[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Index

» school, studie en onderwijs

actieve topics nieuwe topics
abonnement Unibet Coolblue Bitvavo
pi_147392024
quote:
1s.gif Op zondag 7 december 2014 21:33 schreef PausNicolaas het volgende:
Jaa wiskundigen hier!

Een probleem met integralen.
De integraal van ln(x)/x

[cut crap]
Om te beginnen mag je nooit het =-teken gebruiken als vervanging van het woord is in een zin, dat is altijd fout.

Het grootste probleem is dat je denkt dat je een primitieve van een product van twee functies verkrijgt door het product te nemen van primitieven van elk van die functies, maar dat is niet zo.

Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit niet zo werkt: als F en G twee primitieven zijn van resp. f en g, dan is de afgeleide van het product FG gelijk aan (FG)' = F'G + FG' = fG + Fg en dus niet fg.

Bepaal je de afgeleide van ½·(ln x)² naar x met behulp van de kettingregel, dan krijg je

\frac{\rm{d}(\frac{1}{2}\,\cdot\,(\ln\,x)^2)}{\rm{d}x}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{\rm{d}((\ln\,x)^2)}{\rm{d}x}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{\rm{d}((\ln\,x)^2)}{\rm{d}(\ln\,x)}\,\cdot\,\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,2\,\cdot\,\ln\,x\,\cdot\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{\ln\,x}{x}

zoals gewenst, zodat ½·(ln x)² dus inderdaad een primitieve is van ln(x)/x met betrekking tot x. Zoals eerder opgemerkt is het mogelijk je integraal te behandelen met een substitutie, en wel u = ln x, zodat du/dx = 1/x en dus du = dx/x, en dan hebben we

\int \frac{\ln\,x}{x}\rm{d}x\,=\,\int u\rm{d}u\,=\,\frac{1}{2}u^2\,+\,C\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\(\ln\,x)^2\,+\,C

maar je kunt hier ook heel goed met een impliciete substitutie werken, en aangezien d(ln x)/dx = 1/x en dus d(ln x) = dx/x heb je dan direct

\int \frac{\ln\,x}{x}\rm{d}x\,=\,\int (\ln\,x)\cdot\rm{d}(\ln\,x)\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\(\ln\,x)^2\,+\,C

Als de techniek van een substitutie of een impliciete substitutie bij de integraalrekening je niet duidelijk is, dan kan ik je aanbevelen deze post van mij eens goed door te nemen.
Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus
pi_147392983
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 14:09 schreef RustCohle het volgende:
[ afbeelding ]

Oplossen voor Ga levert toch juist op:

[cut crap]
Nee. Om te beginnen is 2·(360 − GA) = 720 − 2GA (distributiviteit van vermenigvuldiging ten opzichte van optelling en aftrekking). Kruislings vermenigvuldigen geeft nu

GA(720 − 2FA) = FA(240 − GA)

Nu haakjes uitwerken in beide leden en we hebben

720GA − 2FAGA = 240FA − FAGA

Nu is het de bedoeling dat we alle termen met GA in het linkerlid van onze vergelijking krijgen en alle termen zonder GA in het rechterlid. Daarom gaan we nu bij beide leden FAGA optellen en dan krijgen we

720GA − 2FAGA + FAGA = 240FA − FAGA + FAGA

oftewel

720GA − FAGA = 240FA

Nu halen we in het linkerlid de gemene factor GA buiten haakjes, zodat we krijgen

(720 − FA)GA = 240FA

en tenslotte delen we beide leden door (720 − FA) en dan vinden we inderdaad

GA = 240FA/(720 − FA)

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-12-2014 16:28:54 ]
Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus
pi_147401554
Ik heb er ook weer eens eentje.

Zij X standaard normaal verdeeld en Y = |X| ( ook wel de Folded Standard Normal Distribution)

Laat zien: X en Y zijn ongecorreleerd.

Nu geldt voor ongecorreleerde toevalsvariabelen dat E[X]E[Y] = E[XY], en in het bovenstaande geval dus dat E[XY] = 0. Maar wat betekent E[XY] = E[X|X|] nu precies?

En hoe toon ik vervolgens aan dat X en |X| niet onafhankelijk zijn? (de vraag is of ze onafhankelijk zijn, maar ik vermoed dat dit niet zo is).
pi_147401970
Ik heb waarschijnlijk een domme vraag.

Ik heb g(x) = -i ∙ sgn(x) (met i2 = -1)
laat nu G(x) de Fourier getransformeerde van g zijn.
Hoe laat ik zien dat G * (G * f)) = -f?
(waar * convolutie is)

Ik snap dat convolutie van twee functies gelijkstaat aan de multiplicatie van hun Fourier getransformeerden (of andersom), maar ik zie nog niet gelijk hoe dit me verder helpt.
pi_147402156
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 19:54 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb er ook weer eens eentje.

Zij X standaard normaal verdeeld en Y = |X| ( ook wel de Folded Standard Normal Distribution)

Laat zien: X en Y zijn ongecorreleerd.

Nu geldt voor ongecorreleerde toevalsvariabelen dat E[X]E[Y] = E[XY], en in het bovenstaande geval dus dat E[XY] = 0. Maar wat betekent E[XY] = E[X|X|] nu precies?

En hoe toon ik vervolgens aan dat X en |X| niet onafhankelijk zijn? (de vraag is of ze onafhankelijk zijn, maar ik vermoed dat dit niet zo is).
Of ze afhankelijk ('dependent') zijn is makkelijk. Op het moment dat je X hebt, heb je ook informatie over Y. Dus ze kunnen nooit onafhankelijk ('independent') zijn.
pi_147403504
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 19:54 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb er ook weer eens eentje.

Zij X standaard normaal verdeeld en Y = |X| ( ook wel de Folded Standard Normal Distribution)

Laat zien: X en Y zijn ongecorreleerd.

Nu geldt voor ongecorreleerde toevalsvariabelen dat E[X]E[Y] = E[XY], en in het bovenstaande geval dus dat E[XY] = 0. Maar wat betekent E[XY] = E[X|X|] nu precies?

En hoe toon ik vervolgens aan dat X en |X| niet onafhankelijk zijn? (de vraag is of ze onafhankelijk zijn, maar ik vermoed dat dit niet zo is).
Ik zou om te beginnen de distributiefunctie van |X| opschrijven.
pi_147403648
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 20:07 schreef defineaz het volgende:
Ik heb waarschijnlijk een domme vraag.

Ik heb g(x) = -i ∙ sgn(x) (met i2 = -1)
laat nu G(x) de Fourier getransformeerde van g zijn.
Hoe laat ik zien dat G * (G * f)) = -f?
(waar * convolutie is)

Ik snap dat convolutie van twee functies gelijkstaat aan de multiplicatie van hun Fourier getransformeerden (of andersom), maar ik zie nog niet gelijk hoe dit me verder helpt.
Wat is f?
pi_147404350
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 20:44 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik zou om te beginnen de distributiefunctie van |X| opschrijven.
Dat is F_{|X|}(y) = \frac{2}{sqrt{2\pi}}\int_0^y(e^{-\frac{x^2}{2}})dx

[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 08-12-2014 21:07:33 ]
pi_147404524
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 21:03 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat is F_{|X|}(y) = \frac{1}{sqrt{2\pi}}\int_0^y(e^{-\frac{x^2}{2}})dx
Zeker weten? Dat zou inhouden dat P(y < -a) < 0, a > 0, zou zijn.
pi_147404540
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:07 schreef Novermars het volgende:

[..]

