[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:17 schreef RustCohle het volgende:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...

Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..

-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0

Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8

Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...

Hoe nu verder?

Ik kwam uit op

-2(6x - 5x - 4) = 0

Dus x = 2 of x = 4

Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3

-12x² + 10x + 8 = 0
-12x² +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:28 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Met die -2 doe je niks?

Nee. Je zou ook eerst beide leden door −2 kunnen delen, dan verdwijnt de factor −2 uit het linkerlid maar blijft het rechterlid nul. Het gaat erom dat het product in het linkerlid uitsluitend nul kan zijn als tenminste één van de beide factoren tussen haakjes gelijk is aan nul. Aldus valt je vierkantsvergelijking uiteen in twee lineaire vergelijkingen.

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:24 schreef nodig het volgende:

[..]

-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0

A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0

-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3

Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?

Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:32 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?

Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.

Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:32 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?

Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.

Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:35 schreef nodig het volgende:

[..]

Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.

Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:36 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.

Dat deed ik dus al de gehele week. Ik ga morgen maar keihard algebra en vergelijkingen...

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:36 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?

Als je hem helemaal wilt uitwerken?
Dat zou ik zo doen:

-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0

(-4x²-2)(3x-4) = 0
-12x³+16x²-6x+8 =0

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:31 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

-12x² + 10x + 8 = 0
-12x² +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3

Uitstekend!

Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax² + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uitstekend!

Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax² + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.

Netjes inderdaad

Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.

Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

quote:

Op donderdag 1 mei 2014 23:56 schreef nodig het volgende:

[..]

Netjes inderdaad

Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.

Als a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.

quote:

Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 00:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.

[..]

Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb: Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeld

Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 00:27 schreef nodig het volgende:

[..]

Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb

Dat is inderdaad ook de methode van Sridhara. Het lijkt erop dat deze methode in ieder geval in het onderwijs lang was vergeten want in de meeste Nederlandse schoolboeken uit de 20ste eeuw deelt men eerst beide leden door a om de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk te maken aan 1, maar dan krijg je nogal wat breuken in je afleiding, zie bijvoorbeeld hier voor een vergelijk van beide afleidingen.

In schoolboeken uit de 19de eeuw kom je de methode van Sridhara wel tegen. In Engelse schoolboeken uit die periode heet dat dan vaak de Hindoo method. Het oudste mij bekende Nederlandse schoolboek waarin de abc-formule in de thans gebruikelijke vorm wordt gegeven en wordt afgeleid volgens de methode van Sridhara is een boekje van Colenso dat omstreeks 1860 voor het eerst verscheen (hier, collectie Nederlands Schoolmuseum). Maar, ongetwijfeld niet toevallig, was dit een bewerking van een Engels origineel. Het zal je opvallen hoe kort de afleiding hier wordt weergegeven. Leerlingen hadden daar toen voldoende aan om te zien hoe het in elkaar zit. De abc-formule speelde verder nauwelijks een rol, kwadratische vergelijkingen die niet zijn op te lossen via ontbinding in factoren werden gewoonlijk opgelost via kwadraatafsplitsing of via de pq-formule (zie hier).

quote:

Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeld

Het boek van Van de Craats is geen leerboek, het is meer een opfriscursus en oefenboek voor mensen die de stof al wel eens eerder hebben gezien. Het boek wordt echter ook vaak gebruikt door mensen die de stof niet eerder hebben gezien, met alle gevolgen van dien. Dat is één van de redenen waarom ik dit boek nooit aanraad aan mensen die een wiskunde deficiëntie willen wegwerken en zich willen voorbereiden op een toelatingsexamen. Afgezien daarvan vind ik het boek ook in zijn genre niet bijster geslaagd.

quote:

Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.

Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 01:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.

Ik kreeg het ook nog in het eind 2e van gymnasium.

Hoe kan ik inzien hoe ik deze vergelijking kan ontbinden in factoren? Bij een simpele tweedegraadsvergelijking heb ik daar geen moeite mee, maar bij de volgende zie ik door de bomen het bos niet meer...

(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)

Na het oplossen kom ik tot:

a^2b + a^2 + 4ab + 4a + 3b + 3

Daar sta ik dus vast..

Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b

a ²b -2ab
ab(a -2)

(a +3)(b +1)(a +3 -2)

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 11:43 schreef wiskundenoob het volgende:
Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b

a ²b -2ab
ab(a -2)

(a +3)(b +1)(a +3 -2)

Ik snap het niet?

Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 11:55 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Ik snap het niet?

Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)

Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 12:06 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.

Heel je post niet. met name "termen buiten haakjes halen"

Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 12:09 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Heel je post niet. met name "termen buiten haakjes halen"

Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.

Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfac

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 12:29 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfac

Maar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 12:36 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Maar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.

Je ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.

(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)

Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b

Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a ²b -2ab

a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)

Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)

Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)

En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)

Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)

(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)

(a +3)(b +1)(a +1)

[ Bericht 3% gewijzigd door wiskundenoob op 02-05-2014 12:53:32 ]

quote:

Op vrijdag 2 mei 2014 12:45 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Je ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.

(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)

Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b

Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a ²b -2ab

a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)

Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)

Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)

En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)

Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)

(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)

(a +3)(b +1)(a +1)

Ik snap niet hoe je opeens a en b kan maken van de vergelijking, bovendien komt a+3 driemaal voor en b+1 tweemaal. Ik snap de laatste methode niet, waarvoor 3*1-2*1*1 is?

Een voorbeeld waar ik in de war van raak.

Ontbind de volgende vergelijking in factoren:

27a^2 - 12b^2

Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)

echter is het antwoord:

3a (3a + 2b ) (3a - 2b)


Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?


hetzelfde geldt voor:

8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)

Terwijl ik dacht:

2(a^2 - 25)

Mja, ik wil je best helpen, maar ik denk dat dat geen goed plan is aangezien ik niet veel kennis bezit over wiskunde en dus geen goed uitleg kan geven. Ik denk dat je probleem is dat je niet weet wat ontbinden in factoren betekent.