Stel we willen een uitspraak over natuurlijke getallen bewijzen, bijvoorbeeld de volgende:
1+2+...+n = n(n+1)/2.
Het concept dat we gaan hanteren om deze uitspraak te bewijzen bestaat uit 3 stappen:
1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.
Edit: we gebruiken de volgende terminologie: stap 1 wordt de basisstap genoemd, stap 2 de inductiestap en stap 3 de conclusie.
We gaan nu kijken hoe we ons probleem kunnen oplossen met behulp van dit idee.
1) Even kijken, 1=1, verrek dat klopt.
2) Okee k is gegeven, de uitspraak geldt voor alle n<k want dat nemen we aan, in het bijzonder geldt de uitspraak dus voor n=k-1.
Dit betekent dus dat 1+...+(k-1)=k(k-1)/2.
We moeten bewijzen dat de uitspraak voor n=k geldt, met andere woorden we moeten bewijzen dat 1+...+k=k(k+1)/2. Dit gaat nu vrij simpel:
1+...+k = 1+...+(k-1)+k = k(k-1)/2+k = k2/2-k/2+k = k2/2+k/2 = k(k+1)/2.
3) We hebben dus met behulp van volledige inductie bewezen dat 1+...+n=n(n+1)/2 voor alle natuurlijke getallen n.
Opgaves om te kijken of men het begrip snapt:
1) Bewijs dat 12+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 voor alle n.
2) Bewijs dat 13+...+n3 = (n(n+1)/2)2 voor alle n.
[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 11-11-2003 14:02]
[Dit bericht is gewijzigd door Allantois op 10-11-2003 16:34]
Heb ik net gehad. Simpel eigenlijk alleen wat leuk schrijfwerk meestal. Ben te lui om het uit te werken. Maar toch fijn dat jij de rest van fok het ook even wilde laten zien. 
quote:kan je ook bewijzen iets in de trant van 1m+...+nm=n(n+1)/nm (oid... queni of dit klopt, maar er zal vast zo'n formule zijn...
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Opgaves om te kijken of men het begrip snapt:
1) Bewijs dat 12+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 voor alle n.
2) Bewijs dat 13+...+n3 = (n(n+1)/2)2 voor alle n.
Eerst zeiken en dan kijken ;-)
quote:Dat we ons beperken tot de natuurlijke getallen wordt al in de eerste zin genoemd.
Op maandag 10 november 2003 16:41 schreef staaltje het volgende:
TS doet een beetje te interessant. Hij vergeet een klein doch belangrijk detail: zich te beperken tot de verzameling van natuurlijke getallen. Kies voor de grap eens -1 voor n en kijk wat er gebeurt.Eerst zeiken en dan kijken ;-)
."Eerst zeiken en dan kijken."
quote:Flikker toch op zeg.
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus.
quote:inderdaad, maar oefen er maar goed in en maak het je meester, want ik kan je garanderen dat je het na Calculus (gokje
Op maandag 10 november 2003 16:34 schreef Herion het volgende:
1e jaars stof
) ook nog vaak genoeg nodig zult hebben
We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:
Sn is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.
- Stel nu dat Sn waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als Sn waar is, dan ook Sn+1.
- Sn is duidelijk waar voor n=0.
- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat Sn waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.
thabit jij mag niet meedoen :-)
quote:Zo'n formule bestaat maar hij is vrij ingewikkeld, hij maakt gebruik van Bernoulligetallen. Hier een linkje naar de formule: http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
Op maandag 10 november 2003 16:37 schreef Allantois het volgende:[..]
kan je ook bewijzen iets in de trant van 1m+...+nm=n(n+1)/nm (oid... queni of dit klopt, maar er zal vast zo'n formule zijn...
quote:dan sluit ik mezelf ook uit van deelname...
Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
thabit jij mag niet meedoen :-)
Ik ken hem eigenlijk net iets anders, als 'bewijs' dat alle voorwerpen geel zijn. Dan lijkt het minder wiskundig en trappen wiskundehaters er erger in omdat ze het verband met wiskunde niet zien en twijfelen aan hun eigen gezonde verstand.
quote:Is kennis van wiskundige volledige inductie van belang geweest in de werken van bijvoorbeeld Kant, Heidegger of Wittgenstein? Wiskundige inductie heeft alleen nut binnen de wiskunde en heeft daarom alleen nut voor mensen die zich hiermee bezig houden. Degenen die dit niet doen hebben daarom ook geen beperking in hun denken.
Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.
quote:Stel je eens voor hoeveel beter deze werken zouden zijn geweest als deze heren wel kennis hadden genomen van volledige inductie!
Op maandag 10 november 2003 22:17 schreef Wolfje het volgende:[..]
Is kennis van wiskundige volledige inductie van belang geweest in de werken van bijvoorbeeld Kant, Heidegger of Wittgenstein?
Geen denkbeperking of fundament der wiskunde.
Allemaal weer vergeten, heb het vak ook al een maand geleden gevolgd.
Maar die taylor reeksen en euler dingen die weet ik nog wel.
Imaginaire getallen waren ook simpel.
Kreeg pas moeite bij de gevorderde vectorcalculus.
Al dat ruimtelijk denken en dan ineens naar abstract.
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
quote:aha daar is de fout.
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
IN THEORIE GAAT DAT ZO ONEINDIG VERDER.
Totdat je het in werkelijkheid gezien hebt is het niet zeker.
Dus ga jij maar dominosteentjes neerzetten.
Volgens de wetten van newton valt alles nu naar beneden totdat er iets een keer omhoog valt.
Sorry ik verwijs naar de post hieronder, zelfs in theorie gaat het niet oneindig verder.
[Dit bericht is gewijzigd door Aardwetenschapper op 10-11-2003 23:04]
quote:Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
quote:Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.
Op maandag 10 november 2003 23:01 schreef Maestrov het volgende:[..]
Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.
quote:
Op maandag 10 november 2003 23:06 schreef thabit het volgende:[..]
Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.
Zal ik toch eens aan mijn wiskunde A leraar uit gaan leggen.
Echt helemaal niets.
Om het wiskundig te zeggen 0.
Ik zou andere bewoordingen kiezen, dat fundamentum is niet van toepassing binnen dit theorema, maar ik zou niet weten of dat juist is, want thabit, jij bent de wiskundige.
quote:Even op jouw dominopolitiek doorbordurend...
Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!
Volledige inductie kun je alleen waarmaken als je het gehele speelveld, in al z'n complexiteit en recursiviteit, kunt overzien. Daarom stellen de wiskundige intuïtionisten dat je de axiomatische reeks der natuurlijke getallen niet op "volledige" inductie mag baseren.
Het probleem is namelijk dat jij de "volledigheid" niet kunt garanderen als het speelveld oneindig groot is. Waarschijnlijk zul je gewoon niet oud genoeg worden om die volledigheid met een oneindig aantal domineestenen - in al z'n eenvoud - te testen. Dat duurt namelijk erg lang, zelfs oneindig lang...
quote:
INTUITIONISME EN FORMALISMEREDE BIJ DE AANVAARDING VAN HET AMBT VAN BUITENGEWOON HOOGLEERAAR IN DE WISKUNDE AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM OP MAANDAG 14 OCTOBER 1912 UITGESPROKEN DOOR DR. L.E.J. BROUWER.
Op grond van zulk een systeem van axioma's ontwikkelt de formalist nu in de eerste plaats de theorie der eindige verzamelingen. Een verzameling wordt eindig genoemd, indien haar eenheden zich niet in éénéénduidige correspondentie laten brengen met de elementen van een harer deelverzamelingen, en als hoofdeigenschap dezer verzamelingen wordt door een vrij gecompliceerde redeneering 4) afgeleid het zoogenaamde principe van volledige inductie, leerende dat een eigenschap dàn voor alle eindige verzamelingen geldt, indien ze ten eerste geldt voor elke verzameling, die slechts één element bevat, en indien ten tweede haar geldigheid voor een willekeurige eindige verzameling volgt uit haar geldigheid voor een diezelfde verzameling verminderd met één harer elementen. Het feit, dat de formalist dit principe, dat voor de eindige getallen van den intuitionist op grond hunner constructie evident [pag. 16] is, uitdrukkelijk heeft te bewijzen, toont tevens, dat hij nooit in staat zal zijn, ter rechtvaardiging van de keuze zijner axioma's, het zoo onbevredigende beroep op de inexacte praktijk, of op de voor hem even inexacte intuitie, te vervangen door een exact bewijs van de niet-contradictoriteit zijner theorie. Immers om te bewijzen, dat onder de oneindig vele gevolgtrekkingen, die uit het voorspelde systeem van axioma's kunnen worden afgeleid, nooit de logische figuur der contradictie zal kunnen optreden, is de eenige weg, eerst aan te toonen, dat, als bij de nde gevolgtrekking nog geen contradictie aanweizg is, dit bij de (n+1)de gevolgtrekking evenmin het geval kan zijn, en vervolgens intuitief het principe van volledige inductie toe te passen. Maar juist dit laatste mag de formalist zelfs dan niet doen, wanneer hij het principe van volledige inductie bewezen heeft; immers daartoe zou hij wiskundige zekerheid moeten hebben, dat de tot en met de nde gevolgtrekking voortgebrachte eigenschappenverzameling voor een willekeurige n aan zijn definitie voor eindige verzamelingen voldoet, en om die wiskundige zekerheid te verlangen, zou hij, behalve tot de ongeoorloofde toepassing van een symbolisch criterium op een concreet voorbeeld, zijn toevlucht moeten nemen tot een nieuwe intuitieve toepassing van het principe van volledige inductie, waarmee hij in een vicieusen cirkel zou zijn geraakt.
quote:Ik heb ook niet voor niets denkstap nummer 3, de conclusie, erbij vermeld als essentieel onderdeel van de inductie, daar het niet a priori duidelijk is waarom geldigheid van een uitspraak uit de eerste 2 stappen volgt. We nemen axiomatisch aan dat inductie werkt. Tenminste dat doe ik wel want ik ben geen intuitionist. Ik gebruik gewoon inductie, niet-constructieve existentiebewijzen en bewijzen uit het ongerijmde.
Op maandag 10 november 2003 23:56 schreef the.moderator het volgende:[..]
Even op jouw dominopolitiek doorbordurend...
Volledige inductie kun je alleen waarmaken als je het gehele speelveld, in al z'n complexiteit en recursiviteit, kunt overzien. Daarom stellen de wiskundige intuïtionisten dat je de axiomatische reeks der natuurlijke getallen niet op "volledige" inductie mag baseren.
Het probleem is namelijk dat jij de "volledigheid" niet kunt garanderen als het speelveld oneindig groot is. Waarschijnlijk zul je gewoon niet oud genoeg worden om die volledigheid met een oneindig aantal domineestenen - in al z'n eenvoud - te testen. Dat duurt namelijk erg lang, zelfs oneindig lang...
[..]
quote:n=0 is niet bepaald een natuurlijk getal he?
Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:
Sn is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.
- Stel nu dat Sn waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als Sn waar is, dan ook Sn+1.
- Sn is duidelijk waar voor n=0.
- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat Sn waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.
thabit jij mag niet meedoen :-)
|
|
