Het "bounded gap" vermoeden, zeg maar een zwakke versie van het priemtweeling vermoeden (twin primes conjecture) is (zeer waarschijnlijk) bewezen.
On April 17, a paper arrived in the inbox of Annals of Mathematics, one of the discipline’s preeminent journals. Written by a mathematician virtually unknown to the experts in his field — a 50-something lecturer at the University of New Hampshire named Yitang Zhang — the paper claimed to have taken a huge step forward in understanding one of mathematics’ oldest problems, the twin primes conjecture.
Editors of prominent mathematics journals are used to fielding grandiose claims from obscure authors, but this paper was different. Written with crystalline clarity and a total command of the topic’s current state of the art, it was evidently a serious piece of work, and the Annals editors decided to put it on the fast track.
Just three weeks later — a blink of an eye compared to the usual pace of mathematics journals — Zhang received the referee report on his paper.
“The main results are of the first rank,” one of the referees wrote. The author had proved “a landmark theorem in the distribution of prime numbers.”
https://www.simonsfoundat(...)idges-the-prime-gap/
Wat hij bewezen heeft:
er bestaan oneindig veel paren priemgetallen waar het verschil tussen beide kleiner dan 70 miljoen is.
Of zoiets als:
∀N∈𝐍 ∃p1, p2>N: ∣p1 - p2∣ < 7*107
(met p1 en p2 priem)
Zie ook:
http://blogs.ethz.ch/kowa(...)gaps-between-primes/
(bevat een link naar de pdf, maar werkt enkel voor subscribers
)http://golem.ph.utexas.ed(...)_between_primes.html
Priemgetallen worden schaarser naarmate men "hoger" gaat. Zo zijn er bij de eerste tien getallen 4 priem (2, 3, 5, 7) of 40%; bij de getallen tot 1010 is dit nog 4%.quote:
Op De gemiddelde afstand tussen priemgetallen van n cijfers is ongeveer 2.3 * n: dus bij de getallen met duizend cijfers is de gemiddelde afstand 2300 (of anders gezegd: slechts 1 op 2300 getallen is priem).
De gemiddelde afstand wordt dus steeds groter, en is onbegrensd (gaat naar oneindig), maar toch zal je altijd priemgetallen blijven tegenkomen waartussen het verschil kleiner dan 70 miljoen is (of die slechts twee verschillen, als het priemtweeling vermoeden klopt; daar is nog geen bewijs voor gevonden).
Het was één van de vermoedens in de wiskunde waar niemand aan twijfelde, maar waarvan men niet wist hoe het bewezen kon worden, of zelfs of een bewijs überhaupt mogelijk was.
Inderdaad een heel mooi resultaat. Ik las op andere fora dat de verwachting is dat dit resultaat snel verbeterd gaat worden, maar dat een gat van 6 wel zo'n beetje het maximum zal zijn. Dus het twin-prime conjecture dat er een oneindig aantal paren met afstand 2 bestaat, dat blijft met deze bewijstechniek helaas buiten bereik.quote:Op zondag 26 mei 2013 15:54 schreef meth1745 het volgende:
[..]
Priemgetallen worden schaarser naarmate men "hoger" gaat. Zo zijn er bij de eerste tien getallen 4 priem (2, 3, 5, 7) of 40%; bij de getallen tot 1010 is dit nog 4%.
De gemiddelde afstand tussen priemgetallen van n cijfers is ongeveer 2.3 * n: dus bij de getallen met duizend cijfers is de gemiddelde afstand 2300 (of anders gezegd: slechts 1 op 2300 getallen is priem).
De gemiddelde afstand wordt dus steeds groter, en is onbegrensd (gaat naar oneindig), maar toch zal je altijd priemgetallen blijven tegenkomen waartussen het verschil kleiner dan 70 miljoen is (of die slechts twee verschillen, als het priemtweeling vermoeden klopt; daar is nog geen bewijs voor gevonden).
Het was één van de vermoedens in de wiskunde waar niemand aan twijfelde, maar waarvan men niet wist hoe het bewezen kon worden, of zelfs of een bewijs überhaupt mogelijk was.
(Dat is vast niet zo makkelijk als het klinkt.)
Nee, dit bewijs verandert niets, we rekenen nog steeds zoals we daarvoor deden.quote:
interessant... ik snap er ook weinig van. maar wordt breuken dan ook anders? kun je dan wel opeens andere breuk sommetjes maken?
Stel dat er een eindig aantal priemgetallen is. Vermenigvuldig die allemaal met elkaar, en trek er dan 1 vanaf. Dit getal kan nooit een deler hebben die kleiner is, omdat twee opeenvolgende getallen nooit dezelfde deler kunnen hebben.
Maar geldt dit dan niet net zoveel voor (p1 * p2 * p3 ... pn) + 1?
En zo ja, dan is het resultaat dus niet alleen een priemgetal, maar ook een twin prime.
Betekent dat dan niet dat er altijd een grotere twin prime is dan de hoogste gevonden twin prime?
En zo ja, heb je daarmee dan niet gewoon de twin prime conjecture aangetoond?
Ik ben geen wiskundige... dus ik zal hier vast iets missen.
Edit: duidelijk iets gemist dus. die -1 en +1 werkt alleen onder de aanname dat je lijst van priemgetallen compleet is.
[ Bericht 6% gewijzigd door Molurus op 27-05-2013 19:56:45 ]
quote:
Dat heeft volgens mij geen enkele invloed op cryptografie (zoals RSA), maar zegt meer iets over de verdeling van priemgetallen tussen alle andere (samengestelde) getallen. Cryptografie maakt gebruik van de immer toenemende complexiteit van het ontleden van een getal n in zijn priemfactoren (elk niet-priem getal kan je op een unieke wijze opsplitsen in priemfactoren, bijv. 90=2*3*3*5). Stel je neemt p*q = n, waarbij zowel p en q enorme grote priemgetallen zijn, dan is p*q simpel te berekenen, maar vergt het een enorme computerpower om vanuit n dan weer die unieke priemfactoren p en q te berekenen (tenzij je of p of q in je bezit hebt natuurlijk).quote:Op maandag 27 mei 2013 19:02 schreef Eyjafjallajoekull het volgende:
Heeft dit eventueel invloed op cryptografie? Ik weet dat priemgetallen veel gebruikt worden om zaken te versleutelen.
Het is alleen nog steeds niet formeel uitgesloten (maar wel onwaarschijnlijk) dat iemand ooit een heel snel algoritme voor priemfactorisering ontdekt...
Neen, er zijn geen praktische toepassingen bekend voor voor dit of het twin prime conjecture. Het bewijs zelf lijkt een variant van een reeds gekende techniek te gebruiken, hij komt niet met een nieuwe ontwikkeling in de wiskunde, dus verrassende ontwikkelingen lijken ook daar onwaarschijnlijk.quote:
Heeft dit eventueel invloed op cryptografie? Ik weet dat priemgetallen veel gebruikt worden om zaken te versleutelen.
Public key encryptie is nog niet in gevaar (voor zover we weten
).Je bent niet de eerste die misleid werd door dat bewijs, heb ook lang gedacht dat (p1 * p2 * p3 ... pn) + 1 steeds een priemgetal opleverde. Tot je het ergens denkt toe te kunnen passen, dan krijg je zo'nquote:
Ik vroeg mij even af... het bewijs voor het feit dat er een oneindig aantal priemgestallen zijn is een bewijs uit het ongerijmde. Het gaat ongeveer zo:
Stel dat er een eindig aantal priemgetallen is. Vermenigvuldig die allemaal met elkaar, en trek er dan 1 vanaf. Dit getal kan nooit een deler hebben die kleiner is, omdat twee opeenvolgende getallen nooit dezelfde deler kunnen hebben.
Maar geldt dit dan niet net zoveel voor (p1 * p2 * p3 ... pn) + 1?
En zo ja, dan is het resultaat dus niet alleen een priemgetal, maar ook een twin prime.
Betekent dat dan niet dat er altijd een grotere twin prime is dan de hoogste gevonden twin prime?
En zo ja, heb je daarmee dan niet gewoon de twin prime conjecture aangetoond?
Ik ben geen wiskundige... dus ik zal hier vast iets missen.
Edit: duidelijk iets gemist dus. die -1 en +1 werkt alleen onder de aanname dat je lijst van priemgetallen compleet is.
moment. Ten eerste is dit soort wiskunde een doel opzichzelf.quote:Op zondag 26 mei 2013 15:28 schreef Rezania het volgende:
Nou, dat is mooi. En wat kunnen we er nu mee?
(je vraagt toch ook niet als je een muziekstuk hoort: Nou, dat is mooi. En wat kennen we ermee?)
Ten 2e weet je nooit tevoren of deze wiskunde een praktische toepassing heeft.
(denk bijv aan de niet Euclidische meetkunde of groepentheorie)
Ten 3e is er recent een verband ontdekt tussen bepaalde verdelingen van energieniveau's in de quantum mechanica en verdeling van priemgetallen (onderzoek naar de Rieman Zéta functie)
En de extra footage voor de die-hard geïnteresseerde:
