quote:
Op donderdag 19 februari 2015 19:50 schreef netchip het volgende:Hoe kan ik bij F_veer = C * u de uitrekking afhankelijk maken van de tijd? In mijn geval wordt u kleiner door de tijd, omdat de muizenval dichtklapt. Omdat a = F_veer/m, en omdat de afgelegde weg (s) de versnelling twee keer geïntegreerd is over de tijd, dacht ik: a = (C * u)/m, en dat dan twee keer integereren over t. Is dit correct?
Maar dan heb ik wel een cirkelredenatie. De kracht hangt dan af van de afgelegde weg die weer afhangt van de kracht. Is dit een probleem waar een differentiaalvergelijking toegepast zou moeten worden?
Er is weinig chocola te maken van je post, maar een massaveersysteem geeft inderdaad aanleiding tot een tweede orde differentiaalvergelijking. Alleen is het niet simpel een kwestie van tweemaal integreren om die differentiaalvergelijking op te lossen. Begin
hier maar eens mee.
Om het even eenvoudig te houden: heb je een massaveersysteem dat bestaat uit een verticale (ideale) spiraalveer met een veerconstante C waaraan een puntmassa m hangt, dan wordt de spiraalveer door de zwaartekracht die op de puntmassa werkt tot een zekere lengte uitgerekt. Door deze uitrekking oefent de veer op de puntmassa een kracht uit die even groot is als de zwaartekracht, maar tegengesteld gericht. Als we, uitgaande van deze evenwichtstoestand, de puntmassa over een afstand u naar beneden trekken, dan ondervindt de puntmassa een kracht Cu naar boven. Brengen we daarentegen de puntmassa omhoog over een afstand u boven de evenwichtsstand, dan wordt de veer minder uitgerekt en is de kracht die de veer uitoefent op de puntmassa kleiner geworden met een bedrag Cu, zodat de resulterende kracht op de puntmassa een naar beneden gerichte kracht Cu is. Kracht en uitwijking zijn dus steeds tegengesteld gericht, zodat we hebben
En omdat
waarin a de versnelling is van de puntmassa, terwijl deze versnelling de tweede afgeleide naar de tijd is van de uitwijking u, dus
hebben we zo
Je ziet dus dat u als functie van de tijd t op een zodanige manier van de tijd afhangt dat tweemaal differentiëren naar de tijd de functie zelf teruggeeft, maar dan wel vermenigvuldigd met een negatieve factor −C/m. Probeer nu zelf maar eens te bedenken welke functies aan deze differentiaalvergelijking voldoen.
[ Bericht 22% gewijzigd door Riparius op 22-02-2015 00:37:34 ]