[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 6 november 2012 19:56 schreef Anoonumos het volgende:
Ik zoek een onderwerp voor een wiskundige voordracht. Wat vinden jullie leuke onderwerpen/bewijzen die je in ongeveer 20 minuten kan behandelen. en die ook interessant zijn voor mij om te bestuderen?
Het publiek (en ikzelf) bestaat uit tweedejaars wiskunde studenten.

Tja, welk vakgebied zit je aan te denken? Als je analyse leuk vindt zou je eens naar het Bazel-probleem kunnen kijken, is gemakkelijk veel over te vinden. 20 minuten is trouwens wel verdomde kort om er echt iets van te maken.

quote:

Op dinsdag 6 november 2012 21:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, welk vakgebied zit je aan te denken? Als je analyse leuk vindt zou je eens naar het Bazel-probleem kunnen kijken, is gemakkelijk veel over te vinden. 20 minuten is trouwens wel verdomde kort om er echt iets van te maken.

Dat is toch met die bruggen?

Maargoed, ik wilde je sowieso al gaan quoten. Eentje uit den ouden doosch:

quote:

Op dinsdag 12 juni 2012 20:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zou geloof ik eerder voor een bepaald (klassiek) probleem kiezen waarbij je het geleerde kunt toepassen en het ook nog een beetje spannend kunt maken door net een paar stapjes verder te gaan en iets te laten zien wat niet aan bod is gekomen in de stof. Denk aan iets als de rectificatie van een paraboolsegment waarbij je verschillende substitutiemethoden (goniometrisch, hyperbolisch, algebraïsch) kunt demonstreren om √(1 + x²) te primitiveren, of vertel (heel toepasselijk dit jaar) iets over de Mercatorprojectie en behandel het probleem van het primitiveren van 1/cos x, waarbij je wellicht ook nog iets over de Weierstraß-substitutie en de Gudermann functie kunt vertellen.

Ik ga mijn profielwerkstuk op de wiskunde te betrekken. Aangezien de Mercatorprojectie (waar ik toen mee bezig was voor mijn eindexamen wiskunde B) me wel interesseerde, wil ik het over dat vakgebied houden. Een subdomein van het wijde cartografie dus.

Nu zat ik te denken om enkel projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak te gebruiken als onderwerp. Goed, dan krijg je een inleiding, inhoud, projecties, Mercatorprojectie. Verder wil ik ook nog de Gudermannfunctie gebruiken. Maar waarom is de Gudermann functie handig bij het bepalen van de integraal over sec(φ)? In de Nederlandstalige Wikipedia waar je naar refereert wordt aangegeven dat de afgeleide functie van de inverse gudermann gelijk is aan sec(x). Is dit de enige reden? Is het handiger om zo een y-coördinaat te bepalen?

Bazelprobleem is

quote:

Op woensdag 7 november 2012 13:54 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dat is toch met die bruggen?

Ik denk dat je de bruggen van Köningsberg bedoeld. Die worden vaak gebruikt in inleidingen in de grafentheorie, misschien is zoiets trouwens ook wel een leuk onderwerp. Het probleem is uiteindelijk opgelost door (hoe kan het ook anders ) Euler .
/Riparius mode

quote:

Op woensdag 7 november 2012 14:20 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Ik denk dat je de bruggen van Köningsberg bedoeld. Die worden vaak gebruikt in inleidingen in de grafentheorie, misschien is zoiets trouwens ook wel een leuk onderwerp. Het probleem is uiteindelijk opgelost door (hoe kan het ook anders ) Euler .
/Riparius mode

Ik wist dat het opgelost was door Euler. Dacht dat het de bruggen van Bazel waren o.i.d. Dank. Maargoed, de oplettende lezer kan spotten dat een andere, belangrijkere vraag mij naar dit godentopic lokte.

quote:

Op woensdag 7 november 2012 14:22 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik wist dat het opgelost was door Euler. Dacht dat het de bruggen van Bazel waren o.i.d. Dank. Maargoed, de oplettende lezer kan spotten dat een andere, belangrijkere vraag mij naar dit godentopic lokte.

Ja, daarover: met functies en reeksen is de gammafunctie (of de zètafunctie, maar dat hangt erg samen met het Bazelprobleem) kort behandeld, dat is misschien wel leuk om iets over te doen. Die is ook weer bedacht door Euler, hij probeerde een formule voor de faculteitsfunctie te vinden. (In analogie met de formule
). Dat is misschien trouwens ook wel leuk: formules voor sommen van machten. Bijvoorbeeld, zoek een formule voor
, voor alle machten m. Dan zou je eerst een paar simpele gevallen kunnen doen (m = 1 is erg makkelijk, m = 2 is ook nog wel te doen) en vervolgens een geval dat voor alle m geldt.

quote:

Op woensdag 7 november 2012 14:12 schreef thenxero het volgende:

Correctie:

quote:

Op woensdag 7 november 2012 14:32 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Ja, daarover: met functies en reeksen is de gammafunctie (of de zètafunctie, maar dat hangt erg samen met het Bazelprobleem) kort behandeld, dat is misschien wel leuk om iets over te doen. Die is ook weer bedacht door Euler, hij probeerde een formule voor de faculteitsfunctie te vinden. (In analogie met de formule
).

Het Bazel-probleem leek me wel geschikt omdat het probleem, overigens in 1644 al door Mengoli geformuleerd, direct begrijpelijk is. Een oplossing lag niet voor de hand en daarom duurde dat ook zo'n 90 jaar. Enkele van de (vele) oplossingen zijn elementair genoeg om in een praatje van 20 minuten uiteen te kunnen zetten. Ik dacht dat Anoonumos in Utrecht zat, dus kan hij dan ook nog even een bruggetje maken naar Beukers en de wonderlijke substitutie van Calabi (zie bewijs #2 bij Chapman). Ik zag trouwens dat hier slides staan van iemand die dit onderwerp in een praatje heeft behandeld, dus origineel is het niet, maar goed dat verwachtte ik ook niet.

quote:

Dat is misschien trouwens ook wel leuk: formules voor sommen van machten. Bijvoorbeeld, zoek een formule voor
, voor alle machten m. Dan zou je eerst een paar simpele gevallen kunnen doen (m = 1 is erg makkelijk, m = 2 is ook nog wel te doen) en vervolgens een geval dat voor alle m geldt.

Dat is in zijn algemeenheid opgelost door Jacob Bernoulli in zijn Ars Conjectandi, postuum gepubliceerd in 1713 (de somformules voor m = 1 en m = 2 waren al in de Griekse oudheid bekend). Maar dan moet je ook iets over de getallen van Bernoulli gaan vertellen en dan wordt het denk ik al gauw te veel voor 20 minuten. Is verder wel prima.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-11-2012 20:28:32 ]

quote:

Op woensdag 7 november 2012 20:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zag trouwens dat hier slides staan van iemand die dit onderwerp in een praatje heeft behandeld, dus origineel is het niet, maar goed dat verwachtte ik ook niet.

[...]

Ach ja, de meeste bekende onderwerpen zullen al wel in praatjes behandeld zijn, bernoulli-getallen en sommen van machten ook wel Ik zou zelf voor de som van de machten gaan omdat dat vrij makkelijk zelf te doen en te volgen is en je toch een redelijk concreet resultaat hebt waar ook nog eens een grote naam aan verbonden is (wat dat betreft is iets van de afleiding van de formule van Euler, die voor complexe e-machten, ook wel een mooie, maar misschien iets te beperkt voor 20 minuten), en eerlijk gezegd ook omdat ik bijna niets van het Bazel-probleem weet. Toevallig weet ik dan wel weer wat meer van die sommen van machten (daar staat ook een mooi hoofdstuk in over veeltermrijen, helaas is de layout in de webversie ruk).

Maar goed, ik weet ook niet helemaal voor wie het praatje is en hoe hoog het niveau moet zijn .

Nu maar eens aan functies en reeksen, morgen tentamen

Bij functies en reeksen komt het probleem van bazel ook nog voorbij. Volgens mij was het een opgave die je kon oplossen met Fouriertheorie. Succes morgen, F&R was ook niet mijn favoriet .

quote:

Op woensdag 7 november 2012 21:28 schreef thenxero het volgende:
Bij functies en reeksen komt het probleem van bazel ook nog voorbij. Volgens mij was het een opgave die je kon oplossen met Fouriertheorie. Succes morgen, F&R was ook niet mijn favoriet .

Dank! Ik heb er vrijwel geen tijd aan besteed, dus waarschijnlijk wordt het hem niet, maar het is ook weer geen ramp als ik het niet haal. Maargoed, ik ga het gewoon proberen morgen.

quote:

Op woensdag 7 november 2012 13:54 schreef Amoeba het volgende:

Ik ga mijn profielwerkstuk op de wiskunde te betrekken. Aangezien de Mercatorprojectie (waar ik toen mee bezig was voor mijn eindexamen wiskunde B) me wel interesseerde, wil ik het over dat vakgebied houden. Een subdomein van het wijde cartografie dus.

Dat is wel een heel uitgebreid onderwerp. Er zijn nog veel meer kaartprojecties dan alleen de Mercatorprojectie, en daar zit ook een aardig stukje wiskunde aan vast.

quote:

Nu zat ik te denken om enkel projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak te gebruiken als onderwerp. Goed, dan krijg je een inleiding, inhoud, projecties, Mercatorprojectie. Verder wil ik ook nog de Gudermannfunctie gebruiken. Maar waarom is de Gudermann functie handig bij het bepalen van de integraal over sec(φ)? In de Nederlandstalige Wikipedia waar je naar refereert wordt aangegeven dat de afgeleide functie van de inverse gudermann gelijk is aan sec(x). Is dit de enige reden? Is het handiger om zo een y-coördinaat te bepalen?

Het beestje moest gewoon een naam hebben. De Gudermanniaan en de inverse daarvan geven betrekkingen tussen de goniometrische (circulaire) en de hyperbolische functies zonder gebruik van complexe getallen, en dat was vooral vroeger toen er nog geen electronische hulpmiddelen bestonden belangrijk om allerlei berekeningen in de cartografie en de navigatie te kunnen maken. Daarom werden er ook uitvoerige tabellen samengesteld van dergelijke speciale functies, allemaal met de hand berekend uiteraard. De functies die nu naar Gudermann (1798-1852) worden genoemd zijn al veel eerder geïntroduceerd door Johann Heinrich Lambert (1728-1777) in zijn artikelen waarin hij ook de hyperbolische functies introduceerde. Lambert interpreteerde de functie die we nu gewoonlijk de inverse functie van Gudermann noemen meetkundig, en spreekt van l'angle transcendant (nee, geen typo). De originele artikelen van Lambert over de hyperbolische functies kun je hier en hier vinden. Men heeft vroeger ook wel voorgesteld de functie die we nu de inverse van de Gudermann functie noemen de Lambertiaan te noemen, maar dat voorstel heeft het nooit gehaald. De huidige benamingen voor de functies en het symbool gd dateren van 1862 en gaan terug op Cayley (zie hier). Overigens zijn er wel verscheidene kaartprojecties naar Lambert vernoemd.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-11-2012 02:01:56 ]

Maar de Engelse wiskundige Wright was toch de eerste die het vraagstuk van hoe Mercator de afstanden in richting van de polen had berekend heeft 'opgelost'?

Ik was wel van plan wat over zijn numerieke oplossing, zoals beschreven in A Mapmaker's Paradise (H13 van Trigonometric Delights) te vertellen.

quote:

Op woensdag 7 november 2012 22:22 schreef Amoeba het volgende:
Maar de Engelse wiskundige Wright was toch de eerste die het vraagstuk van hoe Mercator de afstanden in richting van de polen had berekend heeft 'opgelost'?

Ik was wel van plan wat over zijn numerieke oplossing, zoals beschreven in A Mapmaker's Paradise (H13 van Trigonometric Delights) te vertellen.

Dat is maar net wat je onder een 'oplossing' verstaat. Wright heeft aangegeven - vertaald naar moderne bewoordingen - dat je een (limiet van een) Riemann som van secanten moest bepalen: hij sprak van een perpetuall addition of the Secantes answerable to the latitudes of each point or parallel vnto the summe compounded of all former secantes en hij heeft deze (moeizame) berekeningen ook werkelijk uitgevoerd. Maar vervolgens merkte Henry Bond in 1645 op dat de tabel met de door Wright berekende afstanden tot de equator van de Mercator projectie voor een breedtegraad θ overeen kwam met een tabel met logaritmen van tangenten, om precies te zijn met ln(tan(π/4 + θ/2)). Maar dat was een empirische observatie, die natuurlijk wél bewezen moest worden. En Barrow leverde daarvoor in 1670 een bewijs waarbij hij op een meetkundige manier gebruik maakte van iets wat we nu integratie via breuksplitsing zouden noemen. Maar de geschiedenis van het probleem is nog wat ingewikkelder omdat later is gebleken dat Thomas Harriot (c. 1560-1621) het probleem al rond 1590 langs meetkundige weg had opgelost, maar dat was toen niet bekend. Het is jammer dat je kennelijk geen toegang hebt tot JSTOR, anders zou je de relevante (secundaire) literatuur gemakkelijk kunnen vinden.

quote:

Op woensdag 7 november 2012 23:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is maar net wat je onder een 'oplossing' verstaat. Wright heeft aangegeven - vertaald naar moderne bewoordingen - dat je een (limiet van een) Riemann som van secanten moest bepalen: hij sprak van een perpetuall addition of the Secantes answerable to the latitudes of each point or parallel vnto the summe compounded of all former secantes en hij heeft deze (moeizame) berekeningen ook werkelijk uitgevoerd. Maar vervolgens merkte Henry Bond in 1645 op dat de tabel met de door Wright berekende afstanden tot de equator van de Mercator projectie voor een breedtegraad θ overeen kwam met een tabel met logaritmen van tangenten, om precies te zijn met ln(tan(π/4 + θ/2)). Maar dat was een empirische observatie, die natuurlijk wél bewezen moest worden. En Barrow leverde daarvoor in 1670 een bewijs waarbij hij op een meetkundige manier gebruik maakte van iets wat we nu integratie via breuksplitsing zouden noemen. Maar de geschiedenis van het probleem is nog wat ingewikkelder omdat later is gebleken dat Thomas Harriot (c. 1560-1621) het probleem al rond 1590 langs meetkundige weg had opgelost, maar dat was toen niet bekend. Het is jammer dat je kennelijk geen toegang hebt tot JSTOR, anders zou je de relevante (secundaire) literatuur gemakkelijk kunnen vinden.

Hoe verkrijg je toegang tot JSTOR dan? Ik weet dat het een archief is voor academische journalen en publicaties, maar volgens mij kost dat best veel geld.

En hij ging toch zo te werk. Y2 = Y1 + ΔY, waarin ΔY een verschil van een arcminuut voorstelde.

Ik heb maandag een toets wiskunde.
Nu loop ik flink achter en wil dit het weekend bijschroeven.
Nu heb ik alleen wat vragen over delen met kommagetallen als uitkomst.

Een vooorbeeldje 13:100
hoe reken ik dat uit?

quote:

Op donderdag 8 november 2012 19:05 schreef zuurtjuuh het volgende:
Ik heb maandag een toets wiskunde.
Nu loop ik flink achter en wil dit het weekend bijschroeven.
Nu heb ik alleen wat vragen over delen met kommagetallen als uitkomst.

Een vooorbeeldje 13:100
hoe reken ik dat uit?

Zit je op de basisschool? Als je deelt door 10 gaat de komma 1 plek naar links.

13 past 7x in 100 ik kom uit op 91 en dan hou ik nog 9 over
en dan?!

quote:

Op donderdag 8 november 2012 17:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Hoe verkrijg je toegang tot JSTOR dan? Ik weet dat het een archief is voor academische journalen en publicaties, maar volgens mij kost dat best veel geld.

Ik heb geen idee wat een individueel account kost. Mensen die het gebruiken hebben gewoonlijk toegang via een instelling of een grote bibliotheek die een contract met ze heeft. Hele oude artikelen zijn sinds een klein jaar trouwens ook zonder account in te zien en te downloaden. Duur hoeft het niet te zijn want als je een jaarpas neemt van ¤ 15 voor de KB heb je ook al toegang tot allerlei elektronische databases waaronder JSTOR.

quote:

Op donderdag 8 november 2012 19:16 schreef zuurtjuuh het volgende:
13 past 7x in 100 ik kom uit op 91 en dan hou ik nog 9 over
en dan?!

Dus jij noteert 13:100 voor 100 gedeeld door 13?

Ik zou er dan 100:13 of 100/13 van maken.

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Staartdeling voor hoe je het berekent.

Wat het misschien verwarrend maakt is dat als je a gedeeld door b wil berekenen (a:b), dat je dan b/a\ ... noteert.

naar zelf zomaar uit het niets iets hebben uitgeprobeerd

over: 9

1,3 = 1x
2,6 = 2x
enz
9,1 = 7x
dus dat word 7,7
rekenmachine zegt 7,692

7*13 = 91 -----> 7,
100 - 91 = 9
6*13 = 78 ------>6
90 - 78 = 12
9*13 = 117 ----->9
120 - 117 = 3
2*13 = 26 ------>2
30 - 26 = 4 ... etc

7,692

quote:

Op donderdag 8 november 2012 17:11 schreef Amoeba het volgende:
En hij ging toch zo te werk. Y2 = Y1 + ΔY, waarin ΔY een verschil van een arcminuut voorstelde.

Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebt

dy/dφ = s₀∙R∙sec φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering

Δy = s₀∙R∙sec φ∙Δφ

quote:

Op donderdag 8 november 2012 19:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niet helemaal. Ik had hier afgeleid dat je hebt

dy/dφ = s₀∙R∙sec φ

waarbij s₀ de schaalfactor is waarmee de evenaar wordt afgebeeld, R de straal van de aarde en φ de breedtegraad. Dan krijg je dus bij benadering

Δy = s₀∙R∙sec φ∙Δφ

Jazeker, volledig correct. Dat bedoelde ik ook. Iets moet namelijk delta y zijn. Goed, niet zo gezegd, maar inderdaad.

Ik zal eens even voor toegang tot JSTOR gaan kijken dan.