[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:24 schreef Goldenrush het volgende:
Waarom komt mijn antwoordenboekje bij u= 3sin ((2pi/33.33)t) op 3 sin(0,06pi*t) terwijl 2pi/33.33 volgens mijn rekenmachine 0,19 is?

Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doen

Ah natuurlijk. Dank je.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:25 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Je moet de pi laten staan, dus alleen 2/33.33 doen

Dat niet alleen, 33,33 is niet hetzelfde als 100/3.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

Daar komt het inderdaad wel op neer. De afgeleide functie geeft de steilheid van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Maar zie je nu ook in dat als je de richtingscoëfficiënt van een raaklijn in bijvoorbeeld het punt (−1; f(−1)) op de grafiek van de oorspronkelijke functie wil bepalen, dat je dan de waarde van f'(x) voor x = −1 oftewel f'(−1) moet berekenen?

Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:30 schreef Super-B het volgende:

[..]

Waar ik jn de war raak is dat als ik x = -1 invul ik dan een y waarde uitkrijg (althans dat is bij standaard functies). En bij functies als ax + b dan is a de richtingsco en wat x of y dan wordt het variabele a blijft de richtingsco (net als die 4x waarvan de richtingsco 4 is). Hierdoor raak ik in de war qua gedachte.

Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.

Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je een functie f hebt, dan is de grafiek van die functie een curve met als vergelijking y = f(x). Dat geldt net zo goed voor een afgeleide functie f', maar je werkt niet met de grafiek van f' als je een raaklijn aan de grafiek van f wil bepalen. De afgeleide functie f' heeft echter wel degelijk een waarde voor elke waarde van de variabele x waarvoor deze is gedefinieerd. Maar deze waarde moet je natuurlijk niet gaan aangeven met y als je diezelfde letter y al gebruikt voor f(x). En als je bezig bent met het opstellen van een vergelijking van een raaklijn, dan stellen x en y in die vergelijking de x resp. y coördinaat voor van een punt op die raaklijn en niet de coördinaten van een punt op de grafiek van de functie.

Als je nu gewoon f(−1) schrijft voor de waarde van f(x) voor x = −1 en f'(−1) voor de waarde van f'(x) voor x = −1, dan kun je toch niet in de war raken?

Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.

F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 20:47 schreef Super-B het volgende:

[..]

Blijkbaar wel. Misschien omdat ik op dit moment enorm moe ben. Het zit hem dat ik steeds gewend ben om een "a" te zoeken in de functie, aangezien ik gewend ben dat de richtingsco altijd een "a " variabele is.

F(-1) is toch dat de functie uiteindelijk -1 moet opleveren of is dat dat de x waarde -1 wordt?

f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.

Voorbeeld:

f(x) = x⁵ − 3x² + 3

Invullen van x = −1 geeft nu

f(−1) = (−1)⁵ − 3·(−1)² + 3 = −1 − 3 + 3 = −1

De afgeleide functie van deze functie is

f'(x) = 5x⁴ − 6x

En weer x = − 1 invullen geeft nu

f'(−1) = 5·(−1)⁴ − 6·(−1) = 5 + 6 = 11

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu

y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))

Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen

y = −1 + 11(x + 1)

oftewel

y = 11x + 10

Zie je hoe eenvoudig dit is?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 21:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

f(−1) is de waarde van f(x) voor x = −1.

Voorbeeld:

f(x) = x⁵ − 3x² + 3

Invullen van x = −1 geeft nu

f(−1) = (−1)⁵ − 3·(−1)² + 3 = −1 − 3 + 3 = −1

De afgeleide functie van deze functie is

f'(x) = 5x⁴ − 6x

En weer x = − 1 invullen geeft nu

f'(−1) = 5·(−1)⁴ − 6·(−1) = 5 + 6 = 11

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; f(−1)) is nu

y = f(−1) + f'(−1)·(x − (−1))

Nu nog f(−1) = −1 en f'(−1) = 11 invullen en we krijgen

y = −1 + 11(x + 1)

oftewel

y = 11x + 10

Zie je hoe eenvoudig dit is?

Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor. ik wil alleen de gedachte ervan compleet begrijpen. Want ik zelf zou in eerste instantie denken om die -6 te pakken (richtingsco). Want m is toch de richtingsco van de raaklijn.. vandaar.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 21:05 schreef Super-B het volgende:

[..]

Jep.. methode is mij helemaal helder. Dank daarvoor. ik wil alleen de gedachte ervan compleet begrijpen. Want ik zelf zou in eerste instantie denken om die -6 te pakken (richtingsco). Want m is toch de richtingsco van de raaklijn.. vandaar.

Welke −6 bedoel je precies?

Van f'(x) = 5x4 − 6x

En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:

Y = f(a) + m(x-a)

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 21:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Welke −6 bedoel je precies?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 21:15 schreef Super-B het volgende:
Van f'(x) = 5x4 − 6x

En dan is die -6 dan de richtingsco vd raaklijn en dus m bij:

Y = f(a) + m(x-a)

[..]

Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.



De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.

[ Bericht 6% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 21:32:25 ]

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 21:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, nu ben je heel raar bezig. Ik heb je hierboven gevraagd wat de betekenis van de afgeleide functie was en toen zei je min of meer correct dat de afgeleide functie de steilheid geeft van de grafiek van de oorspronkelijke functie voor elke waarde van x. Als we dus de steilheid in het punt (−1; −1) op de grafiek van f willen berekenen, dan moeten we f'(−1) berekenen. En je zag net dat f'(−1) = 11, en niet −6.

[ afbeelding ]

De rode curve geeft de grafiek van de functie f en de blauwe lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (−1; −1) dat ik hier met een zwarte stip heb aangegeven. Je ziet dat de grafiek van de functie in dit punt steil omhoog verloopt, en zeker niet omlaag. Als je goed kijkt zie je dat de raaklijn ook door het punt (0; 10) gaat, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, en dus ook de steilheid van de curve in het punt (−1; −1), is dus inderdaad 11.

Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.

Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.

Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilhekd van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.

Ik zit je posts nu even opnieuw stap voor stap door te nemen en bij de afgeleide moet ik het punt gewoon invullen om zodoende achter de steilheid/richtingsco van de raaklijn te komen.

Dat is dus op een andere manier dan de richtingsco te berekenen van een standaardfunctie als x^2 + 2x + 5

[ Bericht 7% gewijzigd door Super-B op 13-05-2014 22:14:16 ]

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 22:06 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha het wordt nu steeds duidelijker. Hoe zie je direct aan de grafiek dat de steilheid van de curve 11 is? De punten zie ik inderdaad.

Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.

Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.

quote:

Nee maar ik raakte in de war van het boek grotendeels waarin stond "m is de richtingsco van de raaklijn" waardoor ik dus met die a raar begon te denken.

Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.

quote:

Zoals jij zegt moet ik gewoon kijken naar de steilheid van de grafiek en dat is dan dat punt met het limiet -> 0 en dan heb je als het ware de richtingsco van de afgeleide.

Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-05-2014 22:38:46 ]

Stel dat je hebt y=2x² dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 22:37 schreef netchip het volgende:
Stel dat je hebt y=2x² dan is dy/dx=4x. Is de richtingscoefficient van de grafiek op x=4 dan ook 16? En op x=2, richtingscoefficient=8?

Jazeker, zo werkt het.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 22:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker, zo werkt het.

Ik denk dat ik de Leibniz notatie en de essentie van differentieren begin te snapen Morgen maar wat oefeningen maken

On a side note, heeft iemand enig idee waarom wiskunde op de middelbare school een impopulair vak is? Niemand doet er wat voor, en als jij er wel wat voor doet/het leuk vindt, word je scheef aangekeken

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 22:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wel, het raakpunt (zwarte stip) heeft de coördinaten (−1; −1) en de blauwe raaklijn gaat ook door het punt (0; 10). Dus, als we nu langs de blauwe raaklijn van het punt (−1; −1) naar het punt (0; 10) gaan, dan gaan we één eenheid naar rechts maar 11 eenheden omhoog. De steilheid oftewel de richtingscoëfficiënt van de blauwe rechte lijn is de verhouding van de verticale afstand tussen deze twee punten tot de horizontale afstand tussen deze twee punten, en die is 11 : 1 = 11.

Vergelijk dit maar met een hellingspercentage van een weg in het buitenland. Als daar een bordje langs de weg staat dat aangeeft dat de helling 10% bedraagt, dan betekent dat, wanneer je de weg van opzij bekijkt, dat de weg 1 meter omhoog gaat voor elke 10 meter horizontale verplaatsing, en bijvoorbeeld 10 meter omhoog voor elke 100 meter horizontale verplaatsing. De richtingscoëfficiënt van die weg is dan 1 : 10 = 0,1 en dat geeft men dan aan als een percentage, dus 10%.

[..]

Je moet je niet teveel vastbijten in die letters, die kunnen namelijk in verschillende conteksten heel verschillende betekenissen hebben. Het is wel gebruikelijk om de richtingscoëfficiënt van een rechte lijn aan te geven met de letter m, en als je een lineaire functie f(x) = ax + b hebt, dan is de grafiek daarvan een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a. Maar dat heeft niets te maken met de a in de vergelijking y = f(a) + f'(a)·(x − a) die Van de Craats geeft voor de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt (a; f(a)). Hier stelt de a gewoon een vast getal voor, namelijk de x-coördinaat van het raakpunt.

[..]

Niet de richtingscoëfficiënt van de afgeleide, de waarde van de afgeleide functie f'(x) voor een gegeven x is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oorspronkelijke functie voor die gegeven x, en daarmee dus ook de steilheid van de grafiek van de functie voor die waarde van x.

Je bent een topperd. Ik snap het helemaal. Dankje!

Er zijn nog een aantal bladzijden die ik moet leren en dan hoef ik alleen nog alles te herhalen en dan ben ik wel klaargestomd voor de toets voor maandag.

quote:

Op dinsdag 13 mei 2014 18:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

Probeer gewoon eens wat uit. Stel je hebt

y = 3x+2

en

z = e^y

zodat

z = e^3x+4

Dan is

dy/dx = 3

en

dz/dy = e^y

en dus

dz/dx = (dz/dy) · (dy/dx) = e^y·3 = 3·e^y = 3·e^3x+4

Waarom heb je hier trouwens op het eind e^3x+4? Moet dat geen +2 zijn?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 15:46 schreef netchip het volgende:

[..]

Waarom heb je hier trouwens op het eind e^3x+4? Moet dat geen +2 zijn?

Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e^3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e^3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 15:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e^3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e^3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.

Dat is het zeker Even Googlen naar oefeningen, en dan kijken of ik het helemaal begrijp Ik merk wel dat ik vaak probeer om bijvoorbeeld een notatie dy/du in te beelden op een Cartesisch assenstelsel, wat ik waarschijnlijk beter niet kan doen.

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 15:58 schreef netchip het volgende:

[..]

Dat is het zeker Even Googlen naar oefeningen, en dan kijken of ik het helemaal begrijp Ik merk wel dat ik vaak probeer om bijvoorbeeld een notatie dy/du in te beelden op een Cartesisch assenstelsel, wat ik waarschijnlijk beter niet kan doen.

Je kunt de kettingregel wel visualiseren als je drie horizontale getallenlijnen boven elkaar plaatst, van beneden naar boven een x-lijn, een u-lijn en een y-lijn. Dan kun je de eerste functie f: x → u opvatten als een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de u-lijn en de tweede functie g: u → y als een afbeelding van (een deel van) de u-lijn op (een deel van) de y-lijn. Samen vormen deze dan een afbeelding van (een deel van) de x-lijn op (een deel van) de y-lijn. De afgeleiden du/dx en dy/du in een gegeven punt zijn dan een locale schaalfactor voor de afbeeldingen f en g, en het product dy/du · du/dx is dan niets anders dan de locale schaalfactor dy/dx van de samengestelde afbeelding van een deel van de x-lijn op (een deel van de) y-lijn in dat punt. Zie je?

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 15:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad, you got me. Ik zie dat ik daarboven ook al z = e^3x+4 schrijf, dat moet uiteraard z = e^3x+2 zijn omdat ik (zomaar uit de losse pols) was begonnen met y = 3x + 2. Ik zal het even corrigeren in mijn post. Maar goed, ik hoop dat het principe (en de notatie van Leibniz van de afgeleide als een differentiaalquotiënt) je nu wel wat duidelijker zijn geworden.

Stel ik heb, h(x) = (x²-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?

da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x^-0.5

dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?

[ Bericht 0% gewijzigd door netchip op 14-05-2014 16:14:26 (functies vergeten) ]

quote:

Op woensdag 14 mei 2014 16:12 schreef netchip het volgende:

[..]

Stel ik heb, h(x) = (x²-11x+28)(√x), dan kan je dat herschrijven als h(x) = a(x) * b(x), toch?

da/dx = 2x-11
db/dx = 0.5x^-0.5

dh/dx = b(x)*da/dx + a(x)*db/dx toch?

Ja. Dat is de productregel. Maar ik zou de haakjesnotatie (Lagrange) en de differentiaalnotatie (Leibniz) hier niet gaan mengen. En omdat een (eerste) functie vaak met de letter f wordt aangegeven, is het wel gebruikelijk om een tweede functie dan met de letter g aan te geven (en een eventuele derde met de letter h). Dan kun je dus schrijven

h(x) = f(x)·g(x)

h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

of, compacter en symbolisch

(fg)' = f'g + fg'

Verder liever geen decimale breuken gebruiken hier, dus ½x^−½ schrijven.

Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.

Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?

Alvast weer bedankt voor de input!

Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!

[ Bericht 6% gewijzigd door Maarten9191 op 14-05-2014 16:29:09 (Goede examens zijn gelinked) ]