abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_145625217
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
pi_145630541
Gegeven is:

max w(K,L) = 12K -1/2 L 1/4 - 1,2K - 0,6L

En ik moet de 'mogelijke oplossing vinden voor de volgende speciale case''.

Partieel afgeleide naar k is 6K -1/2 L 1/4 - 1,2 = 0 en partieel afgeleide naar L is:

3K 1/2 L -3/4 - 0,6 = 0

Dus:

K -1/2 L 1/4 = K 1/2 L -3/4 = 1/5 = 0,2

Maar wat moet ik daarna doen?
pi_145633193
Ik heb de volgende winstfunctie:

-2x² - 4y² + 4xy + 64x + 32y - 514 en ik moet de stationaire punten berekenen en dat doe ik door de afgeleide van de twee variabelen te nemen en te kijken wanneer deze 0 is:

f'x = -4x + 4y + 64

f'y = -8y + 4x + 32

Hoe kan ik dan de stationaire punten bepalen (kijken wanneer f'x = 0 en f'y = 0) als er twee variabelen zitten in beide afgeleiden?
pi_145636860
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 12:01 schreef Super-B het volgende:
Ik heb de volgende winstfunctie:

-2x² - 4y² + 4xy + 64x + 32y - 514 en ik moet de stationaire punten berekenen en dat doe ik door de afgeleide van de twee variabelen te nemen en te kijken wanneer deze 0 is:

f'x = -4x + 4y + 64

f'y = -8y + 4x + 32

Hoe kan ik dan de stationaire punten bepalen (kijken wanneer f'x = 0 en f'y = 0) als er twee variabelen zitten in beide afgeleiden?
Je hebt hier een uitdrukking die afhangt van twee variabelen x en y en daarmee een functie

f(x,\,y)\,=\,-2x^2\,-\,4y^2\,+\,4xy\,+\,64x\,+\,32y\,-\,514

Als we nu de afhankelijke variabele, oftewel de functiewaarde, even z noemen, dus

z\,=\,f(x,\,y)

dan is dus

z\,=\,-2x^2\,-\,4y^2\,+\,4xy\,+\,64x\,+\,32y\,-\,514

In een driedimensionaal cartesisch assenstelsel is dit een vergelijking van een gekromd oppervlak dat een hoogste punt bezit zoals je hier kunt zien, en het gaat nu om de bepaling van de coördinaten van het hoogste punt op dit gekromde oppervlak.

Als we dit gekromde oppervlak snijden met een plat vlak loodrecht op de x-as, dus een vlak met de vergelijking x = a, waarin a een constante is, dan krijgen we in dat platte vlak een curve als snijlijn met ons gekromde vlak, en datzelfde geldt uiteraard wanneer we het gekromde oppervlak snijden met een plat vlak loodrecht op de y-as, dus een vlak met vergelijking y = b, waarin b weer een constante is. Als we nu die constantes a en b zo weten te kiezen dat het hoogste punt op het gekromde oppervlak in beide snijvlakken ligt, dan is het hoogste punt van het gekromde oppervlak dus ook het hoogste punt op elk van deze beide snijcurves. En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn. We krijgen als voorwaarden dus

f_{x}(x,\,y)\,=\,0,\,\ f_{y}(x,\,y)\,=\,0

Of, omdat we de afhankelijke variabele z hebben genoemd

\frac{\partial z}{\partial x}\,=\,0,\,\,\frac{\partial z}{\partial y}\,=\,0

De gekrulde ∂ (in het Engels: curly dee) wordt hier gebruikt om aan te geven dat we met partiële afgeleiden te doen hebben, waarbij we dus kijken hoe een afhankelijke variabele (hier: z) die afhangt van meerdere onafhankelijke variabelen (hier: x en y) varieert als we slechts één variabele laten veranderen en de overige variabelen even constant houden. De partiële afgeleiden van je functie had je al correct bepaald, en de voorwaarden dat deze beide gelijktijdig nul moeten zijn geven dus het volgende stelsel vergelijkingen in x en y:

\begin{array}{rcl} -4x&+&4y&+&64&=&0 \\ 4x&-&8y&+&32&=&0\end{array}

Nu moet je dit stelsel oplossen. Het is een lineair stelsel, en je hebt al eerder lineaire stelsels opgelost, dus dit zou geen probleem meer mogen zijn. Als we de linkerleden en de rechterleden van deze twee vergelijkingen bij elkaar optellen, dan krijgen we

