[ Bericht 0% gewijzigd door McCarthy op 30-05-2005 15:29:39 ]
quote:afgezien van die sitatie natuurlijkOp maandag 30 mei 2005 10:23 schreef Burbo het volgende:
Ws. liggen ze op elkaar ofzo
quote:Klopt helemaal.Op maandag 30 mei 2005 10:14 schreef McCarthy het volgende:
In de brugklas vertelde ze altijd dat 2 verschillende lijnen in het platte vlak die evenwijdig liepen melkaar in het oneidige snijden. Dat heb ik altijd maar raar gevonden. De ene kant op snap ik nog wel, als het snijpunt in het oneindige ligt (hoe dat gedefinieert is vegen we dan even onder tafel) dan lopen ze evenwijdig ja, maar de andere kant op heb ik altijd maar raar gevonden, als 2 lijnen evenwijdig lopen snijden ze melkaar niet. Punt. Dus ook niet in het oneindige.
"deze reeks loopt door tot in het oneindige" betekent gewoon deze reeks stopt niet.
Het gebruik van oneindig op deze manier is gewoon onzinnig.
Bovendien lijkt de formulering van de evenwijdige lijnen op een soort natuurwet.
Net alsof wiskundigen al eeuwen bezig zijn met het doortrekken van de evenwijdige lijnen om te kijken of ze elkaar misschien toch snijden.
De situatie is echter een geheel andere.
Het is gewoon een axioma van de Euclidische meetkunde dat ze elkaar niet snijden.
In een (definitie van) een andere meetkunde snijden ze elkaar wel.
quote:Dat is zoiets als zeggen dat de limiet van een reeks oneindig is; er is geen limiet, maar die noem je dan maar oneindig. Vreemde bewoording idd.Op maandag 30 mei 2005 10:14 schreef McCarthy het volgende:
In de brugklas vertelde ze altijd dat 2 verschillende lijnen in het platte vlak die evenwijdig liepen melkaar in het oneidige snijden. Dat heb ik altijd maar raar gevonden. De ene kant op snap ik nog wel, als het snijpunt in het oneindige ligt (hoe dat gedefinieert is vegen we dan even onder tafel) dan lopen ze evenwijdig ja, maar de andere kant op heb ik altijd maar raar gevonden, als 2 lijnen evenwijdig lopen snijden ze melkaar niet. Punt. Dus ook niet in het oneindige.
quote:Inderdaad. Wat TS bedoelt is lijnen die oneindig naar elkaar toe bewegen.Op maandag 30 mei 2005 10:27 schreef Jegorex het volgende:
Evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit (in een plat vlak), anders zijn ze niet evenwijdig.
quote:volgens brugklas VWO snijden ze elkaar in het oneindigeOp maandag 30 mei 2005 10:27 schreef Jegorex het volgende:
Evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit, anders zijn ze niet evenwijdig.
quote:In de Euclidische meetkunde, ja.Op maandag 30 mei 2005 10:30 schreef _joepie_ het volgende:
Officieel is de stelling: evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit in een plat vlak, of delen alle punten met elkaar...
Als je met hyperbolische meetkunde werkt snijden twee rechten bijvoorbeeld altijd.
quote:In de hyperbolische meetkunde heb je geen plat vlak. (althans, volgens mij bedoelen ze dat daarmee)Op maandag 30 mei 2005 10:32 schreef placebeau het volgende:
In de Euclidische meetkunde, ja.
Als je met hyperbolische meetkunde werkt snijden twee rechten bijvoorbeeld altijd.
"Door een punt dat niet op een gegeven lijn ligt, gaat precies 1 lijn die de gegeven lijn niet snijdt"
En voor een ander meetkunde:
"Door een punt dat niet op een gegeven lijn ligt, gaat geen lijn, die de gegeven lijn niet snijdt"
of
"Door een punt dat niet op een gegeven lijn ligt, gaan oneindig lijnen die de gegeven lijn niet snijden"
etc.
De niet Euclidische meetkunden bleken waardevol voor de natuurkunde, Einstein heeft daar dankbaar gebruik van gemaakt. Daarvoor werd het gezien als wiskundige speeltjes.
(moraal van het verhaal: je kunt nooit a priori zeggen dat een consistente wiskundige theorie onwaar, zinloos of niet toepasbaar is)
quote:In het platte vlak zoals wij die kennen heb je ook geen punten op oneindig. Pas in het projectieve vlak, en dat is groter dan het Euclidische (namelijk de compactificering ervan).Op maandag 30 mei 2005 10:33 schreef speknek het volgende:
[..]
In de hyperbolische meetkunde heb je geen plat vlak. (althans, volgens mij bedoelen ze dat daarmee)
Het zal ooit wel eens een bedoeling zijn om sommige dingen te kunnen bereken of op meerdere problemen een oplossing vind die op papier niet klopt en de practijk wel.
zodra ze elkaar kunnen snijden betekend het dat ze NIET evenwijdig liggen
quote:In projectieve meetkunde bestaat afstand niet.Op maandag 30 mei 2005 11:05 schreef M.Picanto het volgende:
als ze evenwijdig liggen, wil zeggen dat er ALTIJD een bepaalde afstand tussen de lijnen ligt, bijvoorbeeld 2cm, dus in het oneindige ligt er 2cm naast ook nog steeds die ene zelfde lijn.
zodra ze elkaar kunnen snijden betekend het dat ze NIET evenwijdig liggen
quote:ik nam de afstand maar als voorbeeld, maar het lijkt mij dat een lijn 'naast' een lijn (dus evenwijdig) altijd 'naast' die lijn zal blijven, in principe bestaat 'het oneidige' niet, want je kan niet zeggen voorbij het oneindigeOp maandag 30 mei 2005 11:11 schreef placebeau het volgende:
[..]
In projectieve meetkunde bestaat afstand niet.
quote:Volgens mij is het heel simpel twee evenwijdige lijnen snijden elkaar niet ze blijven oneindig lang parralel langs elkaar lopen. Maar in het oneidigen (vreemde plaats die niet bestaat omdat het nooit eindigt, maar wel gebruikt word in de wiskunden al zijn er ook wiskundige methodes die altijd eindig zijn) snijden ze elkaar. Vertaalt naar nederlands ze snijden niet, pas daar wat eigenlijk niet bestaat.Op maandag 30 mei 2005 10:14 schreef McCarthy het volgende:
In de brugklas vertelde ze altijd dat 2 verschillende lijnen in het platte vlak die evenwijdig liepen melkaar in het oneidige snijden. Dat heb ik altijd maar raar gevonden. De ene kant op snap ik nog wel, als het snijpunt in het oneindige ligt (hoe dat gedefinieert is vegen we dan even onder tafel) dan lopen ze evenwijdig ja, maar de andere kant op heb ik altijd maar raar gevonden, als 2 lijnen evenwijdig lopen snijden ze melkaar niet. Punt. Dus ook niet in het oneindige.
Kantel je er een, dan snijden ze elkaar naast het midden.
Kantel je hem verder, ligt het snijpunt steeds verder van het midden.
Liggen ze bijna paralel, dan snijden ze elkaar heel ver van het midden.
Liggen ze evenwijdig, dan moet je verder en verder van het middenpunt afgaan om het snijpunt te vinden. Ieder punten dat je gaat controleren snijden ze elkaar niet en moet je verder van het midden om het snijpunt te vinden. Zover door dat je tot in het oneindige door kunt gaan om het snijpunt te vinden.
quote:Nee, het is echt zo dat evenwijdige lijnen elkaar uiteindelijk toch snijden. k Heb het ooit gehad op school, maar dat is dus al weer zo lang geleden dat ik niet meer weet waaromOp maandag 30 mei 2005 11:43 schreef RemcoDelft het volgende:
Denk dat dit wat te brugklasserig gezegd is, in de trant van treinrails: ze snijden elkaar nooit, maar toch kan je ze in de verte niet meer onderscheiden.
quote:Wanneer we het hebben over evenwijdige rechten en snijdende rechten, hebben we het over meetkunde, niet over natuurkunde. In de natuurkunde heb je niet zoiets als rechten, je kunt ze wel gebruiken, maar dan ben je weer met wiskunde bezig.Op maandag 30 mei 2005 11:32 schreef Cheiron het volgende:
Mijn vriendin blijft vol houden dat haar leraar natuurkunde via een (geldende) berekening kon laten zien dat twee evenwijdige, parallel lopende lijnen elkaar in het oneindige snijden. Volgens mij geeft dat alleen maar aan dat die formules fout zijn. Maar volgens natuurkundige formules kan het dus wel. Logica geeft een andere uitkomst.
Nu, volgend het axiomatisch systeem van Euclides snijden twee parallelle rechten nooit. Intuitief is dat natuurlijk ook zo, zoals al gezegd ligt er steeds dezelfde afstand tussen twee rechten, en kunnen die dus nooit bij elkaar komen.
Maar voor berekeningen is dit soms lastig. het ene koppel rechten snijdt elkaar nooit, het ander wel. Dus je moet steeds met twee gevallen werken. Toen bedachten wiskundigen te zeggen dat als twee rechten parallel waren, ze ook sneden, maar dan in een punt op oneindig. Dit punt op oneindig is dus een definitie, niet een vaststaand feit.
Maar dit had natuurlijk ook belangrijke consequenties voor de meetkunde waarin je werkt. Zoals eerder aangegeven, kun je dan niet langer met een afstandsbegrip werken, zoals in de gewone Euclidische meetkunde. De projectieve meetkunde verschilt dus drastisch van de euclidische.
quote:Maar je zult gene vinden.Op maandag 30 mei 2005 11:50 schreef Allantois het volgende:
Twee haakse lijnen snijden elkaar in het midden.
Kantel je er een, dan snijden ze elkaar naast het midden.
Kantel je hem verder, ligt het snijpunt steeds verder van het midden.
Liggen ze bijna paralel, dan snijden ze elkaar heel ver van het midden.
Liggen ze evenwijdig, dan moet je verder en verder van het middenpunt afgaan om het snijpunt te vinden. Ieder punten dat je gaat controleren snijden ze elkaar niet en moet je verder van het midden om het snijpunt te vinden. Zover door dat je tot in het oneindige door kunt gaan om het snijpunt te vinden.
het getal 1/n ligt ook dichter en dichter bij 0 als n groter wordt, maar het wordt nooit 0.
quote:kijk, dat is het, evenwijdig en snijdend worden vrijwel altijd apart gezegtWanneer we het hebben over evenwijdige rechten en snijdende rechten
een evenwijdige lijn snijdt niet
quote:betekend dus NIET dat ze elkaar aan snijden zijnmaar toch kan je ze in de verte niet meer onderscheiden
een snijdende lijn komt aan de andere kan weer uit, anders RAKEN ze elkaar, maar snijden doen ze niet
quote:1/n waarbij n -> oneindig is inderdaad hetzelfde principe. Je nadert 0 en komt steeds dichterbij. Daarmee benader je de 0 en als je steeds verder gaat kom je steeds dichterbij. In het oneindige wordt het dus wel nul, omdat je dan dat laatste stapje wel maakt.Op maandag 30 mei 2005 11:59 schreef placebeau het volgende:
[..]
Maar je zult gene vinden.
het getal 1/n ligt ook dichter en dichter bij 0 als n groter wordt, maar het wordt nooit 0.
0/n is dan wel weer een leuk verhaal
quote:De enige "natuurkunde" die ik hier bij kan bedenken is de zogenaamde "geodesic deviation, waarbij je een familie geodeten introduceert en dan 2 vectorvelden introduceert. Vervolgens kun je zien dat de versnelling tussen 2 geodeten afhankelijk is van de kromming tussen de geodeten, en dit kun je ook doen voor de plaats en snelheid ( versnelling en snelheid op een bepaalde manier via die vectorvelden gedefinieerd, en via de covariante afgeleides) . Als 2 geodeten elkaar dan in het oneindige snijden ,dan zou dat betekenen dat in een vlakke geometrie de kromming in het oneindige niet meer 0 is. Dat lijkt mij vrij onzinnig.Op maandag 30 mei 2005 11:32 schreef Cheiron het volgende:
Mijn vriendin blijft vol houden dat haar leraar natuurkunde via een (geldende) berekening kon laten zien dat twee evenwijdige, parallel lopende lijnen elkaar in het oneindige snijden. Volgens mij geeft dat alleen maar aan dat die formules fout zijn. Maar volgens natuurkundige formules kan het dus wel. Logica geeft een andere uitkomst.
Bah. Dit gaat dus weer de hele dag in mijn hoofd zitten.
quote:Juist Gr8w8!!Op maandag 30 mei 2005 12:26 schreef gr8w8 het volgende:
Als twee evenwijdige lijnen elkaar ergens snijden, betekent dat toch ook dat ze daarna dus van elkaar verwijderen. Anders waren ze immers evenwijdig en konden ze elkaar nooit snijden, maar waren het in het begin al geen evenwijdige lijnen en zouden ze elkaar al eerder dan in het oneindige snijden en is er dus geen probleem.
Bah. Dit gaat dus weer de hele dag in mijn hoofd zitten.
zei ik net ook, wel veel beknopter, jij zet het wel beter neer dan dat ik net deed
quote:Dat is net zo'n paradox als dat 1/0 oneindig is...Oneindig is nou eenmaal een lastige factor.Op maandag 30 mei 2005 12:26 schreef gr8w8 het volgende:
Als twee evenwijdige lijnen elkaar ergens snijden, betekent dat toch ook dat ze daarna dus van elkaar verwijderen. Anders waren ze immers evenwijdig en konden ze elkaar nooit snijden, maar waren het in het begin al geen evenwijdige lijnen en zouden ze elkaar al eerder dan in het oneindige snijden en is er dus geen probleem.
Bah. Dit gaat dus weer de hele dag in mijn hoofd zitten.
Ah, dat was al een keer aangehaald
Zo van:"Als jij nou even loopt naar waar de twee evenwijdige lijnen elkaar snijden dan krijg je 100 euro".
omdat euclidisch veel minder abstracties bevat, wordt deze eerder bestudeerd. zowel in het onderwijs als in de geschiedenis.
als je tussen een stel evenwijdige lijnen twee loodlijnen vanuit de ene op de andere trekt op zekere afstand van elkaar, zouden deze lijnstukken even groot moeten zijn.
maar of dat exact zo is, valt niet te bepalen met meetapparatuur. het verschil in lengte bepaalt de de positie van het snijpunt.
als je een limietbepaling gaat doen, waarbij je het verschil naar 0 laat gaan, dan gaat het snijpunt naar oneindig
quote:Het is denk ik net wat subtieler als je limietrekening in acht neemtOp maandag 30 mei 2005 12:46 schreef Pinobot het volgende:
Oneindig betekent gewoon nooit.
Zo van:"Als jij nou even loopt naar waar de twee evenwijdige lijnen elkaar snijden dan krijg je 100 euro".
Dit is 1 van de theoriën, vind em zelf niet zo sterk, maar ik heb mijn natuurkundeleraar ooit eens iets zien doen waardoor hij kon aantonen dat die lijnen mekaar toch kruisen, ondanks de evenwijdigheid. Weet dus alleen niet meer wat
Nu lijkt het idd zo (op kleine schaal) dat onze ruimte euclidisch is. Dan zou a.h.w. het wiskundige axioma van evenwijdigeheid en de waargenomen fysische werkelijkheid met elkaar overeenkomen.
Echter op relativistische schaal is dit niet zo, maar dit is van geen enkel belang voor de euclidische meetkunde.
Echter eind 19e en begin 20e eeuw brak het besef door dat wiskundige constructies helemaal niets met de werklijkheid te maken hoeft te hebben en dat met name de "waarheid" van een axioma niet vast te stellen is en ook niet hoeft vast gesteld te worden. We nemen nl. zelf het axioma aan.
(wel is het handig dat axiomá geen aanleidig geven tot tegenstrijdigheden, maar dat is een heel ander verhaal)
"Maar snijden in het oneindige" is een wel heel poetische uitdrukking.
Je zou ook kunnen zeggen ze snijden elkaar als pinksteren en pasen samenvallen of met St. Juttemis. etc
quote:Je zou als tegenbewijs een driehoek ABC kunnen "constueren" met basis AB van 1 en AB = BC = oneindig. Hoek A = 90 graden en Hoek B is ook 90 graden => hoek C is dus 0 (som moet 180 zijn)Op maandag 30 mei 2005 13:19 schreef MrTorture het volgende:
Als je twee lijnen laat snijden, kun je een lijn zo draaien dat de hoek tussen de twee lijnen steeds kleiner wordt. Op het moment dat de lijnen evenwijdig lopen, is de hoek oneindig klein (maar hij is er wel).
Dit is 1 van de theoriën, vind em zelf niet zo sterk, maar ik heb mijn natuurkundeleraar ooit eens iets zien doen waardoor hij kon aantonen dat die lijnen mekaar toch kruisen, ondanks de evenwijdigheid. Weet dus alleen niet meer wat
En 2 lijnen die een hoek van 0 graden maken vallen per definitie samen.
Dus zo'n driehoek bestaat niet, dus evenwijdige lijnen snijden elkaar niet.
quote:Ja inderdaad, daarom vond ik die theorie niet zo spannend, k las hem ergens als "serieuze" theorieOp maandag 30 mei 2005 13:26 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Je zou als tegenbewijs een driehoek ABC kunnen "constueren" met basis AB van 1 en AB = BC = oneindig. Hoek A = 90 graden en Hoek B is ook 90 graden => hoek C is dus 0 (som moet 180 zijn)
En 2 lijnen die een hoek van 0 graden maken vallen per definitie samen.
Dus zo'n driehoek bestaat niet, dus evenwijdige lijnen snijden elkaar niet.
quote:zoals ik al zei, bestaan afstanden niet meer in projectieve meetkunde!Op maandag 30 mei 2005 12:26 schreef gr8w8 het volgende:
Als twee evenwijdige lijnen elkaar ergens snijden, betekent dat toch ook dat ze daarna dus van elkaar verwijderen. Anders waren ze immers evenwijdig en konden ze elkaar nooit snijden, maar waren het in het begin al geen evenwijdige lijnen en zouden ze elkaar al eerder dan in het oneindige snijden en is er dus geen probleem.
Bah. Dit gaat dus weer de hele dag in mijn hoofd zitten.
Dus als je met punten op oneindig werkt, heb je een andere meetkunde nodig dan de Euclidische, klassieke meetkunde.
[ Bericht 82% gewijzigd door Sander op 17-05-2011 13:04:09 ]
quote:Mja, in bekrompen wiskunde-voor-beginners-theoriën jaOp maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin.
quote:beetje onlogisch om tijdens wiskundelessen poetische uidrukkingen te gebruiken, vind ik danOp maandag 30 mei 2005 13:20 schreef Oud_student het volgende:
"Maar snijden in het oneindige" is een wel heel poetische uitdrukking.
