Het kan ook een simpele oefening zijn in het herleiden van een veelterm. In ieder geval is het geen 'som' want dat is de uitkomst van een optelling. Platina maakt de verwarring alleen maar groter door aan te nemen dat het om een vergelijking gaat, maar dat blijkt nergens uit (en de letter a wordt gewoonlijk voor een constante of bekende grootheid gebruikt, niet voor een variabele of onbekende grootheid).quote:Op zondag 11 november 2012 16:34 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Strikt genomen is je opgave niet op te lossen, omdat het geen vergelijking is. Waaraan moet dit gelijk zijn?
Uiteraard. Inderdaad wordt in de methode Getal & Ruimte (vooral in de lagere klassen) vaak de opgave 'herleid de volgende veeltermen' gegeven, ter oefening.quote:Op zondag 11 november 2012 17:40 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het kan ook een simpele oefening zijn in het herleiden van een veelterm. In ieder geval is het geen 'som' want dat is de uitkomst van een optelling. Platina maakt de verwarring alleen maar groter door aan te nemen dat het om een vergelijking gaat, maar dat blijkt nergens uit (en de letter a wordt gewoonlijk voor een constante of bekende grootheid gebruikt, niet voor een variabele of onbekende grootheid).
Het is handig de merkwaardige producten uit je hoofd te kennen:quote:Op zondag 11 november 2012 15:38 schreef christiado het volgende:
Hey iedereen,
Kan iemand mij helpen met het oplossen van een som? Het gaat hier om
de rekenen met letters, maar ik kom er helaas niet uit.
(8-5)(7a-3) +7a +3
T zal heel fijn zijn als iemand hiermee kan helpen.
Ja. Moet je het wel zelf goed doen natuurlijk ...quote:Op zondag 11 november 2012 18:02 schreef Amoeba het volgende:
Het is handig de opmerkelijke producten uit je hoofd te kennen:
Wat doe ik fout danquote:Op zondag 11 november 2012 18:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja. Moet je het wel zelf goed doen natuurlijk ...
Hier staat een gangbaar (?) lijstje.
Minteken bij (a+b)(a-b)quote:Op zondag 11 november 2012 18:13 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Wat doe ik fout dan
Ik kan mezelf even niet betrappen op het geven van onjuiste vergelijkingen. En dat laatste is juist. Aangepast.
Oja, kutquote:
Volgens mij geldt dat niet alleen voor een oneindige som.. Maar bedankt. Zag even zo niet direct wat ze bedoelden.quote:Op zondag 11 november 2012 19:25 schreef thenxero het volgende:
Er is een stelling die zegt dat je onder bepaalde voorwaarden een oneindige som termgewijs mag differentiëren. In dit geval mag dat.
Dan zal je zien dat als je de reeksontwikkeling van een sinus differentieert, de reeksontwikkeling van de cosinus krijgt.
Een Maclaurinreeks is gewoon een Taylorreeks die je ontwikkelt in 0, dus daar valt ook weinig aan te bewijzen.
Voor een eindige som geldt het altijd. Maar met oneindige sommen kan het misgaan. Daar zit nog een hele hoop analyse achter als je wil weten hoe dat precies zit.quote:Op zondag 11 november 2012 19:30 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Volgens mij geldt dat niet alleen voor een oneindige som.. Maar bedankt. Zag even zo niet direct wat ze bedoelden.
Een Taylor-reeks is een reeksontwikkeling van een functie f(x) rond een punt x = a, zodat je f(x) uitdrukt als een (convergente) oneindige machtreeks waarvan de termen machten van (x-a) zijn. Een MacLaurin-reeks is niets anders dan een speciaal geval van de Taylorreeks voor a = 0. Daar is dan verder weinig aan te bewijzen.quote:Op zondag 11 november 2012 19:21 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb even een vraagje. Mijn boek stelt dat uit de formule van Taylor (Taylorreeks?) de formule van Maclaurin volgt. Uiteraard zonder bewijs. Nu ga ik het bewijs zelf nog even bestuderen wanneer ik tijd heb, maar ik heb wel een vraag betreffende het bewijs van afgeleide functies.
Het idee is dat je de reeksen 'termsgewijs' mag differentiëren, net zoals je een polynoom in x termsgewijs kunt differentiëren. Uiteraard moet dan wel eerst zijn aangetoond onder welke voorwaarden dit mag. Het omgekeerde kan ook, je kunt convergente reeksen (alweer: onder bepaalde voorwaarden) termsgewijs primitiveren. Een (eenvoudig) voorbeeld: je weet dat de som (limiet) van een convergente meetkundige reeks met eerste term a en reden r gelijk is aan a/(1-r). Zo heb je dus bijvoorbeeld:quote:Ik heb met de formule van Maclaurin aan moeten tonen dat f(x) = sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! ... allemaal prima.
Evenzo voor g(x) = cos(x)
Nu moet ik aantonen dat f'(x) = g(x), uitgaande van de 'bewezen' reeksontwikkelingen. En daarna nog dat g'(x) = -f(x). Hoe pak ik dit aan?
Bedenk wel dat je voor de herleiding van de reeksen voor sin x en cos x niet gebruik mag maken van de afgeleiden van deze functies en dan vervolgens deze reeksontwikkelingen doodleuk gebruiken om te 'bewijzen' dat d(sin x)/dx = cos x en d(cos x)/dx = -sin x, want dan begeef je je in een cirkelredenering (no pun intended). Het is wat anders als je sin x en cos x definieert aan de hand van hun reeksontwikkelingen, maar dan nog moet je bewijzen dat de reeksen convergent zijn voor elke reële x en bewijzen dat 'termsgewijs' differentiëren hier überhaupt toelaatbaar is. Welk boek gebruik je als ik vragen mag?quote:Op zondag 11 november 2012 19:52 schreef Amoeba het volgende:
Ik doelde meer op het bewijs van de Maclaurinreeks als zijnde het bewijs van de Taylorreeks. Ik heb wel door dat de Maclaurinreeks niets anders is dan de Taylorreeks voor a = 0, maar verder is het bewijs van de Taylorreeks niet gegeven. Maar dat zoek ik nog wel uit.
Je hoeft er ook niet op in te gaan, het was alleen een voorbeeld om te laten zien wat je met 'termsgewijs' differentiëren of primitiveren van een reeksontwikkeling kunt doen. En ja, vind je het gek dat ik bij jou steeds aan Mercator moet denken?quote:Dank allen. En geef maar toe dat je met opzet over een man genaamd Mercator begon. Maar ik moet huiswerk maken, dus heb echt geen tijd om erop in te gaan. [ afbeelding ]
Wiskunde D. Getal en Ruimte, deel 3. Hoofdstuk 12, pagina 136-137. Hoofdstuk heet 'Complexe getallen gebruiken'. De paragraaf behandelt de formule van Euler.quote:Op zondag 11 november 2012 20:08 schreef Riparius het volgende:
Bedenk wel dat je voor de herleiding van de reeksen voor sin x en cos x niet gebruik mag maken van de afgeleiden van deze functies en dan vervolgens deze reeksontwikkelingen gebruiken om te 'bewijzen' dat d(sin x)/dx = cos x en d(cos x)/dx = -sin x, want dan begeef je je in een cirkelredenatie (no pun intended). Het is wat anders als je sin x en cos x definieert aan de hand van hun reeksontwikkelingen, maar dan nog moet je bewijzen dat de reeksen convergent zijn voor elke reële x en bewijzen dat 'termsgewijs' differentiëren hier überhaupt toelaatbaar is. Welk boek gebruik je als ik vragen mag?
Dat weet ik. Ik hoop dat jij ook nog weet dat ik graag tot midden in de nacht bezig ben met interessante wiskunde. Volgens mij hebben we dat wel eens ooit besproken. En nee hoor, je 'humor' bevalt me wel.quote:Op zondag 11 november 2012 20:08 schreef Riparius het volgende:
Je hoeft er ook niet op in te gaan, het was alleen een voorbeeld om te laten zien wat je met 'termsgewijs' differentiëren of primitiveren van een reeksontwikkeling kunt doen. En ja, vind je het gek dat ik bij jou steeds aan Mercator moet denken?
quote:Op zondag 10 juni 2012 18:35 schreef Amoeba het volgende:
Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.
Inderdaad, ik ben blij dat je het probleem ook ziet. Maar veel schrijvers van leerboeken kennelijk niet, of ze zien het wel en hopen dat de studenten het niet in de gaten hebben. Maar het blijft slechte didactiek (en slechte wiskunde). Hetzelfde geldt voor de manier waarop de formule van Euler vaak in leerboeken en cursussen wordt geïntroduceerd.quote:Op zondag 11 november 2012 20:17 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Wiskunde D. Getal en Ruimte, deel 3. Hoofdstuk 12, pagina 136-137. Hoofdstuk heet 'Complexe getallen gebruiken'. De paragraaf behandelt de formule van Euler.
Ik heb dit gedaan:
Eerst heb ik aangetoond dat met behulp van de Taylorreeks dat sin(x) = x-x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!....
En dat cos(x) = 1-x^2/2!+x^4/4!+x^6/6! etc.
Daarna heb ik de afgeleide van de Taylorreeks van sin(x) genomen, en ja, daarvoor heb ik eerst sin(x) moeten differentiëren naar cos(x) om tot de conclusie te komen dat sin(x) gelijk is aan de Taylorreeks. Daarmee heb ik dus in feite helemaal niets bewezen. Dus dit is een cirkelredenatie.
quote:Toch is dit volgens de uitwerkingen wel correct, deze zijn hier te vinden. Opgave 2.
Zal dinsdag eens slim gaan doen en dit aankaarten.
Uiteraard, het zou niet best zijn als ik me mijn eigen posts na een paar maanden al niet meer zou herinneren. Grappig trouwens dat ik daar Jacob Bernoulli noem, ik zat net wat briefwisselingen tussen Leibniz en de broers Jacob en Johann Bernoulli te lezen waarin het zogeheten Bazel-probleem aan de orde komt. Daar zie je ook mooi hoe nonchalant men toen omging met het manipuleren van reeksen, waaronder de Mercator reeks, die op een bepaalde manier een rol speelde bij het Bazel-probleem. Maar daarover misschien een andere keer meer, omdat je kennelijk denkt dat je uit je boek meer leert ...quote:Op zondag 11 november 2012 20:17 schreef Amoeba het volgende:
Ik kan me deze post trouwens nog wel herinneren. Misschien jij ook?
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..quote:Op zondag 11 november 2012 20:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Uiteraard, het zou niet best zijn als ik me mijn eigen posts na een paar maanden al niet meer zou herinneren. Grappig trouwens dat ik daar Jacob Bernoulli noem, ik zat net wat briefwisselingen tussen Leibniz en de broers Jacob en Johann Bernoulli te lezen waarin het zogeheten Bazel-probleem aan de orde komt. Daar zie je ook mooi hoe nonchalant men toen omging met het manipuleren van reeksen, waaronder de Mercator reeks, die op een bepaalde manier een rol speelde bij het Bazel-probleem. Maar daarover misschien een andere keer meer, omdat je kennelijk denkt dat je uit je boek meer leert ...
Ha, dat is wel een leuke opgave. Je kan het doen door de volgende differentiaalvergelijking te beschouwenquote:Op zondag 11 november 2012 21:21 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..
Maar, hoe zou je dan bewijzen dat de [sin(x)]' = cos(x) met behulp van reeksen?
Ik verkeerde in de veronderstelling dat je aan zelfstudie deed. Je kunt inderdaad niet voorkomen dat een auteur van een boek het niet zo nauw neemt, maar je kunt wel op zoek gaan naar betere boeken. Maar aangezien het geen zelfstudie is begrijp ik dat je toch geacht wordt je huidige boek te gebruiken.quote:Op zondag 11 november 2012 21:21 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Waar staat dat? Ik stel zelfs nog dat je heel leerzaam bent in mijn eigen quote. Ik krijg op m'n donder als ik die opgaven niet af heb. Kan ik er wat aan doen dat het boek fouten maakt..
Een bewijs voor de differentieerbaarheid en de afgeleiden van sin x en cos x hangt af van de definitie die je hanteert voor de goniometrische functies. Als je uitgaat van de bekende meetkundige definitie aan de hand van de eenheidscirkel, dan kun je op verschillende manieren gebruik maken van goniometrische identiteiten om aan te tonen dat voor elke x ∈ R geldt:quote:Maar, hoe zou je dan bewijzen dat de [sin(x)]' = cos(x) met behulp van reeksen?
Het is de bedoeling dat je ziet dat op grond van:quote:Op zondag 11 november 2012 21:45 schreef Amoeba het volgende:
Net als opgave 9b.
druk sin(x) uit in eix en e-ix
Waarbij je bij a aan moest toen dat:
Krijg je dit als uitwerking.
[ afbeelding ]
Het is mij niet duidelijk wat je precies bedoelt, maar ik heb je boek hier niet, dus ik weet ook niet wat voor (al dan niet verborgen) vooronderstellingen er allemaal gemaakt worden. Als je mag gebruiken dat d(eix)/dx = i∙eix dan is de bepaling van de afgeleiden van cos x en sin x uit (4) resp. (5) natuurlijk triviaal, en dan zie ik niet in waarom je voor je opgave integraalrekening zou gebruiken.quote:Vond ik mijn uitwerking met behulp van de integraalrekening (want de primitieve van cos(x) is sin(x)) toch een stuk eleganter. Ik vrees dat je toch wat 'leerzamer' bent.
Oh, op die manier.quote:Op zondag 11 november 2012 23:18 schreef Amoeba het volgende:
(4) was gegeven. Dit moest je alleen nog even bewijzen dat dit klopte..
Inderdaad, verborgen aannames ...quote:Nu moest je voor sin(x) ook zo'n uitdrukking verzinnen, ik heb enkel en alleen de primitieve genomen. Kom je op exact hetzelfde uit. Alhoewel ik er wel van uit ging dat afgeleide functies hetzelfde zijn in C..
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |