Hopelijk is er hier een beetje interesse voor.
Ikzelf ben derdejaars student wiskunde (specialisatie zuivere wiskunde, en dan liefst zoveel mogelijk algebra) aan de KULeuven en ben volop op zoek naar een thesisonderwerp voor volgend jaar.
Had gedacht aan iets van Ramseytheorie, lijkt me wel behoorlijk interessant, maar heb begrepn dat dit niet echt gemakkelijk is
eerst zat ik op de perfecte nummers te broeden, maar buiten voor het spel op zich, heeft dit niet zoveel toepassingen vrees ik
(interessante wiskundelink voor je vragen gaat stellen: mathworld.wolfram.com)
wel wiskundetopics, maar centrale?
quote:Op zondag 7 maart 2004 17:58 schreef placebeau het volgende:
Als de gelovigen een centraal topic hebben, mogen wij wiskundigen dat zeker.
Hopelijk is er hier een beetje interesse voor.
quote:Is dit dezelfde Ramsey die o.a. met Wittgenstein lid was van de Wiener Kreiss ?Had gedacht aan iets van Ramseytheorie, lijkt me wel behoorlijk interessant, maar heb begrepn dat dit niet echt gemakkelijk is
eerst zat ik op de perfecte nummers te broeden, maar buiten voor het spel op zich, heeft dit niet zoveel toepassingen vrees ik
Je studeert zuiver wiskunde en je vraagt je af of het toepassingen heeft.
Voor een zuiver wiskundige is dat toch niet relevant
Wat zijn de voorwaarden voor de thesis, is het een literatuur studie of wordt je geacht
iets geheel nieuws te presenteren ?
Ik heb het over toepassingen binnen de wiskunde zelf. perfecte nummers zijn een vrij gesloten topic, hoewel de zoektocht naar oneven perfecte nummers wel leuk is. Ik zou dit onderwerp wel willen nemen, maar de proffen moeten er nog mee akkoord zijn hé.
voor de duidelijkheid: perfecte nummers zijn getallen waarvan de som van de echte delers gelijk is aan het getal zelf. het eenvoudigste voorbeeld is natuurlijk 6. Het volgende is 28 en van dan af begint het groot te worden. Er zijn er oneindig veel, maar tot nu toe weet men nog altijd niet of er ook oneven perfecte getallen bestaan.
Neem een willekeurig geheel positief getal X > 1
Als X = 1 dan stop,
Als X deelbaar is door 2 dan X := X / 2 anders X := 3X + 1
De (onbewezen ?) stelling is dat dit algoritme voor elke X > 1 uit N termineert
Als je hiervoor een programmaatje schrijft, dan zie je dat voor sommige waarden van X
de uitkomst eerst heel groot wordt om vervolgens toch op 1 uit te komen.
Misschien is deze stelling te bewijzen, zo niet mischien voor bepaalde deelverzamelingen van N
Een onderzoek zou kunnen zijn om te kijken welke algoritmen van dit type termineren
en welke niet.
Dus de algemene vorm:
X> 1
X =1 dan stop
X deelbaar door P dan X := X / P anders X:= QX + 1
Voor welke P en Q termineert de algorithme.
Het probleem in de getal theorie dat een gek meer kan vragen dan 10^10 wiskundigen
in 10^10 jaar kunnen beantwoorden
quote:als hij nou zorgt dat hij er meer theorie van maakt issie binnen natuurlijkOp zondag 7 maart 2004 22:22 schreef thabit het volgende:
Wat betreft perfecte getallen en 3x+1-problemen: dat lijken mij geen geschikte onderwerpen voor een scriptie. Dit zijn volkomen ongrijpbare problemen waar behalve wat elementair bewijsbare dingen weinig over bekend is. Zoek iets waar wat meer theorie in zit.
Een pragmatische invalshoek:
Ga na wat de hobbies, stokpaardjes van je hoogleraar of afstudeerdocent zijn, wat vind hij belangijk. Als je die richting op gaat dan is de kans op een hoger cijfer natuurlijk groter.
(als dit tenminste je doelstelling is)
Of misschien is het zo dat juist zelfstandig onderzoek door hen op prijs wordt gesteld
Puur wiskundig gezien lijkt het mij heel moeilijk criteria te geven waarmee bepaald kan
worden dat het ene onderwerp belangrijker / waardevoller te vinden dan het andere.
quote:Nou, als gauss het niet kon, kan ik het ook niet hoorOp maandag 8 maart 2004 12:32 schreef street011 het volgende:
[..]
als hij nou zorgt dat hij er meer theorie van maakt issie binnen natuurlijk
neen, ik zoek wel iets, maar heb nog tijd zat
btw, zijn er nog meer echt goeie wiskunde sites buiten wolfram?
leuke ondertitel
heb net de biografie van erdös uitgelezen.
Eerst even een notatie invoeren: als m en n gehele getallen zijn, dan zeggen we dat n deelbaar is door m als er een geheel getal k bestaat met n=km. We zeggen in dat geval ook wel dat n een veelvoud is van m. Ook wel dat m een deler is van n of "m deelt n". Verschillende uitspraken voor hetzelfde idee, dat we noteren als
m|n.
In een ander topic, dat ik nu niet kan vinden vanwege de uitgeschakdelde search, ben ik hier wat dieper op ingegaan. We gaan nu iets bespreken dat daar nog niet is gedaan: het modulo-rekenen. Als m een geheel getal is, dan zeggen we "a is congruent met b modulo m" als m|a-b. We noteren dit met
a=b mod m,
waarbij we eigenlijk een = met 3 streepjes moeten gebruiken maar dat zit niet op m'n toetsenbord. We zouden a=b mod m ook kunnen zien als "a en b geven beide dezelfde rest bij deling door m". Zeer belangrijk zijn de volgende eigenschappen:
Als a=b mod m en c=d mod m, dan is:
a+c=b+d mod m,
a-c=b-d mod m,
ac=bd mod m.
Het bewijs van deze eigenschappen laat ik als opgave aan de lezer om te toetsen of hij/zij de stof tot nu toe begrepen heeft.
Een eenvoudige doch leuke toepassing van dit modulo-rekenen is de volgende: stel we hebben een geheel getal n, en vervolgens berekenen we de som van de cijfers, laten we die S(n) noemen. Dan is
n=S(n) mod 9.
In het bijzonder kunnen we dus nagaan of een getal deelbaar is door 9 door na te gaan dat de som van de cijfers deelbaar is door 9.
Het bewijs gaat als volgt: als n=akak-1...a0 in decimale notatie (dus ak is het eerste cijfer, ak-1 het tweede cijfer etc), dan is
n=10kak+10k-1ak-1+...+a0.
Nu is 10=1 mod 9 en door bovenstaande rekenregels voor het modulorekenen toe te passen zien we dus dat
n=10kak+10k-1ak-1+...+a0=1kak+1k-1ak-1+...+a0=ak+ak-1+...+a0=S(n) mod 9.
[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 10-03-2004 12:35:24 ]
ik ga dit dus uitprinten en mee naar school nemen... dat helpt altijd wel om dingen te gaan snappen...
ben nu ook te moe ervoor...
.quote:Frank P. Ramsey en Ludwig Wittgenstein waren allebei niet lid van de Wiener Kreis.Op zondag 7 maart 2004 18:29 schreef Oud_student het volgende:
Is dit dezelfde Ramsey die o.a. met Wittgenstein lid was van de Wiener Kreiss ?
(vraagje)
quote:Een groep filosofen (veelal ook wiskundigen) uit Wenen die in het begin van de vorige eeuw het Logisch Positivisme aanhingen. En vaak samen kwamen voor debatten, waar inderdaad ook Ludwig Wittgenstein en Bertrand Russell wel eens op verschenen.Op woensdag 10 maart 2004 01:35 schreef placebeau het volgende:
wat is de Wiener Kreis?
(vraagje)
quote:Ik denk niet dat het zo werkt hoor, ten minste in Utrecht niet. In het algemeen is het sowieso handig om, wanneer je zelf een onderwerp wilt zoeken, te kijken of je iets kunt doen wat in het interessegebied van één van de beschikbare docenten ligt. Tuurlijk moet je je hierdoor niet laten weerhouden wanneer je zelf een geweldig idee hebt of vastbesloten bent een bepaald onderwerp aan te pakken (en daarbij wordt zelfstandig onderzoek natuurlijk in hoge mate gewaardeerd!), maar je kunt het jezelf erg moeilijk maken en het kan een eenzame strijd worden dan...Op maandag 8 maart 2004 12:48 schreef Oud_student het volgende:
@ placebeau : Lastige keuzes.
Een pragmatische invalshoek:
Ga na wat de hobbies, stokpaardjes van je hoogleraar of afstudeerdocent zijn, wat vind hij belangijk. Als je die richting op gaat dan is de kans op een hoger cijfer natuurlijk groter.
(als dit tenminste je doelstelling is)
Of misschien is het zo dat juist zelfstandig onderzoek door hen op prijs wordt gesteld
Puur wiskundig gezien lijkt het mij heel moeilijk criteria te geven waarmee bepaald kan
worden dat het ene onderwerp belangrijker / waardevoller te vinden dan het andere.
Ook binnen wiskunde is er sprake van 'trends', voor bepaalde gebieden/onderwerpen is in bepaalde tijdvakken meer aandacht dan voor andere. Misschien is dat voor het schrijven van een afstudeerscriptie an sich van minder belang, maar het kan in je voordeel uitpakken als je bezig gaat met een onderwerp wat in de belangstelling staat op dat moment, omdat het de mogelijkheid van publiceren groter maakt wanneer het je lukt om interessante resultaten te produceren.
Maar goed, het belangrijkste blijft m.i. dat je iets doet wat je leuk vindt
.quote:Als je dit nou weglaat, ben ik het helemaal met je eens.Ik denk niet dat het zo werkt hoor
Je betoog is in lijn met wat ik bedoel, mijn "advies" diende er vrnl toe
om tot denken aan te zetten, met name "waarom doe ik dit".
Wat jij zegt zou ik ook doen, maar dat is onze mening.
Ik weet niet wat Placebeau er van denkt
En verder "wetenschappers zijn soms net mensen"
de proffen stellen een aantal onderwerpen voor
Maar je mag ook zelf een onderwerp voorstelle, maar danmoet dat nog goegekeurd worden door de prof, die kijkt of het onderwerp niet te ruim of te smal is, en of het wel interessant is, en past het eventueel zelfs aan
Nu stel ik liever zelf iets voor, want dan weet ik zeker dat het iets is dat ik leuk zal vinden, maar ik denk wel dat kees gelijk heeft.
quote:hmmz ik loop al tegen de eerste aan...Op dinsdag 9 maart 2004 17:51 schreef thabit het volgende:
Als a=b mod m en c=d mod m, dan is:
a+b=c+d mod m,
a-b=c-d mod m,
ab=cd mod m.
Het bewijs van deze eigenschappen laat ik als opgave aan de lezer om te toetsen of hij/zij de stof tot nu toe begrepen heeft.
ik probeerde het eens even uit met een voorbeeld:
12 = 4 mod 8 (a = b mod m)
13 = 5 mod 8 (c = d mod m)
dus dan zou gelden:
12+4 = 13+5 mod 8 (a+b = c+d mod m)
maar dit leidt tot 16 = 18 mod 8, en dus 16 = 2 mod 8, wat incorrect is
bij "a-b=c-d mod m" klopt het weer WEL, die ligt ook redelijk voor de hand, maar de laatste klopt weer niet:
daar zou gelden:
12*4 = 13*5 mod 8 (ab = cd mod m)
dit leidt tot 48 = 65 mod 8, en dus tot 48 = 1 mod 8, wat alweer incorrect is..
Waar zit mijn fout? (of, wat eigenlijk onmogelijk is, zit Thabit fout??)
De rest snap ik trouwens nu
quote:Ik had me zelf vergist. Ik heb het nu verbeterd in de post.Op woensdag 10 maart 2004 12:29 schreef Simple_Mind het volgende:
[..]
hmmz ik loop al tegen de eerste aan...
ik probeerde het eens even uit met een voorbeeld:
12 = 4 mod 8 (a = b mod m)
13 = 5 mod 8 (c = d mod m)
dus dan zou gelden:
12+4 = 13+5 mod 8 (a+b = c+d mod m)
maar dit leidt tot 16 = 18 mod 8, en dus 16 = 2 mod 8, wat incorrect is
bij "a-b=c-d mod m" klopt het weer WEL, die ligt ook redelijk voor de hand, maar de laatste klopt weer niet:
daar zou gelden:
12*4 = 13*5 mod 8 (ab = cd mod m)
dit leidt tot 48 = 65 mod 8, en dus tot 48 = 1 mod 8, wat alweer incorrect is..
Waar zit mijn fout? (of, wat eigenlijk onmogelijk is, zit Thabit fout??)
De rest snap ik trouwens nu
quote:Da's het probleem van Collatz.Op zondag 7 maart 2004 19:47 schreef Oud_student het volgende:
Ik heb zelf wel eens het volgende algorithme onderzocht (gespeeld met)
Neem een willekeurig geheel positief getal X > 1
Als X = 1 dan stop,
Als X deelbaar is door 2 dan X := X / 2 anders X := 3X + 1
De (onbewezen ?) stelling is dat dit algoritme voor elke X > 1 uit N termineert
Als je hiervoor een programmaatje schrijft, dan zie je dat voor sommige waarden van X
de uitkomst eerst heel groot wordt om vervolgens toch op 1 uit te komen.
Misschien is deze stelling te bewijzen, zo niet mischien voor bepaalde deelverzamelingen van N
Een onderzoek zou kunnen zijn om te kijken welke algoritmen van dit type termineren
en welke niet.
Dus de algemene vorm:
X> 1
X =1 dan stop
X deelbaar door P dan X := X / P anders X:= QX + 1
Voor welke P en Q termineert de algorithme.
Het probleem in de getal theorie dat een gek meer kan vragen dan 10^10 wiskundigen
in 10^10 jaar kunnen beantwoorden
Ik heb er zelf ook al es over nagedacht, maar ik had geen flauw idee hoe iemand dit mogelijk zou kunnen bewijzen. Heeft iemand misschien een manier hoe je dit aan zou kunnen pakken?
quote:Ik dacht hier ook zo over. Maar nu ik weet dat het een naam heeft, probleem van Collatz,Op zondag 7 maart 2004 22:22 schreef thabit het volgende:
Wat betreft perfecte getallen en 3x+1-problemen: dat lijken mij geen geschikte onderwerpen voor een scriptie. Dit zijn volkomen ongrijpbare problemen waar behalve wat elementair bewijsbare dingen weinig over bekend is. Zoek iets waar wat meer theorie in zit.
zie ik dat er behoorlijk wat op internet staat, er zijn zelf diverse seminars over dit onderwerp.
ook is er een prijs voor degene die het probleem oplost.
0. 57 ik heb nu zelfs een site gevonden die pretendeert het probleem opgelost te
hebben:
http://www.math.buffalo.edu/mad/special/3X+1.html
[ Bericht 15% gewijzigd door Oud_student op 11-03-2004 00:53:44 ]
quote:Ja, maar wat er allemaal over gevonden is is over het algemeen vrij elementair.Op donderdag 11 maart 2004 00:37 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Ik dacht hier ook zo over. Maar nu ik weet dat het een naam heeft, probleem van Collatz,
zie ik dat er behoorlijk wat op internet staat, er zijn zelf diverse seminars over dit onderwerp.
ook is er een prijs voor degene die het probleem oplost.
quote:Op donderdag 11 maart 2004 09:43 schreef Haushofer het volgende:
Ehhmm...wat betekende mod ook alweer? modulo? Hoeveelheid van ?
quote:Op dinsdag 9 maart 2004 17:51 schreef thabit het volgende:
We gaan het modulo-rekenen bespreken.
Eerst even een notatie invoeren: als m en n gehele getallen zijn, dan zeggen we dat n deelbaar is door m als er een geheel getal k bestaat met n=km. We zeggen in dat geval ook wel dat n een veelvoud is van m. Ook wel dat m een deler is van n of "m deelt n". Verschillende uitspraken voor hetzelfde idee, dat we noteren als
m|n.
In een ander topic, dat ik nu niet kan vinden vanwege de uitgeschakdelde search, ben ik hier wat dieper op ingegaan. We gaan nu iets bespreken dat daar nog niet is gedaan: het modulo-rekenen. Als m een geheel getal is, dan zeggen we "a is congruent met b modulo m" als m|a-b. We noteren dit met
a=b mod m,
waarbij we eigenlijk een = met 3 streepjes moeten gebruiken maar dat zit niet op m'n toetsenbord. We zouden a=b mod m ook kunnen zien als "a en b geven beide dezelfde rest bij deling door m". Zeer belangrijk zijn de volgende eigenschappen:
Als a=b mod m en c=d mod m, dan is:
a+c=b+d mod m,
a-c=b-d mod m,
ac=bd mod m.
Het bewijs van deze eigenschappen laat ik als opgave aan de lezer om te toetsen of hij/zij de stof tot nu toe begrepen heeft.
Een eenvoudige doch leuke toepassing van dit modulo-rekenen is de volgende: stel we hebben een geheel getal n, en vervolgens berekenen we de som van de cijfers, laten we die S(n) noemen. Dan is
n=S(n) mod 9.
In het bijzonder kunnen we dus nagaan of een getal deelbaar is door 9 door na te gaan dat de som van de cijfers deelbaar is door 9.
Het bewijs gaat als volgt: als n=akak-1...a0 in decimale notatie (dus ak is het eerste cijfer, ak-1 het tweede cijfer etc), dan is
n=10kak+10k-1ak-1+...+a0.
Nu is 10=1 mod 9 en door bovenstaande rekenregels voor het modulorekenen toe te passen zien we dus dat
n=10kak+10k-1ak-1+...+a0=1kak+1k-1ak-1+...+a0=ak+ak-1+...+a0=S(n) mod 9.
ben al de hele morgen bezig met p-adische getallen. Het is wel leuk maar echt niet zo gemakkelijk.
quote:Kort gezegd: rest bij deling. Dus 13 modulo 5 is 3, omdat 13 = veelvoud van 5 plus 3.Op donderdag 11 maart 2004 09:43 schreef Haushofer het volgende:
Ehhmm...wat betekende mod ook alweer? modulo? Hoeveelheid van ?
quote:Wat wilde je anders doen ?Op donderdag 18 maart 2004 21:46 schreef Pietjuh het volgende:
Hier meldt zich een eertejaars natuur/wiskundige, die nog zit te twijfelen of hij doorgaat met wiskunde of natuurkunde of allebei.
quote:Ik vind het moeilijke beslissingOp donderdag 18 maart 2004 21:56 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Wat wilde je anders doen ?
Ik vind natuurkunde echt superleuk, maar wiskunde ook
Dus ik denk dat ik maar ga proberen om met beiden door te gaan, en als het dan niet meer lukt, dan kijk ik wel waarmee ik dan verderga.)
quote:Ik ga het ook gewoon proberen om het te doen. Die extra colleges die ik dan heb gevolgd kunnen nooit kwaad denk ik maarOp zaterdag 20 maart 2004 15:54 schreef Haushofer het volgende:
Als je allebei kunt, zou ik dat zeker doen ! Denk er zelf ook over om extra wiskundevakken te volgen, ben zowat de enige in mn jaar die wiskunde net zo boeit als natuurkunde. Ben nu Quantumfysica aan t volgen, en daarbij zie je eindelijk waar je al die 6 wiskundevakken voor hebt gevolgd ( Ej je wilt het als het even kan wel kunnen toepassen, als natuurkundige ) Anders kun je later toch nog altijd één studie laten vallen? ( of zodra je dubbel college geld moet gaan betalen..:(
)
Altijd handig om extra kennis te hebben. Ik hoop trouwens niet dat de overheid die regeling ook echt in werking gaat stellen, dat je voor een 2e studie ook collegegeld moet gaan betalen. Dat zou echt een uitermate slechte ontwikkeling zijn op het gebied van onderwijs. Dan zou het ook echt te duur worden voor mij, en ben ik gewoon gedwongen om met 1 studie door te gaan. Ik hoop maar dat het niet zover hoeft te komen...Intuïtionisten, neukers op de vierkantie centimeter of de ware aard van de wiskunde?
quote:Zij stellen een van de meest fundamentele vragen over het bestaan van wiskundige entiteiten.Op maandag 22 maart 2004 15:11 schreef speknek het volgende:
Wat vinden jullie:
Intuïtionisten, neukers op de vierkantie centimeter of de ware aard van de wiskunde?
Volgens sommige wiskundigen wordt de wiskunde minder interressant als we volgens de letter van de Intuïtionisten gaan werken.
Ik ben er eerlijk gezegd nog niet precies uit. Enerzijds geloof ik wel in het onafhankelijk van ons bestaan van wiskundige objecten.
Anderzijds bekruipt mij een onprettig gevoel bij bepaalde constructies, zoals die bv door Cantor zijn gemaakt. Alles heeft natuurlijk met de discussie over het actueel oneindige versus het potentieel oneindige te maken.
Je kunt je vanuit een puritische visie natuurlijk continu lopen afvragen of het keuze-axioma wel geldig is, alsmede daaruit volgende principes zoals volledige, Noetherse danwel transfiniete inductie, Zorn's lemma en nog meer van dat soort zaken.
Anderzijds stroopt het keuze-axioma volledig met de intuitie en is het ook nog consistent met de rest, dus waarom niet? Wat zou ik als getaltheoreticus/algebraisch meetkundige zijn als ik niet meer mag gebruiken dat elk lichaam een algebraische afsluiting heeft en elk ideaal in een ring deelverzameling is van een maximaal ideaal? We kunnen totaal niets meer bewijzen als we dergelijke basale zaken niet meer mogen gebruiken.
In de ontwikkeling van Pi komt de cijferreeks 77777777777 voor.
Is deze uitspraak waar/onwaar, onbeslist of zinloos?
(jaja in het laatste geval spreek je van afleidbaar en niet van 'waar', thabit....)
quote:syntactisch lijkt mij het juist, de vraag is alleen betekent dit wat wiskundige gezien.Op maandag 22 maart 2004 16:25 schreef speknek het volgende:
Semantisch of syntactisch?
volgens de klassieke opvatting wel, het is een uitspraak die of waar of onwaar is
De intiutionisten zeggen, de decimale ontwikkeling van Pi bestaat alleen tot zover ik deze gemaakt heb, dus onbeslist
Wittgenstein zegt er is geen methode om dit te verifieren of falsifieren, dus zinloos.
Ook wekt het de suggestie "God weet het" maar de mensen zijn te dom.
quote:Niet dat ik weet, misschien loop ik achter.Op maandag 22 maart 2004 16:34 schreef speknek het volgende:
Maar er is wel een methode om het te verifiëren toch?
De enige "methode" is het (met behulp van computers) uitrekenen van decimalen.
en als je na 1010 decimaal nog geen 77777777777 hebt gevonden, ja wat dan ?
(Soortgelijke problemen heb je ook inde predikaten logica, als een formule waar is, dan kun je een bewijs vinden met een bepaalde methode. Mar als je geen bewijs vind, betekent dat nog niet dat de formule onwaar is. misschien moet je nog 100 stappen maken en je bent bij het resultaat)
j
Wittgenstein en ik denk ook de intiutionisten zeggen:
Een oneindige methode is geen methode
quote:Een wiskundige denkt sowieso zelden in termen van 'waar'. Hij is er niet in geinteresseerd wat waar is, het gaat juist om datgene wat vanuit bepaalde regels kan worden afgeleid. 'Waarheid' is meer een idee dat natuurkundigen graag gebruiken, maar die denken dan ook dat ze God zijn.Op maandag 22 maart 2004 16:25 schreef speknek het volgende:
(jaja in het laatste geval spreek je van afleidbaar en niet van 'waar', thabit....)
(
dure woorden )quote:Ik denk toch niet dat je kunt ontkomen aan waarheid of onwaarheid, per slot van rekening gebruik je de logica bij wiskundige afleidingen. En als je een wiskundig systeem "van buiten" bekijkt, danOp maandag 22 maart 2004 16:51 schreef thabit het volgende:
[..]
Een wiskundige denkt sowieso zelden in termen van 'waar'. Hij is er niet in geinteresseerd wat waar is, het gaat juist om datgene wat vanuit bepaalde regels kan worden afgeleid. 'Waarheid' is meer een idee dat natuurkundigen graag gebruiken, maar die denken dan ook dat ze God zijn.
kun je bijv. zeggen "In theorie T is x afleidbaar", en zo'n uitspraak is dan volgense de klassieke logica of waar of niet waar.
Het zou toch ook merkwaardig zijn, om alleen te zeggen: 1 + 1 = 3 kunnen we niet afleiden ?
quote:Ik ben lostOp maandag 22 maart 2004 17:02 schreef speknek het volgende:
Filosofen, zou ik zeggen. Het is epistemologie. De afleidbaarheid voor wiskundigen is etymologisch gezien ook niets meer dan een geabstraheerde isomorfie van cognitie door waarheidswaardes. Wiskunde en filosofie zitten dan ook niet ver van elkaar.
(
quote:Dat is op zich wel waar, maar dit is wel weer een uitspraak die gaat over afleidbaarheid en niet over waarheid. Waarheid van een uitspraak kun je niet aantonen zonder (expliciet danwel impliciet) de afleidbaarheid aan te tonen, tenzij je, net als de intuitionisten, je afleidingsregels gaat lopen afzwakken.Op maandag 22 maart 2004 17:07 schreef Oud_student het volgende:
[..]
"In theorie T is x afleidbaar", en zo'n uitspraak is dan volgense de klassieke logica of waar of niet waar.
quote:een methode die bestaat uit 10^10 stappen is geen oneindige methode.Op maandag 22 maart 2004 16:43 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Wittgenstein en ik denk ook de intiutionisten zeggen:
Een oneindige methode is geen methode
Het is een langdurige methode misschien, maar geen oneindige.
Je zou ook kunnen zeggen, Wittgenstein geeft te snel op.
quote:klopt. aanbid mij.Op maandag 22 maart 2004 16:51 schreef thabit het volgende:
[..]
Een wiskundige denkt sowieso zelden in termen van 'waar'. Hij is er niet in geinteresseerd wat waar is, het gaat juist om datgene wat vanuit bepaalde regels kan worden afgeleid. 'Waarheid' is meer een idee dat natuurkundigen graag gebruiken, maar die denken dan ook dat ze God zijn.
quote:Ja. Maar hoe wil je waarheid aantonen zonder afleidbaarheid aan te tonen?Op maandag 22 maart 2004 17:17 schreef speknek het volgende:
Eh, afleidbaarheid is toch enger dan semantische waarheid? M.a.w. als het afleidbaar is, is het toch sowieso waar? Volgens de klassieke logica, althans.
quote:Je verwerpt Gödel?Op maandag 22 maart 2004 17:18 schreef thabit het volgende:
Ja. Maar hoe wil je waarheid aantonen zonder afleidbaarheid aan te tonen?
quote:Leg eens uit waarom je dit denkt?Op maandag 22 maart 2004 17:23 schreef speknek het volgende:
[..]
Je verwerpt Gödel?
quote:Even goed lezen, 10^10 is slechts een voorbeeld. Hoelang moet je dan doorgaan volgens jou ?Op maandag 22 maart 2004 17:15 schreef MALLENS het volgende:
een methode die bestaat uit 10^10 stappen is geen oneindige methode.
Het is een langdurige methode misschien, maar geen oneindige.
Je zou ook kunnen zeggen, Wittgenstein geeft te snel op.
quote:Dus dan ben je een intiutionist, immers voor jou bestaat iets pas al je het afgeleid hebt.Op maandag 22 maart 2004 17:13 schreef thabit het volgende:
Dat is op zich wel waar, maar dit is wel weer een uitspraak die gaat over afleidbaarheid en niet over waarheid. Waarheid van een uitspraak kun je niet aantonen zonder (expliciet danwel impliciet) de afleidbaarheid aan te tonen, tenzij je, net als de intuitionisten, je afleidingsregels gaat lopen afzwakken.
Alleen wat geconstrueerd / afgeleid kan worden is waar.
De stelling van Godel zegt nu juist G is waar maar niet afleidbaar is. Dan verwerp je toch deze stelling ? Dit geldt niet allen voor G, maar als ik het mij goed herinner, zijn er zelfs oneindig veel
formules, die waar zijn, maar niet afleidbaar.
quote:Ik verwerp geen keuze-axioma of bewijzen uit het ongerijmde.Op maandag 22 maart 2004 17:48 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Dus dan ben je een intiutionist, immers voor jou bestaat iets pas al je het afgeleid hebt.
Alleen wat geconstrueerd / afgeleid kan worden is waar.
quote:OK, maar wat een belangrijk punt is voor de intiutiionisten, is het bewijzen door constructie.Op maandag 22 maart 2004 17:51 schreef thabit het volgende:
Ik verwerp geen keuze-axioma of bewijzen uit het ongerijmde.
in hoeverre dat met jou afleidbaarheid samenvalt weet ik niet. Ook hebben de intiutionisten problemen met het begrip "waarheid"in dit verband, zoals jij.
Ja, keuzeaxioma, wordt niet geaccepteerd door de intiutionisten.
Ik blijf het zelf ook een wonderlijk axioma vinden. En dan heb je nog de continuum hypothese.
Je kunt ook bewijzen dat je ene onafhankelijk van de ander kunt toevoegen aan de axioma's van de wiskunde.Kan men bewijzen dat het keuze-axioma niet tot tegenspraak kan leiden ?
Bewijzen uit het ongerijmde kunnen dacht ik altijd omgezet worden naar een "positief" bewijs.
overigens vind ik Intiutionist geen scheldwoord. gödel was volgens mij een Platonist, d.w.z. hij geloofde in een onafhankelijk bestaan van wiskundige objecten en ook in waarheid en onwaarheid in dit verband. Zijn er nog meer posities mogelijk ?
Ik vermoed dat jou positie ook ergens tussenin is ?
quote:Dit is niet helemaal waar. Als a in de klassieke logica bewijsbaar is, dan is niet niet a in de intuitionistische logica bewijsbaar.Op maandag 22 maart 2004 18:17 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Bewijzen uit het ongerijmde kunnen dacht ik altijd omgezet worden naar een "positief" bewijs.
quote:Inderdaad, je kunt de negatie wel introduceren, maar niet elimineren.Op maandag 22 maart 2004 18:28 schreef thabit het volgende:
Dit is niet helemaal waar. Als a in de klassieke logica bewijsbaar is, dan is niet niet a in de intuitionistische logica bewijsbaar.
Wel: Arm -> Niet Rijk, maar niet: Niet Rijk -> Arm.
Volgens het keuze axioma, is het mogelijk om een element uit een oneindige verzameling te kiezen
Dus je kunt ook een getal uit de verzameling van natuurlijke getallen (N) kiezen
Kun je ook een willekeurig getal uit N kiezen?
Zo ja, wat is dan de kans, dat dit getal begint met een 9 ?
(ik heb het antwoord ooit eens gezien en het was niet 1/9)
[ Bericht 99% gewijzigd door SHAKESPEARE2000 op 08-04-2004 17:26:49 ]
quote:Ik heb je inmiddels vergeven, Oud_student.Op zondag 7 maart 2004 18:29 schreef Oud_student het volgende:
Is dit dezelfde Ramsey die o.a. met Wittgenstein lid was van de Wiener Kreiss ?
.quote:De kans is log 10 - log 9 = log(10/9), maar dit is totaal niet triviaal volgens mij. Je hebt er wel intuïtieve argumenten voor, maar het harde bewijs vereist wel een paar ingewikkelde ideeën.Op donderdag 8 april 2004 17:20 schreef Oud_student het volgende:
Even een vraag voor de echte wiskundige.
Volgens het keuze axioma, is het mogelijk om een element uit een oneindige verzameling te kiezen
Dus je kunt ook een getal uit de verzameling van natuurlijke getallen (N) kiezen
Kun je ook een willekeurig getal uit N kiezen?
Zo ja, wat is dan de kans, dat dit getal begint met een 9 ?
quote:Zolang je geen kansverdeling hierop definieert kun je sowieso niets zeggen over deze kans.Op donderdag 8 april 2004 17:20 schreef Oud_student het volgende:
Even een vraag voor de echte wiskundige.
Volgens het keuze axioma, is het mogelijk om een element uit een oneindige verzameling te kiezen
Dus je kunt ook een getal uit de verzameling van natuurlijke getallen (N) kiezen
Kun je ook een willekeurig getal uit N kiezen?
Zo ja, wat is dan de kans, dat dit getal begint met een 9 ?
(ik heb het antwoord ooit eens gezien en het was niet 1/9)
Maar je bedoelt waarschijnlijk (log(10)-log(9))/log(10)=0.0458.
quote:zij x < n+1. De kans dat x gekozen wordt is 1/n, dus de kansverdeling is uniform.Op donderdag 8 april 2004 17:31 schreef thabit het volgende:
Zolang je geen kansverdeling hierop definieert kun je sowieso niets zeggen over deze kans.
Maar je bedoelt waarschijnlijk (log(10)-log(9))/log(10)=0.0458.
Nu gaat n -> oneindig, kom je dan aan de kans dat x met een 9 begint is (log(10)-log(9))/log(10)=0.0458 ? Of ga je uit van een andere verdeling ? Kun je mij een hint of pointer geven hoe je aan het resultaat komt ?
Er is een soortgelijk probleem van Lewis Carrol: wat is de kans, dat een willekeurige driehoek stomphoekig is? Ik vond de oplossing van Dodgeson elegant en overtuigend, maar later las ik dat het niet zonder meer mogelijk was om 3 willekeurige punten in een plat vlak te kiezen.
Hoe verhoudt zich dit nu met het keuze-axioma ?
quote:Dat verhoudt zich daar niet toe. Het is een stelling uit de kansrekening of distributietheorie (welke weet ik niet) dat er geen uniforme verdeling bestaat voor het platte vlak. (Er bestaat er ook geen voor de gehele R, volgens mij.) Aangezien de enige "natuurlijke" verdeling de uniforme is, is er dus geen eenduidigheid over welke methode/distributie je aanneemt om drie punten te kiezen.Op donderdag 8 april 2004 18:30 schreef Oud_student het volgende:
Er is een soortgelijk probleem van Lewis Carrol: wat is de kans, dat een willekeurige driehoek stomphoekig is? Ik vond de oplossing van Dodgeson elegant en overtuigend, maar later las ik dat het niet zonder meer mogelijk was om 3 willekeurige punten in een plat vlak te kiezen.
Hoe verhoudt zich dit nu met het keuze-axioma ?
Het keuze-axioma is een (controversieel) axioma uit de verzamelingenleer, dat helaas nodig is om enkele resultaten over lichamen af te leiden, bijvoorbeeld het resultaat dat elke eindige algebraïsche uitbreiding een (unieke) afsluiting bezit.
quote:Bestaat er wel een uniforme verdeling voor de natuurlijke getallen? Zo ja, dan kun je voor het driehoek probleem de oplossing willekeurig dicht benaderen, door ipv R2 Q2 te nemen. aangezien er een 1 op 1 functie tussen Q2 en N bestaat.Op donderdag 8 april 2004 18:56 schreef Koekepan het volgende:
Dat verhoudt zich daar niet toe. Het is een stelling uit de kansrekening of distributietheorie (welke weet ik niet) dat er geen uniforme verdeling bestaat voor het platte vlak. (Er bestaat er ook geen voor de gehele R, volgens mij.) Aangezien de enige "natuurlijke" verdeling de uniforme is, is er dus geen eenduidigheid over welke methode/distributie je aanneemt om drie punten te kiezen.
quote:Het keuze-axioma zegt niet hoe je aan de keuze functie komt, maar zegt alleen maar dat die bestaat.Het keuze-axioma is een (controversieel) axioma uit de verzamelingenleer, dat helaas nodig is om enkele resultaten over lichamen af te leiden, bijvoorbeeld het resultaat dat elke eindige algebraïsche uitbreiding een (unieke) afsluiting bezit.
Ook zegt het niet dat je elk element kan kiezen, alleen dat je uit een niet lege verzameling een element kan kiezen. Misschien is het zelfs wel onmogelijk om bepaalde elementen te kiezen uit een oneindige verzameling. Als je bv een element uit R wil kiezen, dan lijkt het alsof je alleen maar "bekende" elementen kunt kiezen, zoals Pi of sqrt(2) of sommen van oneindige reeksen etc.
dwz een eindig aantal. Echt random (ongeacht de verdeling) kunnen we, lijkt het, niet kiezen.
Een methode om een willekeurig getal tussen 0 en 1 te bepalen zou kunnen zijn door oneindig vaak een willekeurig element uit de verz. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} te kiezen achter de 0,.......
Maar zelfs als je dit proces oneindig vaak herhaalt heb je nog niet alle reeele getallen tussen 0 en 1 bereikt.
Verwarrend
Wat is jullie bron ?
[ Bericht 99% gewijzigd door SHAKESPEARE2000 op 08-04-2004 21:39:58 ]
Hier vind je trouwens meer over dat fenomeen met de begincijfers: http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html, maar de echte bron was mijn geheugen.
. (Die van thabit ook, neem ik aan. Zijn geheugen dan, hè.)quote:Dank je wel.Op donderdag 8 april 2004 17:27 schreef Koekepan het volgende:
Ik heb je inmiddels vergeven, Oud_student.
Volgens mij was het zo dat de leden van de Wiener Kreiss probeerden Wittgenstein voor hun positivistische karretje te spannen. Zij hadden blijkbaar niet alles begrepen van de Tractatus. Wittgenstein was geen officieel lid, maar kwam er toch een aantal keren om uitleg over zijn tractatus te geven. Maar eigenlijk had hij daar weinig zin in en dan ging hij soms gedichten voorlezen van Rabindranath Tagore, met de rug naar de toehoorders. Merkwaardig clubje.
quote:Hier volgt een vertaling van die pagina naar voor mij persoonlijk net iets overtuigendere wiskunde:Op donderdag 8 april 2004 21:40 schreef Koekepan het volgende:
Ik weet niet precies hoe het zit met die distributies, maar iets zegt me dat die truc met N en Q² op de een of andere manier niet opgaat.
Hier vind je trouwens meer over dat fenomeen met de begincijfers: http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html, maar de echte bron was mijn geheugen.
Als x een positief reeel getal is, dan kunnen we kijken naar x/(10^[log10x]), waarbij [] afronden naar beneden betekent. Dit zijn getallen die op het interval [1,10[ liggen.
We kunnen dit interval een topologie geven door de eindpunten aan elkaar te knopen: we nemen [1,10] en stellen 1 equivalent met 10. Deze topologische ruimte, laten we hem X noemen, is compact en dus kunnen we nu op een zinnige manier praten over kansverdelingen erop.
De vermenigvuldiging van de reele getallen induceert een vermenigvuldiging op X. X is dus een compacte topologische groep. Omdat de meest waarschijnlijke distributie van de begincijfers 'schaal-onafhankelijk' is, is een maat op X die invariant is onder deze groepsoperatie van vermenigvuldiging een maat voor de kansverdeling die we zoeken. De logaritmische kansverdeling voldoet hieraan, maar waarom is het de enige?
Welnu, er is een stelling die zegt dat een compacte topologische groep 1 invariante maat toelaat, op vermenigvuldiging met een scalair na. Als we eisen dat de hele ruimte maat 1 heeft, dan is de maat dus uniek. We noemen zo'n maat ook wel een Haarmaat. Zie ook http://mathworld.wolfram.com/HaarMeasure.html