?
Dit wil zeggen dat de bewering dus onwaar is??
En mijn uitwerking, op zich goed, maar niet nodig..
kloep kloep
Ze zullen wel geheeltallige x bedoelen, maar dan is pariteit een betere aanpak.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Nou de laatste waar ik niet geheel uitkwam:
bew dat voor iedere n (geheeltallig) dat 10n +3*4n+2 +5 een negenvoud is.
Dit wilde ik doen met volledige inductie.
dussss
1. bewering is waar voor n=1 want 9|207.
2. Veronderstel: bew. waar voor n=k.
Dus er geldt 10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
(te bew: dit geldt ook voor n=k+1).
10k +3*4k+2 = -5 (mod 9)
10k +3*4k+2 = 4 (mod 9)
10k+1=10*10k
4k+2=42*4k
dus
10k+1 + 10*3*4k = 40 (mod 9)
16*10k+1 + 10*3*4k+1 = 640 (mod 9)
en ja.. dan kom ik eigenlijk niet zoveel verder meer...
ik wil toe naar iets als
10k+1 +3*4k+1 = 0 (mod 9),
moet ik de 10 en 4 (die allebij tot de macht k zijn, samennemen? hoe?
of zit ik op een geheel verkeerd spoor.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 19:52:48 ]
bew dat voor iedere n (geheeltallig) dat 10n +3*4n+2 +5 een negenvoud is.
Dit wilde ik doen met volledige inductie.
dussss
1. bewering is waar voor n=1 want 9|207.
2. Veronderstel: bew. waar voor n=k.
Dus er geldt 10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
(te bew: dit geldt ook voor n=k+1).
10k +3*4k+2 = -5 (mod 9)
10k +3*4k+2 = 4 (mod 9)
10k+1=10*10k
4k+2=42*4k
dus
10k+1 + 10*3*4k = 40 (mod 9)
16*10k+1 + 10*3*4k+1 = 640 (mod 9)
en ja.. dan kom ik eigenlijk niet zoveel verder meer...
ik wil toe naar iets als
10k+1 +3*4k+1 = 0 (mod 9),
moet ik de 10 en 4 (die allebij tot de macht k zijn, samennemen? hoe?
of zit ik op een geheel verkeerd spoor.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 19:52:48 ]
kloep kloep
Ik zou 10^n gelijk vervangen door 1 (mod 9).
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hoezo geldt dit?quote:Op zaterdag 19 september 2009 19:52 schreef GlowMouse het volgende:
Ik zou 10^n gelijk vervangen door 1 (mod 9).
En klopt de berekening een beetje? Want op t einde zit ik dus wel vast.
kloep kloep
Omdat 10 = 1 (mod 9).
En je moet deze stap sowieso ergens zetten.
En je moet deze stap sowieso ergens zetten.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
