Volledige inductie

quote:

---

Op vrijdag 21 november 2003 15:48 schreef Koekepan het volgende:
Epsilons naar nul is ook maar een fractie van de wiskunde. Ik denk dat de meeste wiskundestudenten hier ook pas de zin van inzien als ze zien wat voor kankerzooi (excusez-le-mot) de wiskunde zou zijn zonder degelijke grondslagen. En daar heb je naast wiskundig inzicht ook historisch besef voor nodig (zoals het lezen van Gauss die nog in alle ernst de limiet van 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - etc. "bepaalde").

---

Ik wil nog steeds een keer onderzoeken of het mogelijk is, en zoja hoe, om een systeem te ontwikkelen waarin limieten als die limiet wel te accepteren zijn (deze dus als 1/3) en wat toch consistent is... (Gun mij mn pleziertje en geef het antwoord aub niet...)

Verder vind ik het snobistisch klinken om echte wiskunde weg te willen houden van toepassingen. Ik vind het juist een beetje 'heiligschennis' om het te gaan gebruiken voor suffe puzzeltjes...
Toegepaste studievarianten kunnen ook een hoog niveau hebben. Toegegeven, dat geldt in het algemeen niet voor richtingen als informatica (oorspronkelijk ook wiskunde), statistiek en kansrekening. Kansrekening heeft wel opties tot interessantheid, denk aan de momentfuncties, maar die worden helaas nauwelijks uitgebuit...
Maar er is nog een groot braakliggend interessant terrein in de numerieke wiskunde, als je daar mee bezig bent dan merk je dat het nog maar in zn kinderschoenen staat. Daar is baanbrekend fundamenteel werk te verrichten. Ook zou ik toegepaste analyse zeker geen lichte richting willen noemen...
Ik deel je zorg over de afnemende kwaliteit+kwantiteit, Thabit... Maar ik denk niet dat jouw oplossing goed is.
Het probleem is meer dat de studie wiskunde minder respect geniet dan vroeger. Ik heb foto's gezien van de rijen mensen langs de weg tijdens de uitvaart van Lorentz... Zoiets gebeurt vandaag niet meer als er een bekende wiskundige zou sterven. Kijk maar eens naar Oost-Europese landen, waar wiskundigen meer respect krijgen, daar hebben de wiskunde-studies de meeste studenten.

Het wiskunde-niveau op de middelbare school daalt ook dramatisch... Maar je moet je beseffen dat wiskunde op de middelbare school erop gericht is om mensen wiskunde bij te brengen voor een academische studie in het algemeen. Niet specifiek om later wiskunde te gaan studeren. Voor de wiskundestudie zou het beter zijn als de wiskunde daar theoretischer is, maar er zijn (helaas?) veel meer universiteitsopleidingen dan wiskunde.

Jij zegt: wiskunde niet richten op toepassen.
Ik zeg: wiskunde wél richten op toepassen, maar waarborg het niveau.

Het lijkt er een beetje op dat jij niet geassocieerd wenst te worden met die mindere talenten die de toegepaste varianten volgen en de toegepaste varianten daarom zwart maakt... Ik hoop dat dit een foute observatie van mij is.

De wiskunde is als een grote stoot amfetamine die andere wetenschappers gebruiken als ze er even niet meer uitkomen.
Als de wiskundigen niet meer verder gaan met het ontwerpen van sterkere, efficiëntere, goedkopere, gewoonweg betere amfetamine raken de andere wetenschappers op een gegeven moment verzadigd van de huidige amfetamine, en komen zij niet meer verder.

Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.

De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.

Wat is dan onvolledige inductie ?

Zoiets van: niet verder kunnen tellen dan 10 of zo ?

quote:

---

Op zaterdag 22 november 2003 13:35 schreef thabit het volgende:
Mag ik ook niet alvast verklappen of het wel of niet kan?

---

Liever niet... Dat is juist de uitdaging.
Het kan trouwens sowieso, door een 'getallensysteem' te ontwikkelen met maar één getal. Dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk, bestaat de limiet van elke rij, dus ook voor alle rijen als in het voorbeeld.
Dit gaat volgens mij goed voor alle 'getallensystemen' met eindig veel getallen. Maar de grap is juist dat je oneindig veel getallen wil hebben.
Ach ik heb de komende tijd toch geen tijd om er langer dan nu over na te gaan denken. Laat staan om de vraag goed te formuleren. Als je je niet in kunt houden mag je argumenten geven waarom het wel/niet zou kunnen of zelfs een voorbeeld van hoe het wel kan.

quote:

---

Licht je woordkeuzen 'heiligschennis' en 'suf' eens toe, want dat ontgaat me volledig.

