WFL Wetenschap, Filosofie, Levensbeschouwing
Discussieer hier over alle aspecten van de wetenschap, filosofische problemen en zaken van levensbeschouwelijke aard.
.
http://www.autogespot.com De verzameling van bijzondere auto's!!
http://www.klassiekergespot.nl
©1983-2007 -Eddow-
http://www.klassiekergespot.nl
©1983-2007 -Eddow-
The vastness of the heavens stretches my imagination — stuck on this carousel my little eye can catch one-million-year-old light. A vast pattern — of which I am a part...
..
Dan komt nu de eerste vraag: hoe is een ovaal gedefinieerd? Is het een ellips of is het iets algemeners?
Een ovaal is een verzameling punten waarvan geen 3 punten colineair zijn. Voorts heeft elk punt een unieke raaklijn (=lijn die alleen dit punt van de ovaal bevat).quote:Op woensdag 12 januari 2005 19:58 schreef thabit het volgende:
Dan komt nu de eerste vraag: hoe is een ovaal gedefinieerd? Is het een ellips of is het iets algemeners?
En een eerste vraag is dan natuurlijk hoeveel punten een ovaal in een projectief vlak van orde q heeft!
Er zijn twee gevallen te onderscheiden: het ovaal is leeg of het ovaal is niet leeg. In het lege geval heeft het ovaal 0 punten. In het niet-lege geval kun je een punt P pakken van het ovaal en elke lijn in het projectieve vlak die door P gaat beschouwen. Er zijn q+1 van deze lijnen. Een van deze lijnen is de raaklijn en alle andere lijnen snijden het ovaal al in 1 punt, dus in nog precies een ander punt. Omdat ook door P en elk ander punt van het ovaal een lijn gaat, krijgen we op deze manier een bijectie tussen de lijnen door P en de punten van het ovaal, het antwoord is dus q+1.
Dat is natuurlijk helemaal correct, ofschoon wel erg offtopic (slotje!).
Zij x_i het aantal punten buiten de ovaal dat op precies i raaklijnen ligt. Bewijs de volgende identifeiten
som( x_i ) = q^2
som( i.x_i ) = (q+1)q
som( i(i-1)x_i ) = (q+1)q
(wellicht kunnen we in dit topic nog bewijzen dat als q even is, alle raaklijnen door 1 punt gaan!).
Zij x_i het aantal punten buiten de ovaal dat op precies i raaklijnen ligt. Bewijs de volgende identifeiten
som( x_i ) = q^2
som( i.x_i ) = (q+1)q
som( i(i-1)x_i ) = (q+1)q
(wellicht kunnen we in dit topic nog bewijzen dat als q even is, alle raaklijnen door 1 punt gaan!).
Laten we beginnen met de tweede identiteit, die is het makkelijkst. . De som telt namelijk per raaklijn het aantal punten dat erop ligt, behalve het punt op de ovaal waar hij doorheen gaat. Elke raaklijn heeft q+1 punten, halen we het punt op de ovaal eraf dan zijn er nog q punten over en omdat we zojuist hadden gezien dat een ovaal precies q+1 punten heeft, zijn er ook precies q+1 raaklijnen. De som is dus (q+1)q.
Laat ik mijn eerste bewering iets verduidelijken: de som telt duidelijk #{P,l : P buiten ovaal, l raaklijn aan ovaal waar P op ligt}.
Wacht even, de eerste identiteit is natuurlijk nog makkelijker. Die telt gewoon het aantal punten dat niet op de ovaal ligt, wat uiteraard gelijk is aan (q^2+q+1)-(q+1)=q^2.
De derde som telt #{(P,l,m): P ligt niet op de ovaal maar wel op de verschillende raaklijnen l en m}. Omdat twee raaklijnen elkaar in precies 1 punt snijden en dit punt uiteraard buiten de ovaal ligt moet dit punt wel P zijn en is de som daarmee gelijk aan #{(l,m): l en m verschillende raaklijnen}. Omdat er q+1 raaklijnen zijn is de som dus (q+1)(q+1-1)=(q+1)q.
Mag ik hier dan een boertje laten? Of is dat een deurtje verder?
En is het onbeschoft een boertje te laten als je 'm eerst netjes aankondigt?
Is een boertje uberhaupt onbeschoft? Of moeten we dan al aan boeren denken?
Zomaar wat vragen, hoor.
En is het onbeschoft een boertje te laten als je 'm eerst netjes aankondigt?
Is een boertje uberhaupt onbeschoft? Of moeten we dan al aan boeren denken?
Zomaar wat vragen, hoor.
...dass wir fliegen.
Waar moet q even voor zijn? Reeds om de identiteiten te kunnen bewijzen of slechts om de bijzondere conclusie te kunnen trekken?
