Chaostheorie voor dummies

Tja, Chaostheorie.....het is in mijn ogen al frappant dat zelfs Chaos zich houdt aan een bepaalde logica Het is meer dat je je beginvoorwaarden niet nauwkeurig genoeg opstelt, en dat dat na een bepaalde tijd ernstig terugkomt in je systeem. Een mooi voorbeeld zijn 2 latten, die je als slinger gebruikt. Dus je hangt 1 lat aan een draaipunt, en aan het uiteinde van deze lat hang je met een draaipunt weer een andere lat op. En nu laat je deze beide slingeren. Je zult zien dat als je je beginvoorwaarden een klein beetje anders instelt ( andere hoeken, andere hoogte ) dat al heel gauw tot een compleet andere beweging komt.

Nou is het probleem een beetje, dat je op micronivo bepaalde grootheden nooit oneindig nauwkeurig kunt meten. En dus zul je nooit een systeem volledig kunnen beschrijven. Maar dat is iets quantummechanisch. Misschien dat daar nog es een topic overkomt.

vorige week de film: "The Butterfly Effect" gezien, een moetje als de chaos-theorie je
bezig houdt

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 00:21 schreef Aegir het volgende:
vorige week de film: "The Butterfly Effect" gezien, een moetje als de chaos-theorie je
bezig houdt

Dat als een vlinder in Brazilie wegvliegt hier een orkaan zou kunnen onstaan?

nee, het gaat over een jongen die de mogelijkheid ontwikkeld om via zijn dagboek te lezen
zichzelf weer terug te kunnen plaatsen naar die dag om de situatie weer opnieuw vanaf
dat moment op te kunnen pakken

met alle gevolgen die daar dan weer bij horen!

oh die titel lijkt me toch sterk op het bekende verhaal van de vlinder en de orkaan...

Ik weet nagenoeg niets over de chaostheorie, dus schaar me even onder de dummies en luister mee...

Het probleem is echter dat als je dit wat uitvoeriger wilt bespreken, je al gauw op wiskundige termen komt...

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 10:51 schreef Haushofer het volgende:
Het probleem is echter dat als je dit wat uitvoeriger wilt bespreken, je al gauw op wiskundige termen komt...

Volgens mij hoeft dat helemaal niet zo te zijn

tevens tvp

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:07 schreef livEliveD het volgende:

[..]

Volgens mij hoeft dat helemaal niet zo te zijn

tevens tvp

livEliveD begint dus met uitleggen?

Deels off-topic

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:09 schreef Alicey het volgende:
livEliveD begint dus met uitleggen?

Nee ik wil er wel graag meer over weten. Ik gebruik echter ook vaak de volgende analogie:
Als je een appel in de lucht gooit dan zal deze bij terugkomst naar de aarde ervoor zorgen dat de aarde ook naar de appel toegetrokken wordt en dus een stukje verplaatst richting de appel. Tis natuurlijk miniem maar het beeld klopt wel. Nu kan ik wiskunde gebruiken om uit te rekenen hoeveel deze afstand dan precies is (me natuurkunde leraar kwam uit op 1 miljardste doorsnee van een atoom maar de gekozen parameters weet ik niet meer) maar is dit noodzakelijk om de situatie te begrijpen? Ik denk het niet. Daarnaast kun je leuk formules invullen maar begrijp je het dan ook of pas je het toe zonder het daadwerkelijk te snappen?

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:23 schreef livEliveD het volgende:
Deels off-topic
[..]

Nee ik wil er wel graag meer over weten. Ik gebruik echter ook vaak de volgende analogie:
Als je een appel in de lucht gooit dan zal deze bij terugkomst naar de aarde ervoor zorgen dat de aarde ook naar de appel toegetrokken wordt en dus een stukje verplaatst richting de appel. Tis natuurlijk miniem maar het beeld klopt wel. Nu kan ik wiskunde gebruiken om uit te rekenen hoeveel deze afstand dan precies is (me natuurkunde leraar kwam uit op 1 miljardste doorsnee van een atoom maar de gekozen parameters weet ik niet meer) maar is dit noodzakelijk om de situatie te begrijpen? Ik denk het niet. Daarnaast kun je leuk formules invullen maar begrijp je het dan ook of pas je het toe zonder het daadwerkelijk te snappen?

