FAQ Debate: Kwantummechanica

Pietjuh heeft helemaal gelijk. Dit zijn verkorte schrijfwijzen die didactisch gezien niet echt verantwoord zijn. Slordig. In de volgende versie zal ik het aanpassen.

Het moet dus iets zijn als:

S |s m_s] = h wortel[s(s + 1)] |s m_s]

waar S de spinoperator is en |s m_s] een toestand gekarakteriseerd door de quantumgetallen s en m_s. Dit is dus een eigenwaardenprobleem, waar h maal wortel[s(s + 1)] de eigenwaarde is van de operator S. (Dit laatste verklaart misschien een beetje de korte schrijfwijze).

Maar goed, misschien doet bovenstaande vergelijking weer wat de abacadabrisch aan, dus we kunnen ook iets doen als Pietjuh suggereert:

S Psi = h wortel[s(s + 1)] Psi

quote:

Op donderdag 10 maart 2005 22:20 schreef pfaf het volgende:
Maethor: http://www.astronet.ru/db/latex2gif/

Ja die kende ik al (Haus en ik hebben die nog gebruikt voor een practicumverslag ) maar dan moet ik die plaatjes eerst ergens permanent hosten ofzo, en da's even een probleem.

Even weer een subtiele schop door middel van het posten van een nieuwe versie van de FAQ. De enige echte verandering hierin is dat ik Pietjuhs opmerking ter harte heb genomen, en de eigenwaarden van een operator heb geschreven als X Psi = x Psi ipv X = x. In de lopende tekst staat nog wel bijv S_z = h/2 maar dat kan geen kwaad lijkt me. En anders hoor ik het graag.

_____________________________________________________________________________________

KWANTUMMECHANICA

Inleiding

Naast de Relativiteitstheorie is de Kwantummechanica één van de pijlers van de moderne fysica. In dit artikel zal geprobeerd worden een algemeen beeld te schetsen van de theorie, zonder al te veel in detail te treden.

Het is misschien goed om direct aan het begin Richard Feynman aan te halen met zijn uitspraak "Ik denk dat ik veilig kan zeggen dat niemand de Kwantummechanica begrijpt". Of, zoals David Griffiths in de inleiding van zijn boek schrijft: "Het doel van de boek is u te leren hoe u Kwantummechanica doet". Het is namelijk zo dat voorspellingen van de theorie heel goed met experimentele metingen overeenkomen, echter met betrekking tot de vraag waarom dit zo is, tast men nog steeds in het duister.

Een beetje geschiedenis

In tegenstelling tot bijvoorbeeld de al eerder genoemde Relativiteitstheorieën, waar Einstein in zijn eentje verantwoordelijk voor is, is voor de Kwantummechanica niet één enkele persoon te noemen die alle lof verdient. Het begon allemaal rond 1925, met Schrödinger, Heisenberg, Born, Dirac en anderen. Op dat moment kon men met de theorie van Bohr enkel voorspellingen doen over atomen en ionen met één elektron. En hoewel het model van Bohr al een hele stap vooruit was ten opzichte van klassieke theorieën over het atoom, wist men dat er een meer algemene aanpak nodig was om ook voorspellingen te kunnen doen over meer complexe atomen. De oplossing kwam dus in de vorm van de Kwantummechanica en deze kwam in het begin op veel mensen nogal wonderlijk over. Maar al snel bleek dat de theorie goede voorspellingen kon doen, en tot op de dag van vandaag zijn zelfs de opmerkelijkste conclusies van de theorie juist gebleken.


Basisbegrippen

De Golffunctie

Hoewel al in 1905 bekend was dat golven soms deeltjeskenmerken vertonen, duurde het tot 1924 voordat men het golfkarakter van deeltjes ontdekte. De man hierachter was De Broglie, en hoewel Einstein en Planck in 1905 op veel weerstand stuitten toen ze opperden dat golven zich als deeltjes kunnen gedragen, werd De Broglie's theorie al snel aanvaard. Dit idee van golf-deeltjedualiteit werd het startpunt van de ontwikkeling van de Kwantummechanica.

Het golfkarakter van een deeltje of lichaam wordt doorgaans uitgedrukt in de golffunctie Psi, die an sich geen fysische betekenis heeft. Zijn waarde absoluut gekwadrateerd is echter rechtevenredig met de kans om het deeltje op een bepaalde tijd en plaats aan te treffen, en dat is een van de manieren waarop de functie gebruikt wordt, zoals zal blijken in het volgende paragraafje.