Je zou ook kunnen zeggen ze snijden elkaar als pinksteren en pasen samenvallen of met St. Juttemis. etc
quote:En zoals Placebeau ook reeds aangaf.Op maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin. Als lijnen evenwijdig aan elkaar lopen kúnnen ze elkaar niet snijden, anders zijn ze niet evenwijdig.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.
In de volgende figuur is een kubus ABCD-EFGH getekend.
Vier ribben zijn verlengd en snijden elkaar twee aan twee op de horizon (de punten P en Q).
Alle lijnen naar de horizon zijn evenwijdig., en alle lijnen in een vlak loodrecht op de horizon snijden elkaar twee aan twee op de horizon.
In de volgende illustratie is het nog duidelijker.
Vier ribben van de kubus, verlengd snijden elkaar in één punt op de horizon.
Het leuke van de projectieve meetkunde is dat 'oneindigheid' zichtbaar gemaakt wordt door een horizon.
Er is een hele interessante meetkunde ontwikkeld die opbloeide vanaf de 16e eeuw en die zich bezig hield met het perspectief. Er zijn hele mooie meetkundige stellingen in deze tak van de wiskunde.
Een bron is hier, waarbij zelfs hyperbolische meetkunde (niet-Euclidische meetkunde) even toegelicht wordt (interessant in de ART)
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)
quote:Het is dan ook projectiefOp maandag 30 mei 2005 16:20 schreef M.Picanto het volgende:
in die tekeningen is het 3dimensionaal getekend.
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)
.quote:Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).Op maandag 30 mei 2005 10:28 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Dat is zoiets als zeggen dat de limiet van een reeks oneindig is; er is geen limiet, maar die noem je dan maar oneindig. Vreemde bewoording idd.
quote:DankjeOp maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau.
alhoewel ik zelf wel het poëtische ervan inzie
.quote:Helaas:Op maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau.
Vacuüm en ozon heet de bundel waarmee Yves Coussement (1978) in 2004 bij Meulenhoff | Manteau debuteerde als dichter. Zeven afdelingen – kortsluiting 7, blindganger, vacuüm en ozon, geurvlag, balzaal, ring, trilogie van het huis – wisselen elkaar, in een schijnbaar willekeurige volgorde, af en haken in de opeenvolging van telkens afzonderlijke, ontheemde gedichten een vervreemdende bundel in elkaar.
(knip)
Vormelijk is Vacuüm en ozon een bevestiging van de verscherpte ruimtelijkheid in de bundel, van de leegte en de overdaad. Titels en afdelingen worden op elke pagina in hun geheel aangereikt; alleen de blinde vlekken verbergen de juiste woorden. Alles valt af te leiden uit de plaatsing, verschillende parallelle lijnen verbinden gedichten met elkaar en hun afdeling, maar raken elkaar niet; ‘twee evenwijdige rechten snijden / elkaar in het oneindige.’
quote:Die leraar heeft bewezen dat de lijnen elkaar nooit snijden. 'In het oneindige snijden' is namelijk hetzelfde als 'niet snijden'. Als dat anders zou zijn dan zou oneindig eindig wezen en dan is het niet oneindig meer.Op maandag 30 mei 2005 11:32 schreef Cheiron het volgende:
Mijn vriendin blijft vol houden dat haar leraar natuurkunde via een (geldende) berekening kon laten zien dat twee evenwijdige, parallel lopende lijnen elkaar in het oneindige snijden. Volgens mij geeft dat alleen maar aan dat die formules fout zijn. Maar volgens natuurkundige formules kan het dus wel. Logica geeft een andere uitkomst.
Het is lang geleden, maar even uit het hoofd een methode:
Stel, je neemt twee lijnen Y=2 en Y=3. Vervolgens ga je op zoek naar de X die ervoor zorgt dat beide vergelijkingen aan elkaar gelijk worden, oftewel 2=3. Met een beetje spelen, bijv. met limieten, krijg je de oplossing dat het kan als de X oneindig groot is. Oneindig is echter geen getal.
Nog een manier is de discrete wiskunde waarmee je feitelijk aantoont dat iedere geldende oplossing impliceert dat de oplossing niet in het oneindige ligt, waarbij de stelling automatisch in contradictie is met zichzelf. Oftewel, er is geen oplossing.
quote:Mja, da's ook waar.Op maandag 30 mei 2005 20:00 schreef keesjeislief het volgende:
[..]
Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).
Het is trouwens mooi om es de Principia van Newton door te kijken. Hij maakt eigenlijk alleen maar gebruik van meetkundige bewijzen, terwijl hij wel wist hoe je moest differentieren toen hij het schreef. Kennelijk had Newton ook moeite met limiet- en infinitesimaalrekening. Maar dan met het idee an sich
quote:Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.Op maandag 30 mei 2005 16:12 schreef Yosomite het volgende:
[..]
En zoals Placebeau ook reeds aangaf.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.
Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.
quote:je bedoelt met oneindig kleine stukjes?Op maandag 30 mei 2005 21:26 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Mja, da's ook waar.
Het is trouwens mooi om es de Principia van Newton door te kijken. Hij maakt eigenlijk alleen maar gebruik van meetkundige bewijzen, terwijl hij wel wist hoe je moest differentieren toen hij het schreef. Kennelijk had Newton ook moeite met limiet- en infinitesimaalrekening. Maar dan met het idee an sich
oneindig met limieten is geen meetkundige term, maar een analytische term. Hoe definieer je snijden op oneindig?
Ideeën die hier voorkomen stellen dat twee rechten snijden op oneindig als er een rij rechten L_i bestaat die een steeds kleinere hoek vormt met een van de twee parallelle rechten, zodat het snijpunt van L_i steeds verder op de andere rechte van het paar parallellen ligt. Maar dan neem je opnieuw een limiet van rechten, en heb je het duale probleem.
quote:Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.Op maandag 30 mei 2005 21:26 schreef Keromane het volgende:
[..]
Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.
Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pn(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fn+1. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fn+1 verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R2 (het platte vlak) een unieke continuatie naar P2(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R2 correspondeert met een punt in P2(R), maar niet andersom: P2(R) is dus "groter" dan R2. Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P2(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R2), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R2: een punt op oneindig.
[ Bericht 0% gewijzigd door Koekepan op 30-05-2005 23:35:59 ]
quote:Ja, maar dat gaat lichtelijk offtopic.Op maandag 30 mei 2005 21:37 schreef McCarthy het volgende:
[..]
je bedoelt met oneindig kleine stukjes?
Interessant trouwens, die meetkunde, Koekepan&placebeau
quote:misschien zeiden ze dat om je oneindige veel vragen aan de leraar even te vermijden.Op maandag 30 mei 2005 10:30 schreef McCarthy het volgende:
[..]
volgens brugklas VWO snijden ze elkaar in het oneindige
K zag vaak dat een leraar, wanneer hij zijn boodschap niet kan overbrengen doordat de leerling bijv. niet wil snappen, dan gaat ie even een kalmeerantwoord geven een soort fout antwoord..
later zul je zelf ontdekken of dat wel of niet zo was..
quote:Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.Op maandag 30 mei 2005 23:17 schreef MrTorture het volgende:
Zou mijn docent destijds iets hebben laten zien met evenwijdige lichtbundels die dankzij de kromming van de aarde en de zwaartekacht ofzo wel dichter op mekaar kwamen? Ik haat het dat ik dit niet meer precies weet
Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde
quote:Ja, weet ikOp maandag 30 mei 2005 23:20 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.
Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde
volgens mij beweerde ik hier ergens al dat wiskundig gezien twee evenwijdigen elkaar niet snijden, maar natuurkundig gezien weer wel.quote:Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.Op maandag 30 mei 2005 23:23 schreef MrTorture het volgende:
[..]
Ja, weet ik
Het gaat ook nooit bewezen worden, maar het is nodig de rest uit te kunnen leggen. Alleen dit axioma klinkt een beetje vaag. Meer zin heb ik nu niet in typen, maar wat ik wel kwijt wil is dat de gevolgen van dit "lek" in de wiskunde, het laatste echte nieuws is geweest in die wiskunde. En de hele toren schud er nog steeds van.
quote:Dan blijft het uiterst vervelend dat mijn geheugen me in de steek laatOp maandag 30 mei 2005 23:27 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.
Maar goed, Havo5 is inmiddels ook weer 8 jaar geleden... (ik mis een smiley met een grijze baard )quote:Dat is heel mooi uitgelegd, maar als jij een punt tekent en vervolgens stelt dat ie héél ver weg is, dan teken ik een punt op diezelfde plek en zeg ik dat ie nog veel verder weg ligt.Op maandag 30 mei 2005 21:42 schreef Koekepan het volgende:
[..]
Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pn(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fn+1. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fn+1 verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R2 (het platte vlak) een unieke continuatie naar P2(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R2 correspondeert met een punt in P2(R), maar niet andersom: P2(R) is dus "groter" dan R2. Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P2(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R2), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R2: een punt op oneindig.
Je kunt niet iets tekenen dat oneindig ver weg ligt. Doe je dat wel dan teken ik een punt dat nog verder weg ligt. Kunnen we oneindig lang volhouden.
(Als je complexe getallen kent kun je het complexe vlak ook op die manier aanvullen met een punt op oneindig: dan krijg je een bol: de Riemannsfeer = P1(C).)
quote:zoals al gezegd trouwens, bestaat afstand niet in het projectieve vlak, dus heel ver weg liggen en nog verder weg liggen zijn gewoon termen die je niet mag gebruikenOp dinsdag 31 mei 2005 00:06 schreef Keromane het volgende:
[..]
Dat is heel mooi uitgelegd, maar als jij een punt tekent en vervolgens stelt dat ie héél ver weg is, dan teken ik een punt op diezelfde plek en zeg ik dat ie nog veel verder weg ligt.
Je kunt niet iets tekenen dat oneindig ver weg ligt. Doe je dat wel dan teken ik een punt dat nog verder weg ligt. Kunnen we oneindig lang volhouden.
Een tweede punt is dat in het projectieve vlak er niet langer een verschil is tussen punten op oneindig en de andere punten, ze zijn evenwaardig. Dat is ook logisch, want de projectie van het gewone affiene (zo u wilt euclidische) vlak kan op veel manieren gebeuren naar het projectieve vlak, de keuze van de rechte op oneindig hangt volledig af van welke projectie je neemt. Het is wat vaag, maar simpel in te zien met tekeningen. Op het internet is er vast wel wat over te vinden.
quote:Je kon de vraag 'wat wil je aantonen' ook eerder stellen.Op dinsdag 31 mei 2005 00:20 schreef Koekepan het volgende:
Wat wil je nu aantonen dan? Ik begrijp heus wel dat een letterlijk punt op oneindig niet bestaat, maar wel als je 'm zo definieert zoals in de projectieve meetkunde. Plus het feit dat zo'n oneindig punt dan opeens alle eigenschappen blijkt te bezitten die je intuïtief zou toeschrijven aan een punt op oneindig (ook al bestaat dat dus niet).
Het is logisch dat wanneer je een niet bestaand punt als punt definieert deze de eigenschappen krijgt van een punt. Maakt niet uit, ik maak er niet zo'n punt van.
Een niet bestaand punt kun je niet definieren, je kunt hooguit een limiet benaderen. Dat is exact wat projectie doet. Je projecteert geen punt maar een limiet. Als je een punt definieert en dit tekent dan teken ik een punt wat erachter ligt. That's it.
In een 3D projectie van twee evenwijdige lijnen die naar een horizon lopen in een oneindig oplossend vermogen snijden die twee lijnen elkaar nog steeds niet. Ze naderen elkaar tot in het oneindige, en ze naderen tot in het oneindige de horizon. Op een afstand zie je een punt, hoe ver je ook inzoomt zie je een punt, maar het is geen punt. Op zich is dat best interessant om eens te bedenken, al gebruiken we in de praktijk natuurlijk gewoon verdwijnpunten en weten we ze nauwkeurig genoeg te bepalen op het 2D projectievlak om er van alles mee te doen.
Het is een 'the edge' idee: een denkbeeldig schaakbord waarbij de hoeken van de witte vlakken elkaar raken, en de hoeken van de zwarte vlakken elkaar ook raken. Hoe ver je ook inzoomt.
quote:1. In projectie is er absoluut verschil tussen 'ver weg' en 'nog veel verder weg', maar dat heeft te maken met het oplossend vermogen. De 'projectieafstanden' zullen 0 naderen maar nooit 0 worden.Op dinsdag 31 mei 2005 01:10 schreef placebeau het volgende:
[..]
zoals al gezegd trouwens, bestaat afstand niet in het projectieve vlak, dus heel ver weg liggen en nog verder weg liggen zijn gewoon termen die je niet mag gebruiken
Een tweede punt is dat in het projectieve vlak er niet langer een verschil is tussen punten op oneindig en de andere punten, ze zijn evenwaardig. Dat is ook logisch, want de projectie van het gewone affiene (zo u wilt euclidische) vlak kan op veel manieren gebeuren naar het projectieve vlak, de keuze van de rechte op oneindig hangt volledig af van welke projectie je neemt. Het is wat vaag, maar simpel in te zien met tekeningen. Op het internet is er vast wel wat over te vinden.
2. Wat ik in een andere reactie al aangaf, je projecteert een limiet. Geen punt.
quote:We praten een beetje langs elkaar heen, geloof ik.Op dinsdag 31 mei 2005 01:19 schreef Keromane het volgende:
Een niet bestaand punt kun je niet definieren, je kunt hooguit een limiet benaderen. Dat is exact wat projectie doet. Je projecteert geen punt maar een limiet. Als je een punt definieert en dit tekent dan teken ik een punt wat erachter ligt. That's it.
[...]
. Een oneindig punt bestaat niet in het platte vlak, zeg jij. Dat klopt helemaal. Ik leg een gerelateerd concept uit dat tevens ten grondslag ligt aan de misschien ongelukkig gekozen term "punt op oneindig". Dit zijn allemaal courante wiskundige definities, dus als je er bezwaren tegen hebt moet je niet bij mij zijn. .quote:2 lijnen komen zo dicht bij elkaar dat ze niet meer van elkaar te ondescheiden zijn, bij 3d tekening is dit vaak de horizon, maar in theorie blijven de lijnen van elkaar gescheiden, ook al is dit niet te zien.Op dinsdag 31 mei 2005 01:32 schreef zoalshetis het volgende:
3-dimensionaal moet het mogelijk zijn dat twee lijnen elkaar snijden en toch evenwijdig blijven... hangt van je visie af.
het LIJKT dus alsof ze elkaar "raken" maar snijden doen ze niet, want na de horizon (het oneindig) kan je de lijn niet verder trekken.
quote:Ik heb geen enkel verstand van wiskunde en/of natuurkunde, maar dit is toch gewoon aan te duiden met dat voorbeeld van een treinrails ? Stel dat je een treinrails hebt, die helemaal om de aarde heen loopt. Hij heeft dus geen begin en geen einde. Als je ergens op de rails gaat staan, en je kijkt naar de horizon in de richting van de rails, dan zal het lijken alsof de metalen balken elkaar aan de horizon snijden.Op dinsdag 31 mei 2005 08:50 schreef M.Picanto het volgende:
[..]
2 lijnen komen zo dicht bij elkaar dat ze niet meer van elkaar te ondescheiden zijn, bij 3d tekening is dit vaak de horizon, maar in theorie blijven de lijnen van elkaar gescheiden, ook al is dit niet te zien.
het LIJKT dus alsof ze elkaar "raken" maar snijden doen ze niet, want na de horizon (het oneindig) kan je de lijn niet verder trekken.
In de werkelijkheid is dit niet zo, immers, die balken liggen gewoon parallel aan elkaar. Zou iemand naar dat snijpunt willen lopen, dan is hij eeuwig onderweg, omdat dat punt niet echt bestaat. Je ziet het alleen aan de horizon, en als je vooruit gaat lopen verplaatst de horizon zich naar achteren, en daarmee het zogenaamde snijpunt ook.
Lijkt me
quote:juist, zo iets ongeveer bedoelde ik ook !!!Op dinsdag 31 mei 2005 09:10 schreef CoolGuy het volgende:
[..]
Ik heb geen enkel verstand van wiskunde en/of natuurkunde, maar dit is toch gewoon aan te duiden met dat voorbeeld van een treinrails ? Stel dat je een treinrails hebt, die helemaal om de aarde heen loopt. Hij heeft dus geen begin en geen einde. Als je ergens op de rails gaat staan, en je kijkt naar de horizon in de richting van de rails, dan zal het lijken alsof de metalen balken elkaar aan de horizon snijden.
In de werkelijkheid is dit niet zo, immers, die balken liggen gewoon parallel aan elkaar. Zou iemand naar dat snijpunt willen lopen, dan is hij eeuwig onderweg, omdat dat punt niet echt bestaat. Je ziet het alleen aan de horizon, en als je vooruit gaat lopen verplaatst de horizon zich naar achteren, en daarmee het zogenaamde snijpunt ook.
Lijkt me
quote:Op dinsdag 31 mei 2005 09:17 schreef M.Picanto het volgende:
[..]
juist, zo iets ongeveer bedoelde ik ook !!!
quote:Op dinsdag 31 mei 2005 01:34 schreef Koekepan het volgende:
[..]
We praten een beetje langs elkaar heen, geloof ik.
Ik zei al, 'geen punt'. En je hebt verder ook helemaal gelijk. Wat ik wilde aangeven is dat dingen niet altijd zijn zoals ze lijken. We leren op school bij perspectieftekenen dat lijnen naar elkaar toelopen in het verdwijnpunt. Daar kunnen we de rest van ons leven prima mee uit de voeten. Ook als we andere grafieken moeten tekenen. Maar als je het heel concreet bekijkt zie je een paradox: je kunt nooit exact de projectie van twee van dergelijke lijnen tekenen omdat ze in een oneindig oplossend vermogen oneindig naar elkaar toelopen. Dat verdwijnpunt wat je ziet is in wezen altijd de herhaling van wat je eerder hebt gezien: de naar elkaar toelopende lijnen, maar dan voorbij het oplossend vermogen.
Bovenstaande is niet meer dan een gedachtenexperiment. In de realiteit hebben we overal limieten om ons heen. De limiet van het oplossend vermogen is een heel belangrijke. In abstractie bestaat het 'verdwijnpunt' of 'punt op oneindig' concreet gezien niet, concreet bestaat het in abstractie wel. EN zo is het cirkeltje rond. Je kunt dergelijke punten vrij nauwkeurig definieren, zelfs exact omschrijven m.b.v. limieten/reeksen/vergelijkingen, en het krijgt inderdaad de eigenschappen van een punt.
Wiskunde is leuk.
Je kunt de punten + en - oneindig uit de reeële getallen afbeelden naar -0.5pi resp 0.5pi en je krijgt het gesloten interval als afbeelding voor "alle" reeële getallen.
