Alleen ik kom er maar niet achter, hoe hij nou bij die 74,05% (pi / (3 * sqrt(2))) komt..
Iemand enig idee?
etc
quote:Op zaterdag 2 april 2005 12:10 schreef Erosjuhhh het volgende:
ik denk dat hij bijv. 20 sinaasappels neemt, en dan allerlei vormpjes maakt, en met een meetlatje alle maten op neemt en dan berekent
etc
Het schijnt gewoon heel simpel te berekenen zijn. Maar ik kom steeds op verkeerde antwoorden uit. 
Neem bijvoorbeeld circle packing in een rechthoek:
Opp. rechthoek = 14 r * 10 r = 140 r2
Opp. cirkels = 35 pi r2
Efficientie = opp. cirkels / opp. rechthoek * 100% = (35 pi) / 140 * 100% = pi / 4 * 100% = 78,5%
Terwijl Mathworld op het volgende uitkomt:
quote:Geldt dat waar Mathworld mee komt niet voor Hexagonal packing?Op zaterdag 2 april 2005 12:15 schreef Pizza_Shooter het volgende:
[..]
Neem bijvoorbeeld circle packing in een rechthoek:
[afbeelding]
Opp. rechthoek = 14 r * 10 r = 140 r2
Opp. cirkels = 35 pi r2
Efficientie = opp. cirkels / opp. rechthoek * 100% = (35 pi) / 140 * 100% = pi / 4 * 100% = 78,5%
Terwijl Mathworld op het volgende uitkomt:
[afbeelding]
If so, dan is er toch niks aan de hand en is het volstrekt logisch 
quote:Goed, dat zou inderdaad kunnen, maar dan nog kom ik voor hexagonal packing op wat anders uit.Op zaterdag 2 april 2005 12:31 schreef Dr_Flash het volgende:
[..]
Geldt dat waar Mathworld mee komt niet voor Hexagonal packing?
Neem bijvoorbeeld een rechthoek om die vier cirkels linksonderaan.
Hoogte rechthoek = 2r + sqrt(3) r
Breedte rechtoek = 5r
Opp. rechthoek = 10 r2 + 5 * sqrt(3) r2
Opp. cirkels = 4 * pi r2
Efficientie = 4 pi / (10 + 5 * sqrt(3)) = 0,6734
Das dus heel iets anders dan die 90% die zij halen..
Neem als repeterende 'unit cell' het volgende rechthoekje: trek van het middelpunt van de cirkel linksboven een lijn naar rechts naar het middelpunt van de tweede cirkel in de 1e rij, dan recht naar beneden naar het middelpunt van de 2e cirkel van de 3e rij, dan weer naar links tot je onder het beginpunt bent, en dan weer omhoog.
De horizontale breedte is duidelijk 2r waar r de cirkelstraal is. De verticale hoogte is lastiger. Wat we wel direct zien is dat de diagonaal van de rechthoek precies gelijk is aan 4r.
Met de stelling van Pythagoras komen we op de volgende vergelijking voor de hoogte h:
(2r)^2 + h^2 = (4r)^2
Dit oplossen geeft h = sqrt(12) * r
Het totale oppervlak van het rechthoekje is daarmee 2 * sqrt(12) * r^2
Het volume ingenomen door de cirkels is (1 + 4 * 0.25) * pi * r^2 = 2pi*r^2, want de oppervlakte van een cirkel wordt gegeven door pi*r^2, en het rechthoekje bevat precies één hele en 4 kwartcirkels.
Voor de packing fraction delen we dit op elkaar:
(2pi r^2) / (2 sqrt(12) r^2) = pi / sqrt(12) = 0,9068996821
Q.E.D.
quote:Ja, dat staat er duidelijk bij.Op zaterdag 2 april 2005 12:31 schreef Dr_Flash het volgende:
Geldt dat waar Mathworld mee komt niet voor Hexagonal packing?
quote:Dat komt omdat het rechthoekje dat jij pakt meer dan 4 cirkels bevat.Op zaterdag 2 april 2005 12:41 schreef Pizza_Shooter het volgende:
Das dus heel iets anders dan die 90% die zij halen..
quote:Ah, op die manier.. Had het begrip density niet helemaal begrepen. Dacht dat je zeg maar een rechthoek om al die cirkels moest tekenen en daar de efficientie van berekenen, dan heb je dus veel meer loze ruimte..Op zaterdag 2 april 2005 14:53 schreef Maethor het volgende:
Verklaring voor de packing fraction van de hexagonale variant:
Neem als repeterende 'unit cell' het volgende rechthoekje: trek van het middelpunt van de cirkel linksboven een lijn naar rechts naar het middelpunt van de tweede cirkel in de 1e rij, dan recht naar beneden naar het middelpunt van de 2e cirkel van de 3e rij, dan weer naar links tot je onder het beginpunt bent, en dan weer omhoog.
De horizontale breedte is duidelijk 2r waar r de cirkelstraal is. De verticale hoogte is lastiger. Wat we wel direct zien is dat de diagonaal van de rechthoek precies gelijk is aan 4r.
Met de stelling van Pythagoras komen we op de volgende vergelijking voor de hoogte h:
(2r)^2 + h^2 = (4r)^2
Dit oplossen geeft h = sqrt(12) * r
Het totale oppervlak van het rechthoekje is daarmee 2 * sqrt(12) * r^2
Het volume ingenomen door de cirkels is (1 + 4 * 0.25) * pi * r^2 = 2pi*r^2, want de oppervlakte van een cirkel wordt gegeven door pi*r^2, en het rechthoekje bevat precies één hele en 4 kwartcirkels.
Voor de packing fraction delen we dit op elkaar:
(2pi r^2) / (2 sqrt(12) r^2) = pi / sqrt(12) = 0,9068996821
Q.E.D.
Bedankt iig.
quote:In principe is de aanpak gewoon: beschouw een willekeurig gebiedje en kijk hoe daarin het door cirkels ingenomen oppervlak zich verhoudt tot het totale oppervlak.Op zaterdag 2 april 2005 16:19 schreef Pizza_Shooter het volgende:
[..]
Ah, op die manier.. Had het begrip density niet helemaal begrepen.
Je moet het jezelf echter niet onnodig moeilijk maken, daarom kun je het best alles zodanig kiezen dat het uitrekenen van de oppervlakken van de cirkels en het gebiedje zo simpel mogelijk is.
quote:Ja, je moet uitkijken dat je niet aan de rand zit te kijken, want daar is het rooster niet compleet. Verder moet je wel echt alle (delen van) cirkels meenemen die in je gebiedje zitten.Dacht dat je zeg maar een rechthoek om al die cirkels moest tekenen en daar de efficientie van berekenen, dan heb je dus veel meer loze ruimte..
quote:Snap het principe nu. Dit was een simpel voorbeeld in 2d, maar wil eigenlijk de density van 3d piramides berekenen, zoals die sinaasappels bijvoorbeeld. Dat moet op zich ook wel lukken..Op zaterdag 2 april 2005 19:04 schreef Maethor het volgende:
[..]
In principe is de aanpak gewoon: beschouw een willekeurig gebiedje en kijk hoe daarin het door cirkels ingenomen oppervlak zich verhoudt tot het totale oppervlak.
Je moet het jezelf echter niet onnodig moeilijk maken, daarom kun je het best alles zodanig kiezen dat het uitrekenen van de oppervlakken van de cirkels en het gebiedje zo simpel mogelijk is.
[..]
Ja, je moet uitkijken dat je niet aan de rand zit te kijken, want daar is het rooster niet compleet. Verder moet je wel echt alle (delen van) cirkels meenemen die in je gebiedje zitten.
quote:Ja. De packing fractie van hexagonal close packed sinaasappels is 0.7405. Als je echter een piramide neemt die precies om die stapel sinaasappels heenpast, dan neem je teveel lucht mee en zou je op een lagere fractie uit moeten komen.Op zaterdag 2 april 2005 19:19 schreef Pizza_Shooter het volgende:
(...) Dit was een simpel voorbeeld in 2d, maar wil eigenlijk de density van 3d piramides berekenen, zoals die sinaasappels bijvoorbeeld. Dat moet op zich ook wel lukken..
Dus om op 0.7405 uit te komen kun je die piramidevorm buiten beschouwing kunt laten en gewoon een algemeen voorbeeld nemen.
Tevens de eerste keer dat ik begrijp hoe je die packing fraction moet uitrekenen 
Dat is dus in principe hetzelfde als bollen gestapeld in een rechthoek, alleen stapelt in een piramidevorm voor een groenteman natuurlijk makkelijker..
quote:Op zaterdag 2 april 2005 19:49 schreef Haushofer het volgende:
Dit komt heel goed van pas bij Vaste Stof Fysica, Maethor
Dit was net een van de weinige dingen die ik wel begreep bij solid state... quote:Ja, cubic close packed en hexagonal close packed hebben dezelfde packing fraction, alleen de afleiding verschilt wel iets natuurlijk. Voor die sinaaspiramide kun je qua afleiding dus niet die pagina gebruiken die jij hier aangeeft, maar op de pagina over HCP staat wel een uitleg.Op zaterdag 2 april 2005 20:03 schreef Pizza_Shooter het volgende:
Bij Mathworld wordt helder uitgelegd hoe je de density van spheres in een piramide bepaalt.
Dat is dus in principe hetzelfde als bollen gestapeld in een rechthoek, alleen stapelt in een piramidevorm voor een groenteman natuurlijk makkelijker..