WFL Wetenschap, Filosofie, Levensbeschouwing
Discussieer hier over alle aspecten van de wetenschap, filosofische problemen en zaken van levensbeschouwelijke aard.
Voor Sqrt(1-z^4) heb je de singulariteitenverzameling {1,-1,i,-i}. Rond het punt 0 heeft deze functie twee vertakkingen, die elkaars tegengestelde zijn.
Beginnen we nu met de ene vertakking en tekenen we een lus te 0 rond een van de vier singuliere punten, dan komen we, als we de analytische voortzetting gaan maken uit op de andere vertakking. Als we dat dan nog een keer doen komen we weer op de oorspronkelijke functie terecht. Ook als we een lus om twee van de vier singuliere punten maken komen we op de oorspronkelijke functie uit.
Als we nu bijvoorbeeld tussen 1 en i een lijnstuk tekenen en ook tussen -1 en -i en we deze lijnstukken uit C weghalen, dan kunnen we op de overgebleven verzameling, laten we haar U noemen, de functie Sqrt(1-z^4) gewoon als holomorfe functie definieren. Je zou C als een stuk papier kunnen beschouwen en deze twee lijnstukken als een snede die je met een met erin maakt.
Het Riemannoppervlak X dat bij Sqrt(1-z^4) hoort ziet er als volgt uit. Het is in C2 de verzameling punten (z,w) met w2=1-z4. Als je nu strict de bovenbeschreven constructie volgt zou je de punten met z in S moeten weglaten, laten we dat hier ook maar voor het gemak doen, hoewel dat in dit voorbeeld eigenlijk niet hoeft. De overdekking die je krijgt is X -> C-S : (z,w)->z. Als we nu een open schijf D=D(a,r) in C-S tekenen en kijken welke verzameling in X daarboven ligt, dan bestaat deze uit twee open schijven die boven elkaar liggen, die elk van beide bij een vertakking van Sqrt(1-z^4) op D horen. De bijbehorende vertakking van Sqrt(1-z^4) is in dit geval simpelweg de functie die (z,w) naar w stuurt. Als je op een van de twee open schijven begint en je tekent beneden in C-S een lus om een van de vier singuliere punten, en je volgt met je pen boven in X de bewegingen die je beneden maakt, dan zul je zien dat je in de andere open schijf eindigt als waar je begonnen bent.
Je kan X ook maken door twee van die papiertjes U zoals boven beschreven op de juiste manier langs de sneden aan elkaar te plakken. Dit is alleen een beetje lastig uit te leggen zonder echt papier, maar misschien kun je je er zelf een voorstelling bij maken. .
Beginnen we nu met de ene vertakking en tekenen we een lus te 0 rond een van de vier singuliere punten, dan komen we, als we de analytische voortzetting gaan maken uit op de andere vertakking. Als we dat dan nog een keer doen komen we weer op de oorspronkelijke functie terecht. Ook als we een lus om twee van de vier singuliere punten maken komen we op de oorspronkelijke functie uit.
Als we nu bijvoorbeeld tussen 1 en i een lijnstuk tekenen en ook tussen -1 en -i en we deze lijnstukken uit C weghalen, dan kunnen we op de overgebleven verzameling, laten we haar U noemen, de functie Sqrt(1-z^4) gewoon als holomorfe functie definieren. Je zou C als een stuk papier kunnen beschouwen en deze twee lijnstukken als een snede die je met een met erin maakt.
Het Riemannoppervlak X dat bij Sqrt(1-z^4) hoort ziet er als volgt uit. Het is in C2 de verzameling punten (z,w) met w2=1-z4. Als je nu strict de bovenbeschreven constructie volgt zou je de punten met z in S moeten weglaten, laten we dat hier ook maar voor het gemak doen, hoewel dat in dit voorbeeld eigenlijk niet hoeft. De overdekking die je krijgt is X -> C-S : (z,w)->z. Als we nu een open schijf D=D(a,r) in C-S tekenen en kijken welke verzameling in X daarboven ligt, dan bestaat deze uit twee open schijven die boven elkaar liggen, die elk van beide bij een vertakking van Sqrt(1-z^4) op D horen. De bijbehorende vertakking van Sqrt(1-z^4) is in dit geval simpelweg de functie die (z,w) naar w stuurt. Als je op een van de twee open schijven begint en je tekent beneden in C-S een lus om een van de vier singuliere punten, en je volgt met je pen boven in X de bewegingen die je beneden maakt, dan zul je zien dat je in de andere open schijf eindigt als waar je begonnen bent.
Je kan X ook maken door twee van die papiertjes U zoals boven beschreven op de juiste manier langs de sneden aan elkaar te plakken. Dit is alleen een beetje lastig uit te leggen zonder echt papier, maar misschien kun je je er zelf een voorstelling bij maken. .
.
|
|
