SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Iblis, je moet een wiki vullen met je antwoorden.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dat leek me nu juist een taak voor de moderator van dit forum. Bij dezen heb je mijn toestemming mijn bijdragen te gebruiken!
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Het is niets om je voor te schamen hoor! Hier een uitwerking. Hopelijk komt het dan ver genoeg naar boven om te herinneringen hoe het ging:quote:Op maandag 7 september 2009 21:38 schreef Earry het volgende:
'Vroeger' op de middelbare school was dit een eitje maar inmiddels is dat nogal wat jaren geleden en is alles weggezakt.. Ik heb een formule en wil uitrekenen wat 'x' is:
[ code verwijderd ]
Hoe ga je hierbij ook alweer te werk? *schaamt zich bijna om dit te vragen*
dat de uitkomst 5 is weet ik overigens ook wel, het gaat meer om het totaalplaatje
Eerst moet je maar eens de haakjes wegwerken:
En die 30 naar de andere kant (zo komt de vergelijking in een standaardvorm):
Nu zijn er twee mogelijkheden, of je ‘ontbindt in factoren’, of je vult de ‘abc-formule’ (ook wel wortelformule genoemd). Voor het ontbinden in factoren moet je twee getallen a en b vinden zodanig dat (a + b) = 1 en a * b = -30. Na even nadenken vind je al dat dit -5 en 6 zijn. Dan krijg je:
Dus als oplossing x = 5, die je zelf ook al had, maar daarnaast x = - 6.
Mogelijkheid twee houdt in dat je de abc-formule invult, ter herinnering die zegt dat als je een vergelijking in de vorm ax2 + bx + c hebt dat dan de waarde van x gegeven wordt door:
We hebben in dit geval dat de vergelijking x2 + x - 30 is, dus a = 1, b = 1 en c = -30 (± betekent + of -), dus:
Dus of .
Die laatste manier werkt altijd, maar die eerste, met ontbinden is wat makkelijker.
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 07-09-2009 22:33:31 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
@Earry: Behalve via ontbinden in factoren of via de abc-formule kun je ook nog kwadraatafsplitsing toepassen. Zoek maar even op completing the square om te zien hoe dat gaat.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
Dank! Completing the square is inderdaad, conceptueel, het mooiste (vind ik). Dan snap je echt wat het idee is achter zo’n vierkantsvergelijking oplossen. Maar het vraagt ook net wat meer.quote:
@Earry: Behalve via ontbinden in factoren of via de abc-formule kun je ook nog kwadraatafsplitsing toepassen. Zoek maar even op completing the square om te zien hoe dat gaat.
@Iblis: er zit nog een typo in je uitwerking.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Is een parametervoorstelling hetzelfde als een fucntie? Dus met drie onbekenden en twee functies is er een parametervoorstelling te maken met twee van de drie onbekenden en de derde uitgedrukt in de andere twee?
Een parametervoorstelling is een functie van de tijd naar een coördinaat 
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Nee, een functie y = f(x) geeft altijd maar één y bij een geven x. Dat is kenmerkend aan een functie: ze heeft maar één uitkomst. Je kunt dus de parabool y = x2 nemen, dat is een functie. Maar die parabool een kwartslag gedraaid, daar is geen functie van te maken. Omdat je dan voor x = 4 eigenlijk y = 2 én y = -2 als uitkomst zou moeten hebben, dat kan niet.
Om eens een extreem voorbeeld te nemen:
Bron: Wikimedia Commons (Afbeelding is Publiek Domein)
Dat is de ‘butterfly curve’, je kunt nooit een functie maken die y in termen van x uitdrukt, want bij elke x zie je dat er meerdere y-waarden horen, en omgekeerd. Daarom parametriseer je, en dan krijg je dus:
Je zou deze vergelijkingen zelf elk weer als functie kunnen plotten, dan krijg je een heel grillig oscillerende grafiek (zie b.v. hier), als dat is wat je bedoelt.
Dus ja, je kunt elk van die leden van een parametervoorstelling als functie beschouwen, en in die zin zijn ze inwisselbaar, maar er is dus ook een wezenlijk verschil.
