tri-anguleren? positie bepalen met behulp van 3 afstanden.

quote:

Op zondag 21 november 2004 16:02 schreef _Supreme het volgende:
ik kan er een tekening van maken, en waardes als straal gebruiken, dan heb ik zijn positie getekend.
maar wat is nu de wiskundige manier van uitrekenen?
die is vrij ingewikkeld volgens mij...

Euh, precies hetzelfde

In het kort komt het erop neer voor elk van de microfoons een vergelijking van een cirkel (met de positie van de microfoon als middelpunt en de gemeten waarde als straal) op te stellen, en deze drie vergelijkingen op te lossen.

Stel, je hebt 3 microfoons A, B en C, op posities (Ax, Ay), (Bx, By) en (Cx, Cy). Voor elk van deze microfoons heb je de afstanden Ar, Br en Cr gemeten. (N.B. al deze waarden weet je dus)

Een cirkel met straal 1 en middelpunt (0, 0) heeft als vergelijking: x² + y² = 1.
Dat wil zeggen dat voor elk punt (x, y) die aan deze vergelijking voldoet, een punt is op die cirkel.
Een cirkel met straal r en middelpunt heeft dan als vergelijking: x² + y² = r² (stelling van pythagoras)
En, de formule die we in dit geval willen gebruiken is die van een cirkel met straal r en middelpunt (mx, my):
(x-mx)² + (y-my)² = r²
(De toegevoegde -mx en -my kan je zien als het verplaatsen van de cirkel zodat het middelpunt op (0, 0) terechtkomt)

Als we deze formule toepassen voor elk van de microfoons krijgen we:
(x-Ax)² + (y-Ay)² = Ar²
(x-Bx)² + (y-By)² = Br²
(x-Cx)² + (y-Cy)² = Cr²
Waarbij (x, y) dus de enige twee onbekenden zijn, want die stellen de positie van de luidspreker voor, en die willen we bepalen. De reden dat x en y in alledrie de formules voorkomen is dat de positie van de luidspreker op alledrie de cirkels ligt.

Nu nog de juiste waardes invullen voor Ax, Ay, Ar, Bx, ... (etc.), en de vergelijkingen in elkaar invullen, en je hebt je antwoord (x,y).

Ow, en omdat het zeer waarschijnlijk is dat je meetwaarden en/of posities onzuiver gemeten zijn, kan het zijn dat als je alledrie de formules in elkaar invult, je geen uitkomst kunt vinden (op dezelfde manier als dat je drie cirkels tekent die elkaar niet precies in 1 punt snijden).
In dat geval kan je beter twee van de drie formules in elkaar invullen; je krijgt dan twee mogelijke posities van de luidspreker (net zoals twee cirkels elkaar meestal in twee punten snijden). Gebruik dan vervolgens de derde formule om te bepalen welke van deze twee punten het moet zijn.

[ Bericht 7% gewijzigd door HenryHill op 21-11-2004 20:25:26 ]

quote:

Op zondag 21 november 2004 21:53 schreef _Supreme het volgende:
bedankt voor je hulp
morgen gaan we de echte metingen uitvoeren, en dan ga ik aan de slag.

wat ik alleen nog niet helemaal begrijp, is als je zeg maar de eerste waardes invult bij bijvoorbeeld
(x-Ax)² + (y-Ay)² = Ar²
ik doe net alsof deze microfoon helemaal linksonder in beeld staat. (daar gaan we hem ook neerzetten)
dan wordt het dus bijvoorbeeld:
(x-0)² + (y-0)² = 0,6² (0,6 in m)
wat moet ik daar nu uitkrijgen? hoe kan ik de vergelijkingen in elkaar invullen, zoals je voorstelt?

Ok, microfoon A staat dan dus op (0, 0).