De Schrödingervergelijking

Een belangrijke vergelijking uit de Kwantummechanica is de Schrödingervergelijking:



De meest linkse term zegt in woorden: neem de tijdsafgeleide van de golffunctie Psi en vermenigvuldig met i en h. Het getal i is hier het complexe getal, gedefinieerd door de vierkantswortel uit -1. h moet gelezen worden als h-streep, de constante van Planck gedeeld door tweemaal pi. Eigenlijk is dit niet zomaar een vermenigvuldiging: het gaat hier om een zogenaamde operator die op de golffunctie werkt. Deze specifieke operator blijkt, als hij wordt losgelaten op de golffunctie, de totale energie op te leveren.

Zo zijn er meer operatoren in de kwantummechanica: de impuls bijvoorbeeld werkt door middel van de operator -i h d/dx. Klassiek weten we dat de impuls gegeven wordt door p = m v, en kinetische energie als 1/2 m v² = p²/2m. Stoppen we hier de kwantummechanische impulsoperator in, dan krijgen we (-h²/2m) d²/dx². En deze operator zien we in de eerste term rechts van het is-gelijkteken werken op Psi.

De tweede term rechts is simpel een potentiaalfunctie vermenigvuldigd met Psi. Dit is een externe functie en dus niet afhankelijk van Psi (in de zin dat er afgeleiden naar Psi in voorkomen). De precieze functie hangt af van het probleem waar je naar kijkt.

Na het tweede is-gelijkteken staat een hoofdletter H met een dakje erop, vermenigvuldigd met Psi. Deze H is een zogenaamde eigenwaarde en wordt in dit speciale geval de Hamiltoniaan genoemd. Een eigenwaarde is eigenlijk niets anders dan een constante: als je de eerder genoemde operatoren op Psi loslaat, krijg je diezelfde Psi terug, maal een constante.

Conclusie: de Schrödingervergelijking zegt niets anders: de totale energie van een deeltjestoestand is gelijk aan de kinetische- plus de potentiële energie ervan en is ook gelijk aan een constante maal die toestand.

De algemene werkwijze met de Schrödingervergelijking is dat als de potentiële-energiefunctie V van het deeltje eenmaal bekend is, men de vergelijking oplost naar Psi, en zo uitspraken kan doen over de kansdichtheid |Psi|² van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t.

Het onzekerheidsprincipe

Een bekend idee uit de Kwantummechanica is het door Heisenberg geformuleerde Onzekerheidsprincipe. In zijn simpelste vorm zegt het dat het onmogelijk is om van een deeltje tegelijk zijn positie en zijn impuls (dwz massa maal snelheid) te bepalen. Met andere woorden, hoe preciezer je de impuls van een deeltje weet te bepalen, des te onzekerder wordt zijn positie, en vice versa. In formulevorm komt het er dan op neer dat het product van de onzekerheid in de positie, delta x, en die in de impuls, delta p altijd groter of gelijk is aan een constante (voor de liefhebbers: de constante van Planck gedeeld door 4 maal Pi).

Dit Principe kan geïllustreerd worden door middel van het volgende voorbeeld. Stel, we hebben een elektron die we willen ‘bekijken'. We gebruiken hiervoor licht van een bepaalde golflengte labda, en uit het gereflecteerde licht kunnen we dan onze informatie halen. Dit licht bestaat uit fotonen die een bepaalde impuls hebben (namelijk h/labda). Om het elektron te ‘zien' zal een foton tegen het elektron moeten botsen, en reflecteren. Het probleem is echter dat hierdoor de impuls van het elektron zal veranderen, en wel met een hoeveelheid evenredig aan de impuls van het foton. Willen we de impuls van het foton zo klein mogelijk maken, en zodoende de elektronimpuls zo min mogelijk verstoren, dan zullen we de golflengte labda van het foton zo groot mogelijk moeten maken. Echter, deze labda is ook een maat voor de onzekerheid in de bepaling van de positie van het elektron. Immers, hoe groter de golflengte van het licht wordt, hoe moeilijker het wordt een heel klein deeltje waar te nemen. De conclusie is dus dat je slecht één van de twee grootheden zo exact mogelijk kunt bepalen.

