Commutatieve Algebra

Hoewel volgens Ed Witten het leven te kort is voor algebra, laten we ons niet door deze loodgieter commanderen en moet er dus maar een topic over algebra komen. We zullen ons hier richten op de commutatieve algebra, met natuurlijk de algebraische meetkunde als inspiratiebron.

In de commutatieve algebra worden unitaire commutatieve ringen behandeld.

Laten we beginnen met de definitie van een ring. Een ring is een verzameling A met daarin een element 0 en twee tweeledige operaties + en *. We zullen in onze notatie a*b ook wel als ab schrijven. De ring A moet aan de volgende axioma's voldoen:
x+y=y+x voor alle x en y in A (commutativiteit van +).
(x+y)+z=x+(y+z) voor alle x, y en z in A (associativiteit van +).
0+x=x voor alle x in A.
Voor alle x in A is er een element -x in A zo dat -x+x=0.
(xy)z=x(yz) voor alle x,y en z in A (associativiteit van * ).
x(y+z)=xy+xz en (x+y)z=xz+yz voor alle x,y en z in A (distributiviteit van * over +).

De definitie van een object is niet compleet als we de morfismen die erbij horen niet definieren. Een homomorfisme van een ring A naar een ring B is een functie f:A->B die voldoet aan
f(0)=0.
f(x+y)=f(x)+f(y) voor alle x,y in A.
f(xy)=f(x)f(y) voor alle x,y in A.

Zo'n ring A heet unitair als we er ook nog bij eisen dat er een element 1 in A is dat voldoet aan
1*x=x*1=x voor alle x in A.
Bij een homomorfisme tussen unitaire ringen stellen we nog als extra eis dat
f(1)=1.

Een unitaire ring heet commutatief als we nog 1 extra eis stellen:
xy=yx voor alle x en y in A.

Omdat we in dit topic geen andere ringen dan de unitaire commutatieve zullen beschouwen, tenzij nadrukkelijk vermeld, zullen we vanaf nu met 'ring' 'unitaire commutatieve ring' bedoelen. We zullen even wat eigenschappen bekijken van deze interessante objecten.

[ Bericht 2% gewijzigd door thabit op 14-04-2004 00:04:11 ]

We beginnen met een simpele opgave:

We eisen niet dat 0 ongelijk is aan1. Laat zien dat {0} een ring is met 0=1. We noemen deze ring de nulring. Laat tevens zien dat elke ring met 0=1 isomorf is met de nulring.

quote:

Op dinsdag 13 april 2004 17:07 schreef Pie.er het volgende:
Als je toch alles introduceert, introduceer dan het begrip isomorf waar in de vraagstelling naar gevraagd wordt goed.
Wanneer zijn twee ringen isomorf?

Een normale lezer zal uit bovenstaande concluderen dat twee ringen isomorf zijn als er een homomorfisme tussen die ringen bestaat, maar zonder volledige introductie krijgt dit een vleugje alpha-'wetenschap'erigs...
En dat willen we toch niet he...

Laten we dat voor de volledigheid dan inderdaad erbij definieren. Een homomorfisme f:A->B is een isomorfisme als er een homomorfisme g:B->A bestaat zo dat g(f(x))=x voor alle x in A en f(g(x))=x voor alle x in B. Het is duidelijk dat g in zo'n geval ook een isomorfisme is (wissel immers f en g om). We zeggen dat twee ringen A en B isomorf met elkaar zijn als er een isomorfisme van A naar B bestaat.

Ai, distributiviteit vergeten in de OP. Domdomdom. Dat verklaart ook meteen waarom niemand het sommetje nog had opgelost.

quote:

Op dinsdag 13 april 2004 22:38 schreef Modwire het volgende:

[..]

alle bovengenoemde voorwaarden gelden toch altijd???
anders is dit topic te vaag voor mij...

Ik begrijp je vraag geloof ik niet helemaal. Het woord 'altijd' suggereert dat de geldigheid van de voorwaarden tijdsafhankelijk zou kunnen zijn. Dat ze gisteren golden, vandaag nog steeds gelden en morgen weer. Ringen zijn echter tijdloos.

[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 13-04-2004 22:55:50 ]

quote:

Op dinsdag 13 april 2004 23:45 schreef accelerator het volgende:
oh . . . en voor alle moet nauurlijk VOOR de bewering en niet er ACHTER.

Omdat het in dit geval in woorden is uitgetikt en de leesbaarheid er ook niet onder lijdt is dat niet zo heel belangrijk hier.

Idealen

Een niet-lege deelverzameling I van een ring A heet een ideaal als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
i+j zit in I voor alle i,j in I.
a*i zit in I voor alle a in A en i in I.

In het bijzonder is de ring A zelf een ideaal. We noemen dit het eenheidsideaal.
We noemen I een priemideaal als I niet gelijk is aan A en als ook nog het volgende geldt: voor alle a en b in A met ab in I geldt dat a in I of b in I zit.
We noemen I een maximaal ideaal als I niet gelijk is aan A en voor elk ideaal J met I<J geldt dat J=I of J=A. De notatie < betekent hier 'is deelverzameling van'.

De volgende stelling volgt uit het keuze-axioma: voor elk ideaal I ongelijk aan A is er een maximaal ideaal m zo dat I<m.

Dit brengt ons meteen bij enkele opgaven:
1) Laat zien dat elk maximaal ideaal een priemideaal is.
2) Laat f:A->B een homomorfisme zijn en I een ideaal van B. Bewijs dat f^-1(I) een ideaal van A is. Met f^-1(I) bedoelen we de verzameling {a in A: f(a) in I}.
3) Geef een tegenvoorbeeld om de volgende bewering te ontkrachten: als f:A->B een homomorfisme is en I een ideaal van A, dan is f(I) een ideaal van B. Met f(I) bedoelen we de verzameling {b in B: er is een i in I met f(i )=b}.
4) Laat nu I in opgave 2 een priemideaal zijn. Laat zien dat f^-1(I) ook een priemideaal is.
5) Geef een tegenvoorbeeld om de volgende bewering te ontkrachten: als I in opgave 2 een maximaal ideaal is, dan is f^-1(I) ook een maximaal ideaal.

Deze opgaven hebben enige relevantie voor de algebraische meetkunde.

quote:

Op woensdag 14 april 2004 00:21 schreef accelerator het volgende:

[..]

Zo hebben ze mij de definitie van continuiteit dus proberen uit te leggen.

Bij de definitie van continuiteit (tenminste, de epsilon-delta definitie) is het inderdaad niet echt handig om de quantoren erachter te zetten. Bij de topologische definitie maakt het dan weer geen ruk uit.

quote:

Op woensdag 14 april 2004 00:24 schreef gnomaat het volgende:
Nou vooruit dan maar, om wat vaart in het topic te krijgen:
[..]

Vul overal voor x, y en z in de bovenstaande vereiste eigenschappen van een ring 0 in.
[..]

Die ring noemen we even R, de nulring noemen we S. Waar nodig noteer ik het nul-element van R even als 0_R.
V x c R geldt dan x = x*1 (definitie van 1) = x*0 (want 1=0) = 0 (definitie van 0). Dus R = {0_R}.
Definieer f:R->S als f(x)=0 en g:S->R als g(x)=0_R.
Voor f geldt dan f(x+y) = 0 = 0+0 = f(x)+f(y), en f(xy) = 0 = 0*0 = f(x)f(y), en idem voor g (met 0_R ipv 0), f en g zijn dus homomorfismen. Omdat V x c R geldt dat x=0_R, hebben we f(g(x)) = 0_R = x, en net zo 0 = g(f(0)), dus R en S zijn isomorf.

Bijna helemaal volledig! Kun je de stap x*0=0 nog even nader toelichten?

quote:

Op woensdag 14 april 2004 00:30 schreef accelerator het volgende:

[..]

Door elkaar dus!!! De ene keer erachter en de andere keer er voor, in het zelfde stukje tekst.
Ik voelde me echt dom terwijl zij het gewoon totaal verkeerd uitgelegd hebben. Ze kwamen ook zelden met voorbeelden (en tegen voorbeelden) aanzetten.
[..]

Kan je dat kort uitleggen.

Een topologische ruimte is een verzameling X met een gegeven verzameling T van deelverzamelingen van X, die aan de volgende voorwaarden voldoen:
de lege verzameling zit in T en X zelf zit ook in T.
Voor elke deelverzameling I van T zit de vereniging van alle elementen van I ook in T.
Voor elke eindige deelverzameling I van T zit de doorsnede van alle elementen van I ook in T.

We noemen de verzamelingen in T ook wel de open delen van X. Als X en Y topologische ruimtes zijn, dan heet een functie f:X->Y continu als f^-1(U) open is voor elk open deel Y van U.

De topologie die we op R nemen is als volgt: de open delen zijn precies de deelverzamelingen die als vereniging van open intervallen in R te schrijven zijn.

quote:

Op woensdag 14 april 2004 00:48 schreef gnomaat het volgende:

[..]

Oh ja, fout gelezen, dacht dat x*0=0 al bij het lijstje gegeven eigenschappen van een Ring stond.
Zeg y=x*0, dan y = y+0 = y + y + (-y) = x*0 + x*0 + -y = x*(0+0) + -y = x*0 + -y = y + -y = 0.

Zeer juist!