Stel dat je microfoon B op (1, 0.4) zet, en dat je gemeten straal Br = 0.7 is. De tweede vergelijking wordt dan:
(x-1)² + (y-0.4)² = 0.7²

Als je deze omschrijft naar de vorm "x = ...", dan krijg je: (reken dit zelf ook na, sqrt is de wortel):
x = sqrt(0.7² - (y-0.4)²) + 1 <--- vergelijking 1

Nu, deze vergelijking invullen in de vergelijking die jij al gaf.
(x-0)² + (y-0)² = 0,6² wordt dan dus
( (sqrt(0.7² - (y-0.4)²) + 1) -0)² + (y-0)² = 0,6² <----- vergelijking 2

Nu heb je in vergelijking 2 nog maar 1 onbekende (y), dus die kun je nu uitrekenen; deze levert twee oplossingen voor y (komt door het kwadraat in de vergelijking).
Als je y weet, kan je die vervolgens in vergelijking 1 invullen om ook achter x te komen (weer: twee mogelijke oplossingen, 1 voor elk van de waarden van y)

En zie daar, je hebt je twee mogelijke posities van de luidspreker.

quote:

Op donderdag 6 januari 2005 14:38 schreef _Supreme het volgende:
maar hoe kan ik die laatste vergelijking nu oplossen?

Hmm, ik krijg het zo snel zelf ff niet voor elkaar. Ik heb mijn computer ff laten rekenen, en die geeft voor de vergelijkingen
f1 := (x-10.2)^2 + (y-11.5)^2 = 58^2;
f2 := (x-148)^2 + (y-11)^2 = 95^2;

de uitkomsten
x = 58.443, y = -20.696 en
x = 58.676, y = 43.345

Een van beide uitkomsten zou de positie van de luidspreker moeten zijn. Klopt dit?
Zo ja, dan zal ik morgen ofzo eens verder proberen te vlooien

--edit--
Gewoon invullen en uitwerken lukt niet met dit probleem, zo ver ben ik al wel. Ik heb een link gevonden waar ze op een hele elegante manier uitleggen hoe de twee intersectiepunten van twee cirkels berekend worden:
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/2circle/ (wel in het engels, en redelijk 'compact' opgeschreven).

Desalniettemin, het bijbehorende plaatje verduidelijkt een heleboel, dus het is zaak om, als je de formules op die pagina doorleest het plaatje goed in de gaten te houden. Ter verduidelijking: ze gebruiken het punt P2 in het plaatje als tussenstap om de twee snijpunten P3 te berekenen.

Als ik morgen tijd heb, zal ik proberen om deze aanpak ook op jouw probleem toe te passen, maar het is zeker niet verkeerd om die link eens grondig te bestuderen en te kijken of je de stappen die ze daar maken, kunt volgen.

[ Bericht 37% gewijzigd door HenryHill op 06-01-2005 22:23:41 ]

Goed, ik zal de stappen die in http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/2circle/ worden genomen, proberen wat beter te verklaren. Nogmaals, gebruik het plaatje op die pagina om te kijken wat er precies gebeurt.
Een heel belangrijk gegeven is dat het lijnstuk 'h' loodrecht op het lijnstuk (P0, P1) staat, d.w.z. deze twee maken een hoek van 90 graden met elkaar.

quote:

Considering the two triangles (P0, P2, P3) and (P1, P2, P3) we can write

a² + h² = r0² and
b² + h² = r1²

Beide formules volgen gewoon uit de stelling van pythagoras. Op dit moment weten we alleen r0 en r1, de andere variabelen (a, b en h) zijn op dit moment nog onbekend.

