De wortel van -1Het begint allemaal met het oplossen van 2
e en 3
e graads vergelijkingen (
Niccolò Tartaglia,
Rafael Bombelli).
Daarbij ontstaan, al doende, wortels van negatieve getallen, en zolang dat beperkt blijft tot de tussenresultaten in een afleiding, kun je het negeren. Maar als de oplossing een wortel van een negatief getal is, of bevat, dan is negeren onmogelijk. Min maal min is ook plus; de wortel uit een negatief kan niet bestaan (een imaginair getal). Als de oplossing een wortel van een negatief getal bevat, kun je deze ook niet optellen bij het reele deel (
een complex getal).
Trek een rechte lijn. Daarmee kan ieder getal worden weergegeven met een punt op de lijn (als de afstand tot 0). Als de wortel van -1 niet bestaat, dan moet dit getal dus buiten de lijn liggen. Kies een punt buiten de lijn en noem het i (de wortel van -1). Trek de loodlijn die door i gaat. Noem dat de imaginaire as, noem het snijpunt 0, en de afstand tussen i en de lijn de eenheid van lengte (het getal 1). Daarmee heb je het complexe vlak getekend (out of the box denken).
Eeuwen later, in de 18e eeuw komt de abstracte algebra tot ontwikkeling. Als je voor complexe getallen samenstellingsregels kunt geven, die voldoen aan de voorwaarden van een algebraische groep / lichaam, dan ben je klaar. De samenstellingsregels voor complexe getallen (x + y i):
optellen: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
vermenigvuldigen: (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i
voldoen aan de voorwaarden. Daarmee lijkt de kous af.
------------------------------------------------------
De regel voor optellen is wat je verwacht. De regel voor vermenigvuldiging is vreemd. Het lijkt op 'haakjes uitwerken', zoals bij reele getallen:
(a + b) (c + d) = a c + b d + a d + b c
Maar bij reele getallen kun je deze regel ook meetkundig voorstellen. Een product is het oppervlak van een rechthoek. Als je beide zijden van de rechthoek opsplitst in 2 delen, zoals de factoren (a + b) en (c + d) aangeven, dan splits je de rechthoek op in vier delen. Het oppervlakte van de rechthoek is de som van de oppervlakten van de vier delen (precies de rechterkant van de vergelijking).
Dat is niet meer zo in de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen. De factor (a + b i) is geen opsplitsing van een lengte in delen, want a en b liggen niet op 1 lijn (a ligt langs de reele as en b langs de imaginaire as).
---------------------------------------------------------
Euler's formuleDe grote doorbraak kwam al eerder, voor de abstracte algebra, met een resultaat van Euler.
In poolcoordinaten is een complex getal: r [cos(x) + sin(x) i]
(r = de straal, x = de hoek)
De eenheidscirkel is: cos(x) + sin(x) i
Als je voor de cosinus, sinus en e-macht de oneindige machtreeksen (taylorreeksen) kent, dan blijkt bij invulling van de reeksontwikkeling voor cos(x) en sin(x), het antwoord de reeksontwikkeling van een e-macht te zijn:
e
i x = cos(x) + sin(x) i
met alle eigenschappen van een e-macht:
1. vermenigvuldigen is: e
i x e
i y = e
i (x + y)2. differentieren van een e-macht is heel eenvoudig: d(e
i x)/dx = i e
i x Als een complex getal geschreven kan worden als een e-macht, wordt de vermenigvuldigingsregel veel simpeler:
vermenigvuldig de stralen en tel de hoeken op (ook meetkundig helder)
Dat dit dezelfde vermenigvuldigingsregel is, is niet intuitief duidelijk (het samenstellen van oneindige reeksen is een tricky business), maar in dit geval consistent. Een eenheidscirkel en een e-macht ineen, wie had dat ooit kunnen zien aankomen? Maar zo liep, voor de wiskundigen, het worstelen met de wortel van -1 toch nog goed af.
--------------------------------------------------------
Maar niet voor natuurkundigen.Omdat differentieren van e-machten heel eenvoudig is, zijn deze nieuwe e-machten handig om differentiaalvergelijkingen op te lossen (zoals bewegingsvergelijkingen in de natuurkunde). Ze werden daarvoor volop gebruikt, onder de waarschuwing:
een fysische grootheid kan nooit imaginair zijn.
Het liep anders. Natuurkundigen hadden van Maxwell geleerd dat licht bestaat uit elektromagnetische golven. Maar later blijken bepaalde fenomenen (het frequentie spectrum van blackbody radiation, het foto-elektrisch effect) erop te wijzen dat licht uit deeltjes bestaat.
