Kan een simulator bijvoorbeeld een gebeurtenis simuleren waarin de simulator zelf, eventueel in meervoud, ook voorkomt?
Denk volgaarne zo ruim mogelijk, en schroom niet om termen als "quantum computer" en "parallel universum" te gebruiken, indien relevant.
Ik ben benieuwd.
Als in, tot en met het gedrag van ieder kleinste deeltje, bijvoorbeeld?
quote:Op maandag 15 november 2004 20:46 schreef NightH4wk het volgende:
Misschien met een "parallel universum" in een "quantum computer". [afbeelding]
quote:Een perfecte simulatie zou zo sterk moeten zijn dat deze minstens gelijk staat aan de werkelijkheid waarin hij bestaat, incluis alle details idd...Op maandag 15 november 2004 21:15 schreef Hallulama het volgende:
Skull-splitter, ik vermoed dat de clue van jouw verhaal zit in "in alle opzichten"?
Als in, tot en met het gedrag van ieder kleinste deeltje, bijvoorbeeld?
Zo wordt bijvoorbeeld een volgende generaties processoren ontworpen en gesimuleerd op systemen met de huidige generatie. Aangezien een volgende generatie processoren over het algemeen meer (of krachtigere) mogelijkheden heeft dan de huidige, is de simulatie in die zin 'krachtiger' dan de simulator.
quote:Doel van simulatie is de werkelijkheid zo dicht mogelijk naderen. Zolang dit via een extern medium gaat zoals projectje met geluiden blijft het medium (simulator) dus sterker dan de simulatie (kwa overtuigingskracht). Ga je echter beeld en geluid direct in de hersenschors pompen dan bestaat de kans dat de hersenen dat als "echt" ervaren, en dan komt het hele matrix vraagstuk kwa realiteitsperceptie naar voren.Op maandag 15 november 2004 22:36 schreef Jernau.Morat.Gurgeh het volgende:
Het ligt uiteraard aan je definitie van 'krachtiger'.
Zo wordt bijvoorbeeld een volgende generaties processoren ontworpen en gesimuleerd op systemen met de huidige generatie. Aangezien een volgende generatie processoren over het algemeen meer (of krachtigere) mogelijkheden heeft dan de huidige, is de simulatie in die zin 'krachtiger' dan de simulator.
Don't you just love the Internet?
Hoe dan ook, wat ik ben vergeten te vermelden is dat de simulatie in "real time" dient te geschieden (Jernau.Morat.Gurgeh), "fast forward" zou een pluspunt zijn, wanneer je bijvoorbeeld het universum wilt simuleren om zo in de toekomst te kunnen kijken (I know, eerst 't universum zelf nog "even" uitpluizen).
Met krachtiger bedoel ik complexer, more comprehensive, etc.
en je hebt een (hele grote) simulator.
en die simulator is zo ongeveer in staat om de hele werkelijkheid W te simuleren in simulatie S.
maar om de simulator te kunnen simuleren moeten er dus minimaal precies het maximaal aan berekeningen per seconden gebeuren.
en ik neem niet aan dat dit kan, dus ik denk dat het niet mogelijk is, maar we moeten nog zien wat de grenzen aan quantumcomputers zullen zijn als je die gebruikt met supergeleiders en alles... de snelheid van het licht?
Maar dat bedoel je misschien niet
Een pentium processor is bijvoorbeeld niet zo snel & efficiënt als theoretisch mogelijk is. Stel dat je een pentium-emulator schrijft (die zelf draait op een pentium) waarmee je programma's kunt draaien en die hij sneller uitvoert dan een echte pentium processor. Dat kan natuurlijk niet als hij dezelfde instructies letterlijk nabootst (want dan voert de onderliggende echte pentium processor ze alsnog uit).
Maar stel dat hij de programma-instructies razendsnel kan omzetten naar andere instructies die veel sneller door een pentium kunnen worden uitgevoerd. En dat het snelheidsverschil tussen het uitvoeren van de originele instructies, wat normaal gebeurt als je het programma draait op een pentium, en de nieuwe instructies die de emulator ervan maakt, zó groot is dat zelfs met die vertaalslag erbij je nog steeds tijd bespaart. Theoretisch kan dat, vertalen hoeft niet even lang te duren als uitvoeren. Dan heb je volgens mij wat jij bedoelt?
Aan de andere kant: als je zo'n constructie voor elkaar krijgt, kun je ook de emulator (wat zelf een programma is) ook weer in de emulator draaien, waardoor je dubbel zoveel winst hebt. En dat kun je dan ook weer... enzovoort. Dus oneindige snelheidswinst. En dat zou logischerwijs eigenlijk niet moeten kunnen.
Welk van deze twee mogelijkheden is fout?
quote:In dit geval zit de truc hem er in dat je hooguit een bepaald aspect van een pentium processor zou kunnen versnellen. Wanneer je weet dat (bijvoorbeeld, zuiver hypothetisch) een zwak punt van de processor het afhandelen van floating points is, en je een emulator hebt die dat deel kan omzetten naar integere bewerkingen (Wat in dit hypothetische geval een pluspunt is van de CPU), waarbij de emulator zelf geen gebruik maakt van floating points, zou het kunnen werken.Op woensdag 17 november 2004 10:15 schreef gnomaat het volgende:
Twijfelgeval.
Een pentium processor is bijvoorbeeld niet zo snel & efficiënt als theoretisch mogelijk is. Stel dat je een pentium-emulator schrijft (die zelf draait op een pentium) waarmee je programma's kunt draaien en die hij sneller uitvoert dan een echte pentium processor. Dat kan natuurlijk niet als hij dezelfde instructies letterlijk nabootst (want dan voert de onderliggende echte pentium processor ze alsnog uit).
Maar stel dat hij de programma-instructies razendsnel kan omzetten naar andere instructies die veel sneller door een pentium kunnen worden uitgevoerd. En dat het snelheidsverschil tussen het uitvoeren van de originele instructies, wat normaal gebeurt als je het programma draait op een pentium, en de nieuwe instructies die de emulator ervan maakt, zó groot is dat zelfs met die vertaalslag erbij je nog steeds tijd bespaart. Theoretisch kan dat, vertalen hoeft niet even lang te duren als uitvoeren. Dan heb je volgens mij wat jij bedoelt?
Aan de andere kant: als je zo'n constructie voor elkaar krijgt, kun je ook de emulator (wat zelf een programma is) ook weer in de emulator draaien, waardoor je dubbel zoveel winst hebt. En dat kun je dan ook weer... enzovoort. Dus oneindige snelheidswinst. En dat zou logischerwijs eigenlijk niet moeten kunnen.
Welk van deze twee mogelijkheden is fout?
Wanneer je nog een emulator er op zet wordt het echter niet sneller, een floating point bewerking kan maar 1 keer worden omgezet naar een integere bewerking.
quote:Stuhr, een vrouw met een kennis van computerhardwareOp woensdag 17 november 2004 10:21 schreef Alicey het volgende:
[..]
In dit geval zit de truc hem er in dat je hooguit een bepaald aspect van een pentium processor zou kunnen versnellen. Wanneer je weet dat (bijvoorbeeld, zuiver hypothetisch) een zwak punt van de processor het afhandelen van floating points is, en je een emulator hebt die dat deel kan omzetten naar integere bewerkingen (Wat in dit hypothetische geval een pluspunt is van de CPU), waarbij de emulator zelf geen gebruik maakt van floating points, zou het kunnen werken.
Wanneer je nog een emulator er op zet wordt het echter niet sneller, een floating point bewerking kan maar 1 keer worden omgezet naar een integere bewerking.
quote:De kracht van een simulator ligt juist in zijn vermogen om al dan niet krachtige simulaties te kunnnen doen. Dus als een simulator krachtiger is dan de sinulatie (op die simulator), dan was hij dat al.Op maandag 15 november 2004 20:31 schreef Hallulama het volgende:
Kan de simulatie krachtiger zijn dan de simulator?
quote:Ja. Uit de theorie van brekenbare functies is bekend dat je een Turingmachine kan simuleren middels een Turingmachine. Zelfs een die alle Turingmachines kan simuleren, de universele Turingmachine.Kan een simulator bijvoorbeeld een gebeurtenis simuleren waarin de simulator zelf, eventueel in meervoud, ook voorkomt?
Dit is tevens een indicatie dat middels berekenbare functies "alles" kan worden gesimuleerd en dat er geen krachtiger mechanismen bestaan (wel sneller, meer etc.)
quote:Ik vind de term 'krachtig' verkeerd, om de eenvoudige reden dat het niets zegt. Wat is 'krachtig'?Op woensdag 17 november 2004 11:56 schreef Oud_student het volgende:
De kracht van een simulator ligt juist in zijn vermogen om al dan niet krachtige simulaties te kunnnen doen. Dus als een simulator krachtiger is dan de sinulatie (op die simulator), dan was hij dat al.
quote:De computer waar is je dit op tikte is een voorbeeld van een universele Turingmachine, die volgens de theorie iedere berekenbare functie kan eh.. berekenen. En volgens meneer Church is alles in het universum uiteindelijk berekenbaar, en dus kan een computer alles benaderen. In die zin is een universele Turingmachine (=computer) de 'krachtigste simulator' denkbaar (volgens huidige inzichten).Ja. Uit de theorie van brekenbare functies is bekend dat je een Turingmachine kan simuleren middels een Turingmachine. Zelfs een die alle Turingmachines kan simuleren, de universele Turingmachine.
Dit is tevens een indicatie dat middels berekenbare functies "alles" kan worden gesimuleerd en dat er geen krachtiger mechanismen bestaan (wel sneller, meer etc.)
Wat TS echter volgens mij bedoelt is dit: bestaat er emergent gedrag van simulaties, met andere woorden: kan zich gedrag ontplooien dat niet expliciet beschreven staat in de regels? Ook wel holisme genoemd: het geheel is meer dan de som der delen. Dat soort zaken bestaan inderdaad. Kijk vooral eens naar cellulaire automaten.
quote:Wat is krachtig dan volgens jou ?Op vrijdag 19 november 2004 13:11 schreef Doffy het volgende:
Ik vind de term 'krachtig' verkeerd, om de eenvoudige reden dat het niets zegt. Wat is 'krachtig'?
quote:Nee een computer heeft een beperkt geheugen en ook beperkte levensduur en snelheid.De computer waar is je dit op tikte is een voorbeeld van een universele Turingmachine, die volgens de theorie iedere berekenbare functie kan eh.. berekenen.
Een Turingmachine is geen fysieke machine, maar een concept van een "ideale" machine, dwz
onbeperkt geheugen, onbeperkte levensduur en willekeurig grote processing snelheid
quote:Nee veel dingen zijn niet berekenbaar. Er zijn zelfs oneindig veel zaken die niet berekenbaar zijn.En volgens meneer Church is alles in het universum uiteindelijk berekenbaar, en dus kan een computer alles benaderen. In die zin is een universele Turingmachine (=computer) de 'krachtigste simulator' denkbaar (volgens huidige inzichten).
quote:In een deterministische simulatie ligt uiteraard allles vast door de uitgangs situatie + regels.Wat TS echter volgens mij bedoelt is dit: bestaat er emergent gedrag van simulaties, met andere woorden: kan zich gedrag ontplooien dat niet expliciet beschreven staat in de regels? Ook wel holisme genoemd: het geheel is meer dan de som der delen. Dat soort zaken bestaan inderdaad. Kijk vooral eens naar cellulaire automaten.
Een geopperde variant op een Turing machine, nl. een die niet deterministisch is, is ook niet krachtiger dan de gewone (kun je exact bewijzen)
Dus wat bedoel je precies ?
quote:Ik gebruik de term 'krachtig' niet.Op vrijdag 19 november 2004 20:59 schreef Oud_student het volgende:
Wat is krachtig dan volgens jou ?
quote:Dat klopt, maar daarom is een computer nog wel een universele Turingmachine.Nee een computer heeft een beperkt geheugen en ook beperkte levensduur en snelheid.
quote:Niet helemaal waar. De begrippen 'levensduur' en 'snelheid' zijn helemaal niet van toepassing op de theoretische Turingmachine, maar geheugen wel. Er zijn universele Turingmachines met beperkt geheugen. Jouw computer is er ook een.Een Turingmachine is geen fysieke machine, maar een concept van een "ideale" machine, dwz
onbeperkt geheugen, onbeperkte levensduur en willekeurig grote processing snelheid
quote:Zeker. Maar ze zijn, volgens Church, benaderbaar met arbitraire precisie. En op een theoretische Universele Turingmachine kan dat ook.Nee veel dingen zijn niet berekenbaar. Er zijn zelfs oneindig veel zaken die niet berekenbaar zijn.
quote:Dat laatste klopt. Maar ook al liggen de regels dan vast (zoals bij cellulaire automaten), dan nog kan dat gevolgen hebben die de simpele regeltjes verre overstijgen, ook al volgen ze er dan wel uit. Met andere woorden, emergent gedrag hoeft niet non-deterministisch te zijn.In een deterministische simulatie ligt uiteraard allles vast door de uitgangs situatie + regels.
Een geopperde variant op een Turing machine, nl. een die niet deterministisch is, is ook niet krachtiger dan de gewone (kun je exact bewijzen)
quote:NeeOp vrijdag 19 november 2004 22:16 schreef Doffy het volgende:
Dat klopt, maar daarom is een computer nog wel een universele Turingmachine.
quote:Op zich juist, maar er is wel zo iets als operatie en overgang van de ene naar de andere toestand.Niet helemaal waar. De begrippen 'levensduur' en 'snelheid' zijn helemaal niet van toepassing op de theoretische Turingmachine, maar geheugen wel.
Hoeveel van die operaties (N) nodig zijn voor een berekening wordt idd in het midden gelaten, dwz.
het kan elk natuurlijk getal N zijn.
Mijn computer heeft wegens zijn snelheid en beperkte levensduur een bepekt aantal operaties
zeg 30 jaar = 109 sec en snelheid 109 Hz
dus ongeveer 1018 operaties
Er zijn makkelijk wiskundige problemen denkbaar die 101000 operaties vereisen.
quote:Nee, een Turingmachine met beperkt geheugen (tape) is minder sterk dan een met onbeperkt geheugen, dwz er is een klasse van problemen (zelfs oneindig groot) die de een wel kan oplossen en de ander niet.Er zijn universele Turingmachines met beperkt geheugen.
quote:Jawel. Een Turingmachine T1 is een logischl 'apparaatje' dat een bepaald algoritme uit kan voeren met een bepaald alfabet, gegeven een bepaalde input. Een Universele Turingmachine U is een Turingmachine T2 die onder andere T1 kan simuleren. Sterker, een U kan elke T simuleren, vandaar de naam 'universeel'. Dat heeft niets te maken met oneindigheden of niet. Een computer kan elk willekeurig in zijn alfabet (taal) geschreven programma uitvoeren gegeven een bepaalde input (data), en is dus een U.Op vrijdag 19 november 2004 23:20 schreef Oud_student het volgende:
Nee
quote:Leuk, maar dat maakt het niet minder een universele Turingmachine.Op zich juist, maar er is wel zo iets als operatie en overgang van de ene naar de andere toestand.
Hoeveel van die operaties (N) nodig zijn voor een berekening wordt idd in het midden gelaten, dwz.
het kan elk natuurlijk getal N zijn.
Mijn computer heeft wegens zijn snelheid en beperkte levensduur een bepekt aantal operaties
zeg 30 jaar = 109 sec en snelheid 109 Hz
dus ongeveer 1018 operaties
Er zijn makkelijk wiskundige problemen denkbaar die 101000 operaties vereisen.
quote:Dat klopt, maar er is altijd een grotere computer beschikbaarNee, een Turingmachine met beperkt geheugen (tape) is minder sterk dan een met onbeperkt geheugen, dwz er is een klasse van problemen (zelfs oneindig groot) die de een wel kan oplossen en de ander niet.
quote:De (een) Universele Turingmachine U heeft een beperkt aantal toestanden (ik ken een oplossing met ongeveer 120 toestanden). Om een Turing machine met een willekeurig aantal toestanden te kunnen simuleren, gebruikt U een codering om de 5-tupels (T1,T2, letter1,letter2, richting) op te slaan op tape. Daarom alleen al heeft U een onbeperkte hoeveelheid tape nodig. Daar komt bij, dat gedurende de berekening (simulatie van een willekeurige Turingmachine) ook niet van te voren bekend is hoeveel geheugen er nodig is.Op vrijdag 19 november 2004 23:25 schreef Doffy het volgende:
Jawel. Een Turingmachine T1 is een logischl 'apparaatje' dat een bepaald algoritme uit kan voeren met een bepaald alfabet, gegeven een bepaalde input. Een Universele Turingmachine U is een Turingmachine T2 die onder andere T1 kan simuleren. Sterker, een U kan elke T simuleren, vandaar de naam 'universeel'. Dat heeft niets te maken met oneindigheden of niet. Een computer kan elk willekeurig in zijn alfabet (taal) geschreven programma uitvoeren gegeven een bepaalde input (data), en is dus een U.
Het oneindigheids aspect (liever het onbegrensd zijn) van het geheugen is juist de essentie van de Turingmachine
quote:Een computer is inzoverre "universeel" , dat hij elk programma (of elke turingmachine) kan uitvoeren, die binnen zijn geheugen capaciteit en het aantal proces stappen (10^20 bijv) uitvoerbaar zijn, dus een zeer kleine klasse van alle berekenbare functies (0%)Leuk, maar dat maakt het niet minder een universele Turingmachine.
Verre van Universeel
quote:Dat klopt, maar er is altijd een grotere computer beschikbaar
Dit gaat niet helpen. Er zijn al programmaatjes van een paar regels te bedenken, die een Fysieke computer nooit zal kunnen uitvoeren (in de zin van succesvol met antwoord) terwijl de Turingmachine het wel kan, domweg omdat er te weinig materie en uitvoeringstijd in het heelal is om zo'n systeem te kunnen laten werken
quote:Het onbegrenst-zijn is een verschil tussen een abstracte Turingmachine en een concrete (=computer), maar het is zeker geen essentie van Turingmachines.Op zaterdag 20 november 2004 12:53 schreef Oud_student het volgende:
Het oneindigheids aspect (liever het onbegrensd zijn) van het geheugen is juist de essentie van de Turingmachine
quote:Jij praat over een anders soort universaliteit dan ik. Ik heb het over een Universele Turingmachine, en dat is een Turingmachine die alle andere Turingmachines kan simuleren. Dat zegt niets over het kunnen oplossen van alle problemen, want er zijn inderdaad problemen die oneindige tijd en/of geheugen nodig hebben. Dat zijn problemen die sowieso niet oplosbaar zijn, ook niet op een Turingmachine. In die zin is geen enkele Turingmachine, laat staan elke computer, universeel. Maar dat is een ander soort universaliteit.Een computer is inzoverre "universeel" , dat hij elk programma (of elke turingmachine) kan uitvoeren, die binnen zijn geheugen capaciteit en het aantal proces stappen (10^20 bijv) uitvoerbaar zijn, dus een zeer kleine klasse van alle berekenbare functies (0%)
Verre van Universeel
quote:Als er een Turingmachine T bestaat die een probleem P kan oplossen in eindige tijd, dan kan er een computer gebouwd worden (+programma geschreven worden) die dat probleem oplost, in eindige tijd en eindig geheugen. Als een T oneindig lang over een P zou doen (bijvoorbeeld het halting problem) dan kan je met de beste wil van de wereld niet zeggen dat T het probleem wél oplost.Dit gaat niet helpen. Er zijn al programmaatjes van een paar regels te bedenken, die een Fysieke computer nooit zal kunnen uitvoeren (in de zin van succesvol met antwoord) terwijl de Turingmachine het wel kan, domweg omdat er te weinig materie en uitvoeringstijd in het heelal is om zo'n systeem te kunnen laten werken
quote:Je zou natuurlijk zelf eens in een boek kunnen kijken ( 1 rude is al meer dan genoeg)Op maandag 22 november 2004 10:16 schreef Doffy het volgende:
Het onbegrenst-zijn is een verschil tussen een abstracte Turingmachine en een concrete (=computer), maar het is zeker geen essentie van Turingmachines.
Bijvoorbeeld van: http://plato.stanford.edu/entries/turing-machine/#Definition
In modern terms, the tape serves as the memory of the machine, while the read-write head is the memory bus through which data is accessed (and updated) by the machine. There are two important things to notice about the definition. The first is that the machine's tape is infinite in length, corresponding to an assumption that the memory of the machine is infinite. The second is similar in nature, but not explicit in the definition of the machine, namely that a function will be Turing-computable if there exists a set of instructions that will result in the machine computing the function regardless of the amount of time it takes. One can think of this as assuming the availability of infinite time to complete the computation.
quote:Ik praat over de universaliteit zoals door Turing zelf is gedefinieerd.Jij praat over een anders soort universaliteit dan ik. Ik heb het over een Universele Turingmachine, en dat is een Turingmachine die alle andere Turingmachines kan simuleren. Dat zegt niets over het kunnen oplossen van alle problemen, want er zijn inderdaad problemen die oneindige tijd en/of geheugen nodig hebben. Dat zijn problemen die sowieso niet oplosbaar zijn, ook niet op een Turingmachine. In die zin is geen enkele Turingmachine, laat staan elke computer, universeel. Maar dat is een ander soort universaliteit.
Alle problemen zijn idd niet oplosbaar = berekenbaar.
De universele Turingmachine is een turingmachine, die als input de codering van turingmachine X heeft + de input die voor X is bestemd.
Essentieel is, dat U elke turingmachine op deze wijze kan simuleren, dus alle berekenbare problemen
quote:Ook weer de klepel en de klok.Als er een Turingmachine T bestaat die een probleem P kan oplossen in eindige tijd, dan kan er een computer gebouwd worden (+programma geschreven worden) die dat probleem oplost, in eindige tijd en eindig geheugen. Als een T oneindig lang over een P zou doen (bijvoorbeeld het halting problem) dan kan je met de beste wil van de wereld niet zeggen dat T het probleem wél oplost.
Het halting probleem is juist een voorbeeld om aan te tonen dat niet alle functies berekenbaar zijn.
Onze eindige computers kunnen slechts 0% van alle berekenbare functies uitvoeren, hoe groot je de computer ook bouwt; zelfs wanneer hij zo groot als het heelal zou zijn.
Om een willekeurige berekenbare functie te kunnen uitvoeren is nu eenmaal onbegrensd geheugen en onbegrensd aantal proces-stappen (=tijd) nodig.
De hardware (processor) kan echter wel eindig zijn. Het was het idee van J von Neumann, dacht ik om det algoritme in het geheugen te plaatsen ipv (wat tot die tijd gebruikelijk was) elk probleem opnieuw hard-wired te programmeren.
De universele turing machine heeft ook een eindig aantal toestanden (bijv 120)
Het toestand-automaten gedeelte van de Turingmachine kunnen wij idd nabouwen in de werkelijke wereld, onbeperkt geheugen en processing power echter niet.
quote:Het kan in zekere zin toch:Op zaterdag 20 november 2004 18:02 schreef IvdSangen het volgende:
Om op de originele vraag terug te komen, nee, een simulatie kan niet krachtiger zijn dan zijn simulator. Stel je hebt een simulator A1 die Simulatie B1 draait en Simulatie B1 simuleert een simulator A2, waar A2 gelijk is aan A1, dan zou dit betekenen dat A2 een simulatie B2 simuleert, die weer een simulator A3 simuleert, etc. Dit zou betekenen dat simulator A1 oneindig veel geheugencapaciteit en rekenkracht moet hebben, immers een simulatie die iets simuleert, simuleert dit niet opeens buiten het systeem.
denk maar aan de Drosteverpleegster
Zij houdt in haar hand een blik met daarop een verpleegster die een blik in haar hand houdt met ..etc
(zie ook verder op de site van univ Leiden over Escher en een tekening die zichzelf bevat !)
quote:Maar niet elke verpleegster is even gedetailleerd.Op maandag 22 november 2004 11:26 schreef Oud_student het volgende:
Het kan in zekere zin toch:
denk maar aan de Drosteverpleegster
[afbeelding]
Zij houdt in haar hand een blik met daarop een verpleegster die een blik in haar hand houdt met ..etc
(zie ook verder op de site van univ Leiden over Escher en een tekening die zichzelf bevat !)
quote:Je moet het zin als wiskundig object.Op maandag 22 november 2004 11:49 schreef P-Style het volgende:
Maar niet elke verpleegster is even gedetailleerd.
Het is een oneindige verzameling (fractal) van telkens dezelfde afbeelding op steeds kleinere schaal.
Stelling: Elke compacte oneindige verzameling heeft een verdichtingspunt.
Van wie is deze stelling ?
quote:Op maandag 22 november 2004 11:15 schreef Oud_student het volgende:
Je zou natuurlijk zelf eens in een boek kunnen kijken ( 1 rude is al meer dan genoeg)
quote:Ik zie dat je gelijk naar de bibliotheek bent gegaan, prima zaak !Op maandag 22 november 2004 12:57 schreef Doffy het volgende: