[Bèta overig] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 20 november 2013 22:26 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

11d....Met zulk soort vragen heb ik moeite. Bij sommige wiskundige vergelijkingen kun je voor de nulpunten waardes invullen die logisch klinken.

Mijn gevoel zegt om bij 11d twee vergelijkingen in 1 te doen en dan een onbekende te berekenen. Maar dat heeft geen succes geboekt bij mij.

Hoe los je zo'n opgave op?

Even een opzetje. Want volgens mij, als ik even snel google, is het net zoals met geluid etc. dat het afneemt met de afstand van de lading/bron? Als dat niet zo is moet je dit maar negeren, het is 4 jaar geleden voor mij, maar ik zag 4 pi in de formule staan.

Het is 0 als de ene formule en de andere formule voor die puntladingen elkaar opheffen.

Krijg je dan niet iets als 'formule Q1' = - 'formule Q2'? En dan voor welke x dat is? Met als voorwaarde dat voor Q1 x gewoon x is en voor Q2 x dus (x + 12) is? Had je al zoiets geprobeerd? Anders maar weer het antwoord van de anderen afwachten want die zijn beduidend beter in het goed toelichten van je vragen heb ik gemerkt.

quote:

Op woensdag 20 november 2013 22:26 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]

11d....Met zulk soort vragen heb ik moeite. Bij sommige wiskundige vergelijkingen kun je voor de nulpunten waardes invullen die logisch klinken.

Mijn gevoel zegt om bij 11d twee vergelijkingen in 1 te doen en dan een onbekende te berekenen. Maar dat heeft geen succes geboekt bij mij.

Hoe los je zo'n opgave op?

Lees om te beginnen mijn uitleg hier over electrische potentiaal nog eens goed.

Dit is trickier dan je wellicht denkt, maar de formulering van de opgave geeft al een hint: er wordt gevraagd in welke punten op de lijn door de beide puntladingen de coulombpotentiaal gelijk is aan nul. Meervoud: er is kennelijk meer dan één punt op de lijn door Q₁ en Q₂ waar de potentiaal nul is. Kun je ook zonder verder te lezen en zonder berekeningen te maken beredeneren waarom dat zo is?

We gaan nu eerst eens naar punten kijken die op het lijnstuk tussen Q₁ en Q₂ liggen. Kies een punt P op lijnstuk Q₁Q₂ en noem de afstanden van punt P tot Q₁ en Q₂ resp. r₁ en r₂, dan zijn de coulombpotentialen V₁ en V₂ als gevolg van de puntladingen Q₁ en Q₂ resp.



en



Nu weet je ook dat je bij een elektrisch veld dat is samengesteld uit meerdere elektrische velden de coulombpotentiaal in een punt verkrijgt door de potentialen van de afzonderlijke velden in dat punt op te tellen, zodat we als voorwaarde krijgen



en dus



en dit kun je door beide leden te vermenigvuldigen met 4πε₀r₁r₂ vereenvoudigen tot



Invullen van Q₁ = 0,08 en Q₂ = −0,06 µC (let op het minteken!) geeft dan na vermenigvuldiging van beide leden met 50 dat



Nu heb je nog een tweede betrekking tussen r₁ en r₂ nodig, maar dat is gemakkelijk: het punt P bevindt zich ergens op het lijnstuk Q₁Q₂, zodat de som van de afstanden r₁ en r₂ van punt P tot Q₁ resp. Q₂ gelijk is aan 12 cm = 0,12 m, dus



Nu heb je twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden r₁ en r₂, en dit stelsel kun je gemakkelijk oplossen.

Sneller en eenvoudiger gaat het als je je direct realiseert dat de coulombpotentiaal in een punt veroorzaakt door een puntlading omgekeerd evenredig is met de afstand van dat punt tot de puntlading en recht evenredig met de grootte van de puntlading. Welnu, aangezien de puntladingen Q₁ en Q₂ zich - afgezien van het tegengestelde teken - verhouden als 4 : 3, moet voor het gezochte punt P dus gelden



zodat d(P, Q₁) = r₁ = (4/7)·12 cm en d(P, Q₂) = r₂ = (3/7)·12 cm.

Maar hiermee zijn we meteen aangekomen bij de crux van de opgave: er is méér dan één punt waar de potentiaal nul is. De potentialen veroorzaakt door de beide puntladingen afzonderlijk heffen elkaar op in ieder punt waarvan de afstanden tot Q₁ en Q₂ zich verhouden als 4 staat tot 3, en deze voorwaarde wordt uitgedrukt door de vergelijking



Nu is het meteen duidelijk dat er links van Q₁ geen punt P kan liggen op de lijn door Q₁ en Q₂ dat hieraan voldoet, want dan is d(P,Q₁) < d(P,Q₂) zodat d(P,Q₁) : d(P,Q₂) onmogelijk 4 : 3 kan zijn. Maar rechts van Q₂ kunnen we wél een (tweede) punt P vinden op de lijn door Q₁ en Q₂ waarvoor d(P,Q₁) : d(P,Q₂) = 4 : 3. Aangezien de afstand tussen Q₁ en Q₂ nog steeds 12 cm = 0,12 m bedraagt, geldt voor een punt P op de lijn door Q₁ en Q₂ rechts van Q₂ dat



Lossen we nu opnieuw het stelsel bestaande uit de twee bovenstaande lineaire vergelijkingen in r₁ en r₂ op, dan vinden we r₁ = 0,48, r₂ = 0,36. Het tweede van de gezochte punten bevindt zich dus 36 cm rechts van Q₂ op de lijn door Q₁ en Q₂.

Ook de ligging van dit tweede punt kun je zonder vergelijkingen op te stellen en zonder noemenswaardig rekenwerk vinden. Alles wat je daarvoor hoeft te doen is de onderlinge afstand van Q₁ en Q₂ met 3 vermenigvuldigen om op 36 cm uit te komen, immers de verhouding van de afstanden van P tot Q₁ en Q₂ zal dan op (36 + 12) : 36 = (3 + 1) : 3 = 4 : 3 uitkomen.

Iemand bekend met formele logica?
Binnen fitch moet ik het volgende bewijzen: (ik heb de tekens weggehaald en vervangen door woorden)

P
not(P and Q)
-------------
not Q

Super logisch natuurlijk, aangezien P en Q beide niet waar mogen zijn en P het wel is. Q moet daarom niet waar zijn. Maar hoe schrijf ik dit nu goed uit in formele logica?

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 17:45 schreef obsama het volgende:
Iemand bekend met formele logica?
Binnen fitch moet ik het volgende bewijzen: (ik heb de tekens weggehaald en vervangen door woorden)

P
not(P and Q)
-------------
not Q

Super logisch natuurlijk, aangezien P en Q beide niet waar mogen zijn en P het wel is. Q moet daarom niet waar zijn. Maar hoe schrijf ik dit nu goed uit in formele logica?

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 18:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Gaan we nu niet veel te snel? Wij moeten dit helemaal uitwerken binnen Fitch, en dat krijg ik nou niet voor elkaar. Bedankt voor je bericht!

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 20:26 schreef obsama het volgende:

[..]

Gaan we nu niet veel te snel? Wij moeten dit helemaal uitwerken binnen Fitch, en dat krijg ik nou niet voor elkaar. Bedankt voor je bericht!

Wat is Fitch?

Ik zou beginnen met De Morgan's Law.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 20:58 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat is Fitch?

Ik zou beginnen met De Morgan's Law.

Ik weet wat De Morgan's law is. Ik weet alleen niet hoe ik dit moet verwerken in een logisch bewijs in Fitch.

edit: Fitch is een programma voor logische bewijzen

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:06 schreef Amoeba het volgende:
[ afbeelding ]

m = 1.61kg
v = 12.0 m/s (constant)
r = 5m

Er wordt gevraagd naar de grootte van de normaalkracht in A. Nu geeft MasteringPhysics aan dat dit 62.1N moet zijn.

Bij mijn weten moet toch gelden dat

Fn + Fz + Fmpz = 0

En dan kies ik voor Fz de negatieve richting, en Fmpz de positieve richting.

Zodat Fz = -m*g = -1.61*9.81 = -15.8N

En Fmpz = mv²/r = (1.61/5)*144 = 46.4N

En dus

Fn - 15.8N + 46.4N = 0

Zodat Fn = -30.6N

Wat is mijn fout, als ik die al maak?

Zo 123 zie ik dat je aftrekt waar je op moet tellen om op het juiste antwoord uit te komen.

Dus moet -15.8 niet 15.8 zijn?

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:13 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nou nee, want Fz en Fmpz zijn tegengestelde krachten. Althans, dat is mijn gedachtegang.

De normaalkracht is toch de kracht naar boven tegengesteld aan de zwaartekracht? In mijn gedachtegang is die in dit geval een combinatie van een resultaat als gevolg van de zwaartekracht plus een extra 'zwaarte' als gevolg van de massa van de auto i.c.m. de snelheid die zorgen dat de auto 'extra zwaar' drukt. Vandaar dat ik ze optel.

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:15 schreef Amoeba het volgende:
Ik zie nu dat vraag B (dus de normaalkracht in B) een antwoord van 30.6N verlangt. Ik denk dat ze gewoon de antwoorden verkeerd ingevoerd hebben.

Opgelost dan. Excuus voor mijn zondagse 'non-wetenschappelijke' blik

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:18 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nou, de middelpuntzoekende kracht (it's in the word) wijst naar het midden van de cirkelbeweging, en dat is bij mijn weten naar boven.

Ja. En die normaalkracht toch ook? Zie dit plaatje -> Fn. Negeer de hellingshoek, die heb jij niet. Ik ben geen leraar dus didactisch kan ik soms wat vaag zijn maar volgens mij bedoelen we hetzelfde.

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:24 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jazeker, maar de normaalkracht is een reactiekracht. Dus die hoeft niet per se tegengesteld te zijn aan de zwaartekracht.

Ga ik even op mij in laten werken dan. Succes met de andere opgaven. Wat ik gewoon op wikipedia lees:

quote:

Een normaalkracht in de natuurkunde of andere wetenschappen is de kracht die loodrecht op het raakvlak met een voorwerp werkt. Bij een voorwerp op een vlakke horizontale ondergrond is de normaalkracht dan ook even groot als de zwaartekracht.

Enfin. Je vraag is opgelost, dat telt. Ah je bedoelt dat die niet negatief moet zijn gezien krachtenplaatjes enzo. Ja dat is zo, wellicht was ik daar ietwat kort door de 'bocht'

[ Bericht 18% gewijzigd door Scuidward op 24-11-2013 13:33:58 ]

quote:

Op zondag 24 november 2013 13:15 schreef Amoeba het volgende:
Ik zie nu dat vraag B (dus de normaalkracht in B) een antwoord van 30.6N verlangt. Ik denk dat ze gewoon de antwoorden verkeerd ingevoerd hebben.

Nee, je concludeert veel te snel dat jij het wel bij het rechte eind zult hebben en dat het boek het fout heeft. Maar dat is niet zo. Je hebt

F_m = mv²/r

en in punt A geldt

F_m = F_n − F_z

maar in punt B geldt

F_m = F_n + F_z

F_m is namelijk de resulterende kracht gericht naar het middelpunt van de cirkel toe die op de massa (het autootje) moet worden uitgeoefend om de cirkelbeweging te verkrijgen. In punt A werkt de zwaartekracht tegengesteld aan de benodigde F_m en moet F_n dus maximaal zijn, en in punt B werkt de zwaartekracht precies in de richting van de benodigde F_m en is F_n dus minimaal. Als F_n < 0 zou zijn in punt B (wat echter niet kan, waarom niet?) dan dondert het autootje naar beneden. Aangezien je de massa van het autootje en de straal van de cirkelbaan kent kun je dus de minimaal benodigde snelheid uitrekenen opdat het autootje niet naar beneden valt.

quote:

Op zondag 24 november 2013 23:14 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Heb je een of andere PDF die dit voor dummies uitlegt ofzo?

Ik denk echt dat ik het voldoende duidelijk heb uitgelegd. Maar ja, je hebt vroeger wel eens gezegd dat je slecht was in Natuurkunde, en dat blijkt wel weer.

Het gaat echt om F_m als resultante van F_z en F_n, en aangezien zowel de magnitude als de richting van F_z constant worden verondersteld, zijn dus zowel de richting als de magnitude van F_n afhankelijk van het punt op de cirkel waar de (punt)massa, in casu het autootje, zich bevindt. Het lastige is dat krachten vectoriële grootheden zijn, maar dat we er (hier) mee rekenen als waren het scalaire grootheden.

En omdat je toch wiskunde studeert: beschouw eens een puntmassa m die met een eenparige snelheid v een cirkelbaan met straal r beschrijft. Kies een geschikt assenstelsel en stel een vergelijking op voor de plaatsvector s_t als functie van de tijd t. Bepaal met behulp van differentiaalrekening dan de snelheidsvector v_t en de acceleratievector a_t als functie van t. Vergelijk dan s_t en a_t en bekijk wat je met behulp van de tweede wet van Newton kunt zeggen over de (vectoriële) kracht F_t in functie van de tijd t die op de puntmassa m wordt uitgeoefend teneinde de cirkelbaan met straal r met een eenparige snelheid v te kunnen doorlopen.

quote:

Op maandag 25 november 2013 00:42 schreef Amoeba het volgende:
Nou, mag ik aannemen dat op t = 0 het autootje onderaan is? Positioneer een assenstelsel dusdanig dat de oorsprong in het midden is en de negatieve y-as door het punt A waarvoor geldt dat het autootje zich bevindt op t = 0, niets bijzonders dus.

Je bedoelt dat de puntmassa zich op tijdsip t = 0 in het punt (r; 0) bevindt, op de positieve x-as dus ...

quote:

Dan geldt voor s_t = (x(t),y(t))

x(t) = r·cos(v/r · t)
y(t) = r·sin(v/r · t)

Herhaald differentiëren geeft:

v_t = (x'(t), y'(t))

x'(t) = -v·sin(v/r · t)
y'(t) = v·cos(v/r · t)

en a_t = (x''(t), y''(t))

x''(t) = -v²/r·cos(v/r · t)
y''(t) = -v²/r·sin(v/r · t)

En we weten F = m·a (Tweede Wet van Newton)

Voor de vector a zal zoiets gelden als

|| a || = √((-v²/r·cos(v/r · t))² + (-v²/r·sin(v/r · t))²)

Correctie: je bedoelt de grootte || a || van vector a.

quote:

Noem -v²/r· even p...

√((-v²/r·cos(v/r · t))² + (-v²/r·sin(v/r · t))²) = √((p·cos(v/r · t))² + (p·sin(v/r · t))²) = |p|

En dus

F = m*a = mv²/r

Is dit juist? [ afbeelding ]

Ja, daar komt het op neer. Alleen maak je het op het laatst iets lastiger dan nodig. Je ziet dat we hebben

a_t = (−v²/r²)·s_t

zodat de versnellingsvector dus op ieder tijdstip tegengesteld gericht is aan de plaatsvector. De benodigde kracht

F_t = m·a_t

die op de puntmassa moet worden uitgeoefend moet dan ook op ieder moment naar het middelpunt van de cirkel zijn gericht, en voor de (constante) grootte || F_t || van deze kracht geldt inderdaad

|| F_t || = || m·a_t || = m·|| a_t || = m·(v²/r²)·r = mv²/r

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 25-11-2013 06:14:30 ]

quote:

Op maandag 25 november 2013 01:10 schreef Amoeba het volgende:
Oh ja natuurlijk, positieve x-as inderdaad. Sorry, ik was eerst iets anders van plan en daarna dit vergeten aan te passen.

Maar nu begrijp ik nog niet het vraagstuk.

Kijk morgen nog wel even naar je eerdere reply,bedankt.

De grootte || F_m || van de resulterende en naar het middelpunt van de cirkel gerichte kracht F_m die op het autootje werkt moet zowel in punt A als in punt B gelijk zijn aan mv²/r, waarbij m de massa is, v de baansnelheid, en r de straal van de cirkelvormige baan. Aangezien er in beide punten twee krachten werken op het autootje, namelijk de zwaartekracht F_z en de normaalkracht F_n, moet in zowel punt A als in punt B gelden dat F_m gelijk is aan de vectoriële som van F_z en F_n, dus

F_m = F_n + F_z

Nu zijn in punt B zowel F_z als F_n loodrecht omlaag gericht, en dus geldt voor punt B

|| F_m || = || F_n || + || F_z ||

Maar in punt A is F_n loodrecht omhoog gericht, terwijl F_z nog steeds loodrecht omlaag is gericht. En dus geldt voor punt A

|| F_m || = || F_n || − || F_z ||

Je moet hier || F_z || van || F_n || aftrekken om || F_m || te verkrijgen, en niet omgekeerd, omdat de resulterende kracht F_m naar het middelpunt van de cirkel moet zijn gericht, terwijl ook F_n steeds naar het middelpunt van de cirkel is gericht, terwijl F_z in punt A nu juist van het middelpunt af is gericht.

Voor elk ander punt van de cirkelbaan, dus op de weg omhoog van A naar B en op de weg omlaag van B naar A, geldt dat je F_z kunt ontbinden in een radiale en een tangentiale component. De tangentiale component van F_z resulteert erin dat de baansnelheid af zal nemen op de weg omhoog van A naar B, en toe zal nemen op de weg omlaag van B naar A, tenzij er (door de motor en de rem van het autootje bijvoorbeeld) nog een extra kracht op het autootje wordt uitgeoefend die deze tangentiale component van F_z in elk punt van de baan precies teniet doet. Alleen in de punten A en B is de grootte van de tangentiale component van F_z gelijk aan nul, zodat de tangentiale versnelling alleen in deze twee punten gelijk is aan nul als er althans geen andere krachten dan F_n en F_z op het autootje werken. In het vraagstuk wordt er vanuit gegaan dat de baansnelheid (tangentiale snelheid) langs de gehele cirkelbaan hetzelfde is, maar dat is dus niet mogelijk als niet wordt gecompenseerd voor de tangentiale component van de zwaartekracht in elk punt van de baan.

Oefening: bereken welke minimale baansnelheid het autootje in het laagste punt A moet hebben om niet omlaag te vallen bij het doorlopen van de gehele baan als er inderdaad geen andere krachten dan de zwaartekracht en de normaalkracht op het autootje werken.