Einstein, uit wiens intuïtie de Relativiteitstheorie was ontsproten, was nogal sceptisch over dit alles. Het kon er bij hem niet in dat je niets meer met absolute zekerheid kon meten (Onzekerheidsprincipe), maar dat in plaats daarvan alles om waarschijnlijkheden leek te draaien (golffuncties). Hij vatte dit samen in de inmiddels gevleugelde uitdrukking "God dobbelt niet". Ook schijnt hij tijdens een lezing van Heisenberg over zijn Principe opgemerkt te hebben: "Wonderlijk, wat voor ideeën de jonge mensen hebben tegenwoordig. Maar ik geloof er geen woord van".

Kwantumgetallen: Spin

Veel eigenschappen van elementaire deeltjes worden in de kwantummechanica beschreven door de zogeheten kwantumgetallen. Deze zijn altijd heel- of halftallig, dus nemen altijd de waarden 0, +/- 1/2, +/- 1, etc aan. Door deze kwantumgetallen zijn veel kwantummechanische grootheden dus niet continu (als in: ze kunnen elke willekeurige waarde aannemen) maar gekwantiseerd oftewel discreet.

Een voorbeeld van zo'n gekwantiseerde eigenschap is ‘spin' (overigens is deze eigenschap ontdekt door de Nederlanders Goudsmit en Uhlenbeck, wat hen een Nobelprijs opleverde). Spin is een wat vaag begrip, aangezien het om een fundamentele eigenschap gaat, die verder moeilijk voor te stellen is. Het is te vergelijken met de omwenteling van een planeet om zijn as, naast de omwenteling om zijn ster. Zo ook heeft een elektron een extrinsiek hoekmoment L, wat overigens ook gekwantiseerd is en wat te maken heeft met de beweging van het elektron rond de atoomkern; en daarnaast een intrinsiek hoekmoment S (de spin) wat een beetje analoog is aan de omwenteling van een planeet om zijn as. Deze laatste vergelijking is echter niet helemaal juist aangezien men het elektron als een structuurloos puntdeeltje beschouwd, en het dus zinloos is om te spreken van een omwenteling om zijn eigen as.

De spinoperator, werkend op een toestand, geeft het volgende resultaat:

S Psi = h wortel[s(s + 1)] Psi

waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2. Bovenstaande vergelijking stelt dat h maal wortel[s(s + 1)] de eigenwaarde is van de operator S.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt

S_z Psi = m_sh Psi.

Het zogenaamde magnetische kwantumgetal m_s kan (2s + 1) waarden aannemen: van –s tot +s met stapjes van 1. In het geval van elektron resulteert dit in de waarden m_s = +1/2 en m_s = -1/2. Er zijn dus twee mogelijke oriëntaties van de spin: S_z = + h/2 ("spin up") en S_z = - h/2 ("spin down").


Voorbeelden en Toepassingen

Fermionen, uitsluiting en schillen

Misschien denk je nu: allemaal leuk en aardig, die spin, maar zien we daar ook nog wat van terug in de gewone wereld? Nou, jazeker.
Het is hier misschien gepast om even in te gaan op twee categorieën deeltjes: de fermionen en de bosonen, vernoemd naar de beroemde natuurkundigen Enrico Fermi en Satyendra Bose. Het onderscheid tussen beide deeltjesklassen is dat fermionen halftallige spin hebben (1/2, 3/2, ...) en bosonen heeltallige (1, 2, ..). Daarnaast is er met fermionen nog iets specifieks aan de hand: ze voldoen aan het zogenaamde Uitsluitingsprincipe, voor het eerst geformuleerd door Wolfgang Pauli. Dit principe stelt dat er geen twee fermionen met dezelfde kwantumgetallen in dezelfde toestand kunnen zitten. Oftewel, twee ononderscheidbare deeltjes kunnen niet in één toestand zitten. Dit resulteert in de welbekende schillenstructuur van elektronen in atomen. Want elektronen zijn fermionen, en wel met een spin van 1/2.
Bosonen hebben dit probleem niet. Dit is zichtbaar in bijvoorbeeld een laserstraal, die bestaat uit fotonen die allemaal dezelfde frequentie en energie hebben. Dit is toegestaan omdat fotonen een spin van 1 hebben en dus bosonen zijn.

