In de commutatieve algebra worden unitaire commutatieve ringen behandeld.
Laten we beginnen met de definitie van een ring. Een ring is een verzameling A met daarin een element 0 en twee tweeledige operaties + en *. We zullen in onze notatie a*b ook wel als ab schrijven. De ring A moet aan de volgende axioma's voldoen:
x+y=y+x voor alle x en y in A (commutativiteit van +).
(x+y)+z=x+(y+z) voor alle x, y en z in A (associativiteit van +).
0+x=x voor alle x in A.
Voor alle x in A is er een element -x in A zo dat -x+x=0.
(xy)z=x(yz) voor alle x,y en z in A (associativiteit van * ).
x(y+z)=xy+xz en (x+y)z=xz+yz voor alle x,y en z in A (distributiviteit van * over +).
De definitie van een object is niet compleet als we de morfismen die erbij horen niet definieren. Een homomorfisme van een ring A naar een ring B is een functie f:A->B die voldoet aan
f(0)=0.
f(x+y)=f(x)+f(y) voor alle x,y in A.
f(xy)=f(x)f(y) voor alle x,y in A.
Zo'n ring A heet unitair als we er ook nog bij eisen dat er een element 1 in A is dat voldoet aan
1*x=x*1=x voor alle x in A.
Bij een homomorfisme tussen unitaire ringen stellen we nog als extra eis dat
f(1)=1.
Een unitaire ring heet commutatief als we nog 1 extra eis stellen:
xy=yx voor alle x en y in A.
Omdat we in dit topic geen andere ringen dan de unitaire commutatieve zullen beschouwen, tenzij nadrukkelijk vermeld, zullen we vanaf nu met 'ring' 'unitaire commutatieve ring' bedoelen. We zullen even wat eigenschappen bekijken van deze interessante objecten.
[ Bericht 2% gewijzigd door thabit op 14-04-2004 00:04:11 ]
We eisen niet dat 0 ongelijk is aan1. Laat zien dat {0} een ring is met 0=1. We noemen deze ring de nulring. Laat tevens zien dat elke ring met 0=1 isomorf is met de nulring.
Wanneer zijn twee ringen isomorf?
Een normale lezer zal uit bovenstaande concluderen dat twee ringen isomorf zijn als er een homomorfisme tussen die ringen bestaat, maar zonder volledige introductie krijgt dit een vleugje alpha-'wetenschap'erigs...
En dat willen we toch niet he...
quote:Laten we dat voor de volledigheid dan inderdaad erbij definieren. Een homomorfisme f:A->B is een isomorfisme als er een homomorfisme g:B->A bestaat zo dat g(f(x))=x voor alle x in A en f(g(x))=x voor alle x in B. Het is duidelijk dat g in zo'n geval ook een isomorfisme is (wissel immers f en g om). We zeggen dat twee ringen A en B isomorf met elkaar zijn als er een isomorfisme van A naar B bestaat.Op dinsdag 13 april 2004 17:07 schreef Pie.er het volgende:
Als je toch alles introduceert, introduceer dan het begrip isomorf waar in de vraagstelling naar gevraagd wordt goed.
Wanneer zijn twee ringen isomorf?
Een normale lezer zal uit bovenstaande concluderen dat twee ringen isomorf zijn als er een homomorfisme tussen die ringen bestaat, maar zonder volledige introductie krijgt dit een vleugje alpha-'wetenschap'erigs...
En dat willen we toch niet he...
quote:alle bovengenoemde voorwaarden gelden toch altijd???Op dinsdag 13 april 2004 16:26 schreef thabit het volgende:
x+y=y+x voor alle x en y
(x+y)+z=x+(y+z) voor alle x, y en z
0+x=x voor alle x.
(xy)z=x(yz) voor alle x,y en z
x(y+z)=xy+xz en (x+y)z=xz+yz voor alle x,y en z
Zo'n ring A heet unitair als we er ook nog bij eisen dat er een element 1 in A is dat voldoet aan
1*x=x*1=x voor alle x
anders is dit topic te vaag voor mij...
quote:Ik begrijp je vraag geloof ik niet helemaal. Het woord 'altijd' suggereert dat de geldigheid van de voorwaarden tijdsafhankelijk zou kunnen zijn. Dat ze gisteren golden, vandaag nog steeds gelden en morgen weer. Ringen zijn echter tijdloos.Op dinsdag 13 april 2004 22:38 schreef Modwire het volgende:
[..]
alle bovengenoemde voorwaarden gelden toch altijd???
anders is dit topic te vaag voor mij...
[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 13-04-2004 22:55:50 ]
quote:hij bedoeld denk ik dat optellen zo werkt en dat het in zijn ogen onzinnig is om het nog een keer opnieuw te zeggen.Op dinsdag 13 april 2004 22:44 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik begrijp je vraag geloof ik niet helemaal. Het woord 'altijd' suggereert dat de geldigheid van de voorwaarden tijdsafhankelijk zou kunnen zijn. Dat ze gisteren golden, vandaag nog steeds gelden en morgen weer. Ringen zijn echter tijdloos.
quote:Omdat het in dit geval in woorden is uitgetikt en de leesbaarheid er ook niet onder lijdt is dat niet zo heel belangrijk hier.Op dinsdag 13 april 2004 23:45 schreef accelerator het volgende:
oh . . . en voor alle moet nauurlijk VOOR de bewering en niet er ACHTER.
quote:Niet zo flauw doen he, hij bedoelt natuurlijk "altijd" als in "in iedere situatie"Op dinsdag 13 april 2004 22:44 schreef thabit het volgende:
Ik begrijp je vraag geloof ik niet helemaal. Het woord 'altijd' suggereert dat de geldigheid van de voorwaarden tijdsafhankelijk zou kunnen zijn. Dat ze gisteren golden, vandaag nog steeds gelden en morgen weer. Ringen zijn echter tijdloos.
quote:Nee, neem bijvoorbeeld N (de verzameling van natuurlijke getallen, dus 0, 1, 2, 3.. enz) met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging. Dit is geen ring, want er is niet voor ieder element x een element -x zodat x + -x = 0.Op dinsdag 13 april 2004 22:38 schreef Modwire het volgende:
alle bovengenoemde voorwaarden gelden toch altijd???
