Stel we willen een uitspraak over natuurlijke getallen bewijzen, bijvoorbeeld de volgende:
1+2+...+n = n(n+1)/2.
Het concept dat we gaan hanteren om deze uitspraak te bewijzen bestaat uit 3 stappen:
1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.
Edit: we gebruiken de volgende terminologie: stap 1 wordt de basisstap genoemd, stap 2 de inductiestap en stap 3 de conclusie.
We gaan nu kijken hoe we ons probleem kunnen oplossen met behulp van dit idee.
1) Even kijken, 1=1, verrek dat klopt.
2) Okee k is gegeven, de uitspraak geldt voor alle n<k want dat nemen we aan, in het bijzonder geldt de uitspraak dus voor n=k-1.
Dit betekent dus dat 1+...+(k-1)=k(k-1)/2.
We moeten bewijzen dat de uitspraak voor n=k geldt, met andere woorden we moeten bewijzen dat 1+...+k=k(k+1)/2. Dit gaat nu vrij simpel:
1+...+k = 1+...+(k-1)+k = k(k-1)/2+k = k2/2-k/2+k = k2/2+k/2 = k(k+1)/2.
3) We hebben dus met behulp van volledige inductie bewezen dat 1+...+n=n(n+1)/2 voor alle natuurlijke getallen n.
Opgaves om te kijken of men het begrip snapt:
1) Bewijs dat 12+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 voor alle n.
2) Bewijs dat 13+...+n3 = (n(n+1)/2)2 voor alle n.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 11-11-2003 14:02]
[Dit bericht is gewijzigd door Allantois op 10-11-2003 16:34]
Heb ik net gehad. Simpel eigenlijk alleen wat leuk schrijfwerk meestal. Ben te lui om het uit te werken. Maar toch fijn dat jij de rest van fok het ook even wilde laten zien. 
quote:kan je ook bewijzen iets in de trant van 1m+...+nm=n(n+1)/nm (oid... queni of dit klopt, maar er zal vast zo'n formule zijn...
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Opgaves om te kijken of men het begrip snapt:
1) Bewijs dat 12+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 voor alle n.
2) Bewijs dat 13+...+n3 = (n(n+1)/2)2 voor alle n.
Eerst zeiken en dan kijken ;-)
quote:Dat we ons beperken tot de natuurlijke getallen wordt al in de eerste zin genoemd.
Op maandag 10 november 2003 16:41 schreef staaltje het volgende:
TS doet een beetje te interessant. Hij vergeet een klein doch belangrijk detail: zich te beperken tot de verzameling van natuurlijke getallen. Kies voor de grap eens -1 voor n en kijk wat er gebeurt.Eerst zeiken en dan kijken ;-)
."Eerst zeiken en dan kijken."
quote:Flikker toch op zeg.
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus.
quote:inderdaad, maar oefen er maar goed in en maak het je meester, want ik kan je garanderen dat je het na Calculus (gokje
Op maandag 10 november 2003 16:34 schreef Herion het volgende:
1e jaars stof
) ook nog vaak genoeg nodig zult hebben
We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:
Sn is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.
- Stel nu dat Sn waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als Sn waar is, dan ook Sn+1.
- Sn is duidelijk waar voor n=0.
- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat Sn waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.
thabit jij mag niet meedoen :-)
quote:Zo'n formule bestaat maar hij is vrij ingewikkeld, hij maakt gebruik van Bernoulligetallen. Hier een linkje naar de formule: http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
Op maandag 10 november 2003 16:37 schreef Allantois het volgende:[..]
kan je ook bewijzen iets in de trant van 1m+...+nm=n(n+1)/nm (oid... queni of dit klopt, maar er zal vast zo'n formule zijn...
quote:dan sluit ik mezelf ook uit van deelname...
Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
thabit jij mag niet meedoen :-)
Ik ken hem eigenlijk net iets anders, als 'bewijs' dat alle voorwerpen geel zijn. Dan lijkt het minder wiskundig en trappen wiskundehaters er erger in omdat ze het verband met wiskunde niet zien en twijfelen aan hun eigen gezonde verstand.
quote:Is kennis van wiskundige volledige inductie van belang geweest in de werken van bijvoorbeeld Kant, Heidegger of Wittgenstein? Wiskundige inductie heeft alleen nut binnen de wiskunde en heeft daarom alleen nut voor mensen die zich hiermee bezig houden. Degenen die dit niet doen hebben daarom ook geen beperking in hun denken.
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.
quote:Stel je eens voor hoeveel beter deze werken zouden zijn geweest als deze heren wel kennis hadden genomen van volledige inductie!
Op maandag 10 november 2003 22:17 schreef Wolfje het volgende:[..]
Is kennis van wiskundige volledige inductie van belang geweest in de werken van bijvoorbeeld Kant, Heidegger of Wittgenstein?
Geen denkbeperking of fundament der wiskunde.
Allemaal weer vergeten, heb het vak ook al een maand geleden gevolgd.
Maar die taylor reeksen en euler dingen die weet ik nog wel.
Imaginaire getallen waren ook simpel.
Kreeg pas moeite bij de gevorderde vectorcalculus.
Al dat ruimtelijk denken en dan ineens naar abstract.
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
quote:aha daar is de fout.
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
IN THEORIE GAAT DAT ZO ONEINDIG VERDER.
Totdat je het in werkelijkheid gezien hebt is het niet zeker.
Dus ga jij maar dominosteentjes neerzetten.
Volgens de wetten van newton valt alles nu naar beneden totdat er iets een keer omhoog valt.
Sorry ik verwijs naar de post hieronder, zelfs in theorie gaat het niet oneindig verder.
[Dit bericht is gewijzigd door Aardwetenschapper op 10-11-2003 23:04]
quote:Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
quote:Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.
Op maandag 10 november 2003 23:01 schreef Maestrov het volgende:[..]
Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.
quote:
Op maandag 10 november 2003 23:06 schreef thabit het volgende:[..]
Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.
Zal ik toch eens aan mijn wiskunde A leraar uit gaan leggen.
Echt helemaal niets.
Om het wiskundig te zeggen 0.
Ik zou andere bewoordingen kiezen, dat fundamentum is niet van toepassing binnen dit theorema, maar ik zou niet weten of dat juist is, want thabit, jij bent de wiskundige.
quote:Even op jouw dominopolitiek doorbordurend...
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
Volledige inductie kun je alleen waarmaken als je het gehele speelveld, in al z'n complexiteit en recursiviteit, kunt overzien. Daarom stellen de wiskundige intuïtionisten dat je de axiomatische reeks der natuurlijke getallen niet op "volledige" inductie mag baseren.
Het probleem is namelijk dat jij de "volledigheid" niet kunt garanderen als het speelveld oneindig groot is. Waarschijnlijk zul je gewoon niet oud genoeg worden om die volledigheid met een oneindig aantal domineestenen - in al z'n eenvoud - te testen. Dat duurt namelijk erg lang, zelfs oneindig lang...
quote:
INTUITIONISME EN FORMALISMEREDE BIJ DE AANVAARDING VAN HET AMBT VAN BUITENGEWOON HOOGLEERAAR IN DE WISKUNDE AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM OP MAANDAG 14 OCTOBER 1912 UITGESPROKEN DOOR DR. L.E.J. BROUWER.
Op grond van zulk een systeem van axioma's ontwikkelt de formalist nu in de eerste plaats de theorie der eindige verzamelingen. Een verzameling wordt eindig genoemd, indien haar eenheden zich niet in éénéénduidige correspondentie laten brengen met de elementen van een harer deelverzamelingen, en als hoofdeigenschap dezer verzamelingen wordt door een vrij gecompliceerde redeneering 4) afgeleid het zoogenaamde principe van volledige inductie, leerende dat een eigenschap dàn voor alle eindige verzamelingen geldt, indien ze ten eerste geldt voor elke verzameling, die slechts één element bevat, en indien ten tweede haar geldigheid voor een willekeurige eindige verzameling volgt uit haar geldigheid voor een diezelfde verzameling verminderd met één harer elementen. Het feit, dat de formalist dit principe, dat voor de eindige getallen van den intuitionist op grond hunner constructie evident [pag. 16] is, uitdrukkelijk heeft te bewijzen, toont tevens, dat hij nooit in staat zal zijn, ter rechtvaardiging van de keuze zijner axioma's, het zoo onbevredigende beroep op de inexacte praktijk, of op de voor hem even inexacte intuitie, te vervangen door een exact bewijs van de niet-contradictoriteit zijner theorie. Immers om te bewijzen, dat onder de oneindig vele gevolgtrekkingen, die uit het voorspelde systeem van axioma's kunnen worden afgeleid, nooit de logische figuur der contradictie zal kunnen optreden, is de eenige weg, eerst aan te toonen, dat, als bij de nde gevolgtrekking nog geen contradictie aanweizg is, dit bij de (n+1)de gevolgtrekking evenmin het geval kan zijn, en vervolgens intuitief het principe van volledige inductie toe te passen. Maar juist dit laatste mag de formalist zelfs dan niet doen, wanneer hij het principe van volledige inductie bewezen heeft; immers daartoe zou hij wiskundige zekerheid moeten hebben, dat de tot en met de nde gevolgtrekking voortgebrachte eigenschappenverzameling voor een willekeurige n aan zijn definitie voor eindige verzamelingen voldoet, en om die wiskundige zekerheid te verlangen, zou hij, behalve tot de ongeoorloofde toepassing van een symbolisch criterium op een concreet voorbeeld, zijn toevlucht moeten nemen tot een nieuwe intuitieve toepassing van het principe van volledige inductie, waarmee hij in een vicieusen cirkel zou zijn geraakt.
quote:Ik heb ook niet voor niets denkstap nummer 3, de conclusie, erbij vermeld als essentieel onderdeel van de inductie, daar het niet a priori duidelijk is waarom geldigheid van een uitspraak uit de eerste 2 stappen volgt. We nemen axiomatisch aan dat inductie werkt. Tenminste dat doe ik wel want ik ben geen intuitionist. Ik gebruik gewoon inductie, niet-constructieve existentiebewijzen en bewijzen uit het ongerijmde.
Op maandag 10 november 2003 23:56 schreef the.moderator het volgende:[..]
Even op jouw dominopolitiek doorbordurend...
Volledige inductie kun je alleen waarmaken als je het gehele speelveld, in al z'n complexiteit en recursiviteit, kunt overzien. Daarom stellen de wiskundige intuïtionisten dat je de axiomatische reeks der natuurlijke getallen niet op "volledige" inductie mag baseren.
Het probleem is namelijk dat jij de "volledigheid" niet kunt garanderen als het speelveld oneindig groot is. Waarschijnlijk zul je gewoon niet oud genoeg worden om die volledigheid met een oneindig aantal domineestenen - in al z'n eenvoud - te testen. Dat duurt namelijk erg lang, zelfs oneindig lang...
[..]
quote:n=0 is niet bepaald een natuurlijk getal he?
Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:
Sn is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.
- Stel nu dat Sn waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als Sn waar is, dan ook Sn+1.
- Sn is duidelijk waar voor n=0.
- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat Sn waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.
thabit jij mag niet meedoen :-)
quote:Jawel, lN = {0,1,2,3,...}
Op dinsdag 11 november 2003 11:18 schreef Thijs_ het volgende:
n=0 is niet bepaald een natuurlijk getal he?
En zelfs al was 0 geen natuurlijk getal (ik weet dat daar soms verschil van mening over is), dan is een constructie met volledige inductie evengoed geldig. Net zoals je met volledige inductie ook dingen kunt bewijzen die gelden voor alle gehele getallen >= -7, of >= 12.
En anders tel je in mijn hele verhaal bij alle cijfers 1 op.
houdt in 1 knikker = 2 knikkers?
en dat met het idee van paralelle universa? :p
quote:Noem eens een paar voorbeelden waaruit blijkt dat als mensen het begrip volledige inductie hadden gekend hun denken minder beperkt was geweest.
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.[...]
quote:Jij kent volledige inductie bijvoorbeeld niet.
Op dinsdag 11 november 2003 12:59 schreef nEDerland het volgende:[..]
Noem eens een paar voorbeelden waaruit blijkt dat als mensen het begrip volledige inductie hadden gekend hun denken minder beperkt was geweest.
quote:Jij weet niet dat ik Calculus I heb gehad op de universiteit. Reageer eens op m'n vraag.
Op dinsdag 11 november 2003 13:03 schreef thabit het volgende:[..]
Jij kent volledige inductie bijvoorbeeld niet.
Inductie komt in meer vormen voor dan de vorm die ik in mijn openingspost gegeven heb. Een andere vorm van inductie is bijvoorbeeld dat je een complexe structuur ziet als opgebouwd uit meerdere delen. En die delen zijn ook weer opgebouwd uit meerdere delen, etc, totdat je op een gegeven moment het zodanig hebt ontleed dat de delen klein genoeg zijn om te kunnen bevatten, de atomaire delen. Het equivalent van de basisstap (stap 1 in mijn openingspost) is dan begrip van deze atomaire delen. En de inductiestap (stap 2 in mijn openingspost) is begrip van hoe kleinere delen samen te voegen tot een groter geheel.
Als je er heel goed over nadenkt zie je zelfs dat dat helemaal niet een andere vorm is, maar eigenlijk dezelfde vorm als in mijn openingspost: we kunnen immers de complexiteit van een structuur uitdrukken in een getal.
Een voorbeeld hiervoor is de structuur van de taal. We kunnen een zin grammaticaal ontleden door hem eerst op te delen in hoofdzinnen, de hoofdzinnen op te delen in zinsdelen, en sommige zinsdelen zijn zelf ook weer verder te ontbinden delen, totdat je het op een gegeven moment helemaal hebt opgedeeld in woorden, die je natuurlijk ook weer verder kunt ontleden. We kunnen de grammatica van onze taal inductief beschrijven. En zo zijn er nog legio voorbeelden buiten de wiskunde waar inductie een belangrijk inzicht kan geven.
Ik heb al die meuk gehad maar of ik hier nu ruimdenkender door ben geworden.
quote:Zoiets noemt men een bewijs uit het ongerijmde.
Op dinsdag 11 november 2003 13:55 schreef Maestrov het volgende:
Hoe heette die techniek ook al weer dat je het tegengestelde probeerde te bewijzen en door dat nooit omging de stelling bewezen had?
quote:Die bedoel ik! Wordt er nog steeds zo'n bliksemstraal gebruikt?
Op dinsdag 11 november 2003 13:58 schreef thabit het volgende:[..]
Zoiets noemt men een bewijs uit het ongerijmde.
Wat een geweldige vakken waren dat zeg!
In het rijtje 1p+2p+3p+4p+...p+np. Met n als element van |N, geld naar mijn idee de formule...
(1/p)np+1+1/2np+ (p/12)np-1+ ((6p-12-p2) / (12p))(np-3)
Vergeef me als er nog een fout inzit. .
Want met haakjes ben ik niet zo goed...
[Dit bericht is gewijzigd door Evariste_Galois op 11-11-2003 14:15]
quote:Meneer Evariste,
Op dinsdag 11 november 2003 14:08 schreef Evariste_Galois het volgende:
Ik heb iets bedacht, gaan jullie maar na of het klopt.In het rijtje 1x+2x+3x+4x+...x+nx. Met n als element van |N, geld naar mijn idee de formule...
(1/p)np+1+1/2np+ (p/12)np-1+ ((6p-12-p2) / (12p))(np-3)
Vergeef me als er nog een fout inzit.
Want met haakje ben ik niet zo goed...
hier klopt geen fuck van.
Groetjes, thabit.
quote:Dank u, meneer Thabit.
Op dinsdag 11 november 2003 14:11 schreef thabit het volgende:[..]
Meneer Evariste,
hier klopt geen fuck van.
Groetjes, thabit.
.
quote:Ja, die bliksemstraal gebruiken we nog steeds.
Op dinsdag 11 november 2003 14:03 schreef Maestrov het volgende:[..]
Die bedoel ik! Wordt er nog steeds zo'n bliksemstraal gebruikt?
Wat een geweldige vakken waren dat zeg!
quote:Het profiel doet iets heel anders denken
Op dinsdag 11 november 2003 14:11 schreef thabit het volgende:[..]
Meneer Evariste,
hier klopt geen fuck van.
Groetjes, thabit.
quote:Blijkbaar heeft jong sterven niet zo'n positieve uitwerking op je wiskundige talent.
Op dinsdag 11 november 2003 14:13 schreef Mariel het volgende:[..]
Het profiel doet iets heel anders denken
quote:Echter wel op de kennis van de huidige Nederlandse taal
Op dinsdag 11 november 2003 14:16 schreef thabit het volgende:[..]
Blijkbaar heeft jong sterven niet zo'n positieve uitwerking op je wiskundige talent.
Dat deel baart mij vooral zorgen, ik heb het zelf nog niet nagerekend moet ik erkennen. .
quote:De formule geldt tot en met p=4 maar vanaf p=5 niet meer.
Op dinsdag 11 november 2003 14:13 schreef Evariste_Galois het volgende:
Maar even tussen ons, wat klopt er niet ?
quote:Noem eens voorbeelden van sommige dingen die je nu wel begrijpt nu je het begrip volledige inductie kent.
Op dinsdag 11 november 2003 13:51 schreef thabit het volgende:
Kennis van dit begrip geeft een mens inzicht in een compleet nieuwe denkwijze. Het zal daarom algemeen de ruimdenkendheid bevorderen. Zonder deze kennis zul je nooit op bepaalde redeneerpatronen komen. Je zult van sommige dingen nooit begrijpen waarom ze zijn zoals ze zijn.
quote:Het probleem van volledige inductie is echter dat deze alleen kan worden toegepast op de verzameling van natuurlijke getallen. En hoe wil je de verschillende atomaire delen in getallen vatten?
Inductie komt in meer vormen voor dan de vorm die ik in mijn openingspost gegeven heb. Een andere vorm van inductie is bijvoorbeeld dat je een complexe structuur ziet als opgebouwd uit meerdere delen. En die delen zijn ook weer opgebouwd uit meerdere delen, etc, totdat je op een gegeven moment het zodanig hebt ontleed dat de delen klein genoeg zijn om te kunnen bevatten, de atomaire delen. Het equivalent van de basisstap (stap 1 in mijn openingspost) is dan begrip van deze atomaire delen. En de inductiestap (stap 2 in mijn openingspost) is begrip van hoe kleinere delen samen te voegen tot een groter geheel.
quote:Hoe?
Als je er heel goed over nadenkt zie je zelfs dat dat helemaal niet een andere vorm is, maar eigenlijk dezelfde vorm als in mijn openingspost: we kunnen immers de complexiteit van een structuur uitdrukken in een getal.
quote:Probeer dan eens de volgende zin inductief te beschrijven:
Een voorbeeld hiervoor is de structuur van de taal. We kunnen een zin grammaticaal ontleden door hem eerst op te delen in hoofdzinnen, de hoofdzinnen op te delen in zinsdelen, en sommige zinsdelen zijn zelf ook weer verder te ontbinden delen, totdat je het op een gegeven moment helemaal hebt opgedeeld in woorden, die je natuurlijk ook weer verder kunt ontleden. We kunnen de grammatica van onze taal inductief beschrijven. En zo zijn er nog legio voorbeelden buiten de wiskunde waar inductie een belangrijk inzicht kan geven.
"Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje."
quote:Als je vooruit had gelezen had je deze vraag niet hoeven stellen.
Op dinsdag 11 november 2003 14:26 schreef nEDerland het volgende:[..]
Noem eens voorbeelden van sommige dingen die je nu wel begrijpt nu je het begrip volledige inductie kent.
Maar ook de formules in de openingspost bijvoorbeeld had ik in mijn prille jeugd al ontdekt door te pielen, doch ik had geen flauw idee waarom ze golden. Pas toen ik volledige inductie te zien kreeg snapte ik ook waarom die formules geldig waren.
quote:Ook hier had je vooruit kunnen lezen
[..]Het probleem van volledige inductie is echter dat deze alleen kan worden toegepast op de verzameling van natuurlijke getallen. En hoe wil je de verschillende atomaire delen in getallen vatten?
quote:We kunnen de atomaire delen bijvoorbeeld complexiteit 1 geven en de complexiteit van een structuur die uit meerdere delen is opgebouwd definieren als de som van de complexiteiten van de delen. Varianten hierop zijn ook mogelijk, de aard van de structuur zal bepalend zijn voor welke definitie van complexiteit het meest wenselijk is.
[..]Hoe?
quote:Hoewel deze zin ongeldig is heeft ze toch een inductieve structuur. Ik ga nu tot het niveau van woorden, je kunt natuurlijk dieper gaan, maar het gaat om het voorbeeld. M'n grammatica is wat weggezakt maar ik zal m'n best doen.
[..]
Probeer dan eens de volgende zin inductief te beschrijven:"Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje."
De atomaire delen:
1: Thabit
2: heeft
3: ze
4: niet
5: allemaal
6: op
7: een
8: rijtje.
Samenvoegen:
9: ze allemaal (lijdend voorwerp bestaande uit kern 4 en bijvoeging 5)
10: een rijtje (zelfstandig naamwoord 8 met lidwoord 7)
11: op een rijtje (voorzetselvoorwerp met kern 10 en voorzetsel 6)
12: Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje (hoofdzin bestaande uit gezegde 2, onderwerp 1, lijdend voorwerp 9, voorzetselvoorwerp 11 en bijwoordelijke bepaling 4).
Edit: de ontleding is mogelijk niet helemaal correct maar het gaat erom dat het nu hopelijk duidelijk is dat inductie ook in de taal voorkomt.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 11-11-2003 15:41]
(1/p+1)np+1+1/2np+ (p/12)np-1+ ((6p-12-p2) / (12p))(np-3)
Dat was ik ook nog even vergeten.
Maar ja, mij rest nu weer een a4'tje volkalken met vergelijkingen (want een grafische rekenmachine kan ik mijzelf niet veroorloven), om de formule van 15+25+45+45+...+ n5 op te stellen, om even verder te kijken.
.
[Dit bericht is gewijzigd door Evariste_Galois op 11-11-2003 23:17]
quote:Ik las vooruit, maar daaruit bleek dat je slechts één voorbeeld noemde, terwijl ik om meerdere vroeg.
Op dinsdag 11 november 2003 14:52 schreef thabit het volgende:[..]
Als je vooruit had gelezen had je deze vraag niet hoeven stellen.
quote:Geef eens een duidelijk voorbeeld.