---

De woordkeuzes zijn natuurlijk overdreven...
Maar ik neem even voor bekend aan dat wiskunde geweldig is. Dan ga je daar puzzeltjes van maken... Ik associeer dat meteen met wedstrijdjes wie het het snelste kan oplossen. Ook mensen die trucjes gaan leren zodat ze de puzzeltjes kunnen oplossen, terwijl ze de échte wiskunde niet kennen. Los dan liever problemen op uit de praktijk, dan zelf probleempjes te ontwikkelen.
Moeilijk uit te leggen waarom ik er zo over denk. Ik ben gewoon totaal niet competatief ingesteld, dat zal het wel zijn. Het ligt niet aan jou, het ligt aan mij...

quote:

---

Ik ben er heilig van overtuigd dat iemand die op de middelbare school wiskunde juist als wiskunde heeft gezien, andere soorten wiskunde ook veel beter zal kunnen begrijpen dan met de manier waarop wiskunde nu wordt onderwezen.

---

Ben ik helemaal met je eens. Maar helaas willen veel mensen wiskunde niet begrijpen. Ze willen weten hoé ze problemen moeten oplossen. Niet waarom die oplosmethode goed is, wat erachter zit. Slechte zaak, maar het is de realiteit.

quote:

---

Wiskunde is een autonome wetenschap die zichzelf beschrijft en bewijst. Zodra je het op toepassen gaat richten kan het theoretische niveau niet gewaarborgd blijven. Juist de theoretische vakgebieden die het hoogste niveau waarborgen, zoals de arithmetische algebraische meetkunde, zullen daardoor verdwijnen. In toegepaste wiskunde zit zo ontzettend veel minder theoretische diepgang dan in theoretische wiskunde.

---

Heb jij zowel theoretische als toegepaste wiskunde gestudeerd? Ik ken het voorbeeld van iemand die theoretische wiskunde heeft gestudeerd. Kreeg een integraal te zien, en kon op 10 manieren bewijzen dat hij bestond, en wat het gedrag was als de parameters naar oneindig of nul gingen. Maar hij had geen idee hoe hij hem uit moest rekenen... (het kon analytisch btw.) En een goede methode om hem dan maar numeriek te benaderen was ook al afwezig.
Ik hoop dat dit niet representatief is voor de gemiddelde theoretische wiskunde-student. Maar hoe is jouw beeld van toegepaste wiskunde gevormd?

Als de theoretische vakgebieden zouden verdwijnen dan zal de toegepaste richting erg veel aan niveau verliezen. Zonder goede theoretische onderbouwing is toegepaste wiskunde niks. Of dacht je dat er bij het bepalen van bijv. een betere numerieke integratiemethode maar wat geprobeerd werd en gekeken werd wat het beste uitkwam?

quote:

---

Licht dit eens nader toe, want ik snap niet hoe je hierbij komt?

---

Het was maar een nulde-orde-benadering van jouw karakter aan de hand van mijn interpretatie van enkele posts van jou.
Ik zal maar aannemen dat deze wedervraag een ontkenning is van mijn observatie. Dan is mijn eerste-orde-benadering van jouw karakter dus dat je toegepaste varianten-volgers niet minderwaardig vindt. Is dat een betere benadering?

quote:

---

Op zaterdag 22 november 2003 14:13 schreef Evariste_Galois het volgende:
De wiskunde is als een grote stoot amfetamine die andere wetenschappers gebruiken als ze er even niet meer uitkomen.
Als de wiskundigen niet meer verder gaan met het ontwerpen van sterkere, efficiëntere, goedkopere, gewoonweg betere amfetamine raken de andere wetenschappers op een gegeven moment verzadigd van de huidige amfetamine, en komen zij niet meer verder.

Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.

De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.

---

Ik ken trouwens nog wel supervolledige inductie.
Al weet ik niet of dit een zelfbedachte term door iemand is of een algemeen geaccepteerde term...