Een niet-lege deelverzameling I van een ring A heet een ideaal als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
i+j zit in I voor alle i,j in I.
a*i zit in I voor alle a in A en i in I.
In het bijzonder is de ring A zelf een ideaal. We noemen dit het eenheidsideaal.
We noemen I een priemideaal als I niet gelijk is aan A en als ook nog het volgende geldt: voor alle a en b in A met ab in I geldt dat a in I of b in I zit.
We noemen I een maximaal ideaal als I niet gelijk is aan A en voor elk ideaal J met I<J geldt dat J=I of J=A. De notatie < betekent hier 'is deelverzameling van'.
De volgende stelling volgt uit het keuze-axioma: voor elk ideaal I ongelijk aan A is er een maximaal ideaal m zo dat I<m.
1) Laat zien dat elk maximaal ideaal een priemideaal is.
2) Laat f:A->B een homomorfisme zijn en I een ideaal van B. Bewijs dat f-1(I) een ideaal van A is. Met f-1(I) bedoelen we de verzameling {a in A: f(a) in I}.
3) Geef een tegenvoorbeeld om de volgende bewering te ontkrachten: als f:A->B een homomorfisme is en I een ideaal van A, dan is f(I) een ideaal van B. Met f(I) bedoelen we de verzameling {b in B: er is een i in I met f(i )=b}.
4) Laat nu I in opgave 2 een priemideaal zijn. Laat zien dat f-1(I) ook een priemideaal is.
5) Geef een tegenvoorbeeld om de volgende bewering te ontkrachten: als I in opgave 2 een maximaal ideaal is, dan is f-1(I) ook een maximaal ideaal.
Deze opgaven hebben enige relevantie voor de algebraische meetkunde.
quote:Op dinsdag 13 april 2004 23:54 schreef thabit het volgende:
[..]
Omdat het in dit geval in woorden is uitgetikt en de leesbaarheid er ook niet onder lijdt is dat niet zo heel belangrijk hier.
Je had het er 1 keer boven kunnen zetten.Consequent zijn is een goeie eigenschap in de wiskunde.
In dit geval maakt het inderdaad niet zoveel uit. Het wordt echter anders als er 3 quantifiers aan te pas komen en de ene keer komt de bewering er achter en de andere keer er voor. Als het dan ook nog eens een keer onduidelijk is wat de voorwaarden zijn voor de variabelen (je moet denkbeeldige haakjes plaatsen) wordt het helemaal ruk.
Zo hebben ze mij de definitie van continuiteit dus proberen uit te leggen. Knudde gedaan dus.
Ik snap hem dus pas echt goed in m'n 3e jaar
quote:Vul overal voor x, y en z in de bovenstaande vereiste eigenschappen van een ring 0 in.Op dinsdag 13 april 2004 16:32 schreef thabit het volgende:
We beginnen met een simpele opgave:
We eisen niet dat 0 ongelijk is aan1. Laat zien dat {0} een ring is met 0=1. We noemen deze ring de nulring.
quote:Die ring noemen we even R, de nulring noemen we S. Waar nodig noteer ik het nul-element van R even als 0R.Laat tevens zien dat elke ring met 0=1 isomorf is met de nulring.
Definieer f:R->S als f(x)=0 en g:S->R als g(x)=0R.
Voor f geldt dan f(x+y) = 0 = 0+0 = f(x)+f(y), en f(xy) = 0 = 0*0 = f(x)f(y), en idem voor g (met 0R ipv 0), f en g zijn dus homomorfismen. Omdat
quote:Bij de definitie van continuiteit (tenminste, de epsilon-delta definitie) is het inderdaad niet echt handig om de quantoren erachter te zetten. Bij de topologische definitie maakt het dan weer geen ruk uit.Op woensdag 14 april 2004 00:21 schreef accelerator het volgende:
[..]
Zo hebben ze mij de definitie van continuiteit dus proberen uit te leggen.
quote:Bijna helemaal volledig! Kun je de stap x*0=0 nog even nader toelichten?Op woensdag 14 april 2004 00:24 schreef gnomaat het volgende:
Nou vooruit dan maar, om wat vaart in het topic te krijgen:
[..]
Vul overal voor x, y en z in de bovenstaande vereiste eigenschappen van een ring 0 in.
[..]
Die ring noemen we even R, de nulring noemen we S. Waar nodig noteer ik het nul-element van R even als 0R.VxcR geldt dan x = x*1 (definitie van 1) = x*0 (want 1=0) = 0 (definitie van 0). Dus R = {0R}.
Definieer f:R->S als f(x)=0 en g:S->R als g(x)=0R.
Voor f geldt dan f(x+y) = 0 = 0+0 = f(x)+f(y), en f(xy) = 0 = 0*0 = f(x)f(y), en idem voor g (met 0R ipv 0), f en g zijn dus homomorfismen. OmdatVxcR geldt dat x=0R, hebben we f(g(x)) = 0R = x, en net zo 0 = g(f(0)), dus R en S zijn isomorf.
quote:Door elkaar dus!!! De ene keer erachter en de andere keer er voor, in het zelfde stukje tekst.Op woensdag 14 april 2004 00:26 schreef thabit het volgende:
[..]
Bij de definitie van continuiteit (tenminste, de epsilon-delta definitie) is het inderdaad niet echt handig om de quantoren erachter te zetten.
Ik voelde me echt dom terwijl zij het gewoon totaal verkeerd uitgelegd hebben. Ze kwamen ook zelden met voorbeelden (en tegen voorbeelden) aanzetten.
quote:Kan je dat kort uitleggen.Bij de topologische definitie maakt het dan weer geen ruk uit.
quote:Een topologische ruimte is een verzameling X met een gegeven verzameling T van deelverzamelingen van X, die aan de volgende voorwaarden voldoen:Op woensdag 14 april 2004 00:30 schreef accelerator het volgende:
[..]
Door elkaar dus!!! De ene keer erachter en de andere keer er voor, in het zelfde stukje tekst.
Ik voelde me echt dom terwijl zij het gewoon totaal verkeerd uitgelegd hebben. Ze kwamen ook zelden met voorbeelden (en tegen voorbeelden) aanzetten.
[..]
Kan je dat kort uitleggen.
de lege verzameling zit in T en X zelf zit ook in T.
Voor elke deelverzameling I van T zit de vereniging van alle elementen van I ook in T.
Voor elke eindige deelverzameling I van T zit de doorsnede van alle elementen van I ook in T.
We noemen de verzamelingen in T ook wel de open delen van X. Als X en Y topologische ruimtes zijn, dan heet een functie f:X->Y continu als f-1(U) open is voor elk open deel Y van U.
De topologie die we op R nemen is als volgt: de open delen zijn precies de deelverzamelingen die als vereniging van open intervallen in R te schrijven zijn.
quote:Oh ja, fout gelezen, dacht dat x*0=0 al bij het lijstje gegeven eigenschappen van een Ring stond.Op woensdag 14 april 2004 00:29 schreef thabit het volgende:
Bijna helemaal volledig! Kun je de stap x*0=0 nog even nader toelichten?
Zeg y=x*0, dan y = y+0 = y + y + (-y) = x*0 + x*0 + -y = x*(0+0) + -y = x*0 + -y = y + -y = 0.
quote:Zeer juist!Op woensdag 14 april 2004 00:48 schreef gnomaat het volgende:
[..]
Oh ja, fout gelezen, dacht dat x*0=0 al bij het lijstje gegeven eigenschappen van een Ring stond.
Zeg y=x*0, dan y = y+0 = y + y + (-y) = x*0 + x*0 + -y = x*(0+0) + -y = x*0 + -y = y + -y = 0.
Als x een nilpotent element is van een commutatieve unitaire ring A (d.w.z. er bestaat n zodanig dat xn=0, bewijs dan dat 1 - x een eenheid is (d.w.z. er bestaat a zodanig dat a(1-x) = 1.)
Opgaven:
1) Bestaat er een ring waarin een element zit dat zowel eenheid als nilpotent is?
2) Bewijs dat nil(A) een ideaal is.
[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 14-04-2004 12:31:50 ]
Zij A een ring en A[x] de polynoomring in 1 variabele over A. Stel nu dat f in A[x] zit zodanig dat 1-x*f een eenheid in A[x] is. Bewijs dat alle coefficienten van f nilpotent zijn. Laat vervolgens zien dat
A[x]*=A* dan en slechts dan als nil(A)={0}.
A[x] is de verzameling uitdrukkingen van de vorm
a0+a1x+...+anxn, met ai in A voor alle i en n niet-negatief geheel. Deze ai heten de coefficienten van xi. Voor m>n is de coefficient van xm gelijk aan 0. De regels van de openingspost definieren hier een ringstructuur op, dat wil zeggen dat we 2 van zulke uitdrukkingen bij elkaar optellen door de coefficienten bij de overeenkomstige machten van x op te tellen en 2 vanzulke uitdrukkingen met elkaar vermenigvuldigen door 'haakjes in het product uit te werken' en daarbij de conventie xnxm=xm+n te hanteren.
quote:zij i een element van nil(A). Dan is im = 0 voor zekere m. Zij a een element van de ring A.Op woensdag 14 april 2004 12:15 schreef thabit het volgende:
2) Bewijs dat nil(A) een ideaal is.
Dan (a*i)m = am*im = 0. Dus a*i is ook nilpotent.
Zij j ook een element van nil(A). Dan is jn = 0 voor zekere n.
Beschouw (i+j)n+m. Als je dit product uitwerkt krijg je termen van de vorm ik*jn+m-k. Als k>= m dan is deze term dus 0 (nilpotentie van i), als k <= m dan n+m-k >= n en dus is de term ook gelijk aan 0 (nu vanwege de nilpotentie van j).
dus i+j is nilpotent.
nil(A) is dus een ideaal.
.quote:Deze opgave is vrij lastig, daarom een hint: laat voor elk priemideaal P van A zien dat de coefficienten van f in P zitten.Op woensdag 14 april 2004 12:31 schreef thabit het volgende:
Speciaal voor Koekepan de volgende opgave, die zijn eigen opgave omkeert:
Zij A een ring en A[x] de polynoomring in 1 variabele over A. Stel nu dat f in A[x] zit zodanig dat 1-x*f een eenheid in A[x] is. Bewijs dat alle coefficienten van f nilpotent zijn. Laat vervolgens zien dat
A[x]*=A* dan en slechts dan als nil(A)={0}.
A[x] is de verzameling uitdrukkingen van de vorm
a0+a1x+...+anxn, met ai in A voor alle i en n niet-negatief geheel. Deze ai heten de coefficienten van xi. Voor m>n is de coefficient van xm gelijk aan 0. De regels van de openingspost definieren hier een ringstructuur op, dat wil zeggen dat we 2 van zulke uitdrukkingen bij elkaar optellen door de coefficienten bij de overeenkomstige machten van x op te tellen en 2 vanzulke uitdrukkingen met elkaar vermenigvuldigen door 'haakjes in het product uit te werken' en daarbij de conventie xnxm=xm+n te hanteren.
Een belangrijke techniek in de commutatieve algebra is lokalisatie. Een deelverzameling S van A heet een multiplicatief systeem als ze aan 2 voorwaarden voldoet:
1 zit in S
als x en y in S zitten, zit xy ook in S.
De lokalisatie van A ten aanzien van S, genoteerd als AS of S-1A, is de verzameling uitdrukkingen van de vorm a/s, waarbij a in A zit en s in S en waarbij 2 van zulke uitdrukkingen a/s en b/t als hetzelfde worden beschouwd als er een u in S is met
u(at-bs)=0 in A.
We definieren nu a/s + b/t = (at+bs)/(st) en a/s * b/t=(ab)/(st).
Opgave: laat zien dat AS een ring is, met 0=0/1 en 1=1/1.
We hebben een homomorfisme A->AS door a naar a/1 te sturen. Echter, vanwege de factor u in u(at-bs)=0 hoeft het nu niet zo te zijn dat twee verschillende elementen in A ook naar verschillende elementen in AS worden gestuurd. Wees hierop verdacht.
Twee belangrijke gevallen van multiplicatieve systemen wil ik jullie niet onthouden: als f een element in A is, dan is {1,f,f2,...} een multiplicatief systeem en als P een priemideaal is, dan is A-P een multiplicatief systeem. In het eerste geval noteren we de lokalisatie ook met Af en in het tweede geval met AP.
Opgave: bewijs deze uitspraak over priemidealen.
Opgave: voor welke f is Af isomorf met de nulring?
[ Bericht 6% gewijzigd door thabit op 15-04-2004 22:55:21 ]
Misschien wordt het tijd voor een voorbeeldje. We nemen als voorbeeld de verzameling Z van de gehele getallen. Dit is de verzameling
Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}.
Dus alle positieve en negatieve gehele getallen, maar geen breuken of andere 'getallen achter de komma'. Het is eenvoudig na te gaan dat Z een ring is. Het bevat een 0, een 1, een optelling en vermenigvuldiging en voldoet aan alle rekenregeltjes die in de OP gesteld zijn.
Als nu n een niet-negatief geheel getal is, dan is de verzameling (n)={kn : k in Z} van alle veelvouden van n een ideaal. Het kan bewezen worden dat alle idealen van Z op deze manier te verkrijgen zijn. Dus als bijvoorbeeld n=4, dan hebben we (n)={...,-12,-8,-4,0,4,8,12,...}. En bij n=1 krijgen we de hele ring Z: (1)=Z.
Welke idealen zijn nu priemidealen? Wel, zoals de terminologie al suggereert, zullen dat wel de idealen (p) zijn, waarbij p een priemgetal is. Er is echter nog 1 ander priemideaal, namelijk (0), het ideaal dat alleen het getal 0 bevat. Waarom zijn dit priemidealen? Scroll nog maar even naar boven voor de definitie van een priemideaal. Voor (0) is het duidelijk: als ab=0 dan is a=0 of b=0. En voor (p) ook: als ab deelbaar is door een priemgetal p, dan is 1 van de twee factoren (of allebei) ook deelbaar door p.
Waarom zijn de andere idealen geen priemideaal? Als n=1, dan is (n)=Z, en dat mag niet volgens de definitie van een priemideaal. In alle andere gevallen kunnen we n schrijven als het product van 2 getallen die niet 1 zijn: n=ab, zeg. Dan is ab in (n), maar noch a, noch b zit in (n), en daarom kan (n) geen priemideaal zijn.
Okee, en de maximale idealen dan? Scroll ook hiervoor weer even omhoog naar de definitie. Probeer voor jezelf na te gaan dat (n)<(m) dan en slechts dan als m een deler is van n. Dus we moeten eigelijk zoeken naar getallen die geen echte delers hebben (behalve 1 en zichzelf) en dat zijn precies de priemgetallen! Dus de maximale idealen van Z zijn precies de idealen (p) met p priem. Dit is ook in lijn met een opgave, waarin stond dat elk maximaal ideaal priem is. We zien dat niet elk priemideaal maximaal is: (0) is wel een priemideaal, maar geen maximaal ideaal.
Beschouw de verzameling A van uitdrukkingen van de vorm a+bx, met a en b gehele getallen en x een variabele. Definieer optelling als:
(a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x,
en vermenigvuldiging als:
(a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x.
Als 0=0+0x en 1=1+0x, dan is A een ring. Het element x identificeren we met 0+1x. We kunnen nu nagaan dat x2=0:
x2=(0+1x)(0+1x)=0+0x=0.
quote:Een hint voor bij de hint: je moet dus eigenlijk laten zien dat als fg=1, dat dan de coefficienten van zowel f als g in P zitten, behalve de coefficient van de constante term (die met index 0 dus). Als de coefficienten niet in P zitten, dan hebben zowel f als g een hoogste index waarbij de coefficient niet in P zit.Op donderdag 15 april 2004 13:54 schreef thabit het volgende:
[..]
Deze opgave is vrij lastig, daarom een hint: laat voor elk priemideaal P van A zien dat de coefficienten van f in P zitten.
quote:Laat a,b in f-1. Omdat I een ideaal is geldt dat f(a) + f(b) in I zit. Omdat f een homomorfisme is geldt dus ook dat f(a+b) in I zit, dus a+b zit in f-1. Laat nu x in A.Op woensdag 14 april 2004 00:12 schreef thabit het volgende:
2) Laat f:A->B een homomorfisme zijn en I een ideaal van B. Bewijs dat f-1(I) een ideaal van A is. Met f-1(I) bedoelen we de verzameling {a in A: f(a) in I}.
Dan geldt dat f(x)f(a) in I zit. Door weer de homomorfie eigenschap toe te passen zie je dat f(xa) ook in I zit. Dit betekent dat xa in f-1 zit voor alle x in A. Dus f-1 is een ideaal van A.
P.S. Leuk topic trouwens, goed om alvast wat ringentheorie voor volgend jaar te oefenen
Ik zal alvast aangeven waar ik zo naar toe wil in dit topic, namelijk de volgende stelling:
De doorsnede van alle priemidealen is gelijk aan het nilradicaal.
Dit is een van de ALLERBELANGRIJKSTE stellingen uit de commutatieve algebra. De tot nu toe gepresenteerde technieken zijn voldoende om deze stelling eenvoudig te kunnen bewijzen, maar ik wacht er nog even mee totdat er wat meer opgaven gemaakt zijn zodat ik weet dat men de technieken enigszins begrepen heeft.
quote:Is een citaat van Gerd Faltings.Op donderdag 13 mei 2004 13:48 schreef Haushofer het volgende:
Edward Witten een loodgieter noemen is wel erg jammer.
quote:Hij heeft in elk geval wel meer verstand van commutatieve algebra dan Ed.Op donderdag 13 mei 2004 13:56 schreef Haushofer het volgende:
Dan is Gerd Falting een erg jammer persoon.
quote:Dat is maar zeer de vraag. Ed is een zeer gesloten persoon. Behalve over z'n wetenschappelijke werk, is er haast niets over hem bekend.Op donderdag 13 mei 2004 14:54 schreef Haushofer het volgende:
Ik denk dat Ed daar wel mee kan leven.
Maar ik trap er mooi niet in!
*vlucht schreeuwend weg uit WFL
Staat dit alles ook best goed uitgelegd
quote:Maar dat is toch ook zo: wiskundigen houden zich met de verkeerde dingen bezig.Op zaterdag 29 mei 2004 15:17 schreef thabit het volgende:
De ruzie tussen Faltings en Witten is in elk geval erg tekenend voor de rivaliteit die tussen wiskundigen en natuurkundigen bestaat: natuurkundigen beschuldigen wiskundigen ervan dat ze zich met de verkeerde dingen bezighouden en wiskundigen beschuldigen natuurkundigen ervan dat ze geen wiskunde kunnen.
Waar is de zinvolle toepassing van de unitaire commutatieve ring?
quote:Waarom zou er perse een directe toepassing op de werkelijkheid moeten zijn van wiskundige begrippen? Wiskunde is gewoon een vakgebied opzich wat helemaal niet probeert om een relatie met de echte werkelijkheid te leggen. Dat het nu heel handig is om te gebruiken in de natuurkunde is gewoon een prettige eigenschap ervan, maar geen doel opzichOp maandag 19 juli 2004 20:54 schreef Yosomite het volgende:
Maar dat is toch ook zo: wiskundigen houden zich met de verkeerde dingen bezig.
Waar is de zinvolle toepassing van de unitaire commutatieve ring?
In een vlaag van geheugenverlies heb ik Lie agebra gevolgd (uiterst belangrijk voor QM), het is een niet-associatieve (wel commutatieve) algebra. En daar zag ik gelijk wel het nut van in, de toepassing is vanzelfsprekend. Is het niet zo dat wiskunde voortvloeit uit de natuurkundige experimenten die ver- of ge-theoretiseerd worden en verder uitgediept.
Einde off-topic
quote:Geheugenverlies is inderdaad het goede woord.Op maandag 19 juli 2004 22:56 schreef Yosomite het volgende:
Het gaat wel enigszins off-topic
In een vlaag van geheugenverlies heb ik Lie agebra gevolgd, het is een niet-associatieve (wel commutatieve) algebra.
tijd voor een simpele tijd.
wake up.
quote:Ik zie de link niet.er is al genoeg gekloot op de wereld....
quote:Dag baajGuardian.wake up.
)Maar ik zelf zie het nut van wiskunde puur voor de wiskunde wel in: het laat zien hoe mensen een consistent geheel kunnen opbouwen met algebra. Het hoeft natuurlijk niet altijd toepasbaar te zijn; de natuurkunde is dat ook niet altijd ( dat was een beetje voor Yosomite. ) Ben zelf de laatste tijd ook geinteresseerd in wiskunde op zich, zonder toepassingen in de natuurkunde. Daarom wil ook es iets lezen over topologie, en ik zie de term Lie-groep ook vaak voorbij komen. ( ja, dat heeft wel toepassingen, maar zoals Pietjuh zei: da's alleen maar fijn!) Heeft iemand een mooie link, of PDF, want met Google kwam ik niet zo ver....Leuk topic in ieder geval.
