SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Maar als we gebruiken dat.quote:
y = ln(3000) + ln(1.05)x
y = ln(3000) + ln(1.05x)
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
met a = 3000
b = 1.05x
Zou je in feite kunnen zeggen dat de uitkomst ook gelijk mag zijn aan (andere situatie...)
y = eln(3000*1.05^x)
Toch?
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 02-10-2012 19:55:59 ]
Ja, dat kan, maar dan moet je twee machten berekenen in plaats van één en heeft het gebruik van logaritmen en de omzetting naar een e-macht dus praktisch gesproken geen zin.quote:Op dinsdag 2 oktober 2012 19:55 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar als we gebruiken dat.
y = ln(3000) + ln(1.05)x
y = ln(3000) + ln(1.05x)
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
met a = 3000
b = 1.05x
Zou je in feite kunnen zeggen dat de uitkomst ook gelijk mag zijn aan (andere situatie...)
y = eln(3000*1.05^x)
Toch?
Tevreden trouwens over mijn PDF met jouw plaatje erin?
In een stuk code van Google kwam ik dit tegen:
Voegt dit nog iets toe, vergeleken met
Ik zie het namelijk niet.
| 1 | rotation = (rotation % 360 + 360) % 360; |
| 1 | rotation = rotation % 360; |
Ik zie het namelijk niet.
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
Ik ken % niet precies, maar wellicht is er een verschil als rotation < 0.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
% is de modulus, dus het restgetal. 359 % 361 = 359; 361 % 360 = 1.quote:
Ik ken % niet precies, maar wellicht is er een verschil als rotation < 0.
Kan zelf geen getallen vinden waarbij het resulteert verschilt, ook niet onder de nul.
[ Bericht 3% gewijzigd door MichielPH op 05-10-2012 13:35:37 ]
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
| 1 2 3 | var rotation = -10; alert(rotation % 360); alert((rotation % 360 + 360) % 360); |
Dit geeft bij mij -10 en 350, grappenmaker.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
In sommige programmeertalen heeft de rest x%y bij deling hetzelfde teken als x (in andere programmeertalen heeft het hetzelfde teken als y). Dat stuk code zorgt ervoor dat er altijd een getal in {0, ..., 359} uitkomt.quote:
In een stuk code van Google kwam ik dit tegen:
[ code verwijderd ]
Voegt dit nog iets toe, vergeleken met
[ code verwijderd ]
Ik zie het namelijk niet.
Exact! Ik had het geprobeerd in Excel, en daar waren de beide formules gelijk. In Eclipse' debugger kreeg je inderdaad nog negatieve getallen. Dank!quote:
[..]
In sommige programmeertalen heeft de rest x%y bij deling hetzelfde teken als x (in andere programmeertalen heeft het hetzelfde teken als y). Dat stuk code zorgt ervoor dat er altijd een getal in {0, ..., 359} uitkomt.
'To alcohol, the cause of and the solution to all of life's problems' - Homer J. Simpson
Hallo fokkers,
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Ik weet dat ik allereerst de 1e afgeleide moet bepalen, dit is h(x)` = 4 + -1x^-2 . (1/x is gelijk aan 1 tot de macht -1x)
Ook weet ik dat nu de punten moet zoeken waarbij de formule 0 wordt.
Dit snap ik echter niet. Hoe bepaal ik op basis van deze afgeleide de stationaire punten?
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Ik weet dat ik allereerst de 1e afgeleide moet bepalen, dit is h(x)` = 4 + -1x^-2 . (1/x is gelijk aan 1 tot de macht -1x)
Ook weet ik dat nu de punten moet zoeken waarbij de formule 0 wordt.
Dit snap ik echter niet. Hoe bepaal ik op basis van deze afgeleide de stationaire punten?
Wiskunde is niet mijn sterkste vak.
Als ik deze formule oplos kom ik uit op X = 0,5.
Is nu de conclusie dat X = 0,5 en X = -0,5 de stationaire punten zijn van deze functie?
Als ik deze formule oplos kom ik uit op X = 0,5.
Is nu de conclusie dat X = 0,5 en X = -0,5 de stationaire punten zijn van deze functie?
Je moet het begrijpen. Door de x-coordinaat van de functie in te vullen in je afgeleide bepaal je de helling van de functie op dat punt. Stationair betekent horizontaal, dus is dy/dx 0. Daarom moet je dus oplossen waar de afgeleide functie de x-as snijdt.
We missen een berekening?
Oh, ik zie het al. Edit de volgende keer je post.
[ Bericht 54% gewijzigd door #ANONIEM op 06-10-2012 15:36:01 ]
Oh, ik zie het al. Edit de volgende keer je post.