Weet je wat het is: Chaos is niets meer dan dat je bepaalde parameters niet nauwkeurig kunt vaststellen. Die stop je in je model. Vervolgens neem je diezelfde parameters, en verandert die een erg klein beetje, en laat het model weer lopen. En dan zie je na een tijdje verschil. Je kunt je dan afvragen: kun je alle parameters van een systeem zo nauwkeurig meten dat je altijd precies hetzelfde verloop krijgt? Volgens de QM kan dat dus niet. Tenminste, zo begreep ik het.

Lijkt me een mooi onderzoek voor Artificial Intelligence aangezien deze systemen erg goed zijn om verbanden te vinden die voor mensen teveel chaos zijn. Aangenomen dat die verbanden ook daadwerkelijk bestaan en het model goed genoeg is om het aan te kunnen, zou dit moeten resulteren in het vinden van de parameters. _{Dit is makkelijker gezegd dan gedaan}

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 00:31 schreef Aegir het volgende:
nee, het gaat over een jongen die de mogelijkheid ontwikkeld om via zijn dagboek te lezen
zichzelf weer terug te kunnen plaatsen naar die dag om de situatie weer opnieuw vanaf
dat moment op te kunnen pakken

met alle gevolgen die daar dan weer bij horen!

Gevolg op gevolg op gevolg. Inderdaad het Butterfly Effect. Maar als dat een voorbeeld is van de Chaostheorie, stelt die theorie dan ook dat alles invloed op elkaar heeft?

Ik merk uit bovenstaande reacties dat de theorie niet zo makkelijk is uit te leggen. Dat is wel jammer want het is me nog niet helemaal duidelijk. Kennelijk is het niet iets wat in een paar zinnen is te vatten?

quote:

Op zondag 20 februari 2005 11:52 schreef Geartsjuh het volgende:

[..]

Gevolg op gevolg op gevolg. Inderdaad het Butterfly Effect. Maar als dat een voorbeeld is van de Chaostheorie, stelt die theorie dan ook dat alles invloed op elkaar heeft?

Ik merk uit bovenstaande reacties dat de theorie niet zo makkelijk is uit te leggen. Dat is wel jammer want het is me nog niet helemaal duidelijk. Kennelijk is het niet iets wat in een paar zinnen is te vatten?

Even aan de hand van een mechanisch voorbeeldje.

Als je een willekeurig mechaniekje hebt, bv de eerder genoemde slinger aan een slinger, dan kun je deze volledig beschrijven via de mechanica. Het enige wat je hoeft te doen is je beginvoorwaarden kennen. En dat is moeilijker dan het lijkt. Want het blijkt dat in veel systemen, je de beginvoorwaarden erg nauwkeurig moet weten om er op lange termijn iets zinnigs over te zeggen. Die systemen zitten vaak zo inmekaar, dat na een bepaalde tijd een erg kleine onnauwkeurigheid in je beginvoorwaarden, een compleet andere beweging geven tov van je eerder gekozen beginvoorwaarden.

Wat Haushofer zegt, en dan wordt het heel wiskundig.

quote:

Op zondag 20 februari 2005 15:04 schreef Haushofer het volgende:

Als je een willekeurig mechaniekje hebt, bv de eerder genoemde slinger aan een slinger, dan kun je deze volledig beschrijven via de mechanica. Het enige wat je hoeft te doen is je beginvoorwaarden kennen. En dat is moeilijker dan het lijkt. Want het blijkt dat in veel systemen, je de beginvoorwaarden erg nauwkeurig moet weten om er op lange termijn iets zinnigs over te zeggen. Die systemen zitten vaak zo inmekaar, dat na een bepaalde tijd een erg kleine onnauwkeurigheid in je beginvoorwaarden, een compleet andere beweging geven tov van je eerder gekozen beginvoorwaarden.

Oh op die fiets! Dank Haushofer voor het verlichten van deze dummie .

Ene Stuart Kauffman gebruikt onder andere de chaostheorie om evolutie te verklaren. Hij heeft daar een boek over geschreven, the origins of order. Het is allemaal erg wiskundig maar wel boeiend. Hij geeft onder andere een beschrijving hoe ooit het leven ontstaan kan zijn, hoe evolutie plaats kon vinden, en onder welke omstandigheden dan weer niet, hoe individuen zich ontwikkelen van eicel tot volwassen en hoe elementen van ecosystemen zich onderling op elkaar afstemmen. Het aardige van dit boek is bovendien dat hij zijn met zijn wiskundige redeneringen tot verassende inzichten komt.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:53 schreef Haushofer het volgende:
Weet je wat het is: Chaos is niets meer dan dat je bepaalde parameters niet nauwkeurig kunt vaststellen.

