Wiskunde puzzeltjes deel 4

Bewijs (sin x)^{sin x} < (cos x)^{cos x} voor 0 < x < pi/4.

quote:

---

Het lijkt dus dat tweemachten en pariteit enzo belangrijk zijn. Wat zou je dus nu kunnen proberen?

---

(ik heb de puzzel zelf nog niet echt bekeken, maar dit is een soort pavlov-reactie, net als dat je bij een dubbele som/integraal-puzzel de sommen/integralen meestal om moet draaien (indien toegestaan) )

Uiteraard is dit momenteel nog slechts een hypothese. Ik heb nog geen tijd gehad om dit ook echt te bewijzen. Als de hypothese klopt (waar ik overigens wel heel zeker van ben) dan is het probleem van a[n]=n natuurlijk stukken eenvoudiger.

(Ik ben niet zo gek op gehele-getallen-wiskunde, de geweldige eigenschappen van speciale functies als Besselfuncties, de Gamma-functie, Legendre- en Hermite-polynomen vind ik veel bikkeler. Maar laat iedereen mooi doen wat hij/zij leuk vindt, er zijn voor elk terrein mensen nodig!)

quote:

---

Op dinsdag 23 september 2003 20:31 schreef Pie.er het volgende:
(Ik ben niet zo gek op gehele-getallen-wiskunde, de geweldige eigenschappen van speciale functies als Besselfuncties, de Gamma-functie, Legendre- en Hermite-polynomen vind ik veel bikkeler. Maar laat iedereen mooi doen wat hij/zij leuk vindt, er zijn voor elk terrein mensen nodig!)

---

(een echte wiskundige is ten slotte altijd lui )

quote:

---

Op dinsdag 23 september 2003 23:24 schreef Pie.er het volgende:
Tussen mijn tweede en derde biertje (ik heb een zwaar leven) bedacht ik me trouwens dat dat binair omdraai-puzzeltje met volledige inductie t.o.v. het aantal getallen in de binaire representatie redelijk eenvoudig te bewijzen moet zijn. Ik heb geen zin in schrijfwerk, mag ik dit nu bewezen veronderstellen zodat dit puzzeltje afgerond is?

---

quote:

---

(een echte wiskundige is ten slotte altijd lui )

---

Een Pythagoreische driehoek is een rechthoekige driehoek waarvan de drie zijden gehele getallen zijn. Bepaal alle Pythagoreische driehoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan tweemaal de omtrek.

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 02:33 schreef the.moderator het volgende:
De driehoeken {9,40,41}, {10,24,26}, {12,16,20} en hun drie spiegelbeelden. Lekker makkelijk ...

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 08:24 schreef thabit het volgende:

Kun je bewijzen dat er niet meer zijn?

---

a+b+c = ab/4             >       a + b + (a^2+b^2)^(1/2) - ab/4 = 0             >       ab/8 + 4 = a + b

De uitkomsten met natuurlijke getallen zijn dan:

9*40/8 + 4 = 9 + 40       en       10*24/8 + 4 = 10 + 24       en       12*16/8 + 4 = 12 + 16

^{Uitgaande van een Euclidische Pythagoreische driehoek!}

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 09:13 schreef the.moderator het volgende:

[..]

De oppervlakte (ab/2) groeit sneller dan de omtrek (a+b+c), zoals ook blijkt uit de vergelijking;

a+b+c = ab/4             >       a + b + (a^2+b^2)^(1/2) - ab/4 = 0             >       ab/8 + 4 = a + b

De uitkomsten met natuurlijke getallen zijn dan:

9*40/8 + 4 = 9 + 40       en       10*24/8 + 4 = 10 + 24       en       12*16/8 + 4 = 12 + 16

^{Uitgaande van een Euclidische Pythagoreische driehoek!}

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 09:36 schreef thabit het volgende:

Kort door de bocht, maar op zich goed.

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 10:50 schreef the.moderator het volgende:

[..]

En welk echte probleem wilde je - nu vervolgens - tackelen, met dit basisschool puzzeltje?

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 10:50 schreef the.moderator het volgende:

[..]

En welk echte probleem wilde je - nu vervolgens - tackelen, met dit basisschool puzzeltje?

---

Gegeven een vierkant rooster met n x n vakjes, waarin alle getallen van 1 tot n² geschreven dienen te worden. Bewijs dat, hoe je de getallen ook invult, er altijd twee aangrenzende (vakjes die slechts aan elkaars hoekpunten raken tellen ook) vakjes te vinden zijn die op z'n minst n+1 verschillen.

Ik gooi n keer met een munt en jij gooit n+1 keer. Wat is de kans dat jij vaker kop gooit dan ik?

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 14:21 schreef Koekepan het volgende:

[..]

Je hebt wel praatjes hoor. Lós je eens een keer een puzzel op, is het meteen weer een "basisschoolpuzzeltje".

Gegeven een vierkant rooster met n x n vakjes, waarin alle getallen van 1 tot n² geschreven dienen te worden. Bewijs dat, hoe je de getallen ook invult, er altijd twee aangrenzende (vakjes die slechts aan elkaars hoekpunten raken tellen ook) vakjes te vinden zijn die op z'n minst n+1 verschillen.

---

[Dit bericht is gewijzigd door keesjeislief op 24-09-2003 17:15]

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 16:50 schreef keesjeislief het volgende:

a₁ + a₂ + ... + a_n^2 =
2a₁ + a₂ - a₁ + a₃ - a₂ + ... + a_n^2 - a_n^2-1

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 16:50 schreef keesjeislief het volgende:
2a₁ + n³ = 1/2 n² (n² + 1),

---

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 17:00 schreef Koekepan het volgende:

[..]

De = moet hier zijn: "groter dan of gelijk aan". Dan krijg je geen tegenspraak.

---

[Dit bericht is gewijzigd door keesjeislief op 24-09-2003 17:14]

quote:

---

Op woensdag 24 september 2003 16:54 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik denk dat er iets teveel termen tegen elkaar 'wegtelescoperen' om deze identiteit geldig te maken.

---

_{Ik kom er zelf ook niet uit.}

quote:

---

Op zondag 21 september 2003 13:52 schreef thabit het volgende:

[..]

Wat bedoel je met een kaart omdraaien?

---