-4y\,+\,96\,=\,0

en dus

y\,=\,24

en invullen van deze waarde van y in één van de beide oorspronkelijke vergelijkingen geeft dan

x\,=\,40

en het maximum van de functie is dus

f(40,\, 24)\,=\,1150

De coördinaten van het hoogste punt op het gekromde oppervlak met als vergelijking z = f(x, y) zijn dus (40, 24, 1150).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-10-2014 18:04:34 ]
pi_145638157
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 13:54 schreef Riparius het volgende:
En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn. We krijgen als voorwaarden dus
''En dat betekent dat de afgeleide van f(x, y) naar x als we y constant houden nul moet zijn en tevens dat de afgeleide van f(x, y) naar y als we x constant houden nul moet zijn.''

Scherp. Bedankt. _O_
pi_145638853
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 13:54 schreef Riparius het volgende:

[..]


Hoi Riparius, ik heb nog één vraagje:

g(x,y) = xye4x² -5xy + y²

Dit is de methode die er gebruikt wordt om de stationaire punten te bepalen:



Echter vraag ik mij af hoe ze tot √2 en -√2 komen als y coördinaat op het einde.. en hoe je dat zonder rekenmachine kunt uitrekenen... (?)

Alvast enorm bedankt. :)
pi_145639305
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 14:51 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoi Riparius, ik heb nog één vraagje:

g(x,y) = xye4x² -5xy + y²

Dit is de methode die er gebruikt wordt om de stationaire punten te bepalen:

[ afbeelding ]

Echter vraag ik mij af hoe ze tot √2 en -√2 komen als y coördinaat op het einde.. en hoe je dat zonder rekenmachine kunt uitrekenen... (?)

Alvast enorm bedankt. :)
Wel, ze vinden

-2x^2\,+\,1\,=\,0

en dit geeft

x^2\,=\,\frac{1}{2}

en dus

x\,=\,\sqrt{\frac{1}{2}}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\sqrt{\frac{1}{2}}

Maar nu is

\sqrt{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\2}\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

zodat we hebben

x\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

en dit mag je verder zo laten staan. Er zijn manieren om vierkantswortels met pen en papier te berekenen (benaderen) in ieder gewenst aantal decimalen, maar dat wordt hier niet gevraagd.
pi_145639374
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wel, ze vinden

-2x^2\,+\,1\,=\,0

en dit geeft

x^2\,=\,\frac{1}{2}

en dus

x\,=\,\sqrt{\frac{1}{2}}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\sqrt{\frac{1}{2}}

Maar nu is

\sqrt{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\2}\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

zodat we hebben

x\,=\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,\,\vee\,x\,=\,-\,\frac{1}{2}\sqrt{2}

en dit mag je verder zo laten staan. Er zijn manieren om vierkantswortels met pen en papier te berekenen (benaderen) in ieder gewenst aantal decimalen, maar dat wordt hier niet gevraagd.
Ja dat klopt. Bedankt. :)

Maar ik bedoelde het y-coördinaat. ;)
pi_145639448
Weet iemand hoe

(ex+y + ex-y )² - (ex+y + ex-y

te calculeren is?

Moet ik het eerst helemaal uitschrijven? Zo ja, hoe moet ik dat doen? Ik zou dan eerst het linkerterm moeten vermenigvuldigen:

(ex+y + ex-y ) * (ex+y + ex-y )

Maar hoe moet ik dit vermenigvuldigen?

Bij voorbaat dank.
pi_145639580
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:07 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja dat klopt. Bedankt. :)

Maar ik bedoelde de y-coördinaat. ;)
Dat is heel eenvoudig: ze hadden namelijk ook gevonden dat y = 2x, dus de bijbehorende y-coördinaten worden dan √2 resp. −√2.
pi_145639696
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:09 schreef RustCohle het volgende:
Weet iemand hoe

(ex+y + ex-y )² - (ex+y + ex-y

te calculeren is?

Moet ik het eerst helemaal uitschrijven? Zo ja, hoe moet ik dat doen? Ik zou dan eerst het linkerterm moeten vermenigvuldigen:

(ex+y + ex-y ) * (ex+y + ex-y )

Maar hoe moet ik dit vermenigvuldigen?

Bij voorbaat dank.
Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)

Ik zou trouwens als ik jou was eerst eens even goed kijken of je de opgave wel correct hebt overgenomen. Zie je ook waarom?
pi_145639794
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)
Maar dan zit ik er alsnog mee hoe ik het moet vermenigvuldigen omdat er al exponenten staan e.d....


(ex+y - ex-y ) * (ex+y + ex-y )
pi_145639841
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Sleutelwoord: merkwaardige producten. Hoe vaak heb ik je al gezegd dat je deze van buiten moet kennen én ook altijd moet herkennen?

Hier heb je een verschil van twee kwadraten, dus maak je gebruik van

a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,+\,b)

Ik zou trouwens als ik jou was eerst eens even goed kijken of je de opgave wel correct hebt overgenomen. Zie je ook waarom?

Is hier overigens geen sprake van a² - a², aangezien er hetzelfde staat tussen beide haakjes?
pi_145639853
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:19 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Maar dan zit ik er alsnog mee hoe ik het moet vermenigvuldigen omdat er al exponenten staan e.d....

(ex+y - ex-y ) * (ex+y + ex-y )
Ga nu eerst die opgave nog eens heel goed controleren, want de uitdrukking die je geeft is gewoon gelijk aan nul, en dat lijkt me niet de bedoeling.
pi_145639885
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:21 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Is hier overigens geen sprake van a² - a², aangezien er hetzelfde staat tussen beide haakjes?
Exact. En daarom staat er gewoon nul. Maar controleer de opgave.
pi_145640122
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Exact. En daarom staat er gewoon nul. Maar controleer de opgave.
In het antwoordenboek staat er: 4ex+y e x-y
pi_145640272
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is heel eenvoudig: ze hadden namelijk ook gevonden dat y = 2x, dus de bijbehorende y-coördinaten worden dan √2 resp. −√2.
Duidelijk. Hartstikke bedankt. :)

Hier heb ik nog een vreselijke opgave:

f(x,y) = x² - y² - xy - x³

''find the domain S where f is concave and find the largest value f in S''



Ik kwam inderdaad uit op x > 1/3, maar ik heb geen flauw benul hoe ze op x > 5/12 komen.
Ik weet natuurlijk wel dat als je x > 1/3 en x > 5/12 hebt, dat uiteindelijk x > 5/12 gewoon geldt.
pi_145640619
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:30 schreef RustCohle het volgende:

[..]

In het antwoordenboek staat er: 4ex+y e x-y
En nu wil je dat ik in mijn glazen bol kijk om te zien wat de correcte bijbehorende opgave moet zijn?

Nou je boft, want mijn glazen bol doet het. Je opgave is

(e^{x+y}\,+\,e^{x-y})^2\,-\,(e^{x+y}\,-\,e^{x-y})^2

Zie je het verschil met wat je zelf hebt gepost?
pi_145640777
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:47 schreef Riparius het volgende:

[..]

En nu wil je dat ik in mijn glazen bol kijk om te zien wat de correcte bijbehorende opgave moet zijn?

Nou je boft, want mijn glazen bol doet het. Je opgave is

(e^{x+y}\,+\,e^{x-y})^2\,-\,(e^{x+y}\,-\,e^{x-y})^2

Zie je het verschil met wat je zelf hebt gepost?
Dom en stom van me. :')

Dan zou ik zeggen dat e x + y = a

e x - y = b

dus:

(a + b)² - (a - b)²

en dan dus:

a² + b² - a² - b²

a² - a² + b² + b²

0 + 2b² ?
pi_145640885
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:35 schreef Super-B het volgende:

[..]

Duidelijk. Hartstikke bedankt. :)

Hier heb ik nog een vreselijke opgave:

f(x,y) = x² - y² - xy - x³

''find the domain S where f is concave and find the largest value f in S''

[ afbeelding ]

Ik kwam inderdaad uit op x > 1/3, maar ik heb geen flauw benul hoe ze op x > 5/12 komen.
Ik weet natuurlijk wel dat als je x > 1/3 en x > 5/12 hebt, dat uiteindelijk x > 5/12 gewoon geldt.
Niet x > 5/12 maar x ≥ 5/12. Dit is heel eenvoudig: de tweede ongelijkheid in x die ze vinden geeft

−4 + 12x − 1 ≥ 0
12x ≥ 5
x ≥ 5/12
pi_145641085
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Dom en stom van me. :')

Dan zou ik zeggen dat e x + y = a

e x - y = b

dus:

(a + b)² - (a - b)²

en dan dus:

a² + b² - a² - b²

a² - a² + b² + b²

0 + 2b² ?
Nee. Wat jij wil kan ook, maar dan moet je gebruik maken van de identiteit

(a\,+\,b)^2\,-\,(a\,-\,b)^2\,=\,4ab

die in Frankrijk wel de identiteit van Legendre wordt genoemd maar die in de rest van de wereld geen aparte naam heeft.

Wat ik bedoelde was dat je de eerste uitdrukking tussen haakjes gelijk stelt aan a en de tweede uitdrukking tussen haakjes gelijk stelt aan b.

En leer nu eens die merkwaardige producten. Het kwadraat van een som of verschil van twee grootheden is niet gelijk aan de som resp. het verschil van de kwadraten van die grootheden, want we hebben

\begin{array}{rcl}&(a&+&b)^2&=& &a^2&+&2ab&+&b^2& \\ &(a&-&b)^2&=& &a^2&-&2ab&+&b^2&\end{array}

Als je de leden van de tweede van deze identiteiten aftrekt van de leden van de eerste van deze identiteiten dan krijg je bovenstaande identiteit

(a\,+\,b)^2\,-\,(a\,-\,b)^2\,=\,4ab

Deze identiteit kunnen we ook heel fraai visualiseren. Veronderstel dat a en b positieve getallen zijn met a > b, dan is (a+b)² de oppervlakte van een vierkant met zijde a+b terwijl (a−b)² dan de oppervlakte is van een kleiner vierkant met zijde a−b. Het verschil van de oppervlaktes van deze vierkanten is gelijk aan de oppervlakte van vier rechthoeken met lengte a en breedte b, en dat betekent dat we met deze vier rechthoeken en het vierkant met zijde a−b een groter vierkant met zijde a+b kunnen vormen:



Je ziet nu waarom jouw herleiding niet klopt.

[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 17-10-2014 20:35:55 ]
pi_145642180
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 15:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niet x > 5/12 maar x ≥ 5/12. Dit is heel eenvoudig: de tweede ongelijkheid in x die ze vinden geeft

−4 + 12x − 1 ≥ 0
12x ≥ 5
x ≥ 5/12
Top!

[ Bericht 8% gewijzigd door Super-B op 17-10-2014 17:03:01 ]
pi_145643156
max 10x1/2 y 1/3 subject to 2x + 4y = m

Ik kom hier echt helemaal niet uit met de lagrange functie door de exponenten..

Ik heb:

L = 10x1/2 y 1/3 - T(2x + 4y - m)

L'x = 5x-1/2 y 1/3 - 2T

L'y = 10/3-1/3 - 4T

En dan loop ik vast.. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?
pi_145643431
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 17:09 schreef Super-B het volgende:
max 10x1/2 y 1/3 subject to 2x + 4y = m

Ik kom hier echt helemaal niet uit met de lagrange functie door de exponenten..

Ik heb:

L = 10x1/2 y 1/3 - T(2x + 4y - m)

L'x = 5x-1/2 y 1/3 - 2T

L'y = 10/3-1/3 - 4T

En dan loop ik vast.. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?
Er zit een fout in je uitdrukking voor ∂L/∂y. Je moet ook L nog naar T differentiëren en dan heb je ∂L/∂T = 2x + 4y − m. Alle drie de partiële afgeleiden stel je gelijk aan nul, en dat geeft een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden x, y, T terwijl m een parameter is. Dit stelsel ga je dan oplossen.
pi_145643671
quote:
0s.gif Op vrijdag 17 oktober 2014 17:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zit een fout in je uitdrukking voor ∂L/∂y. Je moet ook L nog naar T differentiëren en dan heb je ∂L/∂T = 2x + 4y − m. Alle drie de partiële afgeleiden stel je gelijk aan nul, en dat geeft een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden x, y, T terwijl m een parameter is. Dit stelsel ga je dan oplossen.
Oeps sorry. Ik was er vergeten bij te zetten dat T = lambda.


Ik vind het lastig, omdat dit een cobb-douglas functie is met ook nog eens met exponenten met een deling.
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')