Zeker weten? Dat zou inhouden dat P(y < -a) < 0, a > 0, zou zijn.
Volgens mij vergat ik de factor 2? :P
pi_147404608
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 21:08 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Volgens mij vergat ik de factor 2? :P
Voor y>0 klopt het nu volgens mij, voor y < 0 niet volgens mij.
pi_147404656
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:09 schreef Novermars het volgende:

[..]

Voor y>0 klopt het nu volgens mij, voor y < 0 niet volgens mij.
Kan |X| < 0 iets zijn dan?
pi_147404749
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 21:11 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Kan |X| < 0 iets zijn dan?
De kans daarop is 0, en dat moet ook uit je formule blijken.
pi_147404865
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:13 schreef thabit het volgende:

[..]

De kans daarop is 0, en dat moet ook uit je formule blijken.
Wat mis ik dan precies? F_|X|(y) = 0 voor y < 0 en F|X|(y) = wat ik daarnet zei voor y = 0 en y > 0?
pi_147405178
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 21:15 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Wat mis ik dan precies? F_|X|(y) = 0 voor y < 0 en F|X|(y) = wat ik daarnet zei voor y = 0 en y > 0?
Okee, dan klopt het zo.
pi_147405273
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:23 schreef thabit het volgende:

[..]

Okee, dan klopt het zo.
Enfin, dat had ik eigenlijk al op papier staan (en ik wist dat P(|X| < y) = 0 voor y < 0). Wat nu?
pi_147405367
Nu de distributiefunctie voor X|X|. Dan kun je daarna direct zien of ze onafhankelijk zijn.
pi_147406026
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:27 schreef thabit het volgende:
Nu de distributiefunctie voor X|X|. Dan kun je daarna direct zien of ze onafhankelijk zijn.
Ik dacht juist na over P(X|X| < z) als P(X^2 < z) als z >= 0 en P(-X^2 < z) als z < 0. Zit ik hier juist?
pi_147406622
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 21:41 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik dacht juist na over P(X|X| < z) als P(X^2 < z) als z >= 0 en P(-X^2 < z) als z < 0. Zit ik hier juist?
Nee.
pi_147407126
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 21:56 schreef thabit het volgende:

[..]

Nee.
Hint? Ik weet nog steeds niet wat X|X| nu precies betekent. :')
pi_147407213
Wel, X|X|=X2 als X>=0 en X|X| = -X2 als X <= 0. Dus je moet onderscheid maken tussen X >= 0 en X <= 0.
pi_147407333
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 22:09 schreef thabit het volgende:
Wel, X|X|=X2 als X>=0 en X|X| = -X2 als X <= 0. Dus je moet onderscheid maken tussen X >= 0 en X <= 0.
Ah, dat was bijna wat ik zei alleen had ik niet z maar X moeten zeggen. :')
pi_147407432
quote:
14s.gif Op maandag 8 december 2014 22:12 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ah, dat was bijna wat ik zei alleen had ik niet z maar X moeten zeggen. :')
Dan moet je die kans uiteindelijk nog wel in z uitdrukken.
pi_147407539
quote:
0s.gif Op maandag 8 december 2014 22:14 schreef thabit het volgende:

[..]

Dan moet je die kans uiteindelijk nog wel in z uitdrukken.
True.

Maar

Is het juist dat de kansdichtheidsfunctie van X^2 gegeven wordt door:

fX2(x) = e-x/2/sqrt(x) * 1/sqrt(2pi) voor x >= 0 ?
pi_147407826
quote:
2s.gif Op maandag 8 december 2014 22:17 schreef Amoeba het volgende:

[..]

True.

Maar

Is het juist dat de kansdichtheidsfunctie van X^2 gegeven wordt door:

fX2(x) = e-x/2/sqrt(x) * 1/sqrt(2pi) voor x >= 0 ?
Dat is op zich waar, maar we zijn op zoek naar de kansdichtheidsfunctie van X|X|.
actieve topics nieuwe topics
abonnement Unibet Coolblue Bitvavo
[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.
Index

» school, studie en onderwijs

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')