Om eens een extreem voorbeeld te nemen:
Bron: Wikimedia Commons (Afbeelding is Publiek Domein)
Dat is de ‘butterfly curve’, je kunt nooit een functie maken die y in termen van x uitdrukt, want bij elke x zie je dat er meerdere y-waarden horen, en omgekeerd. Daarom parametriseer je, en dan krijg je dus:
Je zou deze vergelijkingen zelf elk weer als functie kunnen plotten, dan krijg je een heel grillig oscillerende grafiek (zie b.v. hier), als dat is wat je bedoelt.
Dus ja, je kunt elk van die leden van een parametervoorstelling als functie beschouwen, en in die zin zijn ze inwisselbaar, maar er is dus ook een wezenlijk verschil.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Maar er is geen sprake van tijd in de som
V1=x1-x2+x3
V2= x1-x3
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
[ Bericht 9% gewijzigd door Hanneke12345 op 08-09-2009 00:18:08 ]
V1=x1-x2+x3
V2= x1-x3
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
[ Bericht 9% gewijzigd door Hanneke12345 op 08-09-2009 00:18:08 ]
Iets gaat er niet helemaal goed met de vergelijking van V2, maar dat zie je zelf ook wel. Maar in feite heb je hier dan drie vlakken in de drie-dimensionale ruimte en je moet een uitdrukking vinden voor de snijlijn van V1 ∩ V2? Doch ik moet wel even die juiste vergelijking hebben om een zinnig antwoord te kunnen geven.quote:
Maar er is geen sprake van tijd in de som
V1=x1-x2+x3
V2= x1-xV23[/sub]
(V3=x1+x2+x3)
Bepaal een parametervoorstelling van de doorsnede V1(doorsnedetekentje)V2
Moet je dan in V2, x1 uitdrukken in x3 en dat invullen in V1?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als ik heel simpel doe, dan is het zo:
x1 - x2 + x3 = x1 - x3
Even schuiven (x1 valt weg):
x2 = 2x3
Dat is je oplossing. Parametriseer je dat, dan krijg je, als je zegt x3 = t, dat dan x2 = 2t, dus:
x2 = 2t
x3 = t
Ik weet niet of dat zinnig overkomt of niet? In feite beschrijft dit gewoon een rechte lijn natuurlijk, en je kunt dit ook als functie schrijven (die heb je al, x2 = 2x3).
Als je dit ruimtelijk voorstelt, dan zou ik zeggen, V1∩V2 komt overeen met V1 = V2, dus:quote:V_1= x_1-x_2+x_3
V_2= x_1-x_3
x1 - x2 + x3 = x1 - x3
Even schuiven (x1 valt weg):
x2 = 2x3
Dat is je oplossing. Parametriseer je dat, dan krijg je, als je zegt x3 = t, dat dan x2 = 2t, dus:
x2 = 2t
x3 = t
Ik weet niet of dat zinnig overkomt of niet? In feite beschrijft dit gewoon een rechte lijn natuurlijk, en je kunt dit ook als functie schrijven (die heb je al, x2 = 2x3).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dus even in het boek teruglezen of ik die tijd erbij moet schrijven (kan het me niet herinneren, maar kon het college sowieso erg slecht volgen).
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Iblis toch, V1∩V2 is toch gewoon een verzameling punten die zowel in V1 als in V2 zitten.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik begrijp werkelijk niet wat je aan het doen bent.quote:Op dinsdag 8 september 2009 00:38 schreef Hanneke12345 het volgende:
Dus even in het boek teruglezen of ik die tijd erbij moet schrijven (kan het me niet herinneren, maar kon het college sowieso erg slecht volgen).
Zelfde som (zelfde vectoren iig); Bepaal de doorsnede V1∩V2∩V3.
Ik heb met een matrix gevonden dat x1 = 3,5; x2=-2 en x3=-1,5. Hoe moet ik dit antwoord dan noteren?
Ik snap de vraagstelling volgens mij inderdaad niet goed. Riparius ook blijkbaar niet. Volgens mij heb ik meer context nodig.quote:
Iblis toch, V1∩V2 is toch gewoon een verzameling punten die zowel in V1 als in V2 zitten.
De positie van die vlakken hangt af van de keuze voor V1 en V2.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als je de punten zoekt die in beide vlakken komen, dan heb je v1 = x1-x3-x2+2x3 (zelfde wat er staat), alleen moet x1-x3 dan tevens gelijk zijn aan v2 omdat je ook in het tweede vlak moet zitten. Dan kom je op v1-v2 = 2x3-x2.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik ben inderdaad onvolledig geweest 
V1=4
V2=5
V3=0
Maargoed, ik moet het zometeen inleveren, dus ik hoop maar dat ik het goed doe.
V1=4
V2=5
V3=0
Maargoed, ik moet het zometeen inleveren, dus ik hoop maar dat ik het goed doe.
Ik zie nu waar het misgaat met de nieuwe informatie van Hanneke12345. Misschien had ik niets moeten zeggen, dan had ik in ieder geval geen verwarring gezaaid, iets meer context was ook gemakkelijk geweest. Ik zat nu echt even een heel andere kant op te denken.quote:
Als je de punten zoekt die in beide vlakken komen, dan heb je v1 = x1-x3-x2+2x3 (zelfde wat er staat), alleen moet x1-x3 dan tevens gelijk zijn aan v2 omdat je ook in het tweede vlak moet zitten. Dan kom je op v1-v2 = 2x3-x2.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Bij een bewijs over de oneindigheid van priemgetallen val ik over (waarschijnlijk een) kleinigheidje.
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
kloep kloep
Ten eerste is het van belang dat je voor het rijtje (p_i) alle priemgetallen neemt uit de eindige verzameling.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
sorry, maar dit volg ik nog niet. je gaat wat te snel. Klopt mijn bewijs wel?quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:37 schreef GlowMouse het volgende:
Ten eerste is het van belang dat je voor het rijtje (p_i) alle priemgetallen neemt uit de eindige verzameling.
Ten tweede weet je dat p1*p2*p3....*pk = p_i * (p1*p2*p3...*p(i-1)*p(i+1)*....*pk) en is dat product dus een veelvoud van p_i. Maar als je er dan eentje bij optelt dan kan het alleen deelbaar zijn door p_i als p_i=1.
kloep kloep
Zonder mijn opmerking erbij klopt jouw bewijs niet, en zonder mijn tweede opmerking snap ik je hele bewijs niet.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Elk natuurlijk getal is een geheel veelvoud van 1, daar heb je deze redenering niet voor nodig. Maar 1 wordt niet beschouwd als priemgetal, onder meer niet omdat je anders geen unieke ontbinding in priemfactoren kunt krijgen van een natuurlijk getal (hoofdstelling van de rekenkunde).quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:34 schreef Borizzz het volgende:
Bij een bewijs over de oneindigheid van priemgetallen val ik over (waarschijnlijk een) kleinigheidje.
Ik zal eerst opschrijven wat ik heb.
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
Het getal p1*p2*p3....*pk is een veelvoud van p1,p2, p3....pk. Veelvouden liggen steeds pi eenheden van elkaar vandaan op de getallenlijn.
Dit maakt dat getal M géén veelvoud is van p1,p2,p3...pk. (*)
Met andere woorden: de priemfactorontbinding van M bevat priemgetallen q1,q2,q3...ql die niet in de rij p1,p2,p3...pk voorkomen.
Dus met een eindige rij priemgetallen valt dus ten minste één nieuw priemgetal te construeren. Dus een eindige rij kan worden uitgebreid.: Verzameling P is oneindig groot.
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
Waar mensen vaak de mist in gaan met dit bewijs (van Euclides) is de veronderstelling dat het product van de eerste k priemgetallen vermeerderd met één zelf priem zou moeten zijn omdat het niet deelbaar is door één van de eerste k priemgetallen, maar dat is niet het geval.
Ten eerste is 1 geen priemgetal dus er kan geen i zijn zodanig dat pi = 1. Los daarvan, was 1 wel een priemgetal, en zou er een i zijn zodat pi = 1 (en we kunnen zonder verlies van algemeenheid wel aannemen dat het het p1 is, dan nog is het niet zo’n ramp, omdat dan voor de andere pi met i > 1 je redenatie nog opgaat, dat M deelbaar is door één boeit verder niet, want elk priemgetal is deelbaar door 1.quote:
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?
Maar goed, 1 is dus geen priemgetal.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oké, ik weet het echt allemaal niet meer. Volgens mij is de volgende som super simpel, maar ik kom er gewoon niet meer uit hoe ik 
aan één kant krijg 
Ik moet de snijpunten van de grafieken van de volgende functies bepalen:
en 
Dus achter elkaar wordt het:
Help?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:27:33 ]
Ik moet de snijpunten van de grafieken van de volgende functies bepalen:
Dus achter elkaar wordt het:
Help?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:27:33 ]
Weer een Tilbuger, werkgroep 1 of 5 toevallig?
Links en rechts zie je iets met 3x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?
Links en rechts zie je iets met 3x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Overigens, als ik mag, er is nog een iets korter bewijs dat een variant is van dit bewijs van Euclides. Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze (oplopend in volgorde) p1,…,pk. Laat dan n = p1·p2···pk. Het is duidelijk dat n - 1 > pk, dus n - 1 moet deelbaar zijn door een pi, omdat n ook deelbaar is door pi moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door pi. Een absurdum.□
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.
Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.
Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!
kloep kloep
Wat doen al die Tilburgers hier dan, Glowmouse?!quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:54 schreef GlowMouse het volgende:
Weer een Tilbuger, werkgroep 1 of 5 toevallig?
Links en rechts zie je iets met 3x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?
ieg bedankt voor je toelichting. Vind het nog moeilijk maar ja. Doorzetten.
kloep kloep
Overigens, als ik mag, er is nog een iets korter bewijs dan dat van Iblis.
Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze p1,…,pk. Laat dan n = p1·p2···pk. Het is duidelijk dat n + 1 > pi voor iedere i, dus n+1 deelbaar moet zijn door een p_j, maar dan moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door p_j. Een absurdum. □
Ligt er net aan hoe je het opschrijft, Iblis
Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze p1,…,pk. Laat dan n = p1·p2···pk. Het is duidelijk dat n + 1 > pi voor iedere i, dus n+1 deelbaar moet zijn door een p_j, maar dan moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door p_j. Een absurdum. □
Ligt er net aan hoe je het opschrijft, Iblis
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
De aanpak van Euclides is dat je aanneemt dat er een eindig aantal priemgetallen p1, p2 ... pk zijn en dat je daar dan een tegenspraak uit afleidt. Maar je moet in de gaten houden dat je getal M niet priem hoeft te zijn.quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:56 schreef Borizzz het volgende:
Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.
Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!
Ik weet niet wat ze hier doen. Morgen ga ik reclame maken voor dit topic in mijn werkgroepen maar volgens mij is dat tot nu toe nog nergens gedaan.quote:
[..]
Wat doen al die Tilburgers hier dan, Glowmouse?!
ieg bedankt voor je toelichting. Vind het nog moeilijk maar ja. Doorzetten.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Nou je wilt eigenlijk een bewijs uit het ongerijmde. Je neemt dus aan dat |P| < ∞, om vervolgens op een tegenspraak uit te komen. Wat GlowMouse zegt, dat je alle elementen uit P moet meenemen is van belang, omdat de grap is dat je uiteindelijk wilt concluderen dat je met behulp van die elementen kunt aantonen dat je verzameling toch niet compleet is.quote:
Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.
Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!
Stel dat je: P = {2, 3, 5, 7} hebt. Nu construeer je M met een deelverzameling, namelijk 2 en 7, dan krijg je M = 2·7 + 1 = 15. Vervolgens ontbind je 15 in priemfactoren en dan krijg je 3 en 5. Maar die zaten al wel in P! Daar heb je dus niets mee bewezen.
Neem je echter het product van die hele verzameling dan krijg je 2·3·5·7 + 1 = 211, wat zelf een priemgetal is (maar dat hoeft niet altijd zo te zijn), b.v. neem P′={2,3,5,7,11,13}, dan krijg je 2·3·5·7·11·13 + 1 = 30031, wat als factoren 59 en 509 heeft.
Deze twee zaken geven echter wel wat de truc is van het bewijs.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Je hebt:quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:52 schreef booo het volgende:
Oké, ik weet het echt allemaal niet meer. Volgens mij is de volgende som super simpel, maar ik kom er gewoon niet meer uit hoe ik [ afbeelding ] aan één kant krijg
Ik moet de snijpunten van de grafieken van de volgende functies bepalen:
[ afbeelding ] en [ afbeelding ]
Dus achter elkaar wordt het:
[ afbeelding ]
Help?
3x+2 = 24 + 3x
Dus:
3x+2 - 3x = 24
Nu 3x buiten haakjes halen en je krijgt:
3x(32 - 1) = 24
Nu kun je het zelf wel verder oplossen.
Hier zat dus in feite de "grootste" fout? Dus alle elementen uit P nemen en niet een deelverzameling.quote:Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.
En dan laten zien dat er ondanks het feit dat je alle elementen uit P nam, er toch elementen uit P bijkomen die je niet in de oorspronkelijke verzameling had (via het getal M).
Dus P oneindig groot.
kloep kloep
Ja. Je aanname dat er eindig veel zijn komt daarbij namelijk op een tegenspraak uit, want je pakt ze ‘alle eindig veel’ om een nieuw getal M mee te construeren.quote:
[..]
Hier zat dus in feite de "grootste" fout? Dus alle elementen uit P nemen en niet een deelverzameling.
En dan laten zien dat er ondanks het feit dat je alle elementen uit P nam, er toch elementen uit P bijkomen die je niet in de oorspronkelijke verzameling had (via het getal M).
Dus P oneindig groot.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Toch ben ik ook zo eigenwijs om deze ook te willen snappen.quote:Op dinsdag 8 september 2009 17:55 schreef Iblis het volgende:
Overigens, als ik mag, er is nog een iets korter bewijs dat een variant is van dit bewijs van Euclides. Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze (oplopend in volgorde) p1,…,pk. Laat dan n = p1·p2···pk. Het is duidelijk dat n - 1 > pk, dus n - 1 moet deelbaar zijn door een pi, omdat n ook deelbaar is door pi moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door pi. Een absurdum.□
pi deler van n. Ok. Volgt uit definitie van n=p1*p2*p3...Pi.
omdat n-1>pk zal er vast een pi deler zijn. Ook ok.
hoe kom je dan n-(n-1). Laatste stapje volg ik niet geheel.
kloep kloep
Omdat je aanneemt dat er eindig veel priemgetallen zijn moet er wel uit die verzameling een pi zijn die n-1 deelt. En dat dat diezelfde pi n deelt is evident vanwege de constructie van n. Als je twee getallen hebt die elk door hetzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil van die getallen ook door dat getal deelbaar, immers:quote:
[..]
Toch ben ik ook zo eigenwijs om deze ook te willen snappen.
pi deler van n. Ok. Volgt uit definitie van n=p1*p2*p3...Pi.
omdat n-1>pk zal er vast een pi deler zijn. Ook ok.
hoe kom je dan n-(n-1). Laatste stapje volg ik niet geheel.
Je zou kunnen schrijven: n = pi·a en (n-1) = pi·b waarbij a, b ∈ ℕ.
Neem nu pi·a - pi·b = pi(a - b). Dus dat verschil is ook door pi deelbaar. Maar dat verschil is 1. Dus dan zeg je dat 1 deelbaar is door pi, en dat is absurd.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ja, was het maar zo'n feest.quote:Op dinsdag 8 september 2009 18:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je hebt:
3x+2 = 24 + 3x
Dus:
3x+2 - 3x = 24
Nu 3x buiten haakjes halen en je krijgt:
3x(32 - 1) = 24
Nu kun je het zelf wel verder oplossen.
Ik kom dan op
32x - 3x = 24
En dan zou ik doen
3x = 24
Wat geeft
x = 2,892789261 en dat is dus niet de uitkomst..
Werkgroep 15 en bijles groep D, maar of die bijles iets gaat uithalen betwijfel ik nogquote:Op dinsdag 8 september 2009 17:54 schreef GlowMouse het volgende:
Weer een Tilbuger, werkgroep 1 of 5 toevallig?
Links en rechts zie je iets met 3x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?
Ah, 15 doet iemand anders.
En exponenten mag je ook niet zomaar van elkaar aftrekken. Kijk alle rekenregels maar eens door.
Bij die eerste vervang je x+2 door 2x, dat mag niet.quote:
[..]
Ja, was het maar zo'n feest.
Ik kom dan op
32x - 3x = 24
En dan zou ik doen
3x = 24
En exponenten mag je ook niet zomaar van elkaar aftrekken. Kijk alle rekenregels maar eens door.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
aaah. OKquote:Op dinsdag 8 september 2009 18:34 schreef Iblis het volgende:
[..]
Omdat je aanneemt dat er eindig veel priemgetallen zijn moet er wel uit die verzameling een pi zijn die n-1 deelt. En dat dat diezelfde pi n deelt is evident vanwege de constructie van n. Als je twee getallen hebt die elk door hetzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil van die getallen ook door dat getal deelbaar, immers:
Je zou kunnen schrijven: n = pi·a en (n-1) = pi·b waarbij a, b ∈ ℕ.
Neem nu pi·a - pi·b = pi(a - b). Dus dat verschil is ook door pi deelbaar. Maar dat verschil is 1. Dus dan zeg je dat 1 deelbaar is door pi, en dat is absurd.
Het is ook de manier van denken/redeneren waar ik nog aan moet wennen. En al die regels over deelbaarheid.
Ik ben vorige week begonnen aan mijn laatste(!) mastercourse: getaltheorie. Gestart met de basis en dat bleek al aardig lastig. Volhouden maar zoals altijd.
Gaat veel getaltheorie over een dergelijke denkwijze/redeneertrant?
kloep kloep
Als je van Riparius' 3x(32 - 1) naar 32x - 3x bent gegaan (wat ik vermoed), dan maak je een rekenfout. Zo werken exponenten niet, wat ook wel logisch is als je bedenkt wat ze betekenen:quote:
Ja, was het maar zo'n feest.
Ik kom dan op
32x - 3x = 24
Heb je 3x · 32 dan krijg je dus:
Maar dan ben je weer terug bij af, dus daar schiet je niets mee op, je moet wat met 32 - 1 in Riparius' uitwerking.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Getaltheorie is in zekere zin vaak heel elementair met wat het doet, maar vrij diep met wat eruit komt. Goed je regels kennen is inderdaad wel handig.quote:
[..]
aaah. OK
Het is ook de manier van denken/redeneren waar ik nog aan moet wennen. En al die regels over deelbaarheid.
Ik ben vorige week begonnen aan mijn laatste(!) mastercourse: getaltheorie. Gestart met de basis en dat bleek al aardig lastig. Volhouden maar zoals altijd.
Gaat veel getaltheorie over een dergelijke denkwijze/redeneertrant?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dat is de reden waarom ik deze week eerst oude dingen uit de kast getrokken heb:quote:Op dinsdag 8 september 2009 18:53 schreef Iblis het volgende:
[..]
Getaltheorie is in zekere zin vaak heel elementair met wat het doet, maar vrij diep met wat eruit komt. Goed je regels kennen is inderdaad wel handig.
deelbaarheid, modulo rekenen, bewijstechnieken (ongerijmde en volledige inductie), en priemfactorontbindingen.
Is dit denk je de basis, om daarna verder te gaan, of mist er nog wat denk je?
kloep kloep
Ik weet niet wat er allemaal aan bod gaat komen, maar in principe met dat wel voldoen denk ik.quote:
[..]
Dat is de reden waarom ik deze week eerst oude dingen uit de kast getrokken heb:
deelbaarheid, modulo rekenen, bewijstechnieken (ongerijmde en volledige inductie), en priemfactorontbindingen.
Is dit denk je de basis, om daarna verder te gaan, of mist er nog wat denk je?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oh dom van me.quote:Op dinsdag 8 september 2009 18:52 schreef Iblis het volgende:
[..]
Als je van Riparius' 3x(32 - 1) naar 32x - 3x bent gegaan (wat ik vermoed), dan maak je een rekenfout. Zo werken exponenten niet, wat ook wel logisch is als je bedenkt wat ze betekenen:
[ afbeelding ]
Heb je 3x · 32 dan krijg je dus:
[ afbeelding ]
Maar dan ben je weer terug bij af, dus daar schiet je niets mee op, je moet wat met 32 - 1 in Riparius' uitwerking.
Ik wist dat het makkelijk was
Ik heb m.Bedankt allemaal! (al gok ik dat ik nog vaker langskom
)
Iets anders:
Ik heb ooit eens een site gezien waar een grafische rekenmachine "online" gezet is.
Je kunt zo gemakkelijk zo'n apparaat op een beamer zetten en een insctructie geven hoe je ermee kunt werken.
Weet iemand waar ik zoiets kan vinden?
Ik heb ooit eens een site gezien waar een grafische rekenmachine "online" gezet is.
Je kunt zo gemakkelijk zo'n apparaat op een beamer zetten en een insctructie geven hoe je ermee kunt werken.
Weet iemand waar ik zoiets kan vinden?
kloep kloep
Ik heb morgen een 21+ onderzoek voor wiskunde A. De onderdelen die je moest kennen gingen om lineaire functies en vergelijkingen, kwadratische functies en vergelijkingen en machtsfuncties en logaritmen.
Nu heb ik niet alles 100% onder de knie, maar er zijn nog een paar vragen waar ik zo geen antwoord op kon krijgen: Hoe kan je nou aan een formule zien of het een berg- of dalparabool is? Ik weet dat er een x² in moet zitten, maar is die 'tweede' x zoals ik ze in formules tegenkom ook nodig? (voorbeeld: y=ax²+bx-c)
Daarnaast vraag ik me nog af met functies, als je y een waarde geeft, kan dat dan nog in een vergelijking? dus zeg maar formule a afzetten tegen b?
Dan had ik zeg maar nog een fout gemaakt, maar ik zie niet waar de fout zit?
de opdracht was gewoon oplossen:
-x²+5x=x-5
eerste gedachte:
-x²+4x+5=0
D=4²-4 maal -1 maal +5 =25
x=(-4 min wortel25)/-1 =9
en: x=(4 min wortel25)/-1 =-1
Ik zag dat het fout was, en heb de eerste stap van de uitwerking overgenomen, en daarna nog eens geprobeerd:
x²-4x-5=0
D=-4² -4 maal 1 maal -5 = 36
x= (4 min wortel36)/1 =-2
x= (-4 min wortel36)/1 =2
Je zou denken dat je met de discriminant altijd veilig zit... maar het boekje zegt:
x²-4x-5=0
(x-5) maal (x+1) = 0
En dus x= 5 en x= -1
Is het zo dat als je de product som methode toe kan passen de discriminant (abc formule) niet meer werkt? OF (logischer) heb ik iets fout gedaan, maar zie ik het over het hoofd?
Hopelijk kunnen jullie wat inzicht verschaffen.
ik heb geprobeerd de link uit de op te gebruiken, maar die herkende ² niet..?)
Nu heb ik niet alles 100% onder de knie, maar er zijn nog een paar vragen waar ik zo geen antwoord op kon krijgen: Hoe kan je nou aan een formule zien of het een berg- of dalparabool is? Ik weet dat er een x² in moet zitten, maar is die 'tweede' x zoals ik ze in formules tegenkom ook nodig? (voorbeeld: y=ax²+bx-c)
Daarnaast vraag ik me nog af met functies, als je y een waarde geeft, kan dat dan nog in een vergelijking? dus zeg maar formule a afzetten tegen b?
Dan had ik zeg maar nog een fout gemaakt, maar ik zie niet waar de fout zit?
de opdracht was gewoon oplossen:
-x²+5x=x-5
eerste gedachte:
-x²+4x+5=0
D=4²-4 maal -1 maal +5 =25
x=(-4 min wortel25)/-1 =9
en: x=(4 min wortel25)/-1 =-1
Ik zag dat het fout was, en heb de eerste stap van de uitwerking overgenomen, en daarna nog eens geprobeerd:
x²-4x-5=0
D=-4² -4 maal 1 maal -5 = 36
x= (4 min wortel36)/1 =-2
x= (-4 min wortel36)/1 =2
Je zou denken dat je met de discriminant altijd veilig zit... maar het boekje zegt:
x²-4x-5=0
(x-5) maal (x+1) = 0
En dus x= 5 en x= -1
Is het zo dat als je de product som methode toe kan passen de discriminant (abc formule) niet meer werkt? OF (logischer) heb ik iets fout gedaan, maar zie ik het over het hoofd?
Hopelijk kunnen jullie wat inzicht verschaffen.
ik heb geprobeerd de link uit de op te gebruiken, maar die herkende ² niet..?)
And the druids turn to stone...
