[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Oh Iblis nog heel erg bedankt, ik las het net pas

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 08:42 schreef Smart-Einstein het volgende:
De eerste lijkt me wel beter, want die tweede is meer trial and error.

Nee. Noem de coördinaten van het middelpunt van de cirkel (p;q) en de straal van de cirkel r, dan krijg je een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden p,q,r dat je op gewoon kunt lossen. Niks trial and error dus.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 13:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Noem de coördinaten van het middelpunt van de cirkel (p;q) en de straal van de cirkel r, dan krijg je een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden p,q,r dat je op gewoon kunt lossen. Niks trial and error dus.

dat zijn vergelijkingen die zijn analytisch (bijna) niet oplosbaar, alleen numeriek... gewoon trial and error dus

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:15 schreef Smart-Einstein het volgende:

[..]

dat zijn vergelijkingen die zijn analytisch (bijna) niet oplosbaar, alleen numeriek... gewoon trial and error dus

Die zijn prima oplosbaar. Ik denk zelfs dat het op papier sneller gaat dan de vergelijkingen van de middelloodlijnen opstellen.
Met de pc gaat het nog sneller: ik vul die drie vergelijkingen in en druk op solve en krijg zo de exacte oplossing. Nog voordat jij ook maar één vergelijking van een middelloodlijn gevonden hebt.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:18 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Die zijn prima oplosbaar. Ik denk zelfs dat het op papier sneller gaat dan de vergelijkingen van de middelloodlijnen opstellen.
Met de pc gaat het nog sneller: ik vul die drie vergelijkingen in en druk op solve en krijg zo de exacte oplossing. Nog voordat jij ook maar één vergelijking van een middelloodlijn gevonden hebt.

De PC doet het numeriek ja, is dus ook niet exact. Schrijf het maar een uit op papier, je krijgt een ongelooflijk gore uitdrukking die zo niet op te lossen is. Het gaat om een stelsel niet lineaire vergelijkingen he..

Daarom is (denk ik) de methode met de middelloodlijnen sneller

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:27 schreef Smart-Einstein het volgende:

[..]

De PC doet het numeriek ja, is dus ook niet exact. Schrijf het maar een uit op papier, je krijgt een ongelooflijk gore uitdrukking die zo niet op te lossen is. Het gaat om een stelsel niet lineaire vergelijkingen he..

Daarom is (denk ik) de methode met de middelloodlijnen sneller

De pc doet het niet numeriek, de software die ik gebruik niet althans. Ik krijg netjes breuken als antwoord.
En zo onmogelijk is de uitdrukking nou ook weer niet.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:34 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

De pc doet het niet numeriek, de software die ik gebruik niet althans. Ik krijg netjes breuken als antwoord.
En zo onmogelijk is de uitdrukking nou ook weer niet.

Je krijg wel een enorm vieze substitutie met een wortel in een wortel.

Maar ik ben wel geintereseerd, welk programma gebruik jij dan? Dan kun je zeker ook alle tussenstappen zien als het een niet numeriek programma is?

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:38 schreef Smart-Einstein het volgende:

[..]

Je krijg wel een enorm vieze substitutie met een wortel in een wortel.

We hebben:
(1) (x-1)²+(y+2)² = c²
(2) (x-5)²+(y-4)² = c²
(3) (x-10)²+(y-5)² = c²
(1) en (2) levert y = 3 - 2/3 x
(2) en (3) levert y = 42 - 5x
Merk op dat dit gewoon de vergelijkingen van twee middelloodlijnen zijn. Je komt dus op hetzelfde uit, maar dan sneller.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:38 schreef Smart-Einstein het volgende:
Maar ik ben wel geintereseerd, welk programma gebruik jij dan? Dan kun je zeker ook alle tussenstappen zien als het een niet numeriek programma is?

Scientific Workplace. Tussenstapjes zie je niet, maar ik weet ook niet of je die wel wilt zien. Een computer redeneert nooit hetzelfde als een mens.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:38 schreef Smart-Einstein het volgende:

[..]

Je krijg wel een enorm vieze substitutie met een wortel in een wortel.

Maar ik ben wel geintereseerd, welk programma gebruik jij dan? Dan kun je zeker ook alle tussenstappen zien als het een niet numeriek programma is?