Ze definieren d als || P1 - P0 ||, dat wil zeggen, de afstand tussen de punten p0 en p1. Omdat je de posities van p0 en p1 weet, weet je d dus ook.

quote:

Using d = a + b we can solve for a,

a = (r0² - r1² + d² ) / (2 d)

Dit is gewoon een uitschrijfoefening. We hebben nu
a² + h² = r0²
b² + h² = r1²
d = a+b

Nu, d = a+b, dus b = d-a. Als we dit gaan invullen in de tweede formule krijgen we:
b² + h² = r1²
(d-a)² + h² = r1²
d² - 2*a*d + a² + h² = r1²

Vervolgens schrijven we de eerste formule a² + h² = r0² om naar h² = r0² - a², zodat we deze kunnen invullen:
d² - 2*a*d + a² + h² = r1²
d² - 2*a*d + a² + r0² - a² = r1²

Door deze formule een beetje op te schonen krijgen we een uitdrukking voor a:
d² - 2*a*d + a² + r0² - a² = r1² (a² en -a² vallen tegen elkaar weg)
d² - 2*a*d + r0² = r1²
-2*a*d = r1² - d² - r0²
2*a*d = r0² - r1² + d²
a = (r0² - r1² + d²) / (2*d)

Omdat we a nu weten, kunnen we h ook uitrekenen. We begonnen met a² + h² = r0², dus h² = r0² - a². Evt. kunnen we b nu ook uitrekenen, maar die hebben we straks niet nodig.

We weten nu dus a, b en h.
(Straks verder)

quote:

Op vrijdag 7 januari 2005 14:35 schreef _Supreme het volgende:
a = (r0² - r1² + d²) / (2*d)

bij de vorige forumules,
dus
r0=Ar = 58cm
r1=Br = 95cm
d= 148-10,2= 137,8 (Niet helemaal netjes. Moet eigenlijk sqrt((148-10,2)² + (11-11.5)²) = 137.8 zijn)
dus ik kan
a = (r0² - r1² + d²) / (2*d)
gewoon gebruiken nu?
en de a die ik uit krijg kan ik weer invullen in h² = r0² - a².

Yup, klopt helemaal Alleen de 'a' is nog niet je antwoord he, je moet de posities van de twee punten 'P3' zien te bepalen, dus je moet daarna nog wel de daarop volgende stappen doen.

Overigens,

quote:

P2 = P0 + a ( P1 - P0 ) / d

dit is gewoon een verkorte schrijfwijze voor het volgende. Als de coordinaten van P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1) en P2 = (x2, y2) zijn, dan bedoelen ze:
x2 = x0 + a ( x1 - x0 ) / d
y2 = y0 + a ( y1 - y0 ) / d

Met andere woorden, de breuk a / d bepaalt waar P2 ligt op de lijn (P0, P1).

quote:

hoe leg ik uit aan mijn leraar hoe ik aan de formule kom , ik zeg wel dat ik hulp heb gekregen van een lieve meneer op internet .

Gewoon, opgezocht op internet. Ik heb de woorden intersection between two circles ingevuld bij google, en de betreffende pagina kwam als 3e link tussen de resultaten. Evt. kan je erbij zeggen dat je vervolgens wat mensen op internet om de details hebt gevraagd. Moet kunnen, toch?

_{Hij zei 'meneer' tegen me...}

quote:

Op vrijdag 7 januari 2005 16:08 schreef _Supreme het volgende:
haha, dit is mijn leraar
maar klopt het wat ik doe in die .doc file?
de coordinaten die ik uitkrijg, zijn die al goed, of moet ik daar nog iets bij rekenen.
oja, natuurlijk, want p0 ligt niet helemaal linksonder...

Zoals ik eerder postte, kwam mijn computer uit op x = 58.676, y = 43.345

Jouw uitkomst nu is (48,36 ; 32,56), en als je daar idd de coordinaten van P0 bij optelt kom je op (48.36 + 10.2, 32.56 + 11.5) = (58.56, 44.06). Dat ligt toch heel erg dichtbij het antwoord van mijn computer, of niet dan

Overigens, de reden waarom je met een beetje sjoemelen die laatste stappen kunt overslaan is dat de punten P0 en P1 een bijna horizontale lijn vormen (ik geloof dat de hoek van die lijn met de x-as 0.30 graden is, echt heel weinig dus). En dan is a zo goed als exact de afstand tussen de microfoon en de luidspreker over de x-as, en h diezelfde afstand over de y-as. Ik denk dat je hiermee wel mag sjoemelen.