(Met supervolledige inductie bewijs je iets voor alle gehele getallen. Eerst bewijs je dat iets geldt voor n=0, dan dat als het voor n=k geldt ook geldt voor n=k+1, dan dat als het voor n=k geldt ook voor n=k-1, en daarna concludeer je dat het voor alle gehele getallen geldt.)

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 01:59 schreef thabit het volgende:
Je had meegedaan aan de Olympiade zei je?

---

Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...

quote:

---

Maar de eigenschappen van een integraal zijn toch ook veel interessanter dan een gesloten uitdrukking? Wat heb je er aan om de precieze uitdrukking van een functie te kennen als je z'n eigenschappen niet begrijpt? De meeste integralen kunnen we niet eens expliciet uitrekenen.

---

Die eigenschappen zijn ook wel interessant. Die kan ik ook wel bepalen. Maar ik zie een expliciete uitkomst (indien mogelijk uiteraard) als laatste stap. Zonde om die niet te maken...
Nu ben ik bezig met het poisson-probleem voor het buitengebied van een cylinder op te lossen waarbij de cylinder op 1 staat. Existentie en eenduidigheid zijn triviaal, gedrag op oneindige afstand een eitje, maar een expliciete uitdrukking (zal wel een oneindige reeks worden) is toch helemaal geweldig...

quote:

---

Zelf kan ik sommige integralen toevallig uitrekenen omdat ik ooit een keer bij een wiskundevak voor natuurkundigen heb geassisteerd. Ik heb nog nooit zoiets nutteloos gezien als dat. Je kunt allerlei suffe integralen uitrekenen waar je geen zak aan hebt en je wiskundig inzicht wordt er geen millimeter beter van.

---

Gelukkig leven we in een vrij land. Het feit dat we het niet eens hoeven te zijn siert ons.

quote:

---

Zodra de theoretische vakgebieden zich op toepassingen gaan richten gaat het niveau al zakken. Het theoretisch onderzoek moet autonoom blijven. Wat helemaal niet wil zeggen dat het niet toegepast moet worden. Theoretische wiskundigen moeten theoretische wiskunde ontwikkelen. Toegepaste wiskundigen moeten maar uitzoeken hoe het toegepast kan worden.

---

Uiteraard, theoretische vakgebieden moeten theoretisch blijven. En toegepaste vakgebieden moeten een flinke portie theorie blijven houden (het mag wel wat meer dan nu).

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 10:59 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...

---

Ik heb nu een vak competitionele wiskunde en ik vind het wel erg leuk. We krijgen de Runge-Kutta-methode (ranzige kutmethode noem ik hem ook wel) voor het benaderen van differentiaalvergelijkingen. Erg leuk! .

Overigens ben ik van mening dat integralen uitrekenen best kan bijdragen tot je wiskundige vaardigheden. Vooral op het gebied van het manipuleren van algebraïsche uitdrukkingen. Van het primitiveren van \sqrt{1-x^2} bijvoorbeeld (niet met substitutie, dat is voor losers) leer je een heel handig trucje dat je echt wel kunt gebruiken in andere takken van de wiskunde.

De Scepsis zeiden meer als 2000 jaar geleden al dat inductie niet leidt tot geldige conclusies. Daar heb je ook al die formules niet voor nodig. Als er 2 miljoen zwanen wit zijn wil dat niet zeggen dat er geen enkele zwarte is.

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 12:56 schreef Alcatraz het volgende:
De Scepsis zeiden meer als 2000 jaar geleden al dat inductie niet leidt tot geldige conclusies. Daar heb je ook al die formules niet voor nodig. Als er 2 miljoen zwanen wit zijn wil dat niet zeggen dat er geen enkele zwarte is.

---

Schat, dit is geen filosofie of zelfs maar natuurwetenschap, maar wiskunde. Bemoei je met dingen waar je wel verstand van hebt.

Ik heb ingezien dat bijna al het leed op de wereld ontstaat door competitiedrang van mensen... (mijn landje moet beter zijn dan het jouwe, mijn religie moet beter zijn dan het jouwe, etc.)

Natuurlijk zijn er ook veel geweldige dingen ontstaan door competitiedrang. Maar een mens is nou eenmaal niet altijd rationeel, ik ook niet, dus probeer ik mij afzijdig te houden van competitie. Gelukkig ben ik ook nog eens inconsequent, zodat ik af en toe toch mezelf kan meten, maar ik maak mezelf altijd wijs dat dat puur voor mezelf is en niet om op te scheppen tegen andere mensen.

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 17:21 schreef thabit het volgende:
Dus door niet je best te doen voor de Olympiade wordt het leed op de wereld minder?

---

Het effect is uiteraard verwaarloosbaar. Doordat iemand een hamburger weigert omdat hij vegarier is wordt het dierenleed ook niet meetbaar minder.

quote:

---

ps: zat je nou eigenlijk wel of niet in de training?

---

wel

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

---

In het voorbeeld tellen we 1 op aan beide kanten van de correcte (indien Sn juist is) vergelijking n-1=n wat resulteert tot de vergelijking n=n+1, n+1 kan dan aan de rest gelijk worden gesteld met behulp van de correcte (indien Sn juist is) vergelijkingen. (0=n, 1=n, 2=n, ...., n=n=n+1). Voor S₀ geldt dit echter niet omdat de vergelijking n-1=n niet juist is als we n=o nemen. S₀ impliceert namelijk niet -1=0. Nemen we een Sn met n positief dan hebben we wel een geldige inductie. We moeten dan eerst wel minimaal bewijzen dat 0=1. Dit zonder inductie te gebruiken.

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 17:29 schreef thabit het volgende:
Hoe beinvloedt de wiskunde olympiade het wereldleed dan volgens jou?

---

Het principe competitiedrang veroorzaakt het wereldleed.
En het principe competitiedrang veroorzaakt de wiskunde-olympiade.

quote:

---

Je hebt die training niet afgezegd, ondanks dat je geen competitiedrang hebt?

---

Technisch gezien héb ik wel competitiedrang, net zoals elk mens, maar ik zie dat als slechte eigenschap en probeer dat te onderdrukken. Ik vind dat je moet streven om ergens goed in te zijn, niet om ergens beter in te zijn dan iemand anders.
Toen ik eenmaal door had de wiskundeolympiade zo competatief was ben ik gestopt. Eerst was er zo'n weekend, dat werd voorgesteld als een weekendje waarin óók wat aan wiskunde gedaan werd, maar het was puur techniekjes aanleren om puzzeltjes te kunnen oplossen. Bij enkele vervolgsamenkomens was het weer zo. Toen ben ik niet meer gekomen.
Als ik het jaar erop had meegedaan (ik was een jaar jonger dan de rest) was ik vast wel weer door de selectie gekomen, zeker met die extra aangeleerde puzzeltjesoplostechnieken, maar ik heb niet eens meer meegedaan, de lol was er wel af. Voor mij dan. Als andere mensen er plezier aan beleven dan moeten ze dat vooral doen. Ik heb geen drang om mijn 'geloof' te verspreiden.

quote:

---

Op dinsdag 25 november 2003 16:08 schreef thabit het volgende:
Dus jij vindt het raar dat de olympiadetraining zich richt op training voor de olympiade? Waar mensen zich al niet over kunnen verbazen. .

---

Ik denk dat je me niet helemaal begrijpt...
In mijn jeugdige naïviteit verwachtte ik een gebeurtenis waarin het centrale thema wel wiskunde was, maar niet techniekjes aanleren om olympiadepuzzeltjes op te lossen.
Als je een wiskundestudie kiest, dan hoop je toch dat je wiskunde leert, en niet technieken om tentamens voldoende te maken? Gevolg van je wiskundekennis zal wel zijn dat je die tentamens voldoende kunt maken, maar dat moet niet het doel zijn. Zo ook met de olympiadetraining, ik verwachtte dat ik échte wiskunde zou leren, waaruit ik zelf toepassingen voor puzzels kon afleiden, en niet dat ik puur toepassingen voor puzzels zou leren.
(ik zie hier een variant van de discussie over het gericht zijn van wiskunde op toepassen, alleen dan met omgekeerde posities...)

Nu ik meer weet over die olympiade is het natuurlijk onzinnig om te denken dat het niet daar specifiek op gericht zou zijn. Maar hallo, mag een jongetje van 16 jaar geen inschattingsfout maken...
Ik beweer overigens niet dat de olympiade iets slechts is, maar dat de combinatie Pie.er-olympiade niet werkt.

Bij dezen wil ik zeggen dat ik bewijsvoering mbv volledige inductie me volledig heb meestergemaakt. Weest trots!