De Broglie redeneerde als volgt. Licht is nu golf
en deeltje. Stel, dat alles beide is, dan is alles weer gelijksoortig. Hij vraagt aan Schrödinger om de bewegingswet van Newton voor puntmassa's (deeltjes) te vertalen in een equivalente bewegingswet voor golven.
--------------------------------------------------------
De Schrödinger vergelijkingWe gebruiken, dat er ook 'atoommodellen' zijn voor functies.
Neem de verzameling functies: {e
i p x}, voor alle mogelijke waarden van
p.
De vetgedrukte letters
p x staan voor het inproduct van twee vier-vectoren:
de vier-impuls
p = (p, E) en de vier-locatie
x = (x, t).
Dat is een verzameling lopende
vlakke golven (in de tijdruimte
x met een constante impuls
p) waarmee
iedere golffunctie kan worden samengesteld.
Als je de algemene vorm voor een vlakke golf e
i p x in een differentiaalvergelijking (bewegingsvergelijking) substitueert, dan zijn alle partiele afgeleiden eenvoudig te doen. Wat resteert is een algebraische vergelijking (de karakteristieke vergelijking van de differentiaalvergelijking). Omgekeerd bepaalt de karakteristieke vergelijking de differentiaalvergelijking (bewegingsvergelijking). Zoeken naar de bewegingsvergelijking wordt daarmee:
zoeken naar de karakteristieke vergelijking.
De 2
e bewegingswet van Newton is de wet die impulsverandering (interactie) beschrijft. De geïntegreerde vorm daarvan is de wet van energiebehoud. De gezochte bewegingswet voor golven moet deze behoudswet respecteren. De gezochte karakteristieke vergelijking is dus de wet van energiebehoud. Merk op dat de interactie, in de vorm van 'potentiele energie', daarmee ook in de bewegingsvergelijking is opgenomen.
Zo komt Schrödinger uit op zijn bekende bewegingsvergelijking. In deze vergelijking staat het imaginaire getal i. Geheel in strijd met de regel dat iets fysisch nooit imaginair kan zijn. Wat is meer fysisch dan de fysische bewegingswet zelf? Eerst schrikt Schrödinger ervan terug en komt met een ander voorstel, maar die voldoet niet aan de wet van energiebehoud, merkt Lorentz op. Dus dan toch maar die rare vergelijking.
Voor wiskundigen is de kous af, maar natuurkundigen worden geacht te kunnen uitleggen, hoe de wereld echt werkt, nu dus aan de hand van een bewegingsvergelijking met het getal i erin.
En een antwoord op de vraag hoe iets beide (puntdeeltje en golf) tegelijk kan zijn. Vreemd genoeg is daar een oplossing voor.
----------------------------------------------------------
Een wiskundige analyse van vorm en inhoudHet begint met een wijnkelder. De aanleiding voor een wiskundige analyse van de vorm-en-inhoud kwestie. Fourier vraagt zich af hoe diep onder de grond een wijnkelder moet liggen, zodat de temperatuur zo gelijkmatig mogelijk blijft, gegeven de temperatuur schommelingen aan het oppervlak en de snelheid waarmee warmte zich verspreid. Het brengt hem tot de fourieranalyse, en de gebruikte stelling, dat je alle functies kunt beschouwen als een samenstelling van vlakke golven.
Beschouw de volgende twee atoommodellen voor functies:
1. Dirac deltafuncties (eigenlijk: gegeneraliseerde functies of distributies, alles is continue)
Een deltafunctie is overal nul, behalve voor 1 punt, en de oppervlakte is 1. Je kunt daarmee aan een punt een waarde toekennen. De verzameling van deltafuncties, 1 voor ieder punt in de ruimte, is voldoende om iedere functie mee samen te stellen. Een atoommodel voor functies.
2. Vlakke golven (sinussen en cosinussen; e
i p x)
Een vlakke golf heeft een constante amplitude. Al het onderscheidend vermogen zit nu in de vorm. Een vlakke golf is een patroon, dat zich over de hele ruimte uitstrekt, en is dus nergens gelokaliseerd. Een samenstelling van een functie uit vlakke golven, is de vorm van de functie samenstellen uit de verzameling van van golfpatronen (vlakke golven met iedere mogelijke frequentie en fase). Ook een atoommodel voor functies.
Het eerste atoommodel is lokaal en beschrijft de waarde van de functie voor ieder punt apart. Het tweede atoommodel is globaal en beschrijft waarde veranderingen tussen punten. Het eerste model ligt voor de hand als je losse puntmassa's in een ruimte wilt beschrijven (noem dit de inhoud), het tweede model als je golven in een ruimte wilt beschrijven (noem dit de vorm).
Vervolgens blijkt:
1. de inhoud-beschrijving van een functie heeft ook een vorm (de puntwaarden vormen een curve)
2. de vorm-beschrijving van een functie heeft ook een inhoud (de amplitudes van de vlakke golven zijn de losse puntwaarden)
3. de vorm-beschrijving van de inhoud = de inhoudsbeschrijving van de vorm
(equivalente beschrijvingen van dezelfde functie; zoals een gestaltpsychologie plaatje).
4. Een fouriertransformatie verwisselt de inhoud-beschrijving en de vorm-beschrijving van een functie
(een rolverwisseling van puntwaarden en golven;
de draaischijf is de eenheidscirkel ei x van het complexe vlak).
Vorm en inhoud zijn verwisselbaar, maar niet van elkaar te scheiden.
-----------------------------------------------------
Het golf-deeltje dualismeDit is gebruikt om het golf-deeltje dualisme is een model te stoppen. De inhoud-beschrijving van een golffunctie bestaat uit de waarde (amplitude) ervan voor ieder punt in de 4D tijdruimte. De vorm-beschrijving van een golffunctie bestaat uit een samenstelling van vlakke golven. Een vlakke golf wordt gekarakteriseerd door een vier-impuls. De vier-impuls is een punt in een 4D impulsruimte.
De positievariabelen
x zijn de 4 coordinaten van een 4D ruimte. De bewegingsvariabelen
p zijn de 4 coordinaten van een 4D ruimte. Deze twee ruimten zijn meetkundig dezelfde 4D ruimte. De fouriertransformatie is dus een coordinatentransformatie (een vertaling van de ene beschrijving in de andere). In de ene beschrijving praat je over puntdeeltjes, in de andere beschrijving over golven, maar beide beschrijven dezelfde golffunctie in dezelfde functieruimte (een Hilbertruimte).
Zijn fysische dingen, in de tijdruimte, nu golven of deeltjes of beide? In deze nieuwe opzet is de wereld een Hilbertruimte. De fysische dingen bestaan dus in een Hilbertruimte. Daarmee zijn het andere dingen geworden. De Hilbertruimte, waarin de bewegingswet opereert, is niet meer de tijdruimte van Einstein / Minkowski. In een Hilbertruimte is alles een functie.
De intuitieve koppeling tussen de Hilbertruimte en de Einstein's tijdruimte loopt via de atomen (deltafuncties) van de Hilbertruimte. De atomen van de Hilbertruimte zijn:
- in de inhoud-beschrijving 1-op-1 gekoppeld aan punten in de tijdruimte
- in vorm-beschrijving (vlakke golven in de tijdruimte) 1-op-1 gekoppeld aan punten in de impulsruimte.
De Hilbertruimte zelf, is een functieruimte waarin de vertaling (de fouriertransformatie) tussen deze twee beschrijvingen plaatsvindt.
Wat is een golffunctie in een Hilbertruimte? De golffunctie heeft in beide coordinatiesystemen (voor de 4D ruimte) op ieder punt, een grootte en een richting:
de amplitude (
samenstellingsregel: de algebra van complexe getallen). Als je 2 golffuncties samenstelt (optelt) dan kunnen amplitudes elkaar versterken en teniet doen. De resultante amplitude, het resultaat na samenstelling, wordt gekwadrateerd (zodat het altijd een positief getal is). Alleen dat getal is meetbaar.
--------------------------------------------------------
Meetbaar, in een beperkte vormDe amplitude noemt men een waarschijnlijkheidsamplitude. Het kwadraat van de waarschijnlijkheidsamplitude wordt geinterpreteerd als de waarschijnlijkheid dat een meetwaarde gelijk is aan de specifieke coördinaatwaarde (van het punt in de Hilbertruimte waar de waarschijnlijkheidsamplitude zich bevindt).
Alle meetbare informatie bestaat uit een afgeleide kansverdeling voor de mogelijke meetwaarden. De meetwaarden zijn altijd coordinaten van het meetobject, en een
gekwadrateerde amplitude van de golffunctie (in dat coordinatensysteem) is de waarschijnlijkheid dat je die waarde meet. In het geval van de inhoud-beschrijving zijn de meetwaarden locatiewaarden. In het geval de vorm-beschrijving zijn de meetwaarden impulswaarden. Welke van de twee coordinatiesystemen van toepassing is, hangt af van het experiment (of je locaties of impulsen meet).
Het kwadrateren van de amplitude is een afbeelding van complexe getallen op reele, van de kwantumwereld op de klassieke. (een projectie met informatieverlies).
De golffunctie mechanica voltrekt zich in de Hilbertruimte. Het is raar dat de meting niet wordt beschreven door dezelfde bewegingswet, want het meetproces vindt ook plaats in de wereld. De reden? De meting is de vertaling van de Hilbertruimte naar de tijdruimte, en van de kwantummechanische bewegingswet (de Schrodinger vergelijking) naar de bewegingswetten van de klassieke natuurkunde. Deze vertaling loopt impliciet via de meetinstrumenten, die zich allemaal klassiek gedragen.
De meting is een afbeelding van de Hilbertruimte op 'de wereld van de klassieke natuurkunde' (een projectie met informatieverlies). De waarschijnlijkheden treden alleen op vanwege deze vertaalslag (dus vanuit onze noodzaak om alles te vertalen naar onze macroscopische, dus klassieke, wereldbeeld).
Dat het lijkt, alsof we de golffunctie mechanica achter de kansverdeling voor de mogelijke meetwaarden zien liggen, berust op de gok dat de fouriertransformatie het golf-deeltje dualisme in een model heeft gevangen. Een toetsbare gok, want het voorspelt allerlei samenhang. Getoetst, en het klopt wonderbaarlijk goed.
-----------------------------------------------
De onzekerheidsrelatie van HeisenbergEen fouriertransformatie vertaalt een punt in een vlakke golf (en omgekeerd). Iets kan nooit in beide beschrijvingen een punt zijn (een unieke waarde voor de coordinaten in beide coordinatiesystemen tegelijk). Een deltafunctie in de tijdruimte (een unieke locatie) is na transformatie een vlakke golf in de impulsruimte (heeft iedere mogelijke impulswaarde met dezelfde waarschijnlijkheid). Een deltafunctie in de impulsruimte (een unieke vier-impuls) is na transformatie een vlakke golf in de tijdruimte (heeft iedere mogelijke locatiewaarde met dezelfde waarschijnlijkheid). De onzekerheidsrelatie van Heisenberg geeft aan wat er maximaal haalbaar is, als je beide (ongeveer) wilt weten.
De locatievariabelen en bewegingsvariabelen zijn niet meer onafhankelijk van elkaar. De golffunctie heeft twee gezichten, het ene toont je alle informatie over de locatie van het meetobject, het andere toont je alle informatie over de impuls van het meetobject. Als je 1 gezicht kent, dan volgt het andere uit de fouriertransformatie.
Het lijkt op de wijze waarop een rechthoek in een cirkel verandert (door een cilinder 90 graden te roteren). Alleen voor golffuncties in een Hilbertruimte gebruik je een fouriertransformatie i.p.v. een rotatie, en verandert een tijdruimte beschrijving van een kwantum-object in een impulsruimte beschrijving. De roterende cilinder ligt binnen onze natuurlijke meetkundige intuitie (is evident), het andere geval niet (is mysterieus).
Zo heeft 'de wortel van -1' ons gebracht tot enig inzicht in het interpretatieprobleem van de kwantummechanica.
---------------------------------------------------------
ConclusieWij zijn deelnemers in de wereld, op een schaalgrootte zo groot, dat onze zintuigen klassieke meetinstrumenten zijn. Wij zien geen kwantumwereld, deze ligt voorbij onze natuurlijke intuities. De kwantumwereld, met deeltje-golf dualiteit, kan wel in een Hilbertruimte worden beschreven. Een wereld waarvan metingen alleen projecties op onze klassieke wereld tonen, omdat een meting alleen kan slagen, als het meetobject succesvol in een klassieke toestand gedrukt kan worden (en zo voor ons benaderbaar). De wereld wordt, vanuit ons natuurlijke gezichtspunt gezien, ons deelnemersperspectief, meer en meer onbenaderbaar, naarmate we verder inzoomen.
De lokale beschrijving van de wereld (ingezoomd) in deze post, en de globale beschrijving (uitgezoomd) uit de post hierboven, onder 1 noemer brengen, is een openstaand probleem.
Samenvatting (tot nu toe).
Over het uitgangspunt:
"een deelnemer in de wereld".
Iedereen is zelf deelnemer en heeft een eigen deelnemersperspectief. Daarover hoef ik niets te zeggen, daar weet u alles van. Deel 1 van dit topic ging vooral over het relationele / logische begrip 'in'. De posten in dit deel gingen over 'de wereld' en de invulling van het waarheidsperspectief. Over de toestand van de wereld valt nog veel meer te zeggen. O.a. over statistische fysica, de brug tussen microbeschrijving en macrobeschrijving, tussen 'atomen en hun eigenschappen' en 'macroscopische bouwsels en hun eigenschappen', over allerlei vormen van collectief gedrag.
[ Bericht 0% gewijzigd door deelnemer op 04-12-2019 00:47:40 ]