SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Iblis, je moet een wiki vullen met je antwoorden.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dat leek me nu juist een taak voor de moderator van dit forum. Bij dezen heb je mijn toestemming mijn bijdragen te gebruiken!
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Het is niets om je voor te schamen hoor! Hier een uitwerking. Hopelijk komt het dan ver genoeg naar boven om te herinneringen hoe het ging:quote:Op maandag 7 september 2009 21:38 schreef Earry het volgende:
'Vroeger' op de middelbare school was dit een eitje maar inmiddels is dat nogal wat jaren geleden en is alles weggezakt.. Ik heb een formule en wil uitrekenen wat 'x' is:
[ code verwijderd ]
Hoe ga je hierbij ook alweer te werk? *schaamt zich bijna om dit te vragen*
dat de uitkomst 5 is weet ik overigens ook wel, het gaat meer om het totaalplaatje
Eerst moet je maar eens de haakjes wegwerken:
En die 30 naar de andere kant (zo komt de vergelijking in een standaardvorm):
Nu zijn er twee mogelijkheden, of je ‘ontbindt in factoren’, of je vult de ‘abc-formule’ (ook wel wortelformule genoemd). Voor het ontbinden in factoren moet je twee getallen a en b vinden zodanig dat (a + b) = 1 en a * b = -30. Na even nadenken vind je al dat dit -5 en 6 zijn. Dan krijg je:
Dus als oplossing x = 5, die je zelf ook al had, maar daarnaast x = - 6.
Mogelijkheid twee houdt in dat je de abc-formule invult, ter herinnering die zegt dat als je een vergelijking in de vorm ax2 + bx + c hebt dat dan de waarde van x gegeven wordt door:
We hebben in dit geval dat de vergelijking x2 + x - 30 is, dus a = 1, b = 1 en c = -30 (± betekent + of -), dus:
Dus of .
Die laatste manier werkt altijd, maar die eerste, met ontbinden is wat makkelijker.
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 07-09-2009 22:33:31 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
@Earry: Behalve via ontbinden in factoren of via de abc-formule kun je ook nog kwadraatafsplitsing toepassen. Zoek maar even op completing the square om te zien hoe dat gaat.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
Dank! Completing the square is inderdaad, conceptueel, het mooiste (vind ik). Dan snap je echt wat het idee is achter zo’n vierkantsvergelijking oplossen. Maar het vraagt ook net wat meer.quote:
@Earry: Behalve via ontbinden in factoren of via de abc-formule kun je ook nog kwadraatafsplitsing toepassen. Zoek maar even op completing the square om te zien hoe dat gaat.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Is een parametervoorstelling hetzelfde als een fucntie? Dus met drie onbekenden en twee functies is er een parametervoorstelling te maken met twee van de drie onbekenden en de derde uitgedrukt in de andere twee?
Een parametervoorstelling is een functie van de tijd naar een coördinaat 
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Nee, een functie y = f(x) geeft altijd maar één y bij een geven x. Dat is kenmerkend aan een functie: ze heeft maar één uitkomst. Je kunt dus de parabool y = x2 nemen, dat is een functie. Maar die parabool een kwartslag gedraaid, daar is geen functie van te maken. Omdat je dan voor x = 4 eigenlijk y = 2 én y = -2 als uitkomst zou moeten hebben, dat kan niet.
Om eens een extreem voorbeeld te nemen:
Bron: Wikimedia Commons (Afbeelding is Publiek Domein)
Dat is de ‘butterfly curve’, je kunt nooit een functie maken die y in termen van x uitdrukt, want bij elke x zie je dat er meerdere y-waarden horen, en omgekeerd. Daarom parametriseer je, en dan krijg je dus:
Je zou deze vergelijkingen zelf elk weer als functie kunnen plotten, dan krijg je een heel grillig oscillerende grafiek (zie b.v. hier), als dat is wat je bedoelt.
Dus ja, je kunt elk van die leden van een parametervoorstelling als functie beschouwen, en in die zin zijn ze inwisselbaar, maar er is dus ook een wezenlijk verschil.
Om eens een extreem voorbeeld te nemen:
Bron: Wikimedia Commons (Afbeelding is Publiek Domein)
Dat is de ‘butterfly curve’, je kunt nooit een functie maken die y in termen van x uitdrukt, want bij elke x zie je dat er meerdere y-waarden horen, en omgekeerd. Daarom parametriseer je, en dan krijg je dus:
Je zou deze vergelijkingen zelf elk weer als functie kunnen plotten, dan krijg je een heel grillig oscillerende grafiek (zie b.v. hier), als dat is wat je bedoelt.
Dus ja, je kunt elk van die leden van een parametervoorstelling als functie beschouwen, en in die zin zijn ze inwisselbaar, maar er is dus ook een wezenlijk verschil.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Maar er is geen sprake van tijd in de som
V1=x1-x2+x3
V2= x1-x3
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
[ Bericht 9% gewijzigd door Hanneke12345 op 08-09-2009 00:18:08 ]
V1=x1-x2+x3
V2= x1-x3
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
[ Bericht 9% gewijzigd door Hanneke12345 op 08-09-2009 00:18:08 ]
Iets gaat er niet helemaal goed met de vergelijking van V2, maar dat zie je zelf ook wel. Maar in feite heb je hier dan drie vlakken in de drie-dimensionale ruimte en je moet een uitdrukking vinden voor de snijlijn van V1 ∩ V2? Doch ik moet wel even die juiste vergelijking hebben om een zinnig antwoord te kunnen geven.quote:
Maar er is geen sprake van tijd in de som
V1=x1-x2+x3
V2= x1-xV23[/sub]
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als ik heel simpel doe, dan is het zo:
x1 - x2 + x3 = x1 - x3
Even schuiven (x1 valt weg):
x2 = 2x3
Dat is je oplossing. Parametriseer je dat, dan krijg je, als je zegt x3 = t, dat dan x2 = 2t, dus:
x2 = 2t
x3 = t
Ik weet niet of dat zinnig overkomt of niet? In feite beschrijft dit gewoon een rechte lijn natuurlijk, en je kunt dit ook als functie schrijven (die heb je al, x2 = 2x3).
Als je dit ruimtelijk voorstelt, dan zou ik zeggen, V1∩V2 komt overeen met V1 = V2, dus:quote:V_1= x_1-x_2+x_3
V_2= x_1-x_3
x1 - x2 + x3 = x1 - x3
Even schuiven (x1 valt weg):
x2 = 2x3
Dat is je oplossing. Parametriseer je dat, dan krijg je, als je zegt x3 = t, dat dan x2 = 2t, dus:
x2 = 2t
x3 = t
Ik weet niet of dat zinnig overkomt of niet? In feite beschrijft dit gewoon een rechte lijn natuurlijk, en je kunt dit ook als functie schrijven (die heb je al, x2 = 2x3).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dus even in het boek teruglezen of ik die tijd erbij moet schrijven (kan het me niet herinneren, maar kon het college sowieso erg slecht volgen).
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Iblis toch, V1∩V2 is toch gewoon een verzameling punten die zowel in V1 als in V2 zitten.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik begrijp werkelijk niet wat je aan het doen bent.quote:Op dinsdag 8 september 2009 00:38 schreef Hanneke12345 het volgende:
Dus even in het boek teruglezen of ik die tijd erbij moet schrijven (kan het me niet herinneren, maar kon het college sowieso erg slecht volgen).
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Ik snap de vraagstelling volgens mij inderdaad niet goed. Riparius ook blijkbaar niet. Volgens mij heb ik meer context nodig.quote:
Iblis toch, V1∩V2 is toch gewoon een verzameling punten die zowel in V1 als in V2 zitten.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als je de punten zoekt die in beide vlakken komen, dan heb je v1 = x1-x3-x2+2x3 (zelfde wat er staat), alleen moet x1-x3 dan tevens gelijk zijn aan v2 omdat je ook in het tweede vlak moet zitten. Dan kom je op v1-v2 = 2x3-x2.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik ben inderdaad onvolledig geweest 
V1=4
V2=5
V3=0
Maargoed, ik moet het zometeen inleveren, dus ik hoop maar dat ik het goed doe.
V1=4
V2=5
V3=0
Maargoed, ik moet het zometeen inleveren, dus ik hoop maar dat ik het goed doe.
Ik zie nu waar het misgaat met de nieuwe informatie van Hanneke12345. Misschien had ik niets moeten zeggen, dan had ik in ieder geval geen verwarring gezaaid, iets meer context was ook gemakkelijk geweest. Ik zat nu echt even een heel andere kant op te denken.quote:
Als je de punten zoekt die in beide vlakken komen, dan heb je v1 = x1-x3-x2+2x3 (zelfde wat er staat), alleen moet x1-x3 dan tevens gelijk zijn aan v2 omdat je ook in het tweede vlak moet zitten. Dan kom je op v1-v2 = 2x3-x2.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Bij een bewijs over de oneindigheid van priemgetallen val ik over (waarschijnlijk een) kleinigheidje.
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
kloep kloep
Ten eerste is het van belang dat je voor het rijtje (p_i) alle priemgetallen neemt uit de eindige verzameling.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
sorry, maar dit volg ik nog niet. je gaat wat te snel. Klopt mijn bewijs wel?quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:37 schreef GlowMouse het volgende:
Ten eerste is het van belang dat je voor het rijtje (p_i) alle priemgetallen neemt uit de eindige verzameling.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
kloep kloep
Zonder mijn opmerking erbij klopt jouw bewijs niet, en zonder mijn tweede opmerking snap ik je hele bewijs niet.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Elk natuurlijk getal is een geheel veelvoud van 1, daar heb je deze redenering niet voor nodig. Maar 1 wordt niet beschouwd als priemgetal, onder meer niet omdat je anders geen unieke ontbinding in priemfactoren kunt krijgen van een natuurlijk getal (hoofdstelling van de rekenkunde).quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:34 schreef Borizzz het volgende:
Bij een bewijs over de oneindigheid van priemgetallen val ik over (waarschijnlijk een) kleinigheidje.
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
Waar mensen vaak de mist in gaan met dit bewijs (van Euclides) is de veronderstelling dat het product van de eerste k priemgetallen vermeerderd met één zelf priem zou moeten zijn omdat het niet deelbaar is door één van de eerste k priemgetallen, maar dat is niet het geval.