Maar ook dit is gekunsteld, want de functie bereikt "nooit" de waarde - of +0.5pi, maar komt daar willekeurig dicht bij.
quote:Inderdaad. mbv dit verhaal kan je ook inzien waarom het projectieve meetkunde heet, en wat het met die treinrails te maken heeft die naar elkaar toe lijken te lopen. Iets concreter:Op maandag 30 mei 2005 21:42 schreef Koekepan het volgende:
[..]
Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pn(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fn+1. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fn+1 verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R2 (het platte vlak) een unieke continuatie naar P2(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R2 correspondeert met een punt in P2(R), maar niet andersom: P2(R) is dus "groter" dan R2. Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P2(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R2), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R2: een punt op oneindig.
Stel X is de driedimensionale ruimte (hoeft niet over een algebraisch afgesloten lichaam, neem bijvoorld de reele getallen).
Je oog is de oorsprong. Het projectieve vlak (laten we het P noemen) beschrijft eigenlijk de waarneming van de wereld X vanuit het gezichtspunt van dat oog (dus eigenlijk hoe je als mens de wereld ziet). Dus alle punten op een lijn door de oorsprong kunnen door dat oog niet worden onderscheiden. (kleine aanvulling: ons oog kijkt in 2 richtingen tegelijk, voor en achter.) Vandaar dat het logisch is om punten in P te definiëren als lijnen in X door de oorsprong. Deze punten (lijnen) vormen de basis bouwstenen voor de waarneming van ons oog.
Een lijn in P is dus een vlak in X door de oorsprong. En twee verschillende lijnen in P zijn dus 2 verschillende vlakken in X door de oorsprong. Twee zulke vlakken snijden elkaar altijd in een lijn in X door de oorsprong: dwz twee lijnen in P snijden elkaar altijd in een projectief punt.
Waarom heet het Projectief: Wel, neem een vlak V in X dat niet door de oorsprong gaat. Punten op V geven een vrij aardig beeld van de wereld zoals waargenomen door ons oog. Stel, een lijn in X door de oorsprong snijdt V. Dan kunnen we het projectieve punt dat deze lijn definiëert voorstellen door het snijpunt van de lijn met V. Je _projecteert_ dus de punten van X op V vanuit de oorsprong. Dit illustreert ook de opmerking uit de quote dat het projectieve vlak groter is dan het "gewone vlak". Het gewone vlak V "bevat" mbv die projectie bijna alle projectieve punten. Alleen als we een lijn in X door de oorsprong nemen die evenwijdig loopt aan V krijgen we een projectief punt dat niet in het gewone vlak ligt. Zulke punten "zien" we dus met ons oog als we in een richting evenwijdig aan V kijken (dus als we bijvoorbeeld naar het einde van de treinrails kijken)
Op die manier hebben we voor iedere kijkrichting evenwijdig aan V een "punt op oneindig" van ons projectieve vlak. Deze kijkrichtingen corresponderen met de richtingen van lijnen op V.
Even over het begrip "horizon". Tja, je zou dat in deze context kunnen gebruiken. Maar volgens mij bedoel je met horizon meestal de grens van zichtbare punten en punten op aarde die je niet meer kunt zien door het feit dat de aarde rond is. Dus punten achter de horizon kan je niet zien omdat er aarde voor zit. Dit is iets anders dan de lijn op oneindig op het projectieve vlak. Je zou dit kunnen modelleren door V te vervangen door een boloppervlak. Maarja, die horizon is meestal zo ver weg dat het voor ons oog ook min of meer neerkomt op vrijwel evenwijdig met het aardoppervlal (of V) kijken.
[ Bericht 0% gewijzigd door kluut op 31-05-2005 21:04:19 ]
Voor voorbeelden, zie
http://mathworld.wolfram.com/DualityPrinciple.html
.Jaren geleden ben ik eens aan de slag gegaan met 3D graphics, op de goeie oude Amiga met Amos Professional. Ik schreef simpele formules om 3D coordinaten om te zetten in 2D coordinaten zodat het 2D scherm perspectief te zien gaf. Het was vrij omslachtig wat ik deed: vanuit de Z-waarde van een 3D coordinaat liet ik de juiste 2D X en Y coordinaten berekenen. Kort gezegd: delen door de afstand (Z) waarbij het midden van het scherm (0,0) was, en ik de 'afstandseenheid' in een extra constante bepaalde. Door deze constante te veranderen veranderde overigens de view of depth. Erg leuk.
Het werkte prima, bijv. het plotten van een paar 3D kubussen terwijl je door die 3D wereld navigeerde. Voor elk coordinaat moest de computer heel eventjes rekenen. Een fractie van een seconde, maar met een handvol coordinaten zag je al gauw vertraging als je je standpunt veranderde. Niet geschikt om bijv. een spel mee te maken en ik geloof niet dat het veel had uitgemaakt als ik de functies naar machinetaal had omgezet.
Ik ben er nooit meer mee bezig geweest, maar indertijd ben ik er nog eens verder ingedoken en kwam ik uit op matrices. Een beetje boven m'n pet, maar toch interessant.
Is er iemand die me in basis kan uitleggen hoe 3D berekeningen in de praktijk gaan? Hoe kun je voor je coordinaten gaat uitrekenen bijv. bepalen of een coordinaat binnen het gezichtsveld gaat vallen? Als ik mijn 3D wereld roteerde werd elk coordinaat berekend, ook die buiten het gezichtsveld. Ik kan een oplossing bedenken waarbij je maar een fractie van het coordinaat uitrekent en al kan bepalen dat ie niet zichtbaar is, maar echte programmeurs kunnen (wat ik ervan begrepen heb) bijv. ook voorhand laten bepalen of een bepaald vlak tussen een aantal coordinaten zichtbaar zal zijn, of niet, of deels, of deels overlapt door een ander vlak.
Als dit allemaal te complex is om in een paar zinnen uit te leggen, never mind. Dit topic heeft me gewoon weer benieuwd gemaakt.
Is Amos Professional een programmeertaal?
Het is al lang geleden, maar je kon een scherm declareren van bijv 640 bij 480 en commando's plot (x,y),color of line (x1,y1,x2,y2),color o.i.d. geven. Zo kon je punten en lijnen laten tekenen.
De formule om 3D x,y,z om te zetten in 2D x,y was om de 3D x en y simpelweg te vermenigvuldigen met "een-Z-de" (1/Z), en de uitkomst te vermenigvuldigen met de 'eenheid constante' of hoe je het wilt noemen. Dat deed ik omdat 3D eenheden anders 'begonnen' met 1 pixel, in zeg maar je focus point. Dat je hiermee het view depth leuk kon veranderen (en dat er nota bene een soort focus point was) was een puur toevallige vinding. Oh ja, verder zat er ook nog een berekeningetje aan het begin om (0,0) vast te pinnen op het midden van het scherm ipv de linkerbovenhoek.
Al met al beslist niet ingewikkeld, het werkte heel leuk, maar navigatie door de 3D wereld impliceerde dat je bij elke stap of beweging in feite alle coordinaten van alle objecten moest aanpassen, of 'on the fly' extra terug moest berekenen. Bij rotatie kwam er nog leuke cirkelberekeningen bij waardoor de computer het helemaal gehad had. 1FPS was een utopia. Dan had je het alleen nog maar over een wereld waar er niets bewoog. Nou ja, al met al niet handig. Het topic nu rakelt herinneringen op.
Lineaire algebra zegt me niets. Even google'n.
-- edit: zegt me wel iets. HTS informatica. Matrices enzo, vector berekeningen. Ook al lang geleden. Ik kan me niet herinneren dat er gesproken werd over 3D berekeningen. Even verder lezen..
[ Bericht 6% gewijzigd door Keromane op 31-05-2005 23:52:23 ]
.http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/gr/resources/07-bsp-zbuf-h.pdf
.http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/gr/lectures.shtml
quote:dat zeggen ze gewoon omdat je niet door kunt gaan tot het oneindige, dat is immers oneindig, en daarom kan men nooit zeker weten dat ze nooit snijden. (wie heeft ooit 2 evenwijdige lijnen doorgetrokken tot oneindig ver? neimand want dat kán niet)Op maandag 30 mei 2005 10:14 schreef McCarthy het volgende:
In de brugklas vertelde ze altijd dat 2 verschillende lijnen in het platte vlak die evenwijdig liepen melkaar in het oneindige snijden. Dat heb ik altijd maar raar gevonden. De ene kant op snap ik nog wel, als het snijpunt in het oneindige ligt (hoe dat gedefinieert is vegen we dan even onder tafel) dan lopen ze evenwijdig ja, maar de andere kant op heb ik altijd maar raar gevonden, als 2 lijnen evenwijdig lopen snijden ze melkaar niet. Punt. Dus ook niet in het oneindige.
kortom, 2 evenwijdige lijnen snijden gewoon niet
lijkt mequote:Dan zou een lijn niet evenwijdig zijn aan zichzelf.Op zondag 5 juni 2005 21:05 schreef thabit het volgende:
De definitie van evenwijdigheid van lijnen in het vlak is dat ze elkaar niet snijden. Hop.
Iets wat je aanneemt dus. Euclides zei: "Ik denk dat evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden." Dat kan je echt onmogelijk bewijzen. Maar Euclides ging er vanuit dat dat zo was en baseerde daarop de rest van zijn meetkundig onderzoek.
Het axioma van Euclides zegt dus: evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit. Ofwel: evenwijdige lijnen hebben geen of meer dan één punten gemeen.
Op zekere dag was er iemand anders (weet niet precies wie) en die zei: "nou, evenwijdige lijnen snijden wel, in oneindig meerbepaald." Die man had dus een eigen axioma. Geen enkel van de twee is juister dan het andere, geen enkel van de twee is te bewijzen. Je kan gewoon de meetkunde op twee manieren bekijken, en als je aanneemt dat evenwijdige lijnen snijden in oneindig, dan blijkt dat je allerlei leuke dingen kan doen in verband met kegelsnedes, projecties en dergelijke meer.
Om daar nou 3 pagina's topic aan te wijten...
quote:Jouw vermogen om conclusies te trekken stelt me bij deze allerminst teleur.Op zondag 5 juni 2005 23:34 schreef ijsklont het volgende:
[..]
Dan zou een lijn niet evenwijdig zijn aan zichzelf.
quote:Dit is toch weer een beetje een klokklepelverhaal. Euclides ging ervan uit dat voor elke lijn l en elk punt P niet op l gelegen precies 1 lijn m bestaat door P evenwijdig aan l. Hij kon dit niet bewijzen dus stelde dit als axioma. Later zijn er meetkunden gevonden die aan alle axioma's van Euclides voldeden, behalve deze. In de hyperbolische meetkunde zijn er oneindig veel lijnen m die aan die voorwaarde voldoen.Op maandag 6 juni 2005 01:25 schreef JackyVie het volgende:
Eén woord: Axioma
Iets wat je aanneemt dus. Euclides zei: "Ik denk dat evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden." Dat kan je echt onmogelijk bewijzen. Maar Euclides ging er vanuit dat dat zo was en baseerde daarop de rest van zijn meetkundig onderzoek.
Het axioma van Euclides zegt dus: evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit. Ofwel: evenwijdige lijnen hebben geen of meer dan één punten gemeen.
Op zekere dag was er iemand anders (weet niet precies wie) en die zei: "nou, evenwijdige lijnen snijden wel, in oneindig meerbepaald." Die man had dus een eigen axioma. Geen enkel van de twee is juister dan het andere, geen enkel van de twee is te bewijzen. Je kan gewoon de meetkunde op twee manieren bekijken, en als je aanneemt dat evenwijdige lijnen snijden in oneindig, dan blijkt dat je allerlei leuke dingen kan doen in verband met kegelsnedes, projecties en dergelijke meer.
Om daar nou 3 pagina's topic aan te wijten...
quote:Mij niet.Op maandag 6 juni 2005 11:52 schreef ijsklont het volgende:
Het lijkt me natuurlijk om te veronderstellen dat evenwijdige lijnen een equivalentierelatie vormen.
quote:Waarom niet? Misschien dat dat zich niet laat generaliseren naar de niet-euclidische meetkunde? Daar weet ik maar weinig van af eigenlijk.Op maandag 6 juni 2005 11:57 schreef thabit het volgende:
Kijk, dat zo'n relatie symmetrisch moet zijn, is misschien wel natuurlijk, maar waarom zou ze reflexief of transitief moeten zijn?
Dan is die relatie dus wel degelijk reflexief. En transitiviteit is toch ook heel eenvoudig aan te tonen.