[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 14 september 2014 16:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit is niet hetzelfde. Je negeert namelijk de rekenregel min maal min geeft plus. Het kwadraat van −½ is ¼, niet −¼.

quote:

Op zondag 14 september 2014 18:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie in elk punt op de grafiek van die oorspronkelijke functie. De afgeleide functie geeft zo dus informatie over het verloop van de grafiek van de oorspronkelijke functie. Je kunt deze informatie (dus: de afgeleide functie) zo gebruiken om bijvoorbeeld (locale en globale) maxima en minima van de oorspronkelijke functie op te sporen. Dit is vaak belangrijk bij allerlei praktische vraagstukken. In de economie wil je bijvoorbeeld kunnen bestuderen hoe de winst afhangt van allerlei variabelen en hoe je die winst kunt maximaliseren.

quote:

Op zondag 14 september 2014 18:10 schreef netchip het volgende:

[..]

Nee, nu bepaal je de y-waarde die bij een bepaalde x-waarde hoort. De afgeleide van f(x) = x² is f'(x) = 2x.

quote:

Op zondag 14 september 2014 18:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Deze kromme formulering geeft mooi je verwarring weer. Je moet wel onderscheid maken tussen een snijlijn door twee punten op de grafiek (die meestal dicht bij elkaar worden gekozen) en een raaklijn in één punt van de grafiek.

Je kunt het je zo voorstellen dat je één punt op je grafiek kiest en daarnaast nog een tweede punt op de grafiek daar dicht bij. Omdat een rechte lijn volledig vastligt door twee punten, kun je nu door die twee punten precies één rechte lijn trekken. Laat je nu het tweede punt op de grafiek naar het eerste punt toe kruipen, en wel langs de grafiek, dan zal de snijlijn door de twee punten steeds meer de richting krijgen van de raaklijn aan dat eerste punt op de grafiek.

[..]

De steilheid ofwel de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van een functie f bereken je door het verschil in verticale afstand

Δy = f(x+h) − f(x)

tussen de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) te delen door het verschil in horizontale afstand

Δx = (x+h) − x = h

van de twee punten. Zo krijgen we voor de steilheid van onze snijlijn door de twee punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van onze functie f dus

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

Maar nu zijn we niet geïnteresseerd in de steilheid van de snijlijn door de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) op de grafiek van f, maar in de steilheid van de grafiek van f zelf in dat ene punt (x, f(x)) op de grafiek. En die steilheid is niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek van f in dit punt (x, f(x)). Wat we dus moeten doen is die waarde van h naar nul laten gaan zodat het tweede punt (x+h, f(x+h)) langs de grafiek naar het eerste punt (x, f(x)) gaat, want dan gaat de steilheid van de snijlijn steeds meer in de buurt komen van de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) waar we eigenlijk in zijn geïnteresseerd.

Maar nu hebben we een probleem, want we kunnen in

Δy/Δx = (f(x+h) − f(x))/h

niet zomaar h = 0 invullen want dan wordt Δy = 0 en ook Δx = 0 zodat de breuk 0/0 wordt, en dat heeft geen betekenis. Daarom moeten we gaan kijken wat er gebeurt als we dat verschil h in horizontale afstand tussen de twee punten op de grafiek niet nul maken maar wel heel dicht (willekeurig dicht) tegen 0 aan laten kruipen. Hierbij moet je nog bedenken dat h niet positief hoeft te zijn, want we kunnen h ook vanaf de negatieve kant tegen 0 aan laten kruipen.

Wat we hier eigenlijk nodig hebben is het begrip limiet. Een limiet is niets anders dan een grenswaarde waarbij we zo dicht in de buurt kunnen komen als we maar willen, als we een bepaalde variabele(hier: h) maar dicht genoeg bij een bepaalde waarde (hier: 0) kiezen. En die limiet van bovenstaande uitdrukking (f(x+h) − f(x))/h voor h → 0 is zo niets anders dan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x, f(x)) oftewel de afgeleide f'(x), dus

f'(x) = lim_h→0(f(x+h) − f(x))/h

Nu zou het heel omslachtig zijn als we altijd maar weer zo'n limiet moesten gaan bepalen om een afgeleide functie te vinden, maar dat hoeft niet. Want voor allerlei 'standaardfuncties' is het mogelijk om eens en voor altijd aan de hand van deze limiet te bepalen wat de afgeleide is, en als we dat eenmaal weten dan kunnen we daar verder gewoon mee werken. Zo kan men bijvoorbeeld aan de hand van deze limiet bewijzen dat voor

f(x) = xⁿ

geldt

f'(x) = nxⁿ⁻¹

Behalve een aantal afgeleiden voor 'standaardfuncties' zijn er ook nog regels voor het bepalen van de afgeleide functie van bijvoorbeeld de som, het verschil, het product, of het quotiënt van twee gegeven functies, en ook die regels zijn allemaal te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide. Tenslotte is het ook belangrijk om de afgeleide te kunnen bepalen van een samenstelling van twee (of meer) functies waarbij de 'output' van de eerste functie dient als 'input' voor de tweede functie. Dat is de kettingregel, en ook die is uiteraard te bewijzen aan de hand van bovenstaande definitie van de afgeleide.

quote:

Op zondag 14 september 2014 19:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is wel een erg eenvoudig voorbeeld. Als je hebt f(x) = 2x² dan is inderdaad f'(x) = 4x. Je ziet dan bijvoorbeeld dat f'(x) = 0 uitsluitend als x = 0. Zo weet je dus dat de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 2x² alleen horizontaal loopt in het punt (0, 0) op de grafiek, en dat betekent dat f(x) = 2x² een extreme waarde bereikt voor x = 0, en wel een minimum van f(0) = 0. Maar dat wist je al omdat het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, dus dit is niet zo spannend.

Maar laten we eens naar de algemene kwadratische functie

f(x) = ax² + bx + c

kijken, waarbij a,b,c concrete getallen voorstellen en a niet nul mag zijn omdat je anders geen kwadratische term meer zou hebben. Als we hier de afgeleide functie bepalen, dan krijgen we

f'(x) = 2ax + b

en als nu f'(x) = 0 moet zijn, dan moet dus gelden

2ax + b = 0

en dus

2ax = −b

en dus

x = −b/2a

Zo zie je dus dat de kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bereikt voor x = −b/2a. Het is ook mogelijk dit resultaat te vinden door elementaire herleiding (kwadraatafsplitsing, zie bijvoorbeeld hier) maar met differentiaalrekening gaat het veel eenvoudiger. Bovendien kunnen we de differentiaalrekening ook gebruiken bij allerlei andere functies waarbij maxima en minima niet meer met elementaire algebraïsche foefjes zijn te vinden. Zo zie je dus dat de differentiaalrekening een heel krachtig hulpmiddel is bij het onderzoeken van het gedrag van allerlei functies.

[..]

Bij het soort functies waarmee je nu te maken hebt is dit vaak wel het geval, maar niet altijd. Het hoeft namelijk niet zo te zijn dat je oorspronkelijke functie ook voor alle waarden van x uit het domein differentieerbaar is.

[..]

Het plaatje dat je geeft is een mooi voorbeeld van een functie die niet differentieerbaar is in het punt x = 0. Kun je ook tenminste één of mogelijk twee redenen geven waarom dat zo is?

quote:

Op maandag 15 september 2014 16:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk nog eens naar de grafiek die je gaf bij je vorige post. Dit is de grafiek van de functie

f(x) = √x

Deze functie is alleen gedefinieerd voor x ≥ 0 oftewel op het interval [0, ∞), want √x is binnen R (de verzameling van alle reële getallen) niet gedefinieerd als x negatief is.

Bij x = 0 zitten we dus op de rand van het domein van deze functie, en je ziet ook dat de grafiek hier 'begint' (of 'stopt', zo je wil). Maar dit betekent dat deze functie niet differentieerbaar is voor x = 0. Waarom niet? Wel dat volgt om te beginnen uit de definitie van de afgeleide:



We moeten hier h naar nul kunnen laten gaan niet alleen vanaf de positieve kant, maar ook vanaf de negatieve kant, en het differentiequotiënt moet dan naderen tot dezelfde grenswaarde, en dat is dan de limiet van dit differentiequotiënt voor h → 0 oftewel de afgeleide. Als we de afgeleide voor x = 0 oftewel f'(0) willen bepalen dan hebben we volgens deze definitie



Maar nu zie je het probleem: f(h) is niet gedefinieerd voor enige h < 0, en dus bestaat deze limiet niet. Het is niet noodzakelijk dat f(h) is gedefinieerd voor elke h als we f'(0) willen bepalen, maar f(h) moet in ieder geval wel zijn gedefinieerd voor elke h in een omgeving van 0 en dat is hier niet het geval.

Nu zou je nog kunnen denken, goed, dan beperken we ons hier tot positieve waarden van h omdat we immers aan de rand van het domein van de functie zitten, en dan kunnen we in ieder geval nog de limiet bepalen van het differentiequotiënt als we h vanaf de positieve kant tot nul laten naderen. Dan bepaal je een zogeheten rechter limiet en daarmee ook een rechter afgeleide, maar dat gaat hier ook niet. Waarom niet?

Wel, als je nog even naar de grafiek kijkt, dan zie je dat deze steeds steiler gaat lopen naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Dat is ook begrijpelijk, want voor f(x) = √x kunnen we ook schrijven f(x) = x^1/2 en voor x > 0 is de afgeleide dan f'(x) = ½x^−1/2 oftewel, we hebben



Nu zie je dat f'(x) inderdaad steeds groter wordt naarmate we x dichter bij 0 kiezen. Voor x = 0 krijgen we 1/0 maar dat heeft geen betekenis. De raaklijn aan de grafiek bij x = 0 loopt eigenlijk verticaal, maar een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Zo zie je dus dat het feit dat deze functie niet differentieerbaar is in het punt x = 0 nog een tweede reden heeft: een afgeleide in een punt is niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt, en als die raaklijn geen richtingscoëfficiënt heeft omdat die raaklijn verticaal loopt, dan is er voor dat punt dus ook geen afgeleide.

quote:

Op maandag 15 september 2014 17:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, die h kan ook negatief zijn, namelijk als het tweede punt (x+h, f(x+h)) links van het eerste punt (x, f(x)) ligt waarvoor we eigenlijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen bepalen door het tweede punt langs de grafiek naar het eerste punt te laten bewegen. Anders gezegd, we moeten h zowel vanaf de negatieve kant als vanaf de positieve kant naar nul kunnen laten gaan en het differentiequotiënt (f(x+h) − f(x))/h moet dan tot één en dezelfde grenswaarde naderen, ongeacht of we nu van links of van rechts komen. En aan deze voorwaarde is bij de functie f(x) = √x niet voldaan in het punt x = 0 omdat f(h) niet bestaat voor h < 0. De functie f(x) = √x is dus niet differentieerbaar in het punt x = 0, oftwel f'(0) bestaat hier niet.

[..]

Nee, dat is onzin, f'(x) = 0 betekent dat de afgeleide f'(x) de waarde nul heeft of moet hebben voor een zekere waarde van x, en dat kan prima. Wat hier aan de hand is, is dat f'(x) gewoon geen waarde heeft en dus niet bestaat voor x = 0, oftewel f'(0) is niet gedefinieerd.