Nee. Je had het beter gewoon even met potlood en papier uit kunnen proberen. Heb je helemaal geen computerprogramma voor nodig. De clou is dat je twee lineaire vergelijkingen in p en q overhoudt als je de tweede vergelijking van de eerste aftrekt en de derde vergelijking van de tweede. De kwadratische termen vallen dan immers allemaal tegen elkaar weg. En een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is heel eenvoudig op te lossen. Heb je p en q, dan is het kwadraat van r, en daarmee r, ook eenvoudig te bepalen uit één der drie oorspronkelijke vergelijkingen. Niet zo smart dus die opmerkingen van je.

Rpiarius, bij je laatste drie posts krijg ik het idee dat je het alleen maar doet om mij te herhalen

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 16:26 schreef GlowMouse het volgende:
Rpiarius, bij je laatste drie posts krijg ik het idee dat je het alleen maar doet om mij te herhalen

Nee. Bij de eerste van de drie door jouw genoemde posts zou je dat inderdaad kunnen denken, maar ik wist op dat moment niet dat jij een soortgelijk antwoord postte, dat kun je zien aan het tijdsverschil van één minuut. Bij de laatste twee herhaal ik jou niet zozeer, maar geef ik een antwoord op de opmerkingen van Smart-Einstein (wat een nick in dit verband...) vanuit een iets andere invalshoek.

Niet zo serieus reageren _{op mijn opmerking dan, verder worden je bijdragen hooglijk gewaardeerd}

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 15:55 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

We hebben:
(1) (x-1)²+(y+2)² = c²
(2) (x-5)²+(y-4)² = c²
(3) (x-10)²+(y-5)² = c²
(1) en (2) levert y = 3 - 2/3 x
(2) en (3) levert y = 42 - 5x
Merk op dat dit gewoon de vergelijkingen van twee middelloodlijnen zijn. Je komt dus op hetzelfde uit, maar dan sneller.
[..]

Scientific Workplace. Tussenstapjes zie je niet, maar ik weet ook niet of je die wel wilt zien. Een computer redeneert nooit hetzelfde als een mens.

quote:

Op zaterdag 7 februari 2009 16:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je had het beter gewoon even met potlood en papier uit kunnen proberen. Heb je helemaal geen computerprogramma voor nodig. De clou is dat je twee lineaire vergelijkingen in p en q overhoudt als je de tweede vergelijking van de eerste aftrekt en de derde vergelijking van de tweede. De kwadratische termen vallen dan immers allemaal tegen elkaar weg. En een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is heel eenvoudig op te lossen. Heb je p en q, dan is het kwadraat van r, en daarmee r, ook eenvoudig te bepalen uit één der drie oorspronkelijke vergelijkingen. Niet zo smart dus die opmerkingen van je.

Jullie hebben beide gelijk. Ik heb het op papier uitgewerkt, voor de coordinaten [a,b] [c,d] en [e,f] waarbij [p,q] het midden is. Als je het voor zo'n algemeen geval uitschrijft ziet her er vies uit. _sorry

Ik ben even wat analytische meetkunde aan het herhalen. Ik heb enkele dingen die me (nog) niet duidelijk zijn. Het eerste stukje gaat over ellipsen.
Voor ellipsen heb je een bepaalde standaardvergelijking:

(x-h)^2/a² + (y-k)²/b² = 1
Hierbij geldt:
(h,k) is midden van de ellips
a=halve lange as
b=halve korte as
c=plaats van het brandpunt t.o.v. 'het midden

1) ik snap niet waarom geldt a²=b²+c². Dus kwadraat lange as is altijd de som van de kwadraten van de 2 anderen.

Daarna wil ik bv deze ellips tekenen: 4y² +9x² -24y-72x+144 =0
Herschrijven levert mij
(x-4)² /4 + (y-3)² /9 =1

levert mij het midden (4,3) op.
ik heb nu in de vgl de 9 als grootste getal 9 en kleinste getal de 4. Dus a=3 en b=2.
Maar dit vind ik al niet in de haak omdat in de oorspronkelijke vergelijking de x en de a bij elkaar horen.
Maar enfin: a=3, b=2 en volgens a²=b²+c² volgt c=sqrt(5).

Met deze info is alles te vinden (ook brandpunten en 4 toppen), en de lange as is verticaal.
Dit klopt allemaal wel, maar volgens mij zit er iets niet goed.

Bij hyperbolen (volgende stukje) heb ik nl moeite om uit te zoeken wat de lange- en korte as wordt en hoe de a, b, en c zich verhouden.
Kan iemand hier wat mee? en evt. een overzicht geven hoe dit in elkaar zit en waarom.

Bedankt!

Dan hier hyperbolen; hier is de algemene vergelijking (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1
Ook hier de a onder de x en de b onder de y.
Als ik nu deze 3 hyperbolen wil tekenen
1) 36xa² -64ya² = 2304
2) 12ya² -4xa² +72y+16x+44=0
3) 3xa² -4ya² -18x-40y-85=0

Herschijven naar een standaard vorm is geen punt. Dat lukt wel. Maar ook hier: wat is de lange as en de korte as, hoe zit het met de verhouding tussen a,b en c. En hoe kom je er achter hoe de hyperbool ligt als je m tekent.
Bij 1) vind ik xa² /64 -ya² /36 =1
is a dan 8 en b=6 omdat 64 onder de x staat? Of omdat 64 het grootste getal is?!
Bij 2) en 3) zelfde soort onduidelijkheden.

Het moet op papier, de inzet van maple of cabri of iets dergelijks mag niet.

quote:

Op maandag 9 februari 2009 13:22 schreef Borizzz het volgende:
Ik ben even wat analytische meetkunde aan het herhalen. Ik heb enkele dingen die me (nog) niet duidelijk zijn. Het eerste stukje gaat over ellipsen.
Voor ellipsen heb je een bepaalde standaardvergelijking:

(x-h)^2/a² + (y-k)²/b² = 1
Hierbij geldt:
(h,k) is midden van de ellips
a=halve lange as
b=halve korte as
c=plaats van het brandpunt t.o.v. 'het midden

1) ik snap niet waarom geldt a²=b²+c². Dus kwadraat lange as is altijd de som van de kwadraten van de 2 anderen.

Je vragen zijn wat lastig (bewerkelijk) om hier compleet te beantwoorden, maar ik zal je toch even op weg helpen. Zoals je (hopelijk) weet is een ellips meetkundig te definiëren als een verzameling punten (meetkundige plaats zoals men vroeger zei) waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten (de brandpunten) gelijk is.

Welnu, beschouw voor het gemak een ellips waarvan het centrum in de oorsprong ligt en de lange as langs de x-as. De standaardvergelijking is dan

x²/a² + y²/b² = 1 (a > b)

Noem de brandpunten (foci) F₁ en F₂, de coordinaten daarvan zijn dan (-c;0) en (c;0).

Beschouw nu eerst het punt (a;0) waar de ellips de positieve x-as snijdt. De som van de afstanden van dit punt tot de brandpunten F₁(-c;0) en F₂(c;0) bedraagt (c+a) + (a-c) = 2a.

Dit betekent dus dat de som van de afstanden tot F₁ en F₂ voor elk ander punt op de ellips ook 2a zal moeten zijn. Beschouw nu het punt (0;b) waar de ellips de positieve y-as snijdt. Vanwege de symmetrie moet de afstand van dit punt tot F₁ en tot F₂ elk gelijk zijn aan a, de som van de afstanden moet immers 2a zijn. Maar de punten (0;b), (0;0) en (c;0) vormen een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden een lengte b en c hebben, en de lengte van de schuine zijde is, zoals we net hebben gevonden, gelijk aan a. En dus is volgens Pythagoras:

a² = b² + c²

Natuurlijk moet je ook nog kunnen aantonen dat de gewone meetkundige definitie van een ellips voert tot de standaardvergelijking uit de analytische meetkunde, maar als je wil zien hoe dat wordt afgeleid moet je maar even hier kijken.

Voor de hyperbool geldt iets soortgelijks, deze is meetkundig te definiëren als een verzameling punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten (de brandpunten) constant is, zie hier.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-02-2009 22:18:30 ]

Wat ik hieruit begrijp is dat voor zowel hyperbool als ellips de a dus parallel aan de x-as is, b parallel aan y as, en c de plaats van de brandpunten t.o.v. het midden.
Akkoord. Duidelijk verhaal verder.

Even toepassen op een hyperbool: 36x² - 64y² = 2304
Omschrijven levert x²/64 - y²/36 =1
a²=64 dus a=8
b²=36 dus b=6
gevolg: c=10.
Midden hyperbool (0,0)
Lange as is de a, dus hyperbool heeft zijn brandpunten op de x-as.
F1 (10,0) F2 (-10,0)
Top (8,0) en (-8,0)
asymptoot y=+/- 3/4 x.
Je hebt ook nog 2 andere toppen die verder niet veel doen: (0,6) en (0,-6). Klopt dit?

Dan kan ik daarna een andere hyperbool bekijken.

quote:

Op maandag 9 februari 2009 20:42 schreef Borizzz het volgende:

Je hebt ook nog 2 andere toppen die verder niet veel doen: (0,6) en (0,-6). Klopt dit?

Dat begrijp ik niet. Je hyperbool snijdt de y-as toch niet?

Nou ja ik dacht: je rekent ook een b uit. Levert die punten op, maar je doet er niet veel mee.

Maar belangrijker: hoe kom ik er achter of een hyperbool zijn brandpunten op de x-as of de y-as (of parallel hieraan) heeft liggen?

quote:

Op maandag 9 februari 2009 20:59 schreef Borizzz het volgende:
Nou ja ik dacht: je rekent ook een b uit. Levert die punten op, maar je doet er niet veel mee.

Als je y=0 stelt in je vergelijking vind je de snijpunten van de hyperbool met de x-as. Maar als je x=0 stelt dan heeft de resulterende vergelijking geen reële oplossingen voor y. Dus hebben de punten (0;b) en (0;-b) hier geen speciale betekenis.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-02-2009 23:08:37 ]

ok. dank je. Ik ga t even uitzoeken.
Ik zal nog enkele uitwerkingen posten (later vanavond). Miss wil je het dan even checken of het een beetje klopt.
bedankt voor je hulp iig.

quote:

Op maandag 9 februari 2009 21:01 schreef Borizzz het volgende:
Maar belangrijker: hoe kom ik er achter of een hyperbool zijn brandpunten op de x-as of de y-as (of parallel hieraan) heeft liggen?

De standaardvergelijking van een hyperbool met de assen langs de x-as en y-as is:

(1) x²/a² - y²/b² = 1

De brandpunten F₁(-c;0) en F₂(c;0) van deze hyperbool liggen op de x-as, en hierbij geldt:

(2) c² = a² + b²

Het is eenvoudig in te zien dat vergelijking (1) altijd een hyperbool voorstelt waarvan de 'lange' as (hoofdas) langs de x-as ligt. Immers, als je x=0 stelt in vergelijking (1), dan krijg je y²/b² = -1, en deze vergelijking heeft geen reële oplossingen voor y.

Je kunt een hyperbool waarvan de brandpunten op de y-as liggen (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) verkrijgen door een hyperbool waarvan de brandpunten op de x-as liggen (symmetrisch t.o.v. de oorprong) te spiegelen in de lijn y=x. Dat komt neer op het omwisselen van x en y in de algemene vergelijking (1).

Toch kom ik nog steeds niet uit deze: 3x² -4y² -18x -40y -85 =0.
Als ik m omschrijf vind ik deze: (x-3)² /4 - (y-5)² /3 =1
volgt dus a² =4 en a=2
b² =3 en b=sqrt(3), c wordt dan sqrt(7)
Volgens jouw opmerking hierboven heeft deze hyperbool geen snijpunten met de y-as. Geen oplossingen als x=0.
Maar bijv. voor deze hyperbool kom ik nog niet achter hoe de brandpunten liggen.

En deze dan ook niet:
12y² -4x² +72y +16x +44=0.
Herschreven: (y+3)² /4 - (x-2)² /12 =1
a=sqrt(12) en b=2, geeft c=4.
geen oplossingen voor x als y=0, snijdt de x-as dus niet.