[ Bericht 54% gewijzigd door #ANONIEM op 06-10-2012 15:36:01 ]
Maak even een grafiek van je functie (klik) dan zie je beter wat de bedoeling is. En je moet natuurlijk wel per stationair punt afzonderlijk aangeven of het een (locaal) minimum of een (locaal) maximum betreft, dat heb je zo te zien nog niet gedaan. Daarvoor kun je een tekenschema maken van de eerste afgeleide, of gebruik maken van de tweede afgeleide zoals hier wordt gevraagd.quote:
Hallo fokkers,
Ik ben bezig met mijn huiswerk (Wiskunde) en ik kom niet uit de volgende opgave:
Bepaal de stationaire punten van de onderstaande functie:
(bepaal de waarden van x waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul).
Bepaal de functie waarde in deze stationaire punten en bepaal of deze punten locale maxima of minima zijn met behulp van de tweede afgeleide.
h(x) = 4x + 1/x
Enkele opgaven verder loop ik nog tegen een andere kleine vraag aan mbt partiële afgeleiden.
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Doe eens wat aan je notatie en gebruik superscript voor exponenten. Je hebt:quote:
Enkele opgaven verder loop ik nog tegen een andere kleine vraag aan mbt partiële afgeleiden.
Ik ga hier niet de opgave neer typen maar een voorbeeld.
VB: Y = F(C,M) 100 C^0,5 M^0,5
Bereken de partiële afgeleide wanneer C varieert en M is constant en omgekeerd.
Moet een dergelijke functie op de reguliere manier afgeleid worden, dus 100 C^0,5 en M^0,5 op de normale manier ( A * N * X ^ (N-1)) voor elk van de 2 onderdelen berekenen en herschrijven hierbij rekening houdend met of C of M constant is?
Y = 100∙C0,5∙M0,5
Nu moet je inderdaad doen of M resp. C constanten zijn om ∂Y/∂C en ∂Y/∂M te bepalen.
Oke, als ik op de link klik wordt het locale minimum en het lokale maximum gegeven. Ik snap echter niet hoe dit berekend wordt.quote:
[..]
Maak even een grafiek van je functie (klik) dan zie je beter wat de bedoeling is. En je moet natuurlijk wel per stationair punt afzonderlijk aangeven of het een (locaal) minimum of een (locaal) maximum betreft, dat heb je zo te zien nog niet gedaan. Daarvoor kun je een tekenschema maken van de eerste afgeleide, of gebruik maken van de tweede afgeleide zoals hier wordt gevraagd.
Die indruk had ik al. Weet je wat het maken van een tekenschema voor de eerste afgeleide inhoudt?quote:
[..]
Oke, als ik op de link klik wordt het locale minimum en het lokale maximum gegeven. Ik snap echter niet hoe dit berekend wordt.
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Wel, je had al gevonden dat h'(x) = 0 voor x = -1/2 of voor x = -1/2. Teken nu een horizontale getallenlijn en geef daarop de punten x = -1/2 en x = 1/2 aan. Zet daar nullen boven en zet + en - tekens boven de lijn daar waar de eerste afgeleide positief resp. negatief is, en een asterisk bij x = 0 waar de afgeleide niet gedefinieerd is. Dan krijg je dus zoiets:quote:
| 1 2 3 | ++++++++++++++++++++0------------*------------0++++++++++++++++++++ ____________________|____________|____________|____________________ -1/2 0 1/2 |
Nu zie je dat de eerste afgeleide h'(x) wisselt van positief naar negatief als we (komende van links) de waarde x = -1/2 passeren. Dat betekent dat de curve, dus de grafiek van h(x) zelf, stijgt (positieve afgeleide) totdat we bij x = -1/2 zitten en dat de curve daarna weer daalt, omdat de afgeleide voorbij x = -1/2 negatief is. Zo kun je zien dat de curve kennelijk een locaal hoogste punt bereikt voor x = -1/2. De waarde van dit locale maximum is h(-1/2) = -4. Op dezelfde manier kun je uit het tekenschema aflezen dat de functie bij x = 1/2 juist een locaal minimum bereikt, want net links van x = 1/2 is de afgeleide nog negatief, dus daalt de curve van h(x), maar net voorbij x = 1/2 is de afgeleide weer positief, dus stijgt de curve van h(x) daar weer. Ergo: we hebben een locaal minimum voor x = 1/2 en de waarde daarvan is h(1/2) = 4.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:02:07 ]
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?quote:
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.quote:
[..]
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?
Als F` = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.quote:
[..]
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.quote:Als F' = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Klopt!quote:
Op Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?quote:
[..]
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.
[..]
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Als je hebt gevonden voor welke waarde(n) van x je functie h(x) een minimum of een maximum bereikt, dan kun je de waarde van dat minimum resp. maximum toch gewoon berekenen door de gevonden waarde(n) van x in te vullen in het functievoorschrift van je functie h(x) ? Wat begrijp je hier niet aan? De verticale positie van een punt op de grafiek voor elke x = x0 is immers de functiewaarde h(x0).quote:
[..]
Klopt!
Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-10-2012 01:54:24 ]
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?quote:
[..]
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Ja.quote:
[..]
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?
De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
Dat klopt nog, maar preciezer is het om te spreken van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt van de grafiek van de functie.quote:
[..]
Ja.
De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
Dat is op zijn minst erg onduidelijk uitgedrukt, en ik zou een dergelijk antwoord bij een examen niet goed rekenen.quote:De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Maar inderdaad geeft de afgeleide van de afgeleide in een punt x = x0 aan of de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek daalt of stijgt in de omgeving van dat punt x = x0. Kijk nog eens naar het tekenschema van de afgeleide h'(x) van je functie h(x) = 4x + 1/x hierboven. De afgeleide h'(x) gaat van positief naar negatief bij x = -1/2 en daalt dus in de omgeving van x = -1/2, en dat impliceert dat h''(-1/2) < 0. Omgekeerd gaat de afgeleide h'(x) van negatief naar positief bij x = 1/2. De afgeleide h'(x) stijgt dus in de omgeving van x = 1/2 en dat impliceert dat h''(1/2) > 0.
Deze redenering rammelt. Als je eerst de waarden van x hebt bepaald waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul, dan is het een dooddoener om te zeggen dat de eerste afgeleide voor die waarden van x niet negatief kan zijn. En je bewering de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen is onjuist. Tenslotte moet je niet zeggen dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in het punt x = 0 als de afgeleide (ergens) nul is want dat hoeft helemaal niet zo te zijn. Je bedoelt hier kennelijk dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in een punt x = x0 als de eerste afgeleide van die functie nul is voor x = x0.quote:Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 06-10-2012 22:26:36 ]
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Je weet toch wat de x-coördinaat van het stationaire punt (x=x0) is?quote:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
De oplossing van je functie voor een bepaalde waarde van x zal je dus een y-coördinaat opleveren. Dus moet je x0 in je originele functie invullen. Dit levert dan je gewilde coördinaat op.
Je hebt gevonden dat h''(x) = 2x-3 en kennelijk bereken je dan vervolgens h''(-1/2) = -16 en h''(1/2) = 16. Maar dat wordt niet gevraagd. Aangezien h'(-1/2) = h'(1/2) = 0 heb je voldoende aan de vaststellingen dat h''(-1/2) < 0 en h''(1/2) > 0 om te concluderen dat h(x) voor x = -1/2 een locaal maximum bereikt en voor x = 1/2 een locaal minimum. Maar om de waarde van dat locale maximum bij x = -1/2 resp. de waarde van dat locale minimum bij x = 1/2 te berekenen moet je dan uiteraard x = -1/2 resp. x = 1/2 substitueren in je functievoorschrift h(x) = 4x + 1/x. Dan vind je h(-1/2) = -4 en h(1/2) = 4.quote:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
Ik denk dat je derde argument juist je hoofdargument is.quote:
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 07-10-2012 14:17:53 ]
Ik wil graag het volgende differentieren :
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
Wel, de kettingregel in de notatie van Leibniz zegt:quote:
Ik wil graag het volgende differentieren [ afbeelding ]:
[ afbeelding ]
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
[ afbeelding ]
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
df/dt = df/du ∙ du/dt
Je hebt df/du al bepaald en je hebt u = -r(T-t), dus nu is het niet moeilijk om ook du/dt te bepalen. Uiteraard vervang je daarna in de uitdrukking voor df/dt je u weer door -r(T-t). Ik denk dat je probleem vooral ontstaat doordat je de notaties f' en u' van Lagrange voor je afgeleiden gebruikt zonder daarbij aan te geven wat je onafhankelijke variabele is bij elk van deze afgeleiden.
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Ik bedoel hiermee dat je bijvoorbeeld u'(t) schrijft in plaats van u'. Zo zie je dat u (en dus ook de afgeleide als deze geen constante is) afhangt van de (onafhankelijke) variabele t.quote:
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Nee, dit is niet goed, je hebt du/dt = r.quote:Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
Dit linkje werkt niet in FOK. Ik zal het even voordoen, maar dan wat uitgebreider dan je het gewoonlijk op zou schrijven. Zo uitgebreid hoef je het niet op te schrijven, maar het is goed om eens een keer te zien hoe het nu precies in elkaar zit. We hebben:quote:dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
(1) f = S - k∙e-r(T-t)
Nu zien we dat het handig is om de exponent van deze e-macht als een eenheid te beschouwen, dus komen we op de volgende substitutie:
(2) u = -r(T-t)
Invullen van (2) in (1) geeft dan:
(3) f = S - k∙eu
Nu vertelt de kettingregel in de notatie van Leibniz ons dat we hebben:
(4) df/dt = df/du ∙ du/dt
We zijn geïnteresseerd in het bepalen van df/dt, en (4) geeft aan dat we df/dt kunnen vinden door eerst df/du en du/dt te bepalen en deze met elkaar te vermenigvuldigen. Welnu, uit (3) volgt dat:
(5) df/du = -k∙eu
En uit (2) volgt:
(6) du/dt = r
En dus vinden we met behulp van (4) dat:
(7) df/dt = -k∙eu∙r = -k∙r∙eu
Maar ja, nu zit die u nog in onze uitdrukking voor df/dt. We weten echter dat volgens (2) u = -r(T-t), dus kunnen we u in (7) weer vervangen door -r(T-t) en krijgen we:
(8) df/dt = -k∙r∙e-r(T-t)
Dit is wat omslachtig, maar nu zie je hopelijk hoe het precies werkt. Het is de bedoeling dat je zo bedreven wordt in het hanteren van de kettingregel bij het differentiëren, dat je de substitutie niet meer uit hoeft te voeren, maar dat je als het ware in je hoofd een 'mentale' substitutie uitvoert. Ook dit kunnen we symbolisch mooi weergeven in de notatie van Leibniz. Voor deze opgave heb je dan:
(9) df/dt = df/d(-r(T-t)) ∙ d(-r(T-t))/dt
En dus kun je direct opschrijven:
(10) df/dt = -k∙e-r(T-t)∙r
Lagrange (1736-1813) was een Frans wiskundige die de bekende notatie met primes voor de afgeleiden heeft ingevoerd, dus f'(x) voor de eerste afgeleide functie van f(x) naar x, f''(x) voor de tweede afgeleide functie van f(x) naar x en zo voort. Dit wordt natuurlijk gauw onoverzichtelijk en daarom schrijft men meestal f(n)(x) voor de n-de afgeleide functie van f(x) naar x indien n > 3. De onafhankelijke variabele (hier x) wordt ook wel weggelaten en dan schrijf je dus f' en f'' voor resp. de eerste en de tweede afgeleide functie van een functie f. Maar dan kun je niet meer zien naar welke variabele er is gedifferentieerd. De notatie van Leibniz heeft dat bezwaar niet: aan dy/dx kun je meteen zien dat het gaat om de afgeleide naar x van een (afhankelijke) variabele y die afhangt van een (onafhankelijke) variabele x.quote:Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-10-2012 05:15:27 ]
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Die opgaven waren uit oude (school)boeken, dus dat is dan de eerste plaats waar je zou kunnen kijken. Ik heb pas ontdekt dat de UvA een deel van de collectie van het Nederlands Schoolmuseum online heeft gezet. Het gaat daarbij om een kleine 5000 titels uit voornamelijk de latere 19e eeuw. Er zitten uiteraard ook veel wiskunde titels bij, vooral (veel) vlakke meetkunde en algebra, maar ook goniometrie en analytische meetkunde en wat stereometrie (dat waren toen aparte schoolvakken). En voor de lagere school had je natuurlijk rekenkunde, veel rekenkunde (kom daar nu eens om). Differentiaal- en integraalrekening stond toen niet op het programma, dat kwam pas veel later (in de jaren '50 van de 20e eeuw).quote:Op maandag 8 oktober 2012 12:36 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Het is heel interessant om te zien wat er toen allemaal wel en niet op het programma stond, want dat levert soms inzichten op die niet stroken met de communis opinio op dit gebied. Zo kwam ik bij de algebra inderdaad de wederkerige vergelijkingen tegen, terwijl nogal eens wordt beweerd dat die in Nederland nooit op het programma van de middelbare scholen hebben gestaan. En in een boekje van Molenbroek over goniometrie komen we zowaar De Moivre tegen. Ook in de 19e eeuw stonden complexe getallen dus al op het schoolprogramma, iets wat nu al lang is vergeten.
Achter in veel van die boekjes vind je 'gemengde vraagstukken', bedoeld als herhaling van de stof, maar daar zitten ook vaak oude examenopgaven bij. Direct linken naar een pagina werkt niet, maar kijk bijvoorbeeld eens achterin dit boekje voor wat vraagstukken. Zo maar een greep:
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingeschreven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Het is de bedoeling dat je dit exact oplost en de juistheid van je antwoord aantoont zonder gebruik van elektronische hulpmiddelen, want die had niemand in 1879.
Als je wat uitdagingen van recenter datum zoekt, dan moet misschien eens kijken naar de Pythagoras Olympiade. De actuele opgaven (sluitingsdatum 31 oktober 2012) staan hier.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 02:21:33 ]
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.quote:
[..]
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingescheven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Je zit toch niet stiekem een calculator of zo te gebruiken?quote:
[..]
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.