Hmm, op wikipeda staat:
"Vroeger dachten wetenschappers dat fysieke systemen die onvoorspelbaarheid vertoonden, alleen maar zo leken vanwege ofwel hun ingewikkeldheid, ofwel door de verscheidenheid van de factoren die veranderingen in die systemen teweegbrachten."

Wat jij zegt is dat deze uitspraak in feite nog steeds waar is, alleen is het wiskundig model verbeterd?

(Ik dacht te begrijpen dat chaos ook optreed in volledig beheersbare/voorspelbare systemen, maar ik heb het dan mis?)

Chaos theorie

Chaos, in den beginne….

In de klassieke mechanica krijgen vooral die systemen de aandacht die exact kunnen worden opgelost. Bijvoorbeeld: de harmonische oscillator, de slinger, de Keplerbanen (versimpelde planeetbanen).
In realistische systemen wordt vaak uitgegaan van een oplosbaar probleem. En daarna worden met storingsrekening correcties uitgerekend. Dan moeten die correcties wel klein blijven, vergeleken bij de oplossingen van het oorspronkelijke probleem.
In 1845 gebruikte John Adams storingsrekening om onregelmatigheden in de baan van Uranus te verklaren met de wisselwerking van een nog niet waargenomen planeet (Neptunes). Die planeet werd uiteindelijk geveonden (Galle, Berlijn).

Maar er zijn ook systemen waarvan de correctietermen steeds groter worden. Dit gebeurt bijvoorbeeld als banen van planeten worden doorgerekend en de omloopstijden hebben een rationele verhouding. De zon met twee planeten en hun wisselwerking, een voorbeeld van het drielichamenprobleem, dat eind 19e eeuw door Poincaré aandacht kreeg, is daarom in zijn algemeenheid niet exact oplosbaar. Poincaré ontwikkelde ideeën die, na nu pas blijkt, zeer vruchtbaar zijn. En dat komt dan voornamelijk door de ontwikkeling van de computer. Door toenemende computerkracht is een grote activiteit ontstaan op het gebied van chaotisch gedrag van systemen.

Bij chaos wordt dan gedacht aan onregelmatig, onvoorspelbaar gedrag en een zeer gevoelige afhankelijkheid van de beginvoorwaarden. Met andere woorden: een kleine verandering in de beginsituatie leidt snel tot een snel groeiende afwijking.

Edward Lorenz, (geen Lorentz, dat schijnt iemand te zijn die meer van krimpen, contractie hield) een Amerikaanse meteoroloog had in de jaren zestig een modelletje opgesteld om het klimaat op de aarde te kunnen beschrijven. Een eenvoudig modelletje, om het weer te voorspellen. De Lorenz vergelijkingen zijn:

dx/dt = s • (y - x),
dy/dt = r • x - y - x • z,
dz/dt = x • y - b • z,

Hier zijn x,y en z variabelen en s,r en b zijn vaste parameters.
s het Prandtl getal, r het Rayleigh getal (getallen uit de vloeistofleer) en b is een schaalfactor.
x is evenredig met de convectie, y met het temperatuurverschil en z is evenredig met de verstoring van het verticale temperatuurprofiel.

Lorenz ontdekte door een toeval een categorie van fysische systemen waarbij de mogelijkheden van goede voorspellingen door berekening nog door een bijzondere oorzaak beperkt worden. Toen hij bij het herhalen van een berekening de invoergegevens afrondde tot drie cijfers achter de komma in plaats van tot zes cijfers, ontdekte hij dat het resultaat van de berekening nu sterk afweek van het oorspronkelijke resultaat. Kennelijk was er sprake van een bijzondere gevoeligheid van de rekenresultaten voor kleine verschillen in de begintoestand.

Zijn publicatie hierover, “Deterministic Nonperiodic Flow” in het tijdschrijft
Journal of the Atmospheric Sciences: Vol. 20, No. 2, pp. 130–148.
behoort tot de klassiekers op het gebied van chaostheorie.


Het vlinder verhaaltje
In 1963 hield Lorenz een toespraak waarin hij o.a. zei:
“One meteorologist remarked that if the theory were correct, one flap of a seagull's wings would be enough to alter the course of the weather forever.”
In een 1972 toespraak was deze zeemeeuw veranderd is de meer poëtische vlinder. De titel was::
Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?