Vermeldt er trouwens ook even bij dat er nog een tweede snijpunt is. Je had al diegene op (x0 + a, y0 + h), maar er is er ook nog een op (x0 + a, y0 - h). Met behulp van de derde microfoon kan je bepalen welke van de 2 het moet zijn.

quote:

Op zaterdag 8 januari 2005 18:38 schreef _Supreme het volgende:
ik ben er weer mee bezig en ik heb een klein probleempje.
http://sdesigns.exitnic.net/Uploader/uploaded/posities.doc
kijk maar eens bij meting 2.
de onderste 2 "cirkels" raken elkaar niet aan.
hoe kan ik nu rekenen met de linker microfoon en de bovense?
gewoon zeg maar met mijn kop draaien en d weer als afstand nemen tussen r0 en r2 ?

Even kijken of ik je opdracht goed begrijp. Bij een meting geven elk van de microfoons een bepaald voltage, die een maat is voor de afstand. Door te kijken naar je eiktabel of eikgrafiek kan je dit voltage vertalen naar een afstand. Je hebt vijf verschillende metingen gedaan, en voor al deze metingen gebruik je dezelfde posities van de 3 microfoons.

Klopt dit?

Het probleem zit 'm denk ik in de je eiktabel. Zoals je zelf al aangaf zit er een 'bobbel' in je eikgrafiek; dit betekent dat een gegeven voltage naar verschillende afstanden vertaald kan worden. Vb., stel dat je 0,30v hebt gemeten, dan kan de bijbehorende afstand 64cm, 73cm of 93cm zijn. Correct?

Met deze eiktabel kan je dus niet eenduidig een voltage naar een afstand vertalen. De enige manier die ik kan bedenken om hier omheen te werken is de volgende:

Neem de gemeten voltages van de drie microfoons (laten we ze vA, vB en vC noemen), en bepaal voor elk van de voltages naar welke afstanden ze vertaald kunnen worden.
Als voorbeeld:
Stel dat vA betekent dat het object op afstand a₁ of op afstand a₂ heeft gelegen.
De waarde van vB kan alleen vertaald worden naar een afstand b.
De waarde van vC kan vertaald worden naar 3 mogelijke afstanden: c₁, c₂ of c₃.

Bepaal dan de twee intersectiepunten van 2 cirkels, en gebruik de 3e cirkel om te controleren of het idd een van de twee gevonden intersectiepunten kan zijn, voor elk van de volgende combinaties van afstanden voor de cirkels:
(a₁, b, c₁)
(a₁, b, c₂)
(a₁, b, c₃)
(a₂, b, c₁)
(a₂, b, c₂)
(a₂, b, c₃)

Als het goed is zal het zo zijn dat voor 5 van deze combinaties de twee gevonden snijpunten niet op de derde cirkel liggen, en voor 1 van deze combinaties wel (of iig heel dichtbij die cirkel). De combinatie waarbij dit wel het geval is, gebruikt de juiste afstanden, en die levert daarom ook het juiste antwoord wbt de positie van de luidspreker.
De reden waarom je bij die tweede meting erachter kwam dat de cirkels elkaar niet raken, is dus omdat je de verkeerde combinatie van mogelijke afstanden hebt gebruikt.

Ehm, ik hoop dat dit een beetje te volgen is?

[ Bericht 3% gewijzigd door HenryHill op 08-01-2005 20:29:22 ]

quote:

Op woensdag 16 februari 2005 21:14 schreef _Supreme het volgende:
bedankt!!

ik heb een 87% voor mijn profielwerkstuk gehaald!
het was niet gelukt zonder je , echt thnx!

Dat vind ik leuk om te horen

Mooi man, gefeliciteerd