(weet zo gauw niet de axiomas van een vectorruimte uit mn hoofd, maar het lijkt er erg veel op)
Waarom heet zoiets dan een ring?
quote:Nee, een ring heeft vermenigvuldiging tussen de elementen, een vectorruimte alleen scalaire vermenigvuldiging. Een vectorruimte is altijd over een lichaam (zeg k) gedefinieerd, een ring niet per se.Op dinsdag 20 juli 2004 11:55 schreef Haushofer het volgende:
Nog 1 vraag en ik hou mn kop weer een tijdje: een ring is dus een zelfde iets als een vectorruimte?
(weet zo gauw niet de axiomas van een vectorruimte uit mn hoofd, maar het lijkt er erg veel op)
Waarom heet zoiets dan een ring?
Een ring die ook een vectorruimte is heet een k-algebra.
En wat moet ik me voorstellen bij een verzameling die niet over een lichaam is gedefinieerd? ( ben er niet zo thuis in, zoals je ziet....)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Terwijl de standaard scalaire vermenigvuldiging in R2 (gezien als vectorruimte over het lichaam R) is
a*(b,c)=(a*b,a*c)
Geeft dit een verschil aan?
quote:Op de site van gerard 't hooft staat iig een dictaat over Inleiding Lie-groepen voor natuurkundigenOp dinsdag 20 juli 2004 11:51 schreef Haushofer het volgende:
Ook nog een algemene opmerking: ik ervaar die rivaliteit tussen wis en natuurkundigen niet heel erg, alleen merk ik wel dat natuurkundigen wat makkelijker omspringen met wiskunde ( bv in de QM: we hopen vaak maar dat de gebruikte ruimte volledig is, dat rekenen we niet echt na
Maar ik zelf zie het nut van wiskunde puur voor de wiskunde wel in: het laat zien hoe mensen een consistent geheel kunnen opbouwen met algebra. Het hoeft natuurlijk niet altijd toepasbaar te zijn; de natuurkunde is dat ook niet altijd ( dat was een beetje voor Yosomite. ) Ben zelf de laatste tijd ook geinteresseerd in wiskunde op zich, zonder toepassingen in de natuurkunde. Daarom wil ook es iets lezen over topologie, en ik zie de term Lie-groep ook vaak voorbij komen. ( ja, dat heeft wel toepassingen, maar zoals Pietjuh zei: da's alleen maar fijn!) Heeft iemand een mooie link, of PDF, want met Google kwam ik niet zo ver....Leuk topic in ieder geval.
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg03.ps
Hier een andere wat meer wiskundige aanpak
http://www.math.uu.nl/people/ban/lecnotes/lie2003.pdf
Voor algebraische topologie (wat ik pas door ga nemen als ik eerst college topologie gevolgd heb
) schijnt dit een erg goed boek te zijn.http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
Maar topologie en lie-groepen hebben best veel toepassingen in de moderne natuurkunde, vooral in string theory!
[ Bericht 2% gewijzigd door Pietjuh op 20-07-2004 17:52:34 ]
quote:Dit is inderdaad de stof vh college dat ik gevolgd heb, om inzicht te krijgen in SU3 en de CBH formule. Leuk(?) het nog eens tegen te komen.Op dinsdag 20 juli 2004 17:37 schreef Pietjuh het volgende:
[..]
Op de site van gerard 't hooft staat iig een dictaat over Inleiding Lie-groepen voor natuurkundigen
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg03.ps
quote:OK, dus dan is het uitproduct dus wel een vermenigvuldiging tussen elementen ( om dat het een vector oplevert)?Op dinsdag 20 juli 2004 15:38 schreef Pie.er het volgende:
In R2 kun je een vermenigvuldiging tussen twee elementen onderling bijvoorbeeld definieren door
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Terwijl de standaard scalaire vermenigvuldiging in R2 (gezien als vectorruimte over het lichaam R) is
a*(b,c)=(a*b,a*c)
Geeft dit een verschil aan?
quote:Ja, in de R3 met een vastgekozen basis. Die vermenigvuldiging voldoet echter niet aan de eisen van een commutatieve ring.Op woensdag 21 juli 2004 12:12 schreef Haushofer het volgende:
[..]
OK, dus dan is het uitproduct dus wel een vermenigvuldiging tussen elementen ( om dat het een vector oplevert)?
quote:Probeer jij het inproduct dan maar eens coordinaatonafhankelijk te definieren.Op woensdag 21 juli 2004 15:50 schreef Pie.er het volgende:
Het uitproduct is sowieso iets vervelends. Het is niet tensorieel (coördinaatonafhankelijk) te definiëren, zoals het inproduct.
Het uitproduct is nog coordinaatonafhankelijk te definieren als een afbeelding naar de tweede uitwendige macht van de vectorruimte waar je in zit. Met het inproduct is zoiets helemaal niet mogelijk.
Omdat het inproduct lineair is, is er een lineaire functie G:V->V*, zo dat
voor alle x,y uit V: (x,y)=<Gx,y>
<a,b> is een notatie voor a(b).
Dit is een coordinaatonafhankelijke definitie.
Waarom uitproduct niet coordinaatonafhankelijk is:
Pak R3.
Gegeven zijn de vectoren x en y, en het uitwendig product z=(x2y3-x3y2,...,...)
Bekend wordt verondersteld dat voor alle u,v uit R3 en alle inverteerbare lineaire functies S van R3 naar R3:
Su x Sv = det(S)S-T(u x v)
Omdat het uitproduct in dezelfde ruimte zit als zijn twee ingangen, zou het uitproduct tensorieel zijn als Au x Av = A(u x v)
Dit geldt echter alleen als A=det(A)A-T, wat niet algemeen geldig is.
Daarom is het uitproduct geen tensoriele operatie.
Oja dit gaat alleen op in eindig dimensionale vectorruimtes, oneindige weet ik zo niet.
Maar ik denk dat meer dat we een meningsverschil hebben tussen coordinaatsloos definieren en coordinaatonafhankelijk definieren, of dat ik over dingen zit te praten waar ik geen verstand van heb. Dat laatste zou ik meteen accepteren, want ondanks een interesse in dit onderwerp werd mij op tentamen slechts een zesje gegund.
quote:Gebruik je hier niet al het inproduct?Op woensdag 21 juli 2004 23:06 schreef Pie.er het volgende:
Noteer V* als de duale ruimte van V.
Omdat het inproduct lineair is, is er een lineaire functie G:V->V*, zo dat
voor alle x,y uit V: (x,y)=<Gx,y>
<a,b> is een notatie voor a(b).
Dit is een coordinaatonafhankelijke definitie.
pak twee bases in V, {ei} en {ei'}.
pak de twee bijbehorende bases in V*, {ei} en {ei'}.
Omdat het inproduct lineair is, is het voldoende deze te definieren op de basisvectoren.
Noteer dit als (ei,ek)=gik.
(Het euclidische inproduct is dus gik=delta(i,k))
Berg g op in een matrix, G. Door uit te schrijven is te zien dat, als ei'=A ei, de matrix G' behorende bij de alternatieve basis gelijk is aan G'=(A)TGA.
Definieer het inproduct nou door (x,y)=XTGY. (zoek zelf maar uit wat ik met X en Y bedoel)
In de alternatieve basis komt dit uit op (x,y)=(A-1 X)T(A)TGA A-1Y'=
XTGY, dus het is consistent.
Het inproduct wordt zo niet op een coördinaatvrije manier ingevoerd, maar wel blijkt het achteraf niet uit te maken welke basis gekozen was.
quote:Een inproduct hangt af van een gekozen isomorfisme van V naar V', en dat is niet canoniek.Op donderdag 22 juli 2004 12:31 schreef Pie.er het volgende:
Anders gezegd:
pak twee bases in V, {ei} en {ei'}.
pak de twee bijbehorende bases in V*, {ei} en {ei'}.
Omdat het inproduct lineair is, is het voldoende deze te definieren op de basisvectoren.
Noteer dit als (ei,ek)=gik.
(Het euclidische inproduct is dus gik=delta(i,k))
Berg g op in een matrix, G. Door uit te schrijven is te zien dat, als ei'=A ei, de matrix G' behorende bij de alternatieve basis gelijk is aan G'=(A)TGA.
Definieer het inproduct nou door (x,y)=XTGY. (zoek zelf maar uit wat ik met X en Y bedoel)
In de alternatieve basis komt dit uit op (x,y)=(A-1 X)T(A)TGA A-1Y'=
XTGY, dus het is consistent.
Het inproduct wordt zo niet op een coördinaatvrije manier ingevoerd, maar wel blijkt het achteraf niet uit te maken welke basis gekozen was.
Zonder isomorfisme is het inproduct al te definiëren, waarna met behulp van zo'n inproduct het isomorfisme aan te geven is. Of ben ik nou allemaal dingen door elkaar aan het halen?
quote:Ik denk dat je dingen door elkaar aan het halen bent. Een inproduct op een vectorruimte is niet canoniek, maar geeft de vectorruimte juist nog een extra structuur.Op donderdag 22 juli 2004 14:01 schreef Pie.er het volgende:
Het is toch juist andersom, als er een inproduct gekozen is, is er een isomorfisme te definiëren van V naar zijn duale?
Zonder isomorfisme is het inproduct al te definiëren, waarna met behulp van zo'n inproduct het isomorfisme aan te geven is. Of ben ik nou allemaal dingen door elkaar aan het halen?
Op een vectorruimte is niet standaard een inproduct aangegeven, er zijn (behalve in het triviale geval) meerdere mogelijkheden.
Inderdaad geeft het aanbrengen van een inproduct extra structuur, er kan automatisch een metriek vastgelegd worden enzovoorts.
Maar dat is het punt niet. Deze extra structuur wens ik nog niet te gebruiken, het gaat er alleen om dat een inproduct (dus een bilineaire symmetrische functie met (x,x)>0 als x!=0) coordinaatsonafhankelijk te definieren is.
Het punt is dat als ik eenmaal een keuze heb gemaakt voor een inproduct, en zo extra structuur heb aangebracht in de vectorruimte, dat inproduct niet afhangt van de basiskeuze die is genomen voor de vectorruimte. Het is wel makkelijk om een basiskeuze te maken om het inproduct te definieren, maar welke keuze gemaakt wordt is niet van belang.
quote:We kunnen dus niet spreken over het inproduct op een vectorruimte, wel over een inproduct op een vectorruimte.Op donderdag 22 juli 2004 15:35 schreef Pie.er het volgende:
Dat klopt, maar dan kan het toch nog wel coordinaatsonafhankelijk zijn?
Op een vectorruimte is niet standaard een inproduct aangegeven, er zijn (behalve in het triviale geval) meerdere mogelijkheden.
Inderdaad geeft het aanbrengen van een inproduct extra structuur, er kan automatisch een metriek vastgelegd worden enzovoorts.
Maar dat is het punt niet. Deze extra structuur wens ik nog niet te gebruiken, het gaat er alleen om dat een inproduct (dus een bilineaire symmetrische functie met (x,x)>0 als x!=0) coordinaatsonafhankelijk te definieren is.
Het punt is dat als ik eenmaal een keuze heb gemaakt voor een inproduct, en zo extra structuur heb aangebracht in de vectorruimte, dat inproduct niet afhangt van de basiskeuze die is genomen voor de vectorruimte. Het is wel makkelijk om een basiskeuze te maken om het inproduct te definieren, maar welke keuze gemaakt wordt is niet van belang.
Maar dat geldt ook voor het begrip uitproduct: zoals een inproduct op een vectorruimte min of meer equivalent is met een isomorfisme van V naar V', zo is het uitproduct op een driedimensionale vectorruimte equivalent met een isomorfisme van V naar /\2V.
quote:[offtopic vraag]Op donderdag 22 juli 2004 15:42 schreef thabit het volgende:
[..]
We kunnen dus niet spreken over het inproduct op een vectorruimte, wel over een inproduct op een vectorruimte.
Maar dat geldt ook voor het begrip uitproduct: zoals een inproduct op een vectorruimte min of meer equivalent is met een isomorfisme van V naar V', zo is het uitproduct op een driedimensionale vectorruimte equivalent met een isomorfisme van V naar /\2V.
Moet jij toevallig nog aankomend jaar bij een wiskunde vak assisteren? Mischien krijg ik je dan wel als assistent
[/offtopic vraag]
quote:Ja. Ze hebben me bij wiskunde 1A gezet, da's een soort herhaling van de middelbare schoolstof voor mensen die scheikunde en biologie enzo doen. Ik ga toch maar eens vragen of ik het semester daarna bij een echt vak geplaatst kan worden, algebraische meetkunde lijkt me wel leuk om te doen.Op donderdag 22 juli 2004 18:44 schreef Pietjuh het volgende:
[..]
[offtopic vraag]
Moet jij toevallig nog aankomend jaar bij een wiskunde vak assisteren? Mischien krijg ik je dan wel als assistent
[/offtopic vraag]
quote:Mischien wordt je tijdens 2e semester wel bij Algebra 1 geplaatst. Dit jaar waren er iig ook 2 Aio's van algebraische meetkunde die daarbij moesten assisteren.Op donderdag 22 juli 2004 18:48 schreef thabit het volgende:
Ja. Ze hebben me bij wiskunde 1A gezet, da's een soort herhaling van de middelbare schoolstof voor mensen die scheikunde en biologie enzo doen. Ik ga toch maar eens vragen of ik het semester daarna bij een echt vak geplaatst kan worden, algebraische meetkunde lijkt me wel leuk om te doen.
quote:Aha, maar Bas gaat geloof ik ook een soort landelijk college algebraische meetkunde geven. Lijkt me wel een hele uitdaging om schematheorie uit te leggen aan studenten.Op donderdag 22 juli 2004 19:39 schreef Pietjuh het volgende:
[..]
Mischien wordt je tijdens 2e semester wel bij Algebra 1 geplaatst. Dit jaar waren er iig ook 2 Aio's van algebraische meetkunde die daarbij moesten assisteren.
quote:Er is heel veel commutatieve algebra gebruikt in het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat.Op maandag 19 juli 2004 20:54 schreef Yosomite het volgende:
[..]
Maar dat is toch ook zo: wiskundigen houden zich met de verkeerde dingen bezig.
Waar is de zinvolle toepassing van de unitaire commutatieve ring?
quote:Met algebra heb ik tijdens m'n studie nooit moeite gehad en dus ook nooit ezelsbruggetjes nodig gehad om het te kunnen. Nu bij m'n promotie-onderzoek is het allemaal wel wat lastiger. Er zijn wel een aantal manieren om algebra meetkundig in te zien, waar je niet zoveel aan hebt als je niet eerst die algebra tot op een zeker niveau beheerst.Op dinsdag 10 augustus 2004 08:09 schreef accelerator het volgende:
thabit: ik ben nu met algebra bezig en er zitten best lastige opgaves tussen. Bij de meeste wiskunde kan je opgaves goed aan als je op een andere manier naar dingen kijkt (vb, functie uitschrijven in taylor ontwikkeling) alleen bij algebra werkt die "truk" wat minder. Heb jij nog ideeen?
. Wat voor algebra ben je nu aan het doen eigenlijk?[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 10-08-2004 19:46:41 ]
maar die Fourier is nu wel vrij duidelijk. Aantonen van uniforme/ puntsgewijze convergentie, fouriertrafo's uitrekenen. Wat ik nog wel lastig vindt is het zogenaamde afschatten van dingen, om convergentie aan te tonen of om dingen te bewijzen ( bv integraal is altijd kleiner of gelijk aan (lengte van interval)*supremum, en Cauchy schwarz ongelijkheden enzo. Maar ik ben natuurkundig ej. quote:1e jaars algebra. Er zijn dus veel opgaven. Het variert van makkelijk tot moeilijk en die moeilijke opgaven die zijn dus moeilijk.Wat voor algebra ben je nu aan het doen eigenlijk?
quote:Vind ik ook met de opgaven uit Serge Lang's AlgebraOp dinsdag 10 augustus 2004 19:54 schreef thabit het volgende:
Heb ik ook. Vooral de opgaves in Hartshorne hebben die eigenschap.
quote:Nee, ze denken opgegeten te zullen worden door het slangenlemma.Op zaterdag 16 oktober 2004 10:12 schreef Pietjuh het volgende:
Een priemideaal is als een priem in hun hartjes?