[Bèta] huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 29 maart 2008 21:18 schreef teletubbies het volgende:
Idd , het is een manier om een oplossing te vinden.
Maar goed, ik dacht misschien kon het zonder de oplossing te vinden maar door puur te kijken naar de vergelijking zelf.

Een andere vraag:
Als f een monisch irreducibel in Q[x] en je vat Gal(f) op als ondergroep van S_n via zijn werking
op de nulpunten van f. Dan wil ik bewijzen:
Gal(f) is een ondergroep van A_n ==> discriminant(f) is een kwadraat in Q*

A_n is dan de alternerende groep van orde n!/2.


Wat ik zelf dacht, gebruik makend van bewijzen uit het ongerijmde:
stel dat disc(f) geen kwadraat is in Q*. De uitbreiding Q < Q(disc(f)) is een kwadratische uitbreiding. Bij deze uitbreiding behoort een ondergroep H van Gal(f). De elementen van H zijn ook permutatie, maar deze ondergroep is van orde 2, want je stuurt een wortel van het minimumpolynoom van disc(f) naar zijn geconjugeerde indien disc(f) een niet nul complex deel heeft, of naar min de wortel indien disc(f) in R zit. In beide gevallen is er sprake van een permutatie van een oneven teken en deze kan niet A_n zitten.

Is dit een beetje goed? kan het anders?

Ik ben nu een beetje te moe om het jouwe volledig te analyseren, maar dit is wat onmiddellijk in me opkwam :

Laat a1,...an de wortels zijn van f
De discriminant van f is dan (a1-a2)^2*(a1-a3)^2......

De vierkantswortel ( of liever : een wortel) is dan ook duidelijk k=(a1-a2)*(a1-a3)*....

Maar zit dit wel in Q? Dit is zo als het door elk element van de galoisgroep gefixeerd wordt.
Aangezien die elementen van die groep de wortels met elkaar verwisselen, zullen zij k op -k of op k afbeelden.
Zij zullen altijd op k afbeelden als en slechts als zij allemaal even permutaties op die wortels a1,..an zijn

Zij a=wortel(disc(f)). Gal(f) werkt op de nulpunten, dus ook op {a,-a} want dat zijn polynomiale uitdrukkingen in de nulpunten. Een element g in Gal(f) stuurt a naar a als het even is als permutatie op de nulpunten en naar -a als het oneven is als permutatie op de nulpunten (dit volgt uit het standaardbewijs van de stelling dat oneven permutaties niet even zijn).

Er geldt dat Disc(f) een kwadraat is dan en slechts dan als a in Q zit. Dit laatste is nu volgens de hoofdstelling van de Galoistheorie het geval dan en slechts dan als a wordt vastgehouden door alle elementen van Gal(f) en zojuist zagen we dat dit het geval is dan en slechts dan als alle elementen van Gal(f) even zijn.

Je hoeft overigens niet te veronderstellen hier dat f irreducibel is, dat gebruik je nergens. Je hebt alleen nodig dat f separabel is (dus al z'n nulpunten verschillend). Best raar, want je ziet ook in veel researchpapers op dit gebied dat alle polynomen maar irreducibel verondersteld worden terwijl dat meestal nergens voor nodig is.

Okey, ik had idd ook een verkeerde uitbreiding getypt, Q(disc(f)) moest zijn Q(sqrt(disc(f))).

Bedankt allebei voor uitleggen.

Als f is irreducibel en separabel dan werkt Gal(f) transitief op de nulpunten van f. Andersom geldt dit ook. Als a wordt vastgehouden, dan weet je uit de transiviteit (die volgt uit f is irreducibel) dat de rest ook wordt vastgehouden toch?

Even wat vragen..

Wat heb je aan de inverse van een matrix? En wat heb je aan een getransponeerde matrix? Ik weet allebei wat het zijn en er mee te rekenen maar ik zie niet in wanneer je die moet gebruiken

En verder, met rijoperatie's, mag je dan ook een kolomsgewijs rekenkundige operatie's doen? En dan bedoel ik niet de rhs maar gewoon de vectoren. Dat zag ik laatst maar leek me niet echt mogelijk

Chapeau voor diegene die het me kan uitleggen

quote:

Op zondag 30 maart 2008 11:02 schreef teletubbies het volgende:
Okey, ik had idd ook een verkeerde uitbreiding getypt, Q(disc(f)) moest zijn Q(sqrt(disc(f))).

Bedankt allebei voor uitleggen.

Als f is irreducibel en separabel dan werkt Gal(f) transitief op de nulpunten van f. Andersom geldt dit ook. Als a wordt vastgehouden, dan weet je uit de transiviteit (die volgt uit f is irreducibel) dat de rest ook wordt vastgehouden toch?

Wat bedoel je met "de rest"?

quote:

Op zondag 30 maart 2008 21:15 schreef SuperRogier het volgende:
Wat heb je aan de inverse van een matrix? En wat heb je aan een getransponeerde matrix? Ik weet allebei wat het zijn en er mee te rekenen maar ik zie niet in wanneer je die moet gebruiken

Als je heel vaak Ax=b op moet lossen, dan gaat dat stukken sneller als je de vantevoren A^-1 uitrekent (hoewel dat met LU-decompositie ook heel snel gaat). Inverses (en getransponeerde matrices) komen verder voor bij lineaire regressie, beleggingstheorie, markov-ketens, en nog heel veel meer.
En nog een klein praktisch voorbeeldje: als je I + A + A² + A³ + .... uit wilt rekenen, en Aⁿ convergeert naar 0, dan kun je aantonen (doe maar eens, is niet zo lastig) dat dat gelijk is aan (I-A)^-1.

quote:

En verder, met rijoperatie's, mag je dan ook een kolomsgewijs rekenkundige operatie's doen? En dan bedoel ik niet de rhs maar gewoon de vectoren. Dat zag ik laatst maar leek me niet echt mogelijk

Het stelsel vergelijkingen mag door de rijoperaties geen andere oplossingen krijgen. Stel je hebt de zeer eenvoudige vergelijking x=5. Daarbij hoort de matrix [1 5]. Zou je nu een kolom met iets kunnen vermenigvuldigen, bijvoorbeeld kolom1 * 5, dan krijg je [5 5], en zou plotseling gelden x=1, een heel andere oplossing dus. Het doel van rijoperaties is dat de oplossingen van het stelsel gelijk blijven.
Waar jij het zag, gingen ze misschien de rijruimte bepalen. Dat is de kolomruimte van A^T. In plaats van transponeren kun je dan natuurlijk ook vegen met de kolommen. Maar verwarrend is dat wel.

quote:

Op zondag 30 maart 2008 11:02 schreef teletubbies het volgende:
Okey, ik had idd ook een verkeerde uitbreiding getypt, Q(disc(f)) moest zijn Q(sqrt(disc(f))).

Bedankt allebei voor uitleggen.

Als f is irreducibel en separabel dan werkt Gal(f) transitief op de nulpunten van f. Andersom geldt dit ook. Als a wordt vastgehouden, dan weet je uit de transiviteit (die volgt uit f is irreducibel) dat de rest ook wordt vastgehouden toch?

dom dom, a is niet perse een nulpunt van f

de stelling vertelt iets over de nulpunten van f, als f is irreducibel dan werkt Galf(f) transitief op de nulpunten, maar a is geen nulpunt van f en dus de stelling is niet van toepassing.... sorry voor de verwarring

Ik begrijp de vraag van teletubbies nog altijd niet

oh nee:P ik heb dingen verkeerd begrepen en had dus een verkeerd beeld van wat ik moest gaan vragen! sorry dat ik slordig ben!

quote:

Op zondag 30 maart 2008 21:29 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Als je heel vaak Ax=b op moet lossen, dan gaat dat stukken sneller als je de vantevoren A^-1 uitrekent (hoewel dat met LU-decompositie ook heel snel gaat). Inverses (en getransponeerde matrices) komen verder voor bij lineaire regressie, beleggingstheorie, markov-ketens, en nog heel veel meer.
En nog een klein praktisch voorbeeldje: als je I + A + A² + A³ + .... uit wilt rekenen, en Aⁿ convergeert naar 0, dan kun je aantonen (doe maar eens, is niet zo lastig) dat dat gelijk is aan (I-A)^-1.
[..]

Het stelsel vergelijkingen mag door de rijoperaties geen andere oplossingen krijgen. Stel je hebt de zeer eenvoudige vergelijking x=5. Daarbij hoort de matrix [1 5]. Zou je nu een kolom met iets kunnen vermenigvuldigen, bijvoorbeeld kolom1 * 5, dan krijg je [5 5], en zou plotseling gelden x=1, een heel andere oplossing dus. Het doel van rijoperaties is dat de oplossingen van het stelsel gelijk blijven.
Waar jij het zag, gingen ze misschien de rijruimte bepalen. Dat is de kolomruimte van A^T. In plaats van transponeren kun je dan natuurlijk ook vegen met de kolommen. Maar verwarrend is dat wel.

Thanks voor je uitleg. Even over het 2e gedeelte, dat idee had ik dus ook aangezien het ook ero's worden genoemd, ofwel row operations, vandaar mijn verwarring. Ik heb een voorbeeld die ik niet begrijp, ik heb een matrix:

2 5 p
3 p 4
p 5 2

met de vraag; voor welke waarden van p is de matrix inverteerbaar. (ofwel det ongelijk aan 0 )
met de volgende uitwerking

2 5 p+2
3 p 7
p 5 p+2

=>

2 5 p+2
3 p 7
p-2 0 0

en na wat rekenwerk komen ze uit op 2, -7 en 5. Die stappen snap ik wel, maar wat doen ze hierboven dan? Ze tellen doodleuk de 1e kolom bij de 3e op en doen dan een ero en dan gaan ze de determinant berekenen. Ik snap niet dat dat mag/kan

quote:

Op zondag 30 maart 2008 22:34 schreef teletubbies het volgende:
oh nee:P ik heb dingen verkeerd begrepen en had dus een verkeerd beeld van wat ik moest gaan vragen! sorry dat ik slordig ben!

Dus...je hebt voorlopig geen vraag meer?

quote:

Op zondag 30 maart 2008 23:09 schreef SuperRogier het volgende:


en na wat rekenwerk komen ze uit op 2, -7 en 5. Die stappen snap ik wel, maar wat doen ze hierboven dan? Ze tellen doodleuk de 1e kolom bij de 3e op en doen dan een ero en dan gaan ze de determinant berekenen. Ik snap niet dat dat mag/kan

Als je elementaire rij-operaties (of kolomoperaties) uitvoert, dan verandert er niks aan het al dan niet inverteerbaar zijn van de matrix.

quote:

Op zondag 30 maart 2008 23:30 schreef zuiderbuur het volgende:
Als je elementaire rij-operaties (of kolomoperaties) uitvoert, dan verandert er niks aan het al dan niet inverteerbaar zijn van de matrix.

Inderdaad: de determinant verandert wel bij ero's, maar wordt daardoor alleen 0 als je een rij met 0 vermenigvuldigt (ga maar na). Alle andere operaties hebben dus geen invloed op de inverteerbaarheid. Dat je ook kolomoperaties uit mag voeren hier, volgt uit det(A) = det(A^T), zodat het voor berekening van de determinant niet uitmaakt. Toevallig bij deze matrix is het handig om wat kolommen bij elkaar op te tellen, maar als je dat niet doet, kom je er ook wel uit. Bij 3x3 matrices is het sowieso niet zo noodzakelijk om eerst te vegen voor je de determinant berekent.

quote:

Op zondag 30 maart 2008 23:30 schreef zuiderbuur het volgende:

Als je elementaire rij-operaties (of kolomoperaties) uitvoert, dan verandert er niks aan het al dan niet inverteerbaar zijn van de matrix.

De matrix is inverteerbaar maar voor enkele waarden van P dus niet, namelijk die 2 -7 en 5. Ik snap dat als een matrix inverteerbaar is en je doet wat ero's dat dan ook zo blijft. Het zit mij hem er in dat ze doodleuk die kolom ergens anders bij optellen en dan ero's gaan doen. Hoezo mag dat?

quote:

Op maandag 31 maart 2008 00:05 schreef SuperRogier het volgende:

[..]

De matrix is inverteerbaar maar voor enkele waarden van P dus niet, namelijk die 2 -7 en 5. Ik snap dat als een matrix inverteerbaar is en je doet wat ero's dat dan ook zo blijft. Het zit mij hem er in dat ze doodleuk die kolom ergens anders bij optellen en dan ero's gaan doen. Hoezo mag dat?

det(A) = det(A^T) zoals GlowMouse zegt. Je kunt dus transponeren. En een kolomoptellen is dus feitelijk een rij operatie op je getransponeerde matrix. (En dan kun je ook weer terugtransponeren, en dan verandert je determinant nog steeds niet).

Bij al die dingen die te maken hebben met inverteerbaarheid, rang, ..... spelen "rijen" en "kolommen" eenzelfde rol.

Okee ik snap het, thanks. Veranderd trouwens het teken ook als je kolomoperatie's doet? Van 1e naar 3e niet maar naar 2e wel zoals ook bij ero's? Verder is het wel een stuk duidelijker geworden, bedankt

quote:

Op maandag 31 maart 2008 11:00 schreef SuperRogier het volgende:
Okee ik snap het, thanks. Veranderd trouwens het teken ook als je kolomoperatie's doet? Van 1e naar 3e niet maar naar 2e wel zoals ook bij ero's? Verder is het wel een stuk duidelijker geworden, bedankt

Nogmaals: det(A) = det(A^T). Dus, doe je een kolomoperatie, dan is dat alsof je de matrix transponeert (determinant blijft hetzelfde), rijen verwisselt (teken verandert mogelijk) en weer terugtransponeert (derminant blijft hetzelfde).

Kortom: Doordat je ‘gratis’ kunt transponeren zijn rij en kolomoperaties in feite hetzelfe.

Ik moet voor Wiskunde een aantal kansberekening opgaven maken, maar weet niet meer precies hoe het moet.
Wie kan mij helpen?

1)De kans dat een eerstejaars student in een bepaald vak afstudeert is 40%. Wat zijn
de kansen dat uit een groep van 5 eerstejaars:
niemand afstudeert,
(ii) precies 1 afstudeert,
(iii) minstens 3 afstuderen?

vervolg (per ongeluk op invoeren gedrukt :S )

2) Een test bestaat uit 10 ja-nee vragen. Iemand gokt alle vragen. Met 6 goede antwoorden ben je
in de test geslaagd. Wat is de kans voor onze kandidaat om de test te halen?

3) In Nijmegen zijn er 800 families met vijf kinderen. Hoeveel families hebben
(a) precies 3 meisjes,
(b) precies 5 meisjes,
(c) 2 of 3 jongens? (Je kunt ervan uit gaan dat er even veel jongens als meisjes geboren worden.)

quote:

Op maandag 31 maart 2008 20:27 schreef Ki08 het volgende:
Ik moet voor Wiskunde een aantal kansberekening opgaven maken, maar weet niet meer precies hoe het moet.
Wie kan mij helpen?

1)De kans dat een eerstejaars student in een bepaald vak afstudeert is 40%. Wat zijn
de kansen dat uit een groep van 5 eerstejaars:
niemand afstudeert,
(ii) precies 1 afstudeert,
(iii) minstens 3 afstuderen?

Je zou je eerst moeten afvragen: Zijn de prestaties van die vijf onderling onafhankelijk? Dat lijkt me eigenlijk stug. Allicht dat ze samen leren, dat het getal van 40% gebaseerd is op gemiddelden over de jaren, maar dat je wel soms een moeilijker tentamen en een makkelijker tentamen hebt. Als het niet onderling onafhankelijk is valt er niets zinnigs over te zeggen.

Dus, we zullen maar aannemen dat dit wel zo is. Eigenlijk moet zoiets gegeven zijn. Of anders moet je het opmerken. We hebben hier te maken met een Bernouilli-experiment. De succeskans is 0,4. De kans dat niemand afstudeert is dus de kans dat ze allemaal niet-slagen, met 60% kans per persoon. Denk er even over na nu. De tweede is ook niet zo moeilijker, hier heb je namelijk één succes. Bij de 3e moet je nadenken hoe het handig is dat aan te pakken. Als je na het lezen over Bernoulliexperiment nog niet ziet hoe het moet dan help ik je graag verder, maar vooreerst is het zinniger om er zelf op te komen.

Vraag 3 is ook heel slordig geformuleerd. Je kunt berekenen hoeveel gezinnen je verwacht dat er 5 meisjes hebben. Vergelijk het met het gooien van een dobbelsteen: Als je 6 keer gooit dan verwacht je dat je elk cijfer 1x tegenkomt. Gebeurt dat ook in het echt? Nee, meestal niet.

Voor de rest werkt dit echter ook gewoon met Bernoulliexperimenten.

Zouden de (creatieve) wiskundigen hier eens kunnen kijken naar dit:
Heel apart raadsel, hulp!
En lees de 4e post (die van mij) ook nog even!

Alvast bedankt

quote:

Op dinsdag 1 april 2008 01:07 schreef no1uknow het volgende:
Zouden de (creatieve) wiskundigen hier eens kunnen kijken naar dit:
Heel apart raadsel, hulp!
En lees de 4e post (die van mij) ook nog even!

Alvast bedankt

Probeer eerst eens fatsoenlijk uit te leggen wat nu precies de bedoeling is. De vier getallen die je geeft behoren gewoon tot de reeks van Fibonacci, en het ontbrekende getal is (dus) 28657. Maar verder begrijp ik niet wat je nu wil, en dat ligt echt aan jou.

quote:

Op dinsdag 1 april 2008 01:07 schreef no1uknow het volgende:
Zouden de (creatieve) wiskundigen hier eens kunnen kijken naar dit:
Heel apart raadsel, hulp!
En lees de 4e post (die van mij) ook nog even!

Alvast bedankt

twaalf, zie die topic.