Schrödingers Kat

Een bekende ‘paradox' uit de Kwantummechanica staat bekend onder de naam ‘Schrödingers Kat'. Hierin wordt een kat in een kamer geplaatst, samen met een hels mechanisme: in een Geigerteller zit een kleine hoeveelheid radioactief materiaal, zo klein dat er binnen een uur misschien een atoom vervalt, maar met een even grote waarschijnlijkheid gebeurt dit niet. Wanneer er een atoom vervalt, wordt dit gedetecteerd door de teller, die een kleine hamer activeert, welke op zijn beurt een potje cyanide kapotslaat.
Als je een uur wacht, is er dus een kans van 50 procent dat er een verval heeft plaatsgevonden, en de kat vergiftigd is. Er is echter een even grote kans dat de kat nog leeft. De golfvergelijking van de kat zou schematisch de volgende vorm hebben:

Psi = A (Psi_levend + Psi_dood)

waar A een hier niet zo belangrijke normalisatieconstante is. Oftewel: de kat is levend noch dood, maar verkeert in een superpositie van beide. Pas als een waarnemer door het raampje kijkt, wordt de kat gedwongen één van de twee toestanden aan te nemen: dood of levend. Blijkt de kat dood te zijn, dan was het de waarnemer die dat veroorzaakte, slechts door te kijken!
Schrödinger en de meeste andere natuurkundigen beschouwen het als onzin dat een macroscopisch object zoals een kat zich in een superpositie van twee toestanden kan bevinden, en dat de observatie van de waarnemer er voor zorgt dat hij één van beiden aanneemt.
De verklaring ligt in het feit dat een macroscopisch systeem zich statistisch gezien nooit in een lineaire combinatie van toestanden kan bevinden. Een elementair deeltje, een microscopisch systeem, kan dit wel. Een macroscopisch object echter is opgebouwd uit ongeveer 10²³ van die elementaire deeltjes, en zijn golffunctie zal dan ook een gigantisch complexe combinatie zijn van de individuele golffuncties. Hierdoor is het erg onwaarschijnlijk dat al die deeltjes samen zo'n simpele lineaire combinatie van toestanden aannemen.

Het Stern-Gerlach Experiment

Het nu volgende stukje tekst beschrijft een experiment dat de al eerder beschreven kwantisatie van eigenschappen van deeltjes nog eens mooi illustreert.

De heren Stern en Gerlach stuurden een geconcentreerde bundel zilveratomen, afkomstig uit een oven, door een inhomogeen magneetveld en lieten het daarna op een scherm vallen. Deze zilveratomen hebben een zogenaamd magnetisch moment en zijn daarom te beschouwen als kleine kompasnaaldjes, die de neiging hebben zich te oriënteren naar het magneetveld. Als een zilveratoom in zijn grondtoestand zit, hangt dit magnetische moment af van de spin van slechts één van zijn elektronen. Aangezien het magneetveld inhomogeen is, ondervinden beide ‘polen' van de kompasnaald niet een gelijke kracht, en hangt de resulterende kracht op de naald dus af van zijn oriëntatie ten opzichte van het veld.

Zonder het magneetveld zou er slecht een punt op het scherm te zien zijn, doordat alle atomen simpelweg in een rechte lijn naar het scherm schieten. Wordt het magneetveld echter ingeschakeld, dan ondervindt elk atoom een kracht, afhankelijk van de oriëntatie van zijn magnetisch moment. Afhankelijk van de grootte van die kracht zal het atoom dus verder van het midden van het scherm terechtkomen.

Klassiek gezien zou men verwachten dat elke willekeurige oriëntatie van magnetische momenten mogelijk is, en dat er dus een streep op het scherm zichtbaar zou zijn. Volgens de kwantummechanica is het magnetisch moment zoals gezegd echter afhankelijk van de elektronspin, en zal het slechts twee waarden kunnen aannemen, corresponderend met "spin-up" en "spin-down". Op het scherm zouden dus slechts twee punten zichtbaar moeten zijn. En dit is ook daadwerkelijk wat Stern en Gerlach waarnamen!

Met dank aan de WFL'ers voor waardevolle feedback, en in het speciaal Haushofer voor zijn verduidelijkingen die in dit artikel zijn opgenomen!