WFL Wetenschap, Filosofie, Levensbeschouwing
Discussieer hier over alle aspecten van de wetenschap, filosofische problemen en zaken van levensbeschouwelijke aard.
Nou zat ik laatst bij mijn broertje een beetje met getalletjes te kloten, en kwam toen op het volgende.
1x1 = 1
2x2 = 4
3x3 = 9
4x4= 16
5x5 = 25
6x6 = 36
7x7 = 49
8x8 = 64
9x9 = 81.
Een wonderbaarlijke ontdekking, al zeg ik hetzelf, maar als wij de getalletjes eens voor de lol bij elkaar optellen (en de uitkomst daarvan ook weer) komen we op het volgende.
1, 4, 9, 1+6 = 7, 2+5 = 7, etc.
Oftwel de reeks : 1,4,9,7,7,9,4,1,9.
Niets nieuws onder de zon maar laat me dan ook even vermelden dat deze reeks opgaat bij elke rij kwadraten. Kijkt u maar.
1x1 = 1
1,001 x 1,001 = 1,002001 <=> 1+2+1 = 4.
1,002 x 1,002 = 1,004004 <=> 1+4+4 = 9.
etc.
En natuurlijk voor de ongelovige zielen geldt dit ook op zeer grote schaal.
3421x3421 = 11703241 <=> 1+1+7+3+2+4+1 = 19 <=> 1+9 = 10 <=> 1+0 = 1.
3422x3422 = 11710084 <=> 1+1+7+1+8+4 = 22 <=> 2+2 = 4.
etc.
Ook allemaal heel spannend, maar dan komt nu het volgende.
Als we de getallen nemen met 'grondgetal' 1, uit de reeks, hebben we de volgende vermenigvuldigingen.
1x1
8x8
10x10
18x18
etc.
Nou nemen we de uitkomsten hiervan, delen dat door het grondgetal, en passen het rare 'opteltruckje' weer toe.
1x1 = 1 <=> 1/1 = 1.
8x8 = 64 <=> 64/1 = 64 <=> 6+4 = 10 <=> 1+0 = 1.
10x10 = 100 <=> 100/1 = 100 <=> 1+0+0 = 1.
etc.
Niet echt interessant, laten we het nu eens met de vermenigvuldigen op 4 doen.
2x2 = 4 <=> 4/4 = 1.
7x7 = 49 <=> 49/4 = 12,25 <=> 1+2+2+5 = 10 <=> 1+0 = 1.
11x11 = 121 <=> 121/4 = 30,25 <=> 3+2+5 = 10 <=> 1+0 = 1
16x16 = 64 <=> 6+4 = 10 <=> 1+0 = 1.
etc.
Zozo, en dan komt nu de leukste rij, met 'grondgetal' 7.
4x4 = 16 <=> 16/7 = 2 2/7. (Hier hebben we een probleem, want we kunnen 2/7 niet decimaal noteren, voluit.)
5x5 = 25 <=> 15/7 = 3 4/7
13x13 = 169 <=> 169/7 = 24 1/7.8
14x14 = 196 <=> 196/7 = 28 <=> 2+8 = 10 <=> 1+0 = 1.
etc.
Ik acht het hiermee aannemelijk gemaakt, want bewijzen kan ik het niet want ik bak eigenlijk geen klote van wiskunde, dat we 1/7 wel voluit kunnen schrijven, er zit een einde aan deze breuk. En als we alle decimalen van 2 2/7, 3 4/7, 24 1/7 en nog een hele hoop andere bij elkaar optellen en weer optellen en weer optellen en weer optellen, dat we dan ook op 1 uitkomen.
.
[ Bericht 0% gewijzigd door YabYum op 03-03-2004 13:17:58 (Even de domme foutjes eruit.) ]
1x1 = 1
2x2 = 4
3x3 = 9
4x4= 16
5x5 = 25
6x6 = 36
7x7 = 49
8x8 = 64
9x9 = 81.
Een wonderbaarlijke ontdekking, al zeg ik hetzelf, maar als wij de getalletjes eens voor de lol bij elkaar optellen (en de uitkomst daarvan ook weer) komen we op het volgende.
1, 4, 9, 1+6 = 7, 2+5 = 7, etc.
Oftwel de reeks : 1,4,9,7,7,9,4,1,9.
Niets nieuws onder de zon maar laat me dan ook even vermelden dat deze reeks opgaat bij elke rij kwadraten. Kijkt u maar.
1x1 = 1
1,001 x 1,001 = 1,002001 <=> 1+2+1 = 4.
1,002 x 1,002 = 1,004004 <=> 1+4+4 = 9.
etc.
En natuurlijk voor de ongelovige zielen geldt dit ook op zeer grote schaal.
3421x3421 = 11703241 <=> 1+1+7+3+2+4+1 = 19 <=> 1+9 = 10 <=> 1+0 = 1.
3422x3422 = 11710084 <=> 1+1+7+1+8+4 = 22 <=> 2+2 = 4.
etc.
Ook allemaal heel spannend, maar dan komt nu het volgende.
Als we de getallen nemen met 'grondgetal' 1, uit de reeks, hebben we de volgende vermenigvuldigingen.
1x1
8x8
10x10
18x18
etc.
Nou nemen we de uitkomsten hiervan, delen dat door het grondgetal, en passen het rare 'opteltruckje' weer toe.
1x1 = 1 <=> 1/1 = 1.
8x8 = 64 <=> 64/1 = 64 <=> 6+4 = 10 <=> 1+0 = 1.
10x10 = 100 <=> 100/1 = 100 <=> 1+0+0 = 1.
etc.
Niet echt interessant, laten we het nu eens met de vermenigvuldigen op 4 doen.
2x2 = 4 <=> 4/4 = 1.
7x7 = 49 <=> 49/4 = 12,25 <=> 1+2+2+5 = 10 <=> 1+0 = 1.
11x11 = 121 <=> 121/4 = 30,25 <=> 3+2+5 = 10 <=> 1+0 = 1
16x16 = 64 <=> 6+4 = 10 <=> 1+0 = 1.
etc.
Zozo, en dan komt nu de leukste rij, met 'grondgetal' 7.
4x4 = 16 <=> 16/7 = 2 2/7. (Hier hebben we een probleem, want we kunnen 2/7 niet decimaal noteren, voluit.)
5x5 = 25 <=> 15/7 = 3 4/7
13x13 = 169 <=> 169/7 = 24 1/7.8
14x14 = 196 <=> 196/7 = 28 <=> 2+8 = 10 <=> 1+0 = 1.
etc.
Ik acht het hiermee aannemelijk gemaakt, want bewijzen kan ik het niet want ik bak eigenlijk geen klote van wiskunde, dat we 1/7 wel voluit kunnen schrijven, er zit een einde aan deze breuk. En als we alle decimalen van 2 2/7, 3 4/7, 24 1/7 en nog een hele hoop andere bij elkaar optellen en weer optellen en weer optellen en weer optellen, dat we dan ook op 1 uitkomen.
.
.[ Bericht 0% gewijzigd door YabYum op 03-03-2004 13:17:58 (Even de domme foutjes eruit.) ]
Verdedigt 's lands grenzen met een schattig hoedje en Jean-Paul Gaultier make-up.
dit krijg je nou van teveel drank...
probeer je stelling maar eens met (n maal pi) in het kwadraat (n=1,2,3,4...)
probeer je stelling maar eens met (n maal pi) in het kwadraat (n=1,2,3,4...)
En dit post je in de nacht. Niet te begrijpen. Ga naar bed. Of pak een biertje.
Ga naar bed. 
Of pak een biertje.
Wordt als iemand die voortdurend dood is. De ware volgeling van bushidõ sterft elke ochtend en avond opnieuw. En wordt niet gehinderd door angst voor de dood. Yamamoto Tsunetomo's hagakure.
Als je al niet begrijpt dat 2x2 gewoon 2 is dan houdt het helaas voor je opquote:Op woensdag 3 maart 2004 01:33 schreef ilona-scuderia het volgende:
Waarom is 2x2 2
Of hoort dat zo
Verder snap ik er geen knobbel van...
Hamelen
heey ik snap het
maareh... fouten in de openingspost:
2x2 = 4 ipv 2x2 = 2
en de reeks is dus 1,4,9,7,7,9,4,1,9 ipv 1,4,9,7,7,4,1,9
maar verder klop het allemaal...
best wel weird..
en 1/7 heeft volgens mij, evenals wortel 2, geen einde. Dat kan ook bewezen worden, maar dat laat ik aan Thabit over
en trouwens... was er ook nog een vraag aan ons over deze 'ontdekking' of was het gewoon een melding?
maareh... fouten in de openingspost:
2x2 = 4 ipv 2x2 = 2
en de reeks is dus 1,4,9,7,7,9,4,1,9 ipv 1,4,9,7,7,4,1,9
maar verder klop het allemaal...
best wel weird..
en 1/7 heeft volgens mij, evenals wortel 2, geen einde. Dat kan ook bewezen worden, maar dat laat ik aan Thabit over
en trouwens... was er ook nog een vraag aan ons over deze 'ontdekking' of was het gewoon een melding?
Kun je dat nog één keer uitleggen??
Ja, inderdaad. Dat zijn de 'ik ben niet meer zo helder rond dat uur' fouten, dank daarvoor.quote:Op woensdag 3 maart 2004 12:05 schreef Simple_Mind het volgende:
heey ik snap het
maareh... fouten in de openingspost:
2x2 = 4 ipv 2x2 = 2
en de reeks is dus 1,4,9,7,7,9,4,1,9 ipv 1,4,9,7,7,4,1,9
maar verder klop het allemaal...
best wel weird..
en 1/7 heeft volgens mij, evenals wortel 2, geen einde. Dat kan ook bewezen worden, maar dat laat ik aan Thabit over
en trouwens... was er ook nog een vraag aan ons over deze 'ontdekking' of was het gewoon een melding?
Verdedigt 's lands grenzen met een schattig hoedje en Jean-Paul Gaultier make-up.
Pi is een irrationeel getal. Maar als we Pi eens op een paar decimalen afronden gaat het gewoon op hoor.quote:Op woensdag 3 maart 2004 02:07 schreef Stewie het volgende:
dit krijg je nou van teveel drank...
probeer je stelling maar eens met (n maal pi) in het kwadraat (n=1,2,3,4...)
3,1415²= 9,86902225 <=> 9+8+6+9+2+2+2+5 = 43 <=> 4+3 = 7
3,1416²= 9,86965056 <=> 9+8+6+9+6+5+5+6 = 135 <=> 1+3+5 = 9
etc.
Kom je weer op dezelfde reeks uit.
Verdedigt 's lands grenzen met een schattig hoedje en Jean-Paul Gaultier make-up.
Ook leuk, en zoek het verband met de vorige posts, zijn cyclische getallen,
met als voorbeeld: 142857
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142587 x 5 = 714285
142587 x 6 = 857142
Als je goed naar de cijfers kijkt zie je dat het steeds dezelfde reeks is, maar
dan begint het iedere keer met een ander cijfertje.
met als voorbeeld: 142857
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142587 x 5 = 714285
142587 x 6 = 857142
Als je goed naar de cijfers kijkt zie je dat het steeds dezelfde reeks is, maar
dan begint het iedere keer met een ander cijfertje.
In girum imus nocte et consumimur igni
Als je 2 mensen elk 2 koekjes geeft, dan heeft ieder 2 koekjes.quote:Op woensdag 3 maart 2004 01:33 schreef ilona-scuderia het volgende:
Waarom is 2x2 2
Of hoort dat zo
Verder snap ik er geen knobbel van...
Als jij zou moeten kiezen tussen..quote:Op woensdag 3 maart 2004 01:29 schreef thabit het volgende:
Delen door 7 komt in dit geval op hetzelfde neer als vermenigvuldigen met 4.
Nooit meer wiskunde en helemaal niks meer met getallen te maken hebben
of
Voor altijd als een kluizenaar verder leven dus geen ene vorm van communicatie hebben, wat zou het dan worden..
Et, welke rol speelt wiskunde in jouw leven?
Lastige keuze, ik weet het niet.quote:Op zaterdag 6 maart 2004 03:04 schreef OldJeller het volgende:
[..]
Als jij zou moeten kiezen tussen..
Nooit meer wiskunde en helemaal niks meer met getallen te maken hebben
of
Voor altijd als een kluizenaar verder leven dus geen ene vorm van communicatie hebben, wat zou het dan worden..
Et, welke rol speelt wiskunde in jouw leven?
Cyclische getallenquote:Op zaterdag 6 maart 2004 01:46 schreef shift het volgende:
Ook leuk, en zoek het verband met de vorige posts, zijn cyclische getallen,
met als voorbeeld: 142857
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142587 x 5 = 714285
142587 x 6 = 857142
Als je goed naar de cijfers kijkt zie je dat het steeds dezelfde reeks is, maar
dan begint het iedere keer met een ander cijfertje.
Cyclische getallen Hier wil ik vanavond nog wel even een extreme uiteenzetting over geven (als daar interesse in is)
Salivili hipput tupput tapput äppyt tipput hilijalleen
ehm.. vandaag zat ik het nogeens door te rekenen om hetzelfde aan iemand te laten zien, maar toen kwam ik erop dat bij de rij met 'grondtal 9' er helemaal geen 1 uitkomt.
bij 6x6=36, levert delen door 9 namelijk 4
bij 9x9=81 levert delen door 9 namelijk 9
dus dan heb je niet overal enen, maar ook een 4 en een 9 in de rij...
nu wordt het dus al een stuk minder opmerkelijk denk ik...
ik weet niet hoe het boven 10x10 zit, maar ik verw8 dat het daar ook zal afwijken bij de waarden met grondtal 9.
bij 6x6=36, levert delen door 9 namelijk 4
bij 9x9=81 levert delen door 9 namelijk 9
dus dan heb je niet overal enen, maar ook een 4 en een 9 in de rij...
nu wordt het dus al een stuk minder opmerkelijk denk ik...
ik weet niet hoe het boven 10x10 zit, maar ik verw8 dat het daar ook zal afwijken bij de waarden met grondtal 9.
Kun je dat nog één keer uitleggen??
hmm.. het lijkt mij heel erg boeiend om daar meer over te weten..quote:Op dinsdag 9 maart 2004 16:50 schreef Dr_Flash het volgende:
[..]
Cyclische getallen
Hier wil ik vanavond nog wel even een extreme uiteenzetting over geven (als daar interesse in is)
graag dus!
Kun je dat nog één keer uitleggen??
De beide problemen, zowel de som van de cijfers als de cyclische getallen hebben alles te maken met modulo-rekenen. Ik zal daar eens iets over posten in het nieuwe centrale topic.
Cyclische getallen en hun relatie met Priemgetallen
Op 6 maart 2004 om 01:46 schreef shift het volgende:
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
142857 x 7 = 999999
Dat zet ons natuurlijk aan het denken. Als we 1.000.000 delen door 7, komen we vrijwel precies op dat mooie 142857 uit. En omdat het uitsluitend voor de plaats van de komma verschil uitmaakt, gaan we gewoon 1 delen door 7. Wat we zien is het volgende:
1/7 = 0.142857142857142857142857..... en inderdaad
2/7 = 0.285714285714285714285714
3/7 = 0.428571428571428571428571
.
etc
.
7/7 = 1, maar een eindeloos repeterende reeks negens (analoog aan de voorgaande gevallen 0.999999999999999999999999999999999999..... ) is dat ook, dus dat klopt
We zien inderdaad dat, zoals shift ook al aangaf, het niet uitmaakt wat we als teller nemen, 1/7 of 2/7 of 3/7 etc, dat we altijd dezelfde reeks terugkrijgen die blijft repeteren. Alleen het beginpunt is anders, de reeks is dezelfde. Op zich is dat vrij logisch. Immers, het feit dat 7 een priemgetal is, houdt in dat je geen enkel getal "mooi" door 7 kunt delen, behalve 7 (en 7-vouden) zelf. Omdat het priemgetal 7 7 "fasen" kent, waarvan er 1 een geheel quotiënt geeft, moeten er in de string repeterende cijfers (die samen de repeterende breuk vormen), 7-1 = 6 unieke ingangen zijn. Immers, ieder getal dat geen geheel veelvoud van 7 is, houdt na deling door 7 een *aantal zevenden* over. Dat aantal kan alleen maar de waarden 1, 2, 3, 4, 5 of 6 hebben.
(Is dit het modulo-rekenen waar jij op doelt thabit? Ik denk het wel )
6 verschillende ingangen in de repeterende string dus. Dat betekent meteen dat die string 6 cijfers lang moet zijn. In het geval van de noemer 7 is die string ook 6 cijfers lang, die string is namelijk "142857".
Wat blijkt nu? Dit gedrag komt voor bij ALLE priemgetallen, uitgezonderd 2 en 5 (maar dat is logisch, 2 en 5 zijn namelijk de priemfactoren van de basis van het decimale stelsel, 10).
Laten we voor de grap eens kijken naar het priemgetal 17.
1/17 = 0.058823529411764705882352941176470588235294117647.....
We zien dat deze breuk na 16 decimalen (heel netjes: 17-1) gaat repeteren. In deze reeks zitten dus precies 16 ingangen, voor de 16 fasen. Deel maar een willekeurig getal door 17, er komt achter de komma deze repeterende reeks aan. Of het gekozen getal is een geheel 17-voud, maar dat is natuurlijk een beetje suf.
MAAR
We hebben zojuist 7 en 17 bekeken. Beide priemgetallen vormen braaf een repeterende string van 6 resp. 16 cijfers lang. Dan gaan we nu naar 13 kijken. En WAT, Gaston, zien we daar gebeuren?
1/13 = 0.076923076923076923.....
Het priemgetal 13 vormt een repeterende string van niet zoals verwacht 12 cijfers lang, de string van 13 gaat al na 6 cijfers repeteren. Wat is hier aan de hand? Daar kunnen we vrij vlot achter komen, we hebben immers hoe dan ook, toch 12 unieke ingangen in de repeteertrein nodig. Dus:
2/13 = 0.153846153846153846.....
En inderdaad: het priemgetal 13 vormt 2 verschillende strings, die SAMEN 12 cijfers lang zijn.
DUS
Het blijkt dat priemgetallen Prepeterende strings vormen, die allemaal bij elkaar een lengte hebben van P-1 cijfers. Maar dat is logisch vanwege die unieke ingangen.
EN NU?
Wat we niet kunnen voorspellen (of althans, wat IK niet kan voorspellen ) is welk priemgetal hoeveel strings vormt. Ik heb alle priemgetallen onder de 10.000 getest en heb geen enkele regelmaat of voorspelbaarheid kunnen aantreffen.
Wat bij die onderzoekingen bleek, en waar ik ook nog geen sluitende verklaring voor heb, is waarom alle strings per priemgetal even lang zijn. Dat *voelt logisch aan*, maar hard bewijzen kan ik het zo niet.
Wat ook wel opvallend is, is dat de som der cijfers van iedere repeterende string van ieder priemgetal (met de uitzonderingen 2 en 5, en ook 3, dat is te klein) ALTIJD een negenvoud is.
Ik heb nog meer hierover hoor, maar ik wil het voor nu graag even hierbij laten
Op 6 maart 2004 om 01:46 schreef shift het volgende:
Voor een duidelijker verband tussen cyclische en priemgetallen wil ik aan het genoemde lijstje nog een regeltje toevoegen:quote:Ook leuk, en zoek het verband met de vorige posts, zijn cyclische getallen,
met als voorbeeld: 142857
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142587 x 5 = 714285
142587 x 6 = 857142
Als je goed naar de cijfers kijkt zie je dat het steeds dezelfde reeks is, maar
dan begint het iedere keer met een ander cijfertje.
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
142857 x 7 = 999999
Dat zet ons natuurlijk aan het denken. Als we 1.000.000 delen door 7, komen we vrijwel precies op dat mooie 142857 uit. En omdat het uitsluitend voor de plaats van de komma verschil uitmaakt, gaan we gewoon 1 delen door 7. Wat we zien is het volgende:
1/7 = 0.142857142857142857142857..... en inderdaad
2/7 = 0.285714285714285714285714
3/7 = 0.428571428571428571428571
.
etc
.
7/7 = 1, maar een eindeloos repeterende reeks negens (analoog aan de voorgaande gevallen 0.999999999999999999999999999999999999..... ) is dat ook, dus dat klopt
We zien inderdaad dat, zoals shift ook al aangaf, het niet uitmaakt wat we als teller nemen, 1/7 of 2/7 of 3/7 etc, dat we altijd dezelfde reeks terugkrijgen die blijft repeteren. Alleen het beginpunt is anders, de reeks is dezelfde. Op zich is dat vrij logisch. Immers, het feit dat 7 een priemgetal is, houdt in dat je geen enkel getal "mooi" door 7 kunt delen, behalve 7 (en 7-vouden) zelf. Omdat het priemgetal 7 7 "fasen" kent, waarvan er 1 een geheel quotiënt geeft, moeten er in de string repeterende cijfers (die samen de repeterende breuk vormen), 7-1 = 6 unieke ingangen zijn. Immers, ieder getal dat geen geheel veelvoud van 7 is, houdt na deling door 7 een *aantal zevenden* over. Dat aantal kan alleen maar de waarden 1, 2, 3, 4, 5 of 6 hebben.
(Is dit het modulo-rekenen waar jij op doelt thabit? Ik denk het wel )
)6 verschillende ingangen in de repeterende string dus. Dat betekent meteen dat die string 6 cijfers lang moet zijn. In het geval van de noemer 7 is die string ook 6 cijfers lang, die string is namelijk "142857".
Wat blijkt nu? Dit gedrag komt voor bij ALLE priemgetallen, uitgezonderd 2 en 5 (maar dat is logisch, 2 en 5 zijn namelijk de priemfactoren van de basis van het decimale stelsel, 10).
Laten we voor de grap eens kijken naar het priemgetal 17.
1/17 = 0.058823529411764705882352941176470588235294117647.....
We zien dat deze breuk na 16 decimalen (heel netjes: 17-1) gaat repeteren. In deze reeks zitten dus precies 16 ingangen, voor de 16 fasen. Deel maar een willekeurig getal door 17, er komt achter de komma deze repeterende reeks aan. Of het gekozen getal is een geheel 17-voud, maar dat is natuurlijk een beetje suf.
MAAR
We hebben zojuist 7 en 17 bekeken. Beide priemgetallen vormen braaf een repeterende string van 6 resp. 16 cijfers lang. Dan gaan we nu naar 13 kijken. En WAT, Gaston, zien we daar gebeuren?
1/13 = 0.076923076923076923.....
Het priemgetal 13 vormt een repeterende string van niet zoals verwacht 12 cijfers lang, de string van 13 gaat al na 6 cijfers repeteren. Wat is hier aan de hand? Daar kunnen we vrij vlot achter komen, we hebben immers hoe dan ook, toch 12 unieke ingangen in de repeteertrein nodig. Dus:
2/13 = 0.153846153846153846.....
En inderdaad: het priemgetal 13 vormt 2 verschillende strings, die SAMEN 12 cijfers lang zijn.
DUS
Het blijkt dat priemgetallen Prepeterende strings vormen, die allemaal bij elkaar een lengte hebben van P-1 cijfers. Maar dat is logisch vanwege die unieke ingangen.
EN NU?
Wat we niet kunnen voorspellen (of althans, wat IK niet kan voorspellen ) is welk priemgetal hoeveel strings vormt. Ik heb alle priemgetallen onder de 10.000 getest en heb geen enkele regelmaat of voorspelbaarheid kunnen aantreffen.
) is welk priemgetal hoeveel strings vormt. Ik heb alle priemgetallen onder de 10.000 getest en heb geen enkele regelmaat of voorspelbaarheid kunnen aantreffen.Wat bij die onderzoekingen bleek, en waar ik ook nog geen sluitende verklaring voor heb, is waarom alle strings per priemgetal even lang zijn. Dat *voelt logisch aan*, maar hard bewijzen kan ik het zo niet.
Wat ook wel opvallend is, is dat de som der cijfers van iedere repeterende string van ieder priemgetal (met de uitzonderingen 2 en 5, en ook 3, dat is te klein) ALTIJD een negenvoud is.
Ik heb nog meer hierover hoor, maar ik wil het voor nu graag even hierbij laten
Salivili hipput tupput tapput äppyt tipput hilijalleen
Ik denk dat ik de meeste vragen wel kan beantwoorden hierover. Maar eerst ga ik eten en daarna erover nadenken.quote:Op dinsdag 9 maart 2004 19:14 schreef Dr_Flash het volgende:
Wat we niet kunnen voorspellen (of althans, wat IK niet kan voorspellen ) is welk priemgetal hoeveel strings vormt. Ik heb alle priemgetallen onder de 10.000 getest en heb geen enkele regelmaat of voorspelbaarheid kunnen aantreffen.
Wat bij die onderzoekingen bleek, en waar ik ook nog geen sluitende verklaring voor heb, is waarom alle strings per priemgetal even lang zijn. Dat *voelt logisch aan*, maar hard bewijzen kan ik het zo niet.
Wat ook wel opvallend is, is dat de som der cijfers van iedere repeterende string van ieder priemgetal (met de uitzonderingen 2 en 5, en ook 3, dat is te klein) ALTIJD een negenvoud is.
Ik heb nog meer hierover hoor, maar ik wil het voor nu graag even hierbij laten
Het volgende geldt in elk geval:
de kleine stelling van Fermat zegt dat als a een geheel getal is en p geen deler van a, waarbij p een priemgetal is, dan is
ap-1=1 mod p.
Een hele handige stelling! De stelling zegt echter niet dat p-1 ook de kleinste positieve waarde van k is waarvoor
ak=1 mod p.
Deze kleinste waarde van k noemen we de multiplicatieve orde van a modulo p en kunnen we noteren met
k=ordpa.
Er zal altijd gelden dat ordpa een deler is van p-1.
Wat heeft dit nu met cyclische getallen te maken? Wel, de lengte van het repeterende deel van de breuk is gelijk aan ordp10 en het aantal verschillende cyclische getallen dat je krijgt als je veelvouden van dat repeterende deel bekijkt is gelijk aan (p-1)/ordp10. (We nemen hierbij aan dat p geen 2 of 5 is: de breuk repeteert dan namelijk niet en de orde van 10 modulo p bestaat dan ook niet want 10 is deelbaar door 2 en 5).
Dit is een belangrijke observatie. Het repeterende deel is gelijk aan
(10ordp10-1)/p.
Dit bewijst meteen dat de som der cijfers deelbaar is door 9: een getal is deelbaar door 9 dan en slechts dan als de som der cijfers deelbaar is door 9. Nu is 10k-1 deelbaar door 9 voor elke k>=1 en als p niet 3 is dan blijft het deelbaard door 9 als we door p delen.
Rest nog de vraag: hoe druk je ordp10 uit in p? Daar weet ik niet direct het antwoord op, zal er nog even over nadenken. Ik denk niet echt dat de vraag elementair te beantwoorden zal zijn, misschien dat er algebraische getaltheorie voor nodig is. Kun je misschien een lijstje hier neerzetten dat je net gemaakt hebt?
[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 10-03-2004 17:06:23 ]
de kleine stelling van Fermat zegt dat als a een geheel getal is en p geen deler van a, waarbij p een priemgetal is, dan is
ap-1=1 mod p.
Een hele handige stelling! De stelling zegt echter niet dat p-1 ook de kleinste positieve waarde van k is waarvoor
ak=1 mod p.
Deze kleinste waarde van k noemen we de multiplicatieve orde van a modulo p en kunnen we noteren met
k=ordpa.
Er zal altijd gelden dat ordpa een deler is van p-1.
Wat heeft dit nu met cyclische getallen te maken? Wel, de lengte van het repeterende deel van de breuk is gelijk aan ordp10 en het aantal verschillende cyclische getallen dat je krijgt als je veelvouden van dat repeterende deel bekijkt is gelijk aan (p-1)/ordp10. (We nemen hierbij aan dat p geen 2 of 5 is: de breuk repeteert dan namelijk niet en de orde van 10 modulo p bestaat dan ook niet want 10 is deelbaar door 2 en 5).
Dit is een belangrijke observatie. Het repeterende deel is gelijk aan
(10ordp10-1)/p.
Dit bewijst meteen dat de som der cijfers deelbaar is door 9: een getal is deelbaar door 9 dan en slechts dan als de som der cijfers deelbaar is door 9. Nu is 10k-1 deelbaar door 9 voor elke k>=1 en als p niet 3 is dan blijft het deelbaard door 9 als we door p delen.
Rest nog de vraag: hoe druk je ordp10 uit in p? Daar weet ik niet direct het antwoord op, zal er nog even over nadenken. Ik denk niet echt dat de vraag elementair te beantwoorden zal zijn, misschien dat er algebraische getaltheorie voor nodig is. Kun je misschien een lijstje hier neerzetten dat je net gemaakt hebt?
[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 10-03-2004 17:06:23 ]
Wow Thabit
Ik zal me even moeten inlezen in de gebruikte terminologie, ben namelijk eigenlijk helemaal geen wiskundige Dus ik moet even kijken wat je waarmee allemaal bedoelt precies.
Ik neem aan dat je met lijstje bedoelt: een tabelletje met daarin priemgetalen P, aantal gevormde strings N en eventueel stringlengte L. Maar dat is niet echt nodig want er geldt altijd natuurlijk N*L = P-1
Ik zal een beknopt lijsje wel even uploaden.
Beknopt lijstje
[ Bericht 4% gewijzigd door Dr_Flash op 09-03-2004 21:36:18 ]
Ik zal me even moeten inlezen in de gebruikte terminologie, ben namelijk eigenlijk helemaal geen wiskundige Dus ik moet even kijken wat je waarmee allemaal bedoelt precies.
Ik neem aan dat je met lijstje bedoelt: een tabelletje met daarin priemgetalen P, aantal gevormde strings N en eventueel stringlengte L. Maar dat is niet echt nodig want er geldt altijd natuurlijk N*L = P-1
Ik zal een beknopt lijsje wel even uploaden.
Beknopt lijstje
[ Bericht 4% gewijzigd door Dr_Flash op 09-03-2004 21:36:18 ]
Salivili hipput tupput tapput äppyt tipput hilijalleen
Wat je wil Ben allang blij dat er eindelijk eens iemand hier wat zinnigs over te melden heeft (ik loop al een jaar of 3 met dit verhaal )quote:Op dinsdag 9 maart 2004 22:18 schreef thabit het volgende:
Ik kan geen excel-bestanden lezen. Heb je toevallig iets in tekstformaat? .
(ik loop al een jaar of 3 met dit verhaal tekstversie
Salivili hipput tupput tapput äppyt tipput hilijalleen
Ik heb trouwens nog iets veel bizarders ontdekt: Als je P tegen N uitzet in een dubbellog plot, en je kijkt dan met name naar de punten die een envelope lijken te vormen (alle andere punten liggen onder die lijn)
P_______N
3_______2
11______5
37______12
101_____25
271_____54
4649____664
Dan zie je dat die min of meer op een rechte lijn liggen, en min of meer equidistant. Maar tussen de laatste 2 punten in lijkt er 1 te ontbreken. Dit vermoeden wordt nog versterkt als we de bijbehorende L van die punten gaan bepalen, die zijn namelijk resp. 1, 2, 3, 4, 5, en 7. Waar is het punt waarvoor geldt L = 6 ?
P_______N
3_______2
11______5
37______12
101_____25
271_____54
4649____664
Dan zie je dat die min of meer op een rechte lijn liggen, en min of meer equidistant. Maar tussen de laatste 2 punten in lijkt er 1 te ontbreken. Dit vermoeden wordt nog versterkt als we de bijbehorende L van die punten gaan bepalen, die zijn namelijk resp. 1, 2, 3, 4, 5, en 7. Waar is het punt waarvoor geldt L = 6 ?
Salivili hipput tupput tapput äppyt tipput hilijalleen
|
|