Het voorbeeld geeft aan dat het vrijwel onmogelijk is om voorspellingen te doen voor complexe systemen, zoals weersvoorspelling.
De vlinder wordt nogal eens ten onrechte verwisseld met de vlinderachtige vorm die de bijbehorende chaos attractor heeft, zoals hieronder in de figuur staat.. Je kunt deze applet gebruiken om een idee te krijgen hoe, afhankelijk van de begintoestand oplossingen ontstaan.



Een attractor is een toestand die invariant is onder de dynamische vergelijkingen. Punten die in de buurt liggen gaan asymptotisch naar de attractor toe in de loop van de dynamische evolutie.

tvp-tje

En toen kwam Verhulst…..


In de biologie worden populatiemodellen met de komst van de computer ook steeds meer ontwikkeld en ingewikkelder.
Een van de eerste op dit gebied was Verhulst (rond 1850), ja een Belg met gevoel voor populatie.
In eenvoudige populatiemodellen wordt uitgegaan van een constante groeiverhouding. (Dit was nog heel lang het geval bij het modelleren van de bevolking van een land, ook ons kikkerlandje).
Verhulst zei dat de populatiegroei afhankelijk is van de huidige grootte ten opzichte van de maximale grootte (die een bepaald gebied aan kan).
Je krijgt dan de volgende formule:

p_n+1 = r p_n(1- p_n)

p_n= P_n/N en N is de maximale populatiegrootte. 1- p_n is de fractie van het gebied dat nog niet is bevolkt door de populatie.
Nadeel is dat voor de meeste waardes van r de vergelijking geen expliciete oplossing kent. En een evenwichtspopulatie is niet uit te rekenen.
Wat je kunt doen is voor verschillende waardes van r de eindtoestand uitrekenen.

En wat blijkt. Die eindtoestand is niet uniek. Er kunnen verschillende eindtoestanden bestaan.
En dan hangt het ook nog af van de begintoestand.



In deze twee tabelletjes staan r p_n(1- p_n waarbij r is 1; 1+ wortel(5) ; 4. De beginstap is 0,40 of 0,39 (2e tabel)
Bij kleine r, zeg maar, relatief kleine groei, bljikt de eindsituatie uniek te zijn. Op een gegeven moment splitst de oplossing zich en ontstan er twee stationaire toestanden.
Bij r = 1 + wortel(5), (niet zomaar gekozen), gaat de begintoestand altijd naar een eindtoestand 0,5 of 0,809017.
De oplossing springt heen en weer. En dat blijkt ook onafhankelijk van de begintoestand te zijn.

Tenslotte, als r groot wordt ontstaan er uiteindelijk oneindig veel oplossingen. Of ze aftelbaar zijn weet ik niet (bv. zijn ze als een reeks te schrijven?)

Als je voor de hele serie r (van 0 tot 4) de eindsituatie bepaalt (zeg 1000 stappen) dan ontstaat er het volgende plaatje.

Op het einde, als r tegen de 4 aan loopt zie je inderdaad dat vrijwel alle oplossingen mogelijk zijn.
Maar je ziet ook een witte balk. Ongeveer bij r = 3,7. En het blijkt dat daar het hele plaatje opnieuw begint. En dan ipv verdubbeling: 1, 2, 4, 8 , gebeurt het drie keer: 3, 6, 12, 24, 48

Om te zien wat er binnen zo'n plaatje gebeurt heb ik de volgende plaatjes uit deze bron, voor het gemak hierheen gelinkt.



Dit is hetzelfde plaatje als het voorafgaande. Maar om te kunnen vergelijken (qua schaal en richting is het alsnog bijgevoegd)



Dit is een vergroting van het periode-verdubbelingsgebied. Je kunt de opeenvolgende bifuracties goed zien. Horizontaal staat telkens de r-schaal.



Bovenstaand plaatje is een inzooming in de linkerbovenhoek. De kleine gebieden zien eruit als de grote gebieden.



Hier is een deel van het chaotische gebied te zien. Met een vrijwel leeg gebied.



Inzoomen op dat lege gebied levert het hierboven staande resultaat. En nu ontstaat er een splitsing in drie takken.



Als er met een factor 1000 ingezoomed wordt op de middelste van de drie.
Het kon wel hetzelfde zijn als de beginsituatie.

Hoe meer de dingen veranderen hoe meer ze hetzelfde blijven.
(En dan komt Gaia om de hoek kijken).

[ Bericht 0% gewijzigd door Yosomite op 27-02-2005 21:43:37 ]