We kunnen de atomaire delen bijvoorbeeld complexiteit 1 geven en de complexiteit van een structuur die uit meerdere delen is opgebouwd definieren als de som van de complexiteiten van de delen. Varianten hierop zijn ook mogelijk, de aard van de structuur zal bepalend zijn voor welke definitie van complexiteit het meest wenselijk is.
quote:Leg eens uit hoe je volledige inductie hier kan toepassen?
Hoewel deze zin ongeldig is heeft ze toch een inductieve structuur. Ik ga nu tot het niveau van woorden, je kunt natuurlijk dieper gaan, maar het gaat om het voorbeeld. M'n grammatica is wat weggezakt maar ik zal m'n best doen.De atomaire delen:
1: Thabit
2: heeft
3: ze
4: niet
5: allemaal
6: op
7: een
8: rijtje.Samenvoegen:
9: ze allemaal (lijdend voorwerp bestaande uit kern 4 en bijvoeging 5)
10: een rijtje (zelfstandig naamwoord 8 met lidwoord 7)
11: op een rijtje (voorzetselvoorwerp met kern 10 en voorzetsel 6)
12: Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje (hoofdzin bestaande uit gezegde 2, onderwerp 1, lijdend voorwerp 9, voorzetselvoorwerp 11 en bijwoordelijke bepaling 4).Edit: de ontleding is mogelijk niet helemaal correct maar het gaat erom dat het nu hopelijk duidelijk is dat inductie ook in de taal voorkomt.
(1)Een zin bestaande uit 1 woord kun je altijd opdelen in woorden.
(2)Stel je kunt een zin bestaande uit N-1 woorden opdelen in woorden. Pak dan een zin van N woorden. Splits die zin op in een deel met N-1 woorden en een deel met 1 woord. Dat deel met N-1 woorden kun je (volgens de aanname) opsplitsen in N-1 woorden. Zo heb je de zin met N woorden gesplitst in N losse woorden.
(3)Volgens het principe van volledige inductie kun je elke zin opdelen in woorden. (omdat een zin altijd een geheel positief aantal woorden heeft.
Ziet er erg triviaal uit.
Probeer dit maar te bewijzen zonder volledige inductie.
quote:Dit bewijs klopt niet helemaal. Het hoeft niet zo te zijn dat je een zin altijd kunt opdelen in een deel met 1 woord een een deel met N-1 woorden. Wat je moet aantonen is dat je een zin kunt opdelen in kleinere delen.
Op woensdag 12 november 2003 13:56 schreef Pie.er het volgende:
Stelling: Je kunt elke zin opdelen in woorden.(1)Een zin bestaande uit 1 woord kun je altijd opdelen in woorden.
(2)Stel je kunt een zin bestaande uit N-1 woorden opdelen in woorden. Pak dan een zin van N woorden. Splits die zin op in een deel met N-1 woorden en een deel met 1 woord. Dat deel met N-1 woorden kun je (volgens de aanname) opsplitsen in N-1 woorden. Zo heb je de zin met N woorden gesplitst in N losse woorden.
(3)Volgens het principe van volledige inductie kun je elke zin opdelen in woorden. (omdat een zin altijd een geheel positief aantal woorden heeft.Ziet er erg triviaal uit.
Probeer dit maar te bewijzen zonder volledige inductie.
Anyway, het voorbeeld maakt in elk geval het volgende duidelijk: je kunt veel eigenschappen van zinnen inductief bewijzen. In dit geval de opdeelbaarheid in woorden, maar nog veel meer eigenschappen zijn mogelijk.
Bij alles waar een soort opbouwstructuur aanwezig is kun je volledige inductie toepassen. Bijvoorbeeld ook boom-datastructuren en bijbehorende algoritmen in computers.
Pas als je een keer zelf iets met volledige inductie hebt beredeneerd snap je hoe krachtig het is.
quote:hé Thabit, hoe kan dat nou, normaal zeg je zo'n doordachte & slimme dingen en nu dit... of maak je een grapje?
Op maandag 10 november 2003 23:06 schreef thabit het volgende:[..]
Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.
[Dit bericht is gewijzigd door whisko op 14-11-2003 07:42]
quote:Statistiek is een onderdeel van wiskunde, het is niet van toepassing op wiskunde.
Op vrijdag 14 november 2003 07:36 schreef whisko het volgende:
hé Thabit, hoe kan dat nou, normaal zeg je zo'n doordachte & slimme dingen en nu dit... of maak je een grapje?
quote:"van toepassing op wiskunde"? Leg eens uit...
Op vrijdag 14 november 2003 09:58 schreef gnomaat het volgende:[..]
Statistiek is een onderdeel van wiskunde, het is niet van toepassing op wiskunde.
quote:Nou,
Op vrijdag 14 november 2003 22:01 schreef whisko het volgende:
"van toepassing op wiskunde"? Leg eens uit...
quote:Dat geldt voor fysieke dominostenen, maar niet voor inductiestappen in een wiskundig bewijs. Iedere dominosteen valt om, dat is geen statistisch proces.
Op maandag 10 november 2003 23:01 schreef Maestrov het volgende:
Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.
Statistiek beschrijft hoe je gegevens verzamelt en verwerkt in een onvolledig gedefinieerd onlogisch systeem.
De vraag of statistiek onderdeel van de wiskunde is, lijkt me nu niet moeilijk meer te beantwoorden.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 16-11-2003 18:18]
quote:O, heeft men het hier over beschrijvende statistiek? Ik zie statistiek als afkorting voor mathematische statistiek...
Op zondag 16 november 2003 16:07 schreef thabit het volgende:
Wiskunde beschrijft hoe je stellingen kunt bewijzen in een vantevoren gedefinieerd en logisch systeem.Statistiek beschrijft hoe je gegevens verzamelt en verwerkt in een onvolledig gedefinieerd onlogisch systeem.
De vraag of statistiek onderdeel van de wiskunde is, lijkt me nu niet moeilijk meer te beantwoorden.
quote:Er bestaat een verschil tussen kansrekening en statistiek. Beide halen het abstractieniveau van de eigenlijke wiskunde trouwens niet, maar toch zou ik kansrekening wel tot de wiskunde willen rekenen en statistiek niet.
Op woensdag 19 november 2003 08:10 schreef whisko het volgende:[..]
O, heeft men het hier over beschrijvende statistiek? Ik zie statistiek als afkorting voor mathematische statistiek...
quote:Dat ben ik niet helemaal met je eens, persoonlijk vind ik kansrekening en statistiek (die vrij nauw met elkaar verbonden zijn) twee mooie onderdelen van de wiskunde.
Op woensdag 19 november 2003 11:59 schreef thabit het volgende:
Er bestaat een verschil tussen kansrekening en statistiek. Beide halen het abstractieniveau van de eigenlijke wiskunde trouwens niet, maar toch zou ik kansrekening wel tot de wiskunde willen rekenen en statistiek niet.
quote:Kansrekening is er niet per se op gericht om toegepast te worden. Statistiek wel. De subtiele verschillen tussen de twee vakgebieden maken dat kansrekening nog net wel wiskunde is en statistiek net niet meer.
Op woensdag 19 november 2003 12:12 schreef gnomaat het volgende:[..]
Dat ben ik niet helemaal met je eens, persoonlijk vind ik kansrekening en statistiek (die vrij nauw met elkaar verbonden zijn) twee mooie onderdelen van de wiskunde.
quote:Inderdaad. Toepasbaarheid is een mooie bijkomstigheid, maar het moet zich daar niet op richten.
