SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
ben ik weer. Klein dingetje uit de theorie, bij het bewijs van algoritme van euclides.
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
kloep kloep
ggd(a,b) deelt b dus het deelt ook (-c) * bquote:Op donderdag 17 september 2009 20:45 schreef Borizzz het volgende:
ben ik weer. Klein dingetje uit de theorie, bij het bewijs van algoritme van euclides.
er staat a,b,c,r geheel en a=c*b+r en 0<r<b. Dan ggd(a,b)=ggd(b,r).
Omdat r=a-cb geldt ggd(a,b)|r. Dit gaat me ietsje snel.
Heeft dit te maken met het feit dat door r=a-cb r in feite een lineaire combinatie is van a en b.? Dan is automatisch r een veelvoud van de ggd(a,b).
Vervolg:
ggd(a,b)|r en ggd(a,b)|b dus ggd(a,b) is deler van zowel r als b.
dus uiteindelijk laat je dan zien ggd(a,b)=ggd(b,r).
ggd(a,d) deelt a en (-c)*b dus deelt het ook de som van beiden, wat dus r is
goh, getaltheorie, lang geleden, was wel een van de leukste vakken.
De conclusie ggd(a,b)|r. Of dit volgt uit het feit dat r lin. combinatie van a en b is.quote:
kloep kloep
Ja, dat volgt daaruit.quote:Op donderdag 17 september 2009 21:24 schreef Borizzz het volgende:
[..]
De conclusie ggd(a,b)|r. Of dit volgt uit het feit dat r lin. combinatie van a en b is.
Ik snap nog altijd niet goed wat een parametervoorstelling nou is.
[vraag] Het standaarinproduct tussen twee vectoren x, y uit R^n is gedefinieerd als <x,y>=x1y1+x2y2+....+xnyn. We zeggen dat x en y oodrecht op elkaar staan als <x,y>=0
Schrijf V voor het valk door de oorsprong van R^3 dat loodrecht staat op z uit R^3, waarbij
Met andere woorden V bestaat uit alle vectoren in R^3 die loodrecht op z staan.
a) geef een vergelijking voor V.
Volgens mij gewoon v1+v2+v3=0, toch?
b) leid ook een parametervoorstelling af voor V.
Deze weet ik dus niet hoe dat moet. Als ik alleen v1+v2=0 ofzo zou ehbben zou ik dan geloof ik kunnen zeggen stel v2=n dan v1=-n?
[vraag] Het standaarinproduct tussen twee vectoren x, y uit R^n is gedefinieerd als <x,y>=x1y1+x2y2+....+xnyn. We zeggen dat x en y oodrecht op elkaar staan als <x,y>=0
Schrijf V voor het valk door de oorsprong van R^3 dat loodrecht staat op z uit R^3, waarbij
Met andere woorden V bestaat uit alle vectoren in R^3 die loodrecht op z staan.
a) geef een vergelijking voor V.
Volgens mij gewoon v1+v2+v3=0, toch?
b) leid ook een parametervoorstelling af voor V.
Deze weet ik dus niet hoe dat moet. Als ik alleen v1+v2=0 ofzo zou ehbben zou ik dan geloof ik kunnen zeggen stel v2=n dan v1=-n?
als ggd(a,b)=1 en ggd(a,c)=1 dan te bew is ggd(a,bc=1).
Dit moet dan vlg mij ook kunnen met lineaire combinaties:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
ggd(a,c)=1 dus 1=ka+lc.
Dus nu moet ik dit zien om te werken naar iets van de vorm: 1=(x)a+(y)bc.
Maar ik zie nog niet goed hoe:
ik maakte ma+nb=ka+lc
ma-ka+nb-lc=0
maar dit voelt al niet zo lekker...
Dit moet dan vlg mij ook kunnen met lineaire combinaties:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
ggd(a,c)=1 dus 1=ka+lc.
Dus nu moet ik dit zien om te werken naar iets van de vorm: 1=(x)a+(y)bc.
Maar ik zie nog niet goed hoe:
ik maakte ma+nb=ka+lc
ma-ka+nb-lc=0
maar dit voelt al niet zo lekker...
kloep kloep
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
n=1 en a=-1.quote:Op zaterdag 19 september 2009 17:57 schreef GlowMouse het volgende:
ggd(a,b)=1 dus 1=ma+nb
Als a=7 en b=8, wat zijn m en n dan?
kloep kloep
Hmm ok, daar ben ik het wel mee eens dat je het zo kunt bewijzen. Ik had dat nog niet eerder gezien.
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(kma-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
[ Bericht 9% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 18:56:13 ]
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(kma-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
[ Bericht 9% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 18:56:13 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
kun je dit even in wat meer stapjes opschrijven? Dit gaat me te snel, en ik zie hier ook nog geen bewijs in.quote:Op zaterdag 19 september 2009 18:05 schreef GlowMouse het volgende:
Hmm ok, daar ben ik het wel mee eens dat je het zo kunt bewijzen. Ik had dat nog niet eerder gezien.
(nl)(bc) = nb * lc = (1-ma)(1-ka) = 1+(a-m-k)a.
Dat die a terugkomt in de factor lijkt mij geen bezwaar.
ik had tot nu toe 1=ma+nb en 1=ka+lb. Dit volgt uit het gegeven.
En volgens mij moet het nu naar de vorm 1=(x)a+(y)bc, want dan mag je concluderen dat de ggd(a,bc) 1 is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 18:58:19 ]
kloep kloep
Ik heb tot nu toe dit:
(1) 1=ma+nb
(2) 1=ka+lc
c=cma+nbc volgt uit (1)
lc=1-ka (volgt uit (2)
c=(1-ka)/l
(1-ka)/l=cma+nbc
1=cmal +ka +nbcl
1=(cma)a + (nl)bc
en dan ben je op zich klaar
maar wat ik "zwak" vindt is het delen in deze uitwerking. Je gaat uit van gehele getallen, en door te delen (en de verz. gehele getallen is niet gesloten mbt delen) ben je vlg mij niet zeker dan
cma en nl gehele getallen zijn.
(1) 1=ma+nb
(2) 1=ka+lc
c=cma+nbc volgt uit (1)
lc=1-ka (volgt uit (2)
c=(1-ka)/l
(1-ka)/l=cma+nbc
1=cmal +ka +nbcl
1=(cma)a + (nl)bc
en dan ben je op zich klaar
maar wat ik "zwak" vindt is het delen in deze uitwerking. Je gaat uit van gehele getallen, en door te delen (en de verz. gehele getallen is niet gesloten mbt delen) ben je vlg mij niet zeker dan
cma en nl gehele getallen zijn.
kloep kloep
Afgezien van nb vervangen door 1-ma en lc door 1-ka doe ik niet zo gek veel.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik zie nog steeds niet wat je doetquote:Op zaterdag 19 september 2009 18:52 schreef GlowMouse het volgende:
Afgezien van nb vervangen door 1-ma en lc door 1-ka doe ik niet zo gek veel.
Er staat dat 1 = (nl)(bc) + (k+m-a)a.
1=ma+nb en 1=ka+lc.
en dan?
kloep kloep
edit: ga maar een uurtje puzzelen, hier moet je uit kunnen komen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ok, ik heb m al Glowmouse. Achteraf gezien wel logisch omdat je een uitdrukking wil hebben waar de factor bc in zit, dat zou de hint op moeten leveren dat je nb*lc moet gaan doen.
Ik heb nog 2 opdrachten waar ik mee bezig ben, maar de oplossing nog niet helemaal gevonden heb,
Bv deze:
ax2+bx+c=0, met a,b,c geheel en oneven. Bew. dat er dan geen oplossing is.
Ik neem dan a=2k+1, b=2m+1 en c=2l+1, met k,m,l geheel.
Zo ben ik zeker dat de coefficienten a,b,c inderdaad altijd oneven zijn.
Omdat er geen oplossingen mogen zijn moet gelden: discriminant <0.
dus
(2m+1)2-4(2k+1)(2l+1) = discr.
4m2+4m+1-8kl-8l-8k-4
4m2+4m -8kl -8l -8k -3
4(m2+m -2kl -2l -2k) -3
discriminant is een viervoud -3,
en ik had hier gehoopt hier een uitdrukking te vinden waarbij je kon concluderen dat het negatief was.
.. waar zit de (denk)fout?
Ik heb nog 2 opdrachten waar ik mee bezig ben, maar de oplossing nog niet helemaal gevonden heb,
Bv deze:
ax2+bx+c=0, met a,b,c geheel en oneven. Bew. dat er dan geen oplossing is.
Ik neem dan a=2k+1, b=2m+1 en c=2l+1, met k,m,l geheel.
Zo ben ik zeker dat de coefficienten a,b,c inderdaad altijd oneven zijn.
Omdat er geen oplossingen mogen zijn moet gelden: discriminant <0.
dus
(2m+1)2-4(2k+1)(2l+1) = discr.
4m2+4m+1-8kl-8l-8k-4
4m2+4m -8kl -8l -8k -3
4(m2+m -2kl -2l -2k) -3
discriminant is een viervoud -3,
en ik had hier gehoopt hier een uitdrukking te vinden waarbij je kon concluderen dat het negatief was.
.. waar zit de (denk)fout?
kloep kloep
hoe zit het met bijvoorbeeld x² + x - 1 = 0?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ja dan is de discriminant 5. Tegenvoorbeeld?quote:Op zaterdag 19 september 2009 19:21 schreef GlowMouse het volgende:
hoe zit het met bijvoorbeeld x² + x - 1 = 0?
Dit wil zeggen dat de bewering dus onwaar is??
En mijn uitwerking, op zich goed, maar niet nodig..
kloep kloep
Ze zullen wel geheeltallige x bedoelen, maar dan is pariteit een betere aanpak.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Nou de laatste waar ik niet geheel uitkwam:
bew dat voor iedere n (geheeltallig) dat 10n +3*4n+2 +5 een negenvoud is.
Dit wilde ik doen met volledige inductie.
dussss
1. bewering is waar voor n=1 want 9|207.
2. Veronderstel: bew. waar voor n=k.
Dus er geldt 10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
(te bew: dit geldt ook voor n=k+1).
10k +3*4k+2 = -5 (mod 9)
10k +3*4k+2 = 4 (mod 9)
10k+1=10*10k
4k+2=42*4k
dus
10k+1 + 10*3*4k = 40 (mod 9)
16*10k+1 + 10*3*4k+1 = 640 (mod 9)
en ja.. dan kom ik eigenlijk niet zoveel verder meer...
ik wil toe naar iets als
10k+1 +3*4k+1 = 0 (mod 9),
moet ik de 10 en 4 (die allebij tot de macht k zijn, samennemen? hoe?
of zit ik op een geheel verkeerd spoor.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 19:52:48 ]
bew dat voor iedere n (geheeltallig) dat 10n +3*4n+2 +5 een negenvoud is.
Dit wilde ik doen met volledige inductie.
dussss
1. bewering is waar voor n=1 want 9|207.
2. Veronderstel: bew. waar voor n=k.
Dus er geldt 10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
(te bew: dit geldt ook voor n=k+1).
10k +3*4k+2 = -5 (mod 9)
10k +3*4k+2 = 4 (mod 9)
10k+1=10*10k
4k+2=42*4k
dus
10k+1 + 10*3*4k = 40 (mod 9)
16*10k+1 + 10*3*4k+1 = 640 (mod 9)
en ja.. dan kom ik eigenlijk niet zoveel verder meer...
ik wil toe naar iets als
10k+1 +3*4k+1 = 0 (mod 9),
moet ik de 10 en 4 (die allebij tot de macht k zijn, samennemen? hoe?
of zit ik op een geheel verkeerd spoor.
[ Bericht 0% gewijzigd door Borizzz op 19-09-2009 19:52:48 ]
kloep kloep
Ik zou 10^n gelijk vervangen door 1 (mod 9).
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hoezo geldt dit?quote:Op zaterdag 19 september 2009 19:52 schreef GlowMouse het volgende:
Ik zou 10^n gelijk vervangen door 1 (mod 9).
En klopt de berekening een beetje? Want op t einde zit ik dus wel vast.
kloep kloep
Omdat 10 = 1 (mod 9).
En je moet deze stap sowieso ergens zetten.
En je moet deze stap sowieso ergens zetten.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Tja dan krijg ik dit
10k+3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
1 + 3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
3*4k+2 +6 = 0 (mod 9)
3*4k+2 =3 (mod 9)
4k+3 = 4*4k+2
4k+3 = 12 (mod 9)
... weer vast.
10k+3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
1 + 3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
3*4k+2 +6 = 0 (mod 9)
3*4k+2 =3 (mod 9)
4k+3 = 4*4k+2
4k+3 = 12 (mod 9)
... weer vast.
kloep kloep
Je aanpak is dan ook abominabel en slecht te volgen. Je begint gewoon met 10^(k+1) + 3*4^(k+3) + 5, en schrijft dan net zo lang = ... = ... tot je op = 0 uitkomt. Dan zie je tenminste wat er gebeurt. Nu is het bij jou elk regeltje maar weer raden wat je aan het doen bent.
10^(k+1) + 3*4^(k+3) + 5
= 10^k + 4 * 3*4^(k+2) + 5 (mod 9)
= 10^k + 3*4^(k+2) + 5 + [vul zelf maar in, wat ben ik vergeten]
= [gewoon overnemen] (mod 9)
= ...
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 20:23:15 ]
10^(k+1) + 3*4^(k+3) + 5
= 10^k + 4 * 3*4^(k+2) + 5 (mod 9)
= 10^k + 3*4^(k+2) + 5 + [vul zelf maar in, wat ben ik vergeten]
= [gewoon overnemen] (mod 9)
= ...
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 19-09-2009 20:23:15 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
je moet toch van k naar k+1 redeneren?
en je haalt een factor 4 eruit, daar deel je door...? en 10^n blijft staan? dat kan toch niet?
en je haalt een factor 4 eruit, daar deel je door...? en 10^n blijft staan? dat kan toch niet?
kloep kloep
Dat doe ik op regel 4, daar gebruik ik dat de uitspraak waar is voor n=k.quote:Op zaterdag 19 september 2009 20:21 schreef Borizzz het volgende:
je moet toch van k naar k+1 redeneren?
En ik deel nergens door, ik trek er wat af dat ik er later weer bijtel.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik volg het nog niet, maar even opnieuw beginnen
10^k + 3*4^(k+2) +5 = 0 (mod 9)
10^k = 1 (mod 9)
1 + 3*4^(k+2) +5 = 0 (mod 9)
3* 4^(k+2) +6 = 0 (mod 9)
3* 4^(k+2) = 3 (mod 9)
nu van k+2 naar k+3, dus voor de inductie 1 stap verder, dus beide zijdne maal 4 doen...
3* 4^(k+3) = 12 (mod 9)
nu delen door 3
4^(k+3) = 4 (mod 9)
maar =0 zie ik nog nergens ...?
10^k + 3*4^(k+2) +5 = 0 (mod 9)
10^k = 1 (mod 9)
1 + 3*4^(k+2) +5 = 0 (mod 9)
3* 4^(k+2) +6 = 0 (mod 9)
3* 4^(k+2) = 3 (mod 9)
nu van k+2 naar k+3, dus voor de inductie 1 stap verder, dus beide zijdne maal 4 doen...
3* 4^(k+3) = 12 (mod 9)
nu delen door 3
4^(k+3) = 4 (mod 9)
maar =0 zie ik nog nergens ...?
kloep kloep
hier haal je een factor 4 ineens weg.quote:Op zaterdag 19 september 2009 20:10 schreef GlowMouse het volgende:
= 10^k + 4 * 3*4^(k+2) + 5 (mod 9)
= 10^k + 3*4^(k+2) + 5 + [vul zelf maar in, wat ben ik vergeten]
Maar dan 10^k/4 en 5/4?
kloep kloep
Ik deel helemaal niks door 4, want dan zou ik alles voor het =-teken ook door 4 moeten delen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Zucht... ik snap m niet, terwijl ik dit toch al vaker gedaan heb.
Volgens mij start ik hier:
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
en met inductie moet dit ook gaan gelden voor k+1 dus
10 k+1 +3*4 k+3 +5 = 0 (mod 9) en dit moet ik bewijzen.
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
10k = 1 (mod 9)
dus
1 +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
3*4k+2 +6 = 0 (mod 9)
3*4k+2 = 3 (mod 9)
tot zover moet t kloppen toch?
Volgens mij start ik hier:
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
en met inductie moet dit ook gaan gelden voor k+1 dus
10 k+1 +3*4 k+3 +5 = 0 (mod 9) en dit moet ik bewijzen.
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
10k = 1 (mod 9)
dus
1 +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
3*4k+2 +6 = 0 (mod 9)
3*4k+2 = 3 (mod 9)
tot zover moet t kloppen toch?
kloep kloep
quote:
Je aanpak is dan ook abominabel en slecht te volgen. Je begint gewoon met 10^(k+1) + 3*4^(k+3) + 5, en schrijft dan net zo lang = ... = ... tot je op = 0 uitkomt. Dan zie je tenminste wat er gebeurt. Nu is het bij jou elk regeltje maar weer raden wat je aan het doen bent.
10^(k+1) + 3*4^(k+3) + 5
= 10^k + 4 * 3*4^(k+2) + 5 (mod 9)
= 10^k + 3*4^(k+2) + 5 + [vul zelf maar in, wat ben ik vergeten]
= [gewoon overnemen] (mod 9)
= ...
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Daar kan ik helemaal niets mee, terwijl mijn methode iets is, wat ik een jaar of wat geleerd had op de opleiding...quote:
Volgens mij moet je er op 'mijn manier' ook kunnen komen.
kloep kloep
Slaap er anders een nachtje over, ik kan me niet voorstellen dat ze iemand tot chaoot opleiden.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Naja laat maar dan.
Maar toch, ik heb m oude aantekeningen erbij gepakt, en daar staat in dat ik van k naar k+1 moet redeneren.
...
ik kan niet veel fouts vinden in mijn post van hierboven.
3*4k+2 = 3 (mod 9) klopt gewoon, dus dan moet je toch wel verder kunnen komen.
Maar toch, ik heb m oude aantekeningen erbij gepakt, en daar staat in dat ik van k naar k+1 moet redeneren.
...
ik kan niet veel fouts vinden in mijn post van hierboven.
3*4k+2 = 3 (mod 9) klopt gewoon, dus dan moet je toch wel verder kunnen komen.
kloep kloep
Nee, je moet aannemen dat het waar is van k, en dan bewijzen dat het ook geldt voor k+1. Jij pakt de bewering voor k en schrijft het om tot iets onbruikbaars.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Kijk eens naar machten van 4 modulo 9, dus 4 (mod 9), 42 (mod 9), 43 (mod 9), 44 (mod 9). Er staat echter 3·4k+2, dus kijk ook eens naar 3·4, 3·42, enz (alles modulo 9).
Het patroon moet duidelijk zijn lijkt me, en dan moet je dat ook wel in een (inductie)bewijs kunnen omzetten.
[ Bericht 3% gewijzigd door Iblis op 19-09-2009 21:01:45 (ik ben niet aan het programmeren natuurlijk) ]
Het patroon moet duidelijk zijn lijkt me, en dan moet je dat ook wel in een (inductie)bewijs kunnen omzetten.
[ Bericht 3% gewijzigd door Iblis op 19-09-2009 21:01:45 (ik ben niet aan het programmeren natuurlijk) ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Nou als ik aanneem dat het geldt voor k dan is het dus
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
nu laten zien dat dit ook waar is voor k+1.
10k + 3*4*4k+1 +5 =0 (mod 9)
10k +3*4k+1 +5 +3*4k+1 = 0 (mod 9)
zoiets had je volgens mij.
10k +3*4k+2 +5 = 0 (mod 9)
nu laten zien dat dit ook waar is voor k+1.
10k + 3*4*4k+1 +5 =0 (mod 9)
10k +3*4k+1 +5 +3*4k+1 = 0 (mod 9)
zoiets had je volgens mij.
kloep kloep
machten van 4 modulo 9...
4 - 13 - 22 - 31
16 -23 -32 - 41
64-73-82-91
oke, een patroon maar helpt dit mij verder?
4 - 13 - 22 - 31
16 -23 -32 - 41
64-73-82-91
oke, een patroon maar helpt dit mij verder?
kloep kloep
Ik slaap hier nog wel even een nachtje over.
Ik heb het echt heel mooi gekund vroeger, maar nu bij deze wil het gewoon niet, terwijl het idee van inductiebewijzen mij echt wel duidelijk is.
Iets anders dan
ggd(a,b)=x en ggd(a-b,b)=y.
a) x| (a-b)
hier heb ik dit:
x|a dus a=kx en x|b dus b=lx
a-b = kx-lx
a-b = (k-l)x
dus x|(a-b).
Op zich ok, had ik een paar dagen geleden nog niet gekund. Dus: ben wel stukje verder.
b) bewijs x|y.
er geldt a-b=(k-l)x
ook geldt y|(a-b)
dus y|(k-l)x
.. en dan heb ik eigenlijk bewezen dat y een veelvoud van x deelt, maar nog niet x zelf.
c) bew ggd(a-b,b)=ggd(a,b)
dit zie ik dan nog niet helemaal
stel ggd(a,b)=d
dan d|a en d|b.
stel ook c|a en c|b, dan geldt d>c.
...
Ik heb het echt heel mooi gekund vroeger, maar nu bij deze wil het gewoon niet, terwijl het idee van inductiebewijzen mij echt wel duidelijk is.
Iets anders dan
ggd(a,b)=x en ggd(a-b,b)=y.
a) x| (a-b)
hier heb ik dit:
x|a dus a=kx en x|b dus b=lx
a-b = kx-lx
a-b = (k-l)x
dus x|(a-b).
Op zich ok, had ik een paar dagen geleden nog niet gekund. Dus: ben wel stukje verder.
b) bewijs x|y.
er geldt a-b=(k-l)x
ook geldt y|(a-b)
dus y|(k-l)x
.. en dan heb ik eigenlijk bewezen dat y een veelvoud van x deelt, maar nog niet x zelf.
c) bew ggd(a-b,b)=ggd(a,b)
dit zie ik dan nog niet helemaal
stel ggd(a,b)=d
dan d|a en d|b.
stel ook c|a en c|b, dan geldt d>c.
...
kloep kloep
Hoe je erop komt… en welk patroon je denkt te zien… neem nu eens de rest na deling door 9, dat is immers wat je met 10k ook doet, en dat geeft doorgaans het best beeld. Ja, 43 (mod 9) ≡ 91, maar dat helpt toch niemand verder?quote:
machten van 4 modulo 9...
4 - 13 - 22 - 31
16 -23 -32 - 41
64-73-82-91
oke, een patroon maar helpt dit mij verder?
41 (mod 9) ≡ 4
42 (mod 9) ≡ 7
43 (mod 9) ≡ 1
44 (mod 9) ≡ 4
Enz. Nu nog eens keer 3, en het wordt echt interessant modulo 9. Volgens mij kun je dan wel wat voor 3·4k + 2 (mod 9) stellen. In het algemeen dus. Dan weet je dus wat 10k (mod 9) is, wat 3·4k + 2 (mod 9) is, en dan zou het toch echt moeten lukken.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
dus 3*4k+2 is 3 mod 9?
waren a) en b) dan goed?
maar y deelt dan toch een veelvoud van x?
dan heb ik nog niet bewezen dat y|x.
waren a) en b) dan goed?
maar y deelt dan toch een veelvoud van x?
dan heb ik nog niet bewezen dat y|x.
kloep kloep
Ik had gehoopt dat je dat niet meer had hoeven te vragen. Maar, ja. Als je graag een inductie bewijs wilt: neem aan dat het geldt voor k, dan k + 1 = 4 * 3 (mod 9) = 12 (mod 9) = 3. En voor k = 0 geldt het natuurlijk want 48 (mod 9) = 3. Klaar. Maar het kan directer als je zoals thabit doet van de rekenregels van modulo gebruik maakt.quote:
Eigenlijk zijn die 3 alle drie heel makkelijk doen met een bekende eigenschap van de ggd.quote:waren a) en b) dan goed?
maar y deelt dan toch een veelvoud van x?
dan heb ik nog niet bewezen dat y|x.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik denk dat ik er beter mee kan stoppen vanavond.
Belooft niet veel goeds voor dit vak als het zolang duurt voordat ik het ook een keer doorheb.
Aan de andere kant moet ik ook niet te veel en te snel willen, ik ben pas 3 dagen echt bezig met dit vak.
Belooft niet veel goeds voor dit vak als het zolang duurt voordat ik het ook een keer doorheb.
Aan de andere kant moet ik ook niet te veel en te snel willen, ik ben pas 3 dagen echt bezig met dit vak.
kloep kloep
Je bedoelt lineaire combinatie?quote:Op zaterdag 19 september 2009 21:41 schreef Iblis het volgende:
Eigenlijk zijn die 3 alle drie heel makkelijk doen met een bekende eigenschap van de ggd.
kloep kloep
Naja, eigenlijk denk ik dat je die niet kent, want dan zou het te makkelijk zijn, maar i.h.a. geldt ggd(a + mb, b) = ggd(a, b) met m een geheel getal. Dus x = y.quote:
[..]
Je bedoelt lineaire combinatie?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
