quote:
De uitwerking is correct, maar het is duidelijk dat een algebraïsche aanpak nogal wat rekenwerk oplevert.
De tangens 2 + √3 óf 2 - √3 van de gevraagde hoek is geen 'standaardwaarde', zodat de hoek moest worden opgezocht in een goniometrische tafel. Tegenwoordig gebruiken we daar uiteraard de arctan functie op de rekenmachine voor, en dan vinden we vlot dat arctan(2 + √3) = 75° resp. dat arctan(2 - √3) = 15°. De zijden van het grote vierkant worden door de hoekpunten van het ingeschreven vierkant elk in twee delen verdeeld, en de opgave heeft dan ook twee mogelijke uitkomsten, omdat niet geheel duidelijk is of de hoek van de zijde van het ingeschreven vierkant met het grootste of met het kleinste deel van de zijde van het grote vierkant wordt bedoeld. Maar deze hoeken zijn uiteraard complementair. Het bewijs dat de gevraagde hoek inderdaad exact 15° (= 45° - 30°) dan wel 75° (= 45° + 30°) bedraagt kan dan worden geleverd door aan de hand van de som of verschilformules voor de tangens en de 'standaardwaarden' tan 30° = (1/3)∙√3 en tan 45° = 1 te laten zien dat tan 15° = 2 - √3 resp. dat tan 75° = 2 + √3.
Eenvoudiger gaat het met een meetkundige beschouwing. De vier rechthoekige driehoeken die met het ingeschreven vierkant het grote vierkant vormen hebben samen een oppervlakte van 1/3 deel van het grote vierkant. Voegen we nu in de figuur nog vier hiermee congruente rechthoekige driehoeken toe zodanig dat de schuine zijden van de toegevoegde driehoeken elk tegen één van de schuine zijden van de reeds aanwezige rechthoekige driehoeken komen te liggen, dan beslaan de 8 rechthoekige driehoeken samen 2/3 deel van de oppervlakte van het grote vierkant en resteert in het centrum van het grote vierkant nog een klein vierkant waarvan de zijden evenwijdig zijn met die van het grote vierkant. De oppervlakte van dit kleine vierkant bedraagt dus 1/3 deel van die van het grote vierkant zodat de lengte van de zijde van dit kleine vierkant zich tot die van het grote vierkant verhoudt als √(1/3) : √1 = (1/3)∙√3 : 1.
Trekken we nu een diagonaal van het ingeschreven vierkant, dan hebben we in de figuur een rechthoekige driehoek waarvan deze diagonaal de hypotenusa vormt. De lengte van de diagonaal van het ingeschreven vierkant, en dus van de hypotenusa van deze rechthoekige driehoek, is (2/3)∙√3 maal de zijde van het grote vierkant, terwijl de rechthoekszijden van deze rechthoekige driehoek gelijk zijn aan de resp. de zijde van het grote vierkant en de zijde van het kleine centrale vierkant, oftewel 1 maal en (1/3)∙√3 maal de zijde van het grote vierkant. Deze rechthoekige driehoek vormt dus de helft van een gelijkzijdige driehoek, zodat de scherpe hoeken van deze rechthoekige driehoek 60° en 30° zijn. Maar dan volgt uit de figuur direct dat de zijde van het ingeschreven vierkant met het langste deel van de zijde van het grote vierkant een hoek vormt van 60° - 45° = 15° resp. dat de zijde van het ingeschreven vierkant met het kortste deel van de zijde van het grote vierkant een hoek vormt van 45° + 30° = 75°, QED.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-10-2012 04:33:41 ]