Op woensdag 19 november 2003 13:07 schreef Pie.er het volgende:
Bedoel je dat wiskunde er niet op gericht moet zijn om toepasbaar te zijn?
quote:Waar heb je het in VREDESNAAM over?
Op woensdag 19 november 2003 13:15 schreef thabit het volgende:[..]
Inderdaad. Toepasbaarheid is een mooie bijkomstigheid, maar het moet zich daar niet op richten.
Wil je dat de Beta studies nog steeds voor deze hokjesmensen blijven?
Heel slecht.
quote:Op toepassingen gericht onderzoek komt het theoretische niveau van een tak van wetenschap niet ten goede. In Enschede zijn ze bijvoorbeeld al zo ver heen dat je kunt afstuderen in de wiskunde zonder te weten wat een groep is (een groep is een basisbegrip in de wiskunde). Zet deze trend door, dan kunnen we binnenkort ons papiertje zelfs ophalen zonder te weten wat volledige inductie is. Een uiterst kwalijke zaak dus.
Op vrijdag 21 november 2003 09:42 schreef Maestrov het volgende:[..]
Waar heb je het in VREDESNAAM over?
Wil je dat de Beta studies nog steeds voor deze hokjesmensen blijven?
Heel slecht.
Het is totaal nutteloos om jezelf boven deze problematiek te verheffen en enkel puur theoretisch bezig te zijn. Daar is wiskunde niet voor gemaakt.
quote:Daarnaast: als je bang bent dat het theoretisch niveau te laag wordt, moet je iets doen aan het theoretisch niveau.
Op vrijdag 21 november 2003 10:46 schreef Maestrov het volgende:
Het gaat er volgens mij niet om of je weet wat een groep of volledige inductie is. Het gaat er om of je problemen/toepassingen kan plaatsen in een wiskundige context en je kennis kan gebruiken om deze problemen/toepassingen op te lossen.Het is totaal nutteloos om jezelf boven deze problematiek te verheffen en enkel puur theoretisch bezig te zijn. Daar is wiskunde niet voor gemaakt.
Niet alle toepassingen weghalen... Dan is het middel erger dan de kwaal.
quote:Dus volgens jou komt de wiskunde het meest tot haar recht als we alles wat de wiskunde nou juist wiskunde maakt afbreken?
Op vrijdag 21 november 2003 10:46 schreef Maestrov het volgende:
Het gaat er volgens mij niet om of je weet wat een groep of volledige inductie is. Het gaat er om of je problemen/toepassingen kan plaatsen in een wiskundige context en je kennis kan gebruiken om deze problemen/toepassingen op te lossen.
quote:Kunst.
Op vrijdag 21 november 2003 14:12 schreef Maestrov het volgende:
Zie je de wiskunde als kunst of als wetenschap?
quote:Dergelijke formules, die de schoonheid van de wiskunde waarborgen, worden, als het aan de Enschedese wiskunde-kapitalisten ligt, voorgoed uitgeroeid.
Op vrijdag 21 november 2003 14:25 schreef Koekepan het volgende:
Ik wilde hier graag het volgende aan toevoegen:.
quote:Ben je niet bang om door middel van een theoretische benadering iedereen kwijt te raken? Persoonlijk ben ik onder andere door vakken als theoretische wiskunde ed geswitched van wiskunde naar een meer toegepaste richting.
Op vrijdag 21 november 2003 14:16 schreef thabit het volgende:[..]
Kunst.
Ik zou het mooi vinden als wiskunde wat meer toegangelijk gemaakt zou worden. Ik denk dat dit een vooruitgang zou betekenen. Als het niveau in de wetenschap stijgt zal ook de kunstvariant wel stijgen.
quote:Dat lijkt een mooi idee, MAAR:
Op vrijdag 21 november 2003 14:50 schreef Maestrov het volgende:[..]
Ben je niet bang om door middel van een theoretische benadering iedereen kwijt te raken? Persoonlijk ben ik onder andere door vakken als theoretische wiskunde ed geswitched van wiskunde naar een meer toegepaste richting.
Ik zou het mooi vinden als wiskunde wat meer toegangelijk gemaakt zou worden. Ik denk dat dit een vooruitgang zou betekenen. Als het niveau in de wetenschap stijgt zal ook de kunstvariant wel stijgen.
Ook bij onze studie zijn er veel toegepaste varianten toegevoegd. Wat blijkt nu: de studenten die die richtingen volgen hebben verreweg het minste talent. Dus of je met zo'n publieksverbreding ook meer theoretisch talent aantrekt betwijfel ik.
Een betere manier zou zijn om juist op de middelbare school de wiskunde al een wat theoretischere inslag te geven. Als mensen willen besluiten theoretische wiskunde te gaan doen is het namelijk wel van belang dat ze er wat van gezien hebben. Er is een hele duidelijke correlatie tussen het teruglopen van aantallen studenten theoretische wiskunde en de verloedering van wiskunde in het middelbaar onderwijs.
Dat ligt veel te hoog!
Kansrekening en Algebra is zonder enig gevoel nog wel aan te leren. Maar geneuzel over epsilons naar nul is denk ik te hoog gegrepen. Dit bedoel ik niet negatief maar is wel realistisch denk ik.
Ik denk verder dat mensen die kiezen voor toepassing niet het minste talent hebben. Behalve dat het talent al zeer hoog is als je zo'n studie begint is er hier sprake van een ander talent.
quote:Epsilons naar nul is ook maar een fractie van de wiskunde. Ik denk dat de meeste wiskundestudenten hier ook pas de zin van inzien als ze zien wat voor kankerzooi (excusez-le-mot) de wiskunde zou zijn zonder degelijke grondslagen. En daar heb je naast wiskundig inzicht ook historisch besef voor nodig (zoals het lezen van Gauss die nog in alle ernst de limiet van 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - etc. "bepaalde").
Op vrijdag 21 november 2003 15:20 schreef Maestrov het volgende:
Maar geneuzel over epsilons naar nul is denk ik te hoog gegrepen. Dit bedoel ik niet negatief maar is wel realistisch denk ik.
quote:Ik wil nog steeds een keer onderzoeken of het mogelijk is, en zoja hoe, om een systeem te ontwikkelen waarin limieten als die limiet wel te accepteren zijn (deze dus als 1/3) en wat toch consistent is... (Gun mij mn pleziertje en geef het antwoord aub niet...)
Op vrijdag 21 november 2003 15:48 schreef Koekepan het volgende:
Epsilons naar nul is ook maar een fractie van de wiskunde. Ik denk dat de meeste wiskundestudenten hier ook pas de zin van inzien als ze zien wat voor kankerzooi (excusez-le-mot) de wiskunde zou zijn zonder degelijke grondslagen. En daar heb je naast wiskundig inzicht ook historisch besef voor nodig (zoals het lezen van Gauss die nog in alle ernst de limiet van 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - etc. "bepaalde").
Verder vind ik het snobistisch klinken om echte wiskunde weg te willen houden van toepassingen. Ik vind het juist een beetje 'heiligschennis' om het te gaan gebruiken voor suffe puzzeltjes...
Toegepaste studievarianten kunnen ook een hoog niveau hebben. Toegegeven, dat geldt in het algemeen niet voor richtingen als informatica (oorspronkelijk ook wiskunde), statistiek en kansrekening. Kansrekening heeft wel opties tot interessantheid, denk aan de momentfuncties, maar die worden helaas nauwelijks uitgebuit...
Maar er is nog een groot braakliggend interessant terrein in de numerieke wiskunde, als je daar mee bezig bent dan merk je dat het nog maar in zn kinderschoenen staat. Daar is baanbrekend fundamenteel werk te verrichten. Ook zou ik toegepaste analyse zeker geen lichte richting willen noemen...
Ik deel je zorg over de afnemende kwaliteit+kwantiteit, Thabit... Maar ik denk niet dat jouw oplossing goed is.
Het probleem is meer dat de studie wiskunde minder respect geniet dan vroeger. Ik heb foto's gezien van de rijen mensen langs de weg tijdens de uitvaart van Lorentz... Zoiets gebeurt vandaag niet meer als er een bekende wiskundige zou sterven. Kijk maar eens naar Oost-Europese landen, waar wiskundigen meer respect krijgen, daar hebben de wiskunde-studies de meeste studenten.
Het wiskunde-niveau op de middelbare school daalt ook dramatisch... Maar je moet je beseffen dat wiskunde op de middelbare school erop gericht is om mensen wiskunde bij te brengen voor een academische studie in het algemeen. Niet specifiek om later wiskunde te gaan studeren. Voor de wiskundestudie zou het beter zijn als de wiskunde daar theoretischer is, maar er zijn (helaas?) veel meer universiteitsopleidingen dan wiskunde.
Jij zegt: wiskunde niet richten op toepassen.
Ik zeg: wiskunde wél richten op toepassen, maar waarborg het niveau.
Het lijkt er een beetje op dat jij niet geassocieerd wenst te worden met die mindere talenten die de toegepaste varianten volgen en de toegepaste varianten daarom zwart maakt... Ik hoop dat dit een foute observatie van mij is.
quote:Mag ik ook niet alvast verklappen of het wel of niet kan?
Op vrijdag 21 november 2003 20:26 schreef Pie.er het volgende:[..]
Ik wil nog steeds een keer onderzoeken of het mogelijk is, en zoja hoe, om een systeem te ontwikkelen waarin limieten als die limiet wel te accepteren zijn (deze dus als 1/3) en wat toch consistent is... (Gun mij mn pleziertje en geef het antwoord aub niet...)
quote:Licht je woordkeuzen 'heiligschennis' en 'suf' eens toe, want dat ontgaat me volledig.
Verder vind ik het snobistisch klinken om echte wiskunde weg te willen houden van toepassingen. Ik vind het juist een beetje 'heiligschennis' om het te gaan gebruiken voor suffe puzzeltjes...
quote:Ik ben er heilig van overtuigd dat iemand die op de middelbare school wiskunde juist als wiskunde heeft gezien, andere soorten wiskunde ook veel beter zal kunnen begrijpen dan met de manier waarop wiskunde nu wordt onderwezen.
Het wiskunde-niveau op de middelbare school daalt ook dramatisch... Maar je moet je beseffen dat wiskunde op de middelbare school erop gericht is om mensen wiskunde bij te brengen voor een academische studie in het algemeen. Niet specifiek om later wiskunde te gaan studeren. Voor de wiskundestudie zou het beter zijn als de wiskunde daar theoretischer is, maar er zijn (helaas?) veel meer universiteitsopleidingen dan wiskunde.
quote:Wiskunde is een autonome wetenschap die zichzelf beschrijft en bewijst. Zodra je het op toepassen gaat richten kan het theoretische niveau niet gewaarborgd blijven. Juist de theoretische vakgebieden die het hoogste niveau waarborgen, zoals de arithmetische algebraische meetkunde, zullen daardoor verdwijnen. In toegepaste wiskunde zit zo ontzettend veel minder theoretische diepgang dan in theoretische wiskunde.
Jij zegt: wiskunde niet richten op toepassen.
Ik zeg: wiskunde wél richten op toepassen, maar waarborg het niveau.
quote:Licht dit eens nader toe, want ik snap niet hoe je hierbij komt?
Het lijkt er een beetje op dat jij niet geassocieerd wenst te worden met die mindere talenten die de toegepaste varianten volgen en de toegepaste varianten daarom zwart maakt... Ik hoop dat dit een foute observatie van mij is.
Als de wiskundigen niet meer verder gaan met het ontwerpen van sterkere, efficiëntere, goedkopere, gewoonweg betere amfetamine raken de andere wetenschappers op een gegeven moment verzadigd van de huidige amfetamine, en komen zij niet meer verder.
Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.
De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.
Zoiets van: niet verder kunnen tellen dan 10 of zo ?
quote:Onvolledige inductie hanteert men in de natuurkunde: laat 1000 keer een bal uit je handen los en men constateert elk van de 1000 keren dat de bal naar beneden valt. De conclusie is dan dat het wel elke keer zo zal zijn dat een bal naar beneden valt als je hem loslaat.
Op zaterdag 22 november 2003 15:38 schreef M.ALTA het volgende:
Wat is dan onvolledige inductie ?Zoiets van: niet verder kunnen tellen dan 10 of zo ?
Een dergelijke redenering noemt men onvolledige inductie. In veel wetenschappen wordt dit toegelaten als een geldig argument, maar niet in de wiskunde.
quote:Liever niet... Dat is juist de uitdaging.
Op zaterdag 22 november 2003 13:35 schreef thabit het volgende:
Mag ik ook niet alvast verklappen of het wel of niet kan?
Het kan trouwens sowieso, door een 'getallensysteem' te ontwikkelen met maar één getal. Dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk, bestaat de limiet van elke rij, dus ook voor alle rijen als in het voorbeeld.
Dit gaat volgens mij goed voor alle 'getallensystemen' met eindig veel getallen. Maar de grap is juist dat je oneindig veel getallen wil hebben.
Ach ik heb de komende tijd toch geen tijd om er langer dan nu over na te gaan denken. Laat staan om de vraag goed te formuleren. Als je je niet in kunt houden mag je argumenten geven waarom het wel/niet zou kunnen of zelfs een voorbeeld van hoe het wel kan.
quote:De woordkeuzes zijn natuurlijk overdreven...
Licht je woordkeuzen 'heiligschennis' en 'suf' eens toe, want dat ontgaat me volledig.
Maar ik neem even voor bekend aan dat wiskunde geweldig is. Dan ga je daar puzzeltjes van maken... Ik associeer dat meteen met wedstrijdjes wie het het snelste kan oplossen. Ook mensen die trucjes gaan leren zodat ze de puzzeltjes kunnen oplossen, terwijl ze de échte wiskunde niet kennen. Los dan liever problemen op uit de praktijk, dan zelf probleempjes te ontwikkelen.
Moeilijk uit te leggen waarom ik er zo over denk. Ik ben gewoon totaal niet competatief ingesteld, dat zal het wel zijn. Het ligt niet aan jou, het ligt aan mij...
quote:Ben ik helemaal met je eens. Maar helaas willen veel mensen wiskunde niet begrijpen. Ze willen weten hoé ze problemen moeten oplossen. Niet waarom die oplosmethode goed is, wat erachter zit. Slechte zaak, maar het is de realiteit.
Ik ben er heilig van overtuigd dat iemand die op de middelbare school wiskunde juist als wiskunde heeft gezien, andere soorten wiskunde ook veel beter zal kunnen begrijpen dan met de manier waarop wiskunde nu wordt onderwezen.
quote:Heb jij zowel theoretische als toegepaste wiskunde gestudeerd? Ik ken het voorbeeld van iemand die theoretische wiskunde heeft gestudeerd. Kreeg een integraal te zien, en kon op 10 manieren bewijzen dat hij bestond, en wat het gedrag was als de parameters naar oneindig of nul gingen. Maar hij had geen idee hoe hij hem uit moest rekenen... (het kon analytisch btw.) En een goede methode om hem dan maar numeriek te benaderen was ook al afwezig.
