[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:34 schreef Borizzz het volgende:
Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).

Bij (*) zit mijn probleempje. stel nu dat p1 het getal 1 is. Dan zou M wel een veelvoud kunnen zijn. toch?
Dan valt de verder mooie redenering dus in elkaar?
Of zit het 'm erin dat je 1 niet tot de priemgetallen rekent?

Ten eerste is 1 geen priemgetal dus er kan geen i zijn zodanig dat p_i = 1. Los daarvan, was 1 wel een priemgetal, en zou er een i zijn zodat p_i = 1 (en we kunnen zonder verlies van algemeenheid wel aannemen dat het het p₁ is, dan nog is het niet zo’n ramp, omdat dan voor de andere p_i met i > 1 je redenatie nog opgaat, dat M deelbaar is door één boeit verder niet, want elk priemgetal is deelbaar door 1.

Maar goed, 1 is dus geen priemgetal.

Oké, ik weet het echt allemaal niet meer. Volgens mij is de volgende som super simpel, maar ik kom er gewoon niet meer uit hoe ik aan één kant krijg

Ik moet de snijpunten van de grafieken van de volgende functies bepalen:
en

Dus achter elkaar wordt het:


Help?

[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:27:33 ]

Overigens, als ik mag, er is nog een iets korter bewijs dat een variant is van dit bewijs van Euclides. Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze (oplopend in volgorde) p₁,…,p_k. Laat dan n = p₁·p₂···p_k. Het is duidelijk dat n - 1 > p_k, dus n - 1 moet deelbaar zijn door een p_i, omdat n ook deelbaar is door p_i moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door p_i. Een absurdum.□

Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.

Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:54 schreef GlowMouse het volgende:
Weer een Tilbuger, werkgroep 1 of 5 toevallig?

Links en rechts zie je iets met 3^x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?

Wat doen al die Tilburgers hier dan, Glowmouse?!
ieg bedankt voor je toelichting. Vind het nog moeilijk maar ja. Doorzetten.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:56 schreef Borizzz het volgende:
Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.

Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!

De aanpak van Euclides is dat je aanneemt dat er een eindig aantal priemgetallen p₁, p₂ ... p_k zijn en dat je daar dan een tegenspraak uit afleidt. Maar je moet in de gaten houden dat je getal M niet priem hoeft te zijn.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:56 schreef Borizzz het volgende:
Hmm, mijn bewijs is dus niet bepaald goed.
En ik dacht nog wel dat ik een aardig eind op weg was...
Want op bovenstaande manier is het me wel uitgelegd. Mijn probleem zat m enkel nog in de deelbaarheid van M.

Grondgedachte was, dat een eindige verzamemeling altijd nog uitgebreid kon worden m.b.v. de elementen in de eindige verzameling. Daaruit volgt dat P (en N, Z etc) oneindig groot is.
Daar kan toch niet veel mis mee zijn?!

Nou je wilt eigenlijk een bewijs uit het ongerijmde. Je neemt dus aan dat |P| < ∞, om vervolgens op een tegenspraak uit te komen. Wat GlowMouse zegt, dat je alle elementen uit P moet meenemen is van belang, omdat de grap is dat je uiteindelijk wilt concluderen dat je met behulp van die elementen kunt aantonen dat je verzameling toch niet compleet is.

Stel dat je: P = {2, 3, 5, 7} hebt. Nu construeer je M met een deelverzameling, namelijk 2 en 7, dan krijg je M = 2·7 + 1 = 15. Vervolgens ontbind je 15 in priemfactoren en dan krijg je 3 en 5. Maar die zaten al wel in P! Daar heb je dus niets mee bewezen.

Neem je echter het product van die hele verzameling dan krijg je 2·3·5·7 + 1 = 211, wat zelf een priemgetal is (maar dat hoeft niet altijd zo te zijn), b.v. neem P′={2,3,5,7,11,13}, dan krijg je 2·3·5·7·11·13 + 1 = 30031, wat als factoren 59 en 509 heeft.

Deze twee zaken geven echter wel wat de truc is van het bewijs.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:52 schreef booo het volgende:
Oké, ik weet het echt allemaal niet meer. Volgens mij is de volgende som super simpel, maar ik kom er gewoon niet meer uit hoe ik [ afbeelding ] aan één kant krijg

Ik moet de snijpunten van de grafieken van de volgende functies bepalen:
[ afbeelding ] en [ afbeelding ]

Dus achter elkaar wordt het:
[ afbeelding ]

Help?

Je hebt:

3^x+2 = 24 + 3^x

Dus:

3^x+2 - 3^x = 24

Nu 3^x buiten haakjes halen en je krijgt:

3^x(3² - 1) = 24

Nu kun je het zelf wel verder oplossen.

quote:

Je neemt uit de verzameling P een eindige rij priemgetallen: p1,p2,p3....pk voor zekere k. (geheel getal).
Definieer M: p1*p2*p3...*pk+1.

Hier zat dus in feite de "grootste" fout? Dus alle elementen uit P nemen en niet een deelverzameling.
En dan laten zien dat er ondanks het feit dat je alle elementen uit P nam, er toch elementen uit P bijkomen die je niet in de oorspronkelijke verzameling had (via het getal M).
Dus P oneindig groot.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:15 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Hier zat dus in feite de "grootste" fout? Dus alle elementen uit P nemen en niet een deelverzameling.
En dan laten zien dat er ondanks het feit dat je alle elementen uit P nam, er toch elementen uit P bijkomen die je niet in de oorspronkelijke verzameling had (via het getal M).
Dus P oneindig groot.

Ja. Je aanname dat er eindig veel zijn komt daarbij namelijk op een tegenspraak uit, want je pakt ze ‘alle eindig veel’ om een nieuw getal M mee te construeren.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:55 schreef Iblis het volgende:
Overigens, als ik mag, er is nog een iets korter bewijs dat een variant is van dit bewijs van Euclides. Neem aan dat het aantal priemgetallen eindig is, en noem ze (oplopend in volgorde) p₁,…,p_k. Laat dan n = p₁·p₂···p_k. Het is duidelijk dat n - 1 > p_k, dus n - 1 moet deelbaar zijn door een p_i, omdat n ook deelbaar is door p_i moet n-(n-1) = 1 ook deelbaar zijn door p_i. Een absurdum.□

Toch ben ik ook zo eigenwijs om deze ook te willen snappen.
p_i deler van n. Ok. Volgt uit definitie van n=p₁*p₂*p₃...Pi.
omdat n-1>pk zal er vast een p_i deler zijn. Ook ok.
hoe kom je dan n-(n-1). Laatste stapje volg ik niet geheel.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:24 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Toch ben ik ook zo eigenwijs om deze ook te willen snappen.
p_i deler van n. Ok. Volgt uit definitie van n=p₁*p₂*p₃...Pi.
omdat n-1>pk zal er vast een p_i deler zijn. Ook ok.
hoe kom je dan n-(n-1). Laatste stapje volg ik niet geheel.

Omdat je aanneemt dat er eindig veel priemgetallen zijn moet er wel uit die verzameling een p_i zijn die n-1 deelt. En dat dat diezelfde p_i n deelt is evident vanwege de constructie van n. Als je twee getallen hebt die elk door hetzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil van die getallen ook door dat getal deelbaar, immers:

Je zou kunnen schrijven: n = p_i·a en (n-1) = p_i·b waarbij a, b ∈ ℕ.

Neem nu p_i·a - p_i·b = p_i(a - b). Dus dat verschil is ook door p_i deelbaar. Maar dat verschil is 1. Dus dan zeg je dat 1 deelbaar is door p_i, en dat is absurd.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt:

3^x+2 = 24 + 3^x

Dus:

3^x+2 - 3^x = 24

Nu 3^x buiten haakjes halen en je krijgt:

3^x(3² - 1) = 24

Nu kun je het zelf wel verder oplossen.

Ja, was het maar zo'n feest.
Ik kom dan op
3^2x - 3^x = 24
En dan zou ik doen
3^x = 24
Wat geeft
x = 2,892789261 en dat is dus niet de uitkomst..

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 17:54 schreef GlowMouse het volgende:
Weer een Tilbuger, werkgroep 1 of 5 toevallig?

Links en rechts zie je iets met 3^x, alleen links staat er nog een +2 in de weg, kan je die +2 loshalen?

Werkgroep 15 en bijles groep D, maar of die bijles iets gaat uithalen betwijfel ik nog

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:34 schreef Iblis het volgende:

[..]

Omdat je aanneemt dat er eindig veel priemgetallen zijn moet er wel uit die verzameling een p_i zijn die n-1 deelt. En dat dat diezelfde p_i n deelt is evident vanwege de constructie van n. Als je twee getallen hebt die elk door hetzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil van die getallen ook door dat getal deelbaar, immers:

Je zou kunnen schrijven: n = p_i·a en (n-1) = p_i·b waarbij a, b ∈ ℕ.

Neem nu p_i·a - p_i·b = p_i(a - b). Dus dat verschil is ook door p_i deelbaar. Maar dat verschil is 1. Dus dan zeg je dat 1 deelbaar is door p_i, en dat is absurd.

aaah. OK
Het is ook de manier van denken/redeneren waar ik nog aan moet wennen. En al die regels over deelbaarheid.
Ik ben vorige week begonnen aan mijn laatste(!) mastercourse: getaltheorie. Gestart met de basis en dat bleek al aardig lastig. Volhouden maar zoals altijd.
Gaat veel getaltheorie over een dergelijke denkwijze/redeneertrant?

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:39 schreef booo het volgende:
Ja, was het maar zo'n feest.
Ik kom dan op
3^2x - 3^x = 24

Als je van Riparius' 3^x(3² - 1) naar 3^2x - 3^x bent gegaan (wat ik vermoed), dan maak je een rekenfout. Zo werken exponenten niet, wat ook wel logisch is als je bedenkt wat ze betekenen:



Heb je 3^x · 3² dan krijg je dus:



Maar dan ben je weer terug bij af, dus daar schiet je niets mee op, je moet wat met 3² - 1 in Riparius' uitwerking.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:51 schreef Borizzz het volgende:

[..]

aaah. OK
Het is ook de manier van denken/redeneren waar ik nog aan moet wennen. En al die regels over deelbaarheid.
Ik ben vorige week begonnen aan mijn laatste(!) mastercourse: getaltheorie. Gestart met de basis en dat bleek al aardig lastig. Volhouden maar zoals altijd.
Gaat veel getaltheorie over een dergelijke denkwijze/redeneertrant?

Getaltheorie is in zekere zin vaak heel elementair met wat het doet, maar vrij diep met wat eruit komt. Goed je regels kennen is inderdaad wel handig.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:53 schreef Iblis het volgende:

[..]

Getaltheorie is in zekere zin vaak heel elementair met wat het doet, maar vrij diep met wat eruit komt. Goed je regels kennen is inderdaad wel handig.

Dat is de reden waarom ik deze week eerst oude dingen uit de kast getrokken heb:
deelbaarheid, modulo rekenen, bewijstechnieken (ongerijmde en volledige inductie), en priemfactorontbindingen.
Is dit denk je de basis, om daarna verder te gaan, of mist er nog wat denk je?

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:56 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Dat is de reden waarom ik deze week eerst oude dingen uit de kast getrokken heb:
deelbaarheid, modulo rekenen, bewijstechnieken (ongerijmde en volledige inductie), en priemfactorontbindingen.
Is dit denk je de basis, om daarna verder te gaan, of mist er nog wat denk je?

Ik weet niet wat er allemaal aan bod gaat komen, maar in principe met dat wel voldoen denk ik.

quote:

Op dinsdag 8 september 2009 18:52 schreef Iblis het volgende:

[..]

Als je van Riparius' 3^x(3² - 1) naar 3^2x - 3^x bent gegaan (wat ik vermoed), dan maak je een rekenfout. Zo werken exponenten niet, wat ook wel logisch is als je bedenkt wat ze betekenen:

[ afbeelding ]

Heb je 3^x · 3² dan krijg je dus:

[ afbeelding ]

Maar dan ben je weer terug bij af, dus daar schiet je niets mee op, je moet wat met 3² - 1 in Riparius' uitwerking.

Oh dom van me.
Ik wist dat het makkelijk was Ik heb m.

Bedankt allemaal! (al gok ik dat ik nog vaker langskom )

Iets anders:
Ik heb ooit eens een site gezien waar een grafische rekenmachine "online" gezet is.
Je kunt zo gemakkelijk zo'n apparaat op een beamer zetten en een insctructie geven hoe je ermee kunt werken.
Weet iemand waar ik zoiets kan vinden?

Ik heb morgen een 21+ onderzoek voor wiskunde A. De onderdelen die je moest kennen gingen om lineaire functies en vergelijkingen, kwadratische functies en vergelijkingen en machtsfuncties en logaritmen.
Nu heb ik niet alles 100% onder de knie, maar er zijn nog een paar vragen waar ik zo geen antwoord op kon krijgen: Hoe kan je nou aan een formule zien of het een berg- of dalparabool is? Ik weet dat er een x² in moet zitten, maar is die 'tweede' x zoals ik ze in formules tegenkom ook nodig? (voorbeeld: y=ax²+bx-c)

Daarnaast vraag ik me nog af met functies, als je y een waarde geeft, kan dat dan nog in een vergelijking? dus zeg maar formule a afzetten tegen b?

Dan had ik zeg maar nog een fout gemaakt, maar ik zie niet waar de fout zit?
de opdracht was gewoon oplossen:
-x²+5x=x-5
eerste gedachte:
-x²+4x+5=0
D=4²-4 maal -1 maal +5 =25
x=(-4 min wortel25)/-1 =9
en: x=(4 min wortel25)/-1 =-1

Ik zag dat het fout was, en heb de eerste stap van de uitwerking overgenomen, en daarna nog eens geprobeerd:

x²-4x-5=0
D=-4² -4 maal 1 maal -5 = 36
x= (4 min wortel36)/1 =-2
x= (-4 min wortel36)/1 =2

Je zou denken dat je met de discriminant altijd veilig zit... maar het boekje zegt:

x²-4x-5=0
(x-5) maal (x+1) = 0
En dus x= 5 en x= -1

Is het zo dat als je de product som methode toe kan passen de discriminant (abc formule) niet meer werkt? OF (logischer) heb ik iets fout gedaan, maar zie ik het over het hoofd?

Hopelijk kunnen jullie wat inzicht verschaffen.

^{ik heb geprobeerd de link uit de op te gebruiken, maar die herkende ² niet..?)}