Wiskunde is een autonome wetenschap die zichzelf beschrijft en bewijst. Zodra je het op toepassen gaat richten kan het theoretische niveau niet gewaarborgd blijven. Juist de theoretische vakgebieden die het hoogste niveau waarborgen, zoals de arithmetische algebraische meetkunde, zullen daardoor verdwijnen. In toegepaste wiskunde zit zo ontzettend veel minder theoretische diepgang dan in theoretische wiskunde.
Ik hoop dat dit niet representatief is voor de gemiddelde theoretische wiskunde-student. Maar hoe is jouw beeld van toegepaste wiskunde gevormd?
Als de theoretische vakgebieden zouden verdwijnen dan zal de toegepaste richting erg veel aan niveau verliezen. Zonder goede theoretische onderbouwing is toegepaste wiskunde niks. Of dacht je dat er bij het bepalen van bijv. een betere numerieke integratiemethode maar wat geprobeerd werd en gekeken werd wat het beste uitkwam?
quote:Het was maar een nulde-orde-benadering van jouw karakter aan de hand van mijn interpretatie van enkele posts van jou.
Licht dit eens nader toe, want ik snap niet hoe je hierbij komt?
Ik zal maar aannemen dat deze wedervraag een ontkenning is van mijn observatie. Dan is mijn eerste-orde-benadering van jouw karakter dus dat je toegepaste varianten-volgers niet minderwaardig vindt. Is dat een betere benadering?
quote:
Op zaterdag 22 november 2003 14:13 schreef Evariste_Galois het volgende:
De wiskunde is als een grote stoot amfetamine die andere wetenschappers gebruiken als ze er even niet meer uitkomen.
Als de wiskundigen niet meer verder gaan met het ontwerpen van sterkere, efficiëntere, goedkopere, gewoonweg betere amfetamine raken de andere wetenschappers op een gegeven moment verzadigd van de huidige amfetamine, en komen zij niet meer verder.Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.
De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.
Al weet ik niet of dit een zelfbedachte term door iemand is of een algemeen geaccepteerde term...
(Met supervolledige inductie bewijs je iets voor alle gehele getallen. Eerst bewijs je dat iets geldt voor n=0, dan dat als het voor n=k geldt ook geldt voor n=k+1, dan dat als het voor n=k geldt ook voor n=k-1, en daarna concludeer je dat het voor alle gehele getallen geldt.)
quote:Je had meegedaan aan de Olympiade zei je?
Op zaterdag 22 november 2003 18:32 schreef Pie.er het volgende:[..]
Ik ben gewoon totaal niet competatief ingesteld, dat zal het wel zijn.
quote:Maar de eigenschappen van een integraal zijn toch ook veel interessanter dan een gesloten uitdrukking? Wat heb je er aan om de precieze uitdrukking van een functie te kennen als je z'n eigenschappen niet begrijpt? De meeste integralen kunnen we niet eens expliciet uitrekenen.
[..]Heb jij zowel theoretische als toegepaste wiskunde gestudeerd? Ik ken het voorbeeld van iemand die theoretische wiskunde heeft gestudeerd. Kreeg een integraal te zien, en kon op 10 manieren bewijzen dat hij bestond, en wat het gedrag was als de parameters naar oneindig of nul gingen. Maar hij had geen idee hoe hij hem uit moest rekenen... (het kon analytisch btw.) En een goede methode om hem dan maar numeriek te benaderen was ook al afwezig.
Ik hoop dat dit niet representatief is voor de gemiddelde theoretische wiskunde-student. Maar hoe is jouw beeld van toegepaste wiskunde gevormd?
Zelf kan ik sommige integralen toevallig uitrekenen omdat ik ooit een keer bij een wiskundevak voor natuurkundigen heb geassisteerd. Ik heb nog nooit zoiets nutteloos gezien als dat. Je kunt allerlei suffe integralen uitrekenen waar je geen zak aan hebt en je wiskundig inzicht wordt er geen millimeter beter van.
quote:Zodra de theoretische vakgebieden zich op toepassingen gaan richten gaat het niveau al zakken. Het theoretisch onderzoek moet autonoom blijven. Wat helemaal niet wil zeggen dat het niet toegepast moet worden. Theoretische wiskundigen moeten theoretische wiskunde ontwikkelen. Toegepaste wiskundigen moeten maar uitzoeken hoe het toegepast kan worden.
Als de theoretische vakgebieden zouden verdwijnen dan zal de toegepaste richting erg veel aan niveau verliezen. Zonder goede theoretische onderbouwing is toegepaste wiskunde niks. Of dacht je dat er bij het bepalen van bijv. een betere numerieke integratiemethode maar wat geprobeerd werd en gekeken werd wat het beste uitkwam?
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 24-11-2003 02:23]
quote:Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...
Op maandag 24 november 2003 01:59 schreef thabit het volgende:
Je had meegedaan aan de Olympiade zei je?
quote:Die eigenschappen zijn ook wel interessant. Die kan ik ook wel bepalen. Maar ik zie een expliciete uitkomst (indien mogelijk uiteraard) als laatste stap. Zonde om die niet te maken...
Maar de eigenschappen van een integraal zijn toch ook veel interessanter dan een gesloten uitdrukking? Wat heb je er aan om de precieze uitdrukking van een functie te kennen als je z'n eigenschappen niet begrijpt? De meeste integralen kunnen we niet eens expliciet uitrekenen.
Nu ben ik bezig met het poisson-probleem voor het buitengebied van een cylinder op te lossen waarbij de cylinder op 1 staat. Existentie en eenduidigheid zijn triviaal, gedrag op oneindige afstand een eitje, maar een expliciete uitdrukking (zal wel een oneindige reeks worden) is toch helemaal geweldig...
quote:Gelukkig leven we in een vrij land.
Zelf kan ik sommige integralen toevallig uitrekenen omdat ik ooit een keer bij een wiskundevak voor natuurkundigen heb geassisteerd. Ik heb nog nooit zoiets nutteloos gezien als dat. Je kunt allerlei suffe integralen uitrekenen waar je geen zak aan hebt en je wiskundig inzicht wordt er geen millimeter beter van.
Het feit dat we het niet eens hoeven te zijn siert ons.quote:Uiteraard, theoretische vakgebieden moeten theoretisch blijven. En toegepaste vakgebieden moeten een flinke portie theorie blijven houden (het mag wel wat meer dan nu).
Zodra de theoretische vakgebieden zich op toepassingen gaan richten gaat het niveau al zakken. Het theoretisch onderzoek moet autonoom blijven. Wat helemaal niet wil zeggen dat het niet toegepast moet worden. Theoretische wiskundigen moeten theoretische wiskunde ontwikkelen. Toegepaste wiskundigen moeten maar uitzoeken hoe het toegepast kan worden.
quote:Ik heb nu een vak competitionele wiskunde en ik vind het wel erg leuk. We krijgen de Runge-Kutta-methode (ranzige kutmethode noem ik hem ook wel) voor het benaderen van differentiaalvergelijkingen. Erg leuk!
Op maandag 24 november 2003 10:59 schreef Pie.er het volgende:[..]
Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...
.
quote:Schat, dit is geen filosofie of zelfs maar natuurwetenschap, maar wiskunde. Bemoei je met dingen waar je wel verstand van hebt.
Op maandag 24 november 2003 12:56 schreef Alcatraz het volgende:
De Scepsis zeiden meer als 2000 jaar geleden al dat inductie niet leidt tot geldige conclusies. Daar heb je ook al die formules niet voor nodig. Als er 2 miljoen zwanen wit zijn wil dat niet zeggen dat er geen enkele zwarte is.
quote:Vanwaar zulk een mentaliteit?
Op maandag 24 november 2003 10:59 schreef Pie.er het volgende:[..]
Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...
Natuurlijk zijn er ook veel geweldige dingen ontstaan door competitiedrang. Maar een mens is nou eenmaal niet altijd rationeel, ik ook niet, dus probeer ik mij afzijdig te houden van competitie. Gelukkig ben ik ook nog eens inconsequent, zodat ik af en toe toch mezelf kan meten, maar ik maak mezelf altijd wijs dat dat puur voor mezelf is en niet om op te scheppen tegen andere mensen.
quote:Dus door niet je best te doen voor de Olympiade wordt het leed op de wereld minder?
Op maandag 24 november 2003 17:12 schreef Pie.er het volgende:
Ik heb ingezien dat bijna al het leed op de wereld ontstaat door competitiedrang van mensen... (mijn landje moet beter zijn dan het jouwe, mijn religie moet beter zijn dan het jouwe, etc.)Natuurlijk zijn er ook veel geweldige dingen ontstaan door competitiedrang. Maar een mens is nou eenmaal niet altijd rationeel, ik ook niet, dus probeer ik mij afzijdig te houden van competitie. Gelukkig ben ik ook nog eens inconsequent, zodat ik af en toe toch mezelf kan meten, maar ik maak mezelf altijd wijs dat dat puur voor mezelf is en niet om op te scheppen tegen andere mensen.
ps: zat je nou eigenlijk wel of niet in de training?
quote:Het effect is uiteraard verwaarloosbaar. Doordat iemand een hamburger weigert omdat hij vegarier is wordt het dierenleed ook niet meetbaar minder.
Op maandag 24 november 2003 17:21 schreef thabit het volgende:
Dus door niet je best te doen voor de Olympiade wordt het leed op de wereld minder?
quote:wel
ps: zat je nou eigenlijk wel of niet in de training?
quote:Hoe beinvloedt de wiskunde olympiade het wereldleed dan volgens jou?
Op maandag 24 november 2003 17:26 schreef Pie.er het volgende:[..]
Het effect is uiteraard verwaarloosbaar. Doordat iemand een hamburger weigert omdat hij vegarier is wordt het dierenleed ook niet meetbaar minder.
quote:Je hebt die training niet afgezegd, ondanks dat je geen competitiedrang hebt?
[..]wel
quote:In het voorbeeld tellen we 1 op aan beide kanten van de correcte (indien Sn juist is) vergelijking n-1=n wat resulteert tot de vergelijking n=n+1, n+1 kan dan aan de rest gelijk worden gesteld met behulp van de correcte (indien Sn juist is) vergelijkingen. (0=n, 1=n, 2=n, ...., n=n=n+1). Voor S0 geldt dit echter niet omdat de vergelijking n-1=n niet juist is als we n=o nemen. S0 impliceert namelijk niet -1=0. Nemen we een Sn met n positief dan hebben we wel een geldige inductie. We moeten dan eerst wel minimaal bewijzen dat 0=1. Dit zonder inductie te gebruiken.
Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:
Sn is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.
- Stel nu dat Sn waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als Sn waar is, dan ook Sn+1.
- Sn is duidelijk waar voor n=0.
- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat Sn waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.
thabit jij mag niet meedoen :-)
quote:Het principe competitiedrang veroorzaakt het wereldleed.
Op maandag 24 november 2003 17:29 schreef thabit het volgende:
Hoe beinvloedt de wiskunde olympiade het wereldleed dan volgens jou?
En het principe competitiedrang veroorzaakt de wiskunde-olympiade.
quote:Technisch gezien héb ik wel competitiedrang, net zoals elk mens, maar ik zie dat als slechte eigenschap en probeer dat te onderdrukken. Ik vind dat je moet streven om ergens goed in te zijn, niet om ergens beter in te zijn dan iemand anders.
Je hebt die training niet afgezegd, ondanks dat je geen competitiedrang hebt?
Toen ik eenmaal door had de wiskundeolympiade zo competatief was ben ik gestopt. Eerst was er zo'n weekend, dat werd voorgesteld als een weekendje waarin óók wat aan wiskunde gedaan werd, maar het was puur techniekjes aanleren om puzzeltjes te kunnen oplossen. Bij enkele vervolgsamenkomens was het weer zo. Toen ben ik niet meer gekomen.
Als ik het jaar erop had meegedaan (ik was een jaar jonger dan de rest) was ik vast wel weer door de selectie gekomen, zeker met die extra aangeleerde puzzeltjesoplostechnieken, maar ik heb niet eens meer meegedaan, de lol was er wel af. Voor mij dan. Als andere mensen er plezier aan beleven dan moeten ze dat vooral doen. Ik heb geen drang om mijn 'geloof' te verspreiden.
.Bedenk wel dat er veel te weinig tijd is om ook nog andere wiskunde te doen. Er is niet eens genoeg tijd om zelfs maar de helft te behandelen van wat mensen gezien/gedaan zouden moeten hebben om enigszins aan de internationale olympiadesommen te kunnen werken.
Bovendien is olympiade-wiskunde uitermate geschikt voor middelbare scholieren. Het is iets wat je binnen vrij korte tijd kunt aanleren zonder er fulltime mee bezig te hoeven zijn. Bovendien leer je er dat problemen niet altijd geavanceerde technieken nodig hebben om ze op te kunnen lossen. Je leert jezelf zoeken naar mooie elegante oplossingen. Je krijgt juist door de olympiade een bepaalde flexibiliteit in het oplossen van wiskundige problemen.
Als je andere soorten wiskunde wilt doen, moet je minstens een jaar college gevolgd hebben omdat je er anders gewoon niet aan kunt beginnen.
quote:Ik denk dat je me niet helemaal begrijpt...
Op dinsdag 25 november 2003 16:08 schreef thabit het volgende:
Dus jij vindt het raar dat de olympiadetraining zich richt op training voor de olympiade? Waar mensen zich al niet over kunnen verbazen.
In mijn jeugdige naïviteit verwachtte ik een gebeurtenis waarin het centrale thema wel wiskunde was, maar niet techniekjes aanleren om olympiadepuzzeltjes op te lossen.
Als je een wiskundestudie kiest, dan hoop je toch dat je wiskunde leert, en niet technieken om tentamens voldoende te maken? Gevolg van je wiskundekennis zal wel zijn dat je die tentamens voldoende kunt maken, maar dat moet niet het doel zijn. Zo ook met de olympiadetraining, ik verwachtte dat ik échte wiskunde zou leren, waaruit ik zelf toepassingen voor puzzels kon afleiden, en niet dat ik puur toepassingen voor puzzels zou leren.
(ik zie hier een variant van de discussie over het gericht zijn van wiskunde op toepassen, alleen dan met omgekeerde posities...)
Nu ik meer weet over die olympiade is het natuurlijk onzinnig om te denken dat het niet daar specifiek op gericht zou zijn. Maar hallo, mag een jongetje van 16 jaar geen inschattingsfout maken...
Ik beweer overigens niet dat de olympiade iets slechts is, maar dat de combinatie Pie.er-olympiade niet werkt.
edit: in landen waar meer gelegenheid is om te trainen doen ze dus ook meer algemeen aan theorie. Ze doen het allebei: training die speciaal gericht is op het oplossen van olympiadesommen en algemene theorie naast elkaar. Als je echt hoog wilt scoren is dat ook wel nodig. In Nederland is daar geen gelegenheid voor omdat we hier een gekapitaliseerde vorm van onderwijs hebben. Dus hier doen we hoofdzakelijk oplosvaardigheden aanleren en een zeer kleine hoeveelheid algemene theorie ernaast.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 26-11